第05讲 用一元二次方程解决问题 讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦“用一元二次方程解决问题”核心知识点，系统梳理列方程解应用题的“审、设、列、解、验、答”六步规范流程，突出“双重检验”特色步骤，并构建增长率、几何面积、销售利润、计数传播四大经典题型模型，形成从基础流程到具体应用的学习支架。 该资料通过7个易错辨析（如增长率复利计算、面积问题宽度处理）和6个典例精讲（结合生活情境），培养学生抽象能力（用代数式表示数量关系）、推理意识（方程求解与实际意义检验）和模型观念（构建问题数学模型）。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用与问题解决能力。

第05讲 用一元二次方程解决问题 （核心知识+7易错辨析+6典例精讲+课后作业） 【知识点01】列一元二次方程解应用题通用六步 一元二次方程应用题解题有固定规范流程，缺一不可，其中“检验”是本章节最核心的特色步骤。 1. 审：审题找关系 读懂题干，区分已知量、未知量，梳理题目中的核心等量关系，这是列方程的依据。 2. 设：规范设未知数 分为直接设（问什么设什么）和间接设（方便列式时使用），设未知数必须带单位，保证单位统一。 3. 列：列出方程 用含未知数的代数式表示相关数量，根据等量关系列出标准一元二次方程。 4. 解：求解方程 灵活选用因式分解法、公式法、配方法解方程，求出方程的两个实数根。 5. 验：双重检验（重中之重） ① 代数检验：根是否满足原方程；② 实际检验：根是否符合现实生活意义，不符合则舍去。 6. 答：规范作答 完整写出最终答案，对应题目问题，不遗漏信息。 【知识点02】四大经典必考题型模型 1. 增长率、降低率问题 核心模型公式 基数为a，变化次数为n，变化后总量为b，平均变化率为x 连续增长： 连续降低： 核心特点：复利式变化，每次变化的基数都是上一次变化后的总量，而非初始基数。中考必考两年连续增减问题，对应指数为2，切勿直接加减倍数。 2. 几何面积问题 常见场景：矩形修路、边框宽度、截取小正方形做无盖长方体、动点三角形面积。 解题技巧：利用平移法，将四周小路、边框等不规则空白区域拼接为规则矩形，剔除空白面积，快速得到有效图形长宽。关键细节：四周等宽小路、全方位边框问题，长和宽均需减去2倍宽度（上下、左右各一条）；单边小路仅减去1倍宽度，需结合题意区分。 动点问题思路：设运动时间为x，用“路程=速度×时间”表示动点线段长度，再结合面积公式列方程。 3. 销售利润问题 核心等量关系（必背） 单件利润 = 单件售价 − 单件成本 总利润 = 单件利润 × 销售数量 常见规律：商品涨价，单件利润增加，销售数量减少；商品降价，单件利润减少，销售数量增加。解题核心：根据题目给出的“每涨跌1元，销量变化若干件”，精准列出变化后的销量与单件利润表达式，杜绝写反增减关系。 4. 计数传播问题 传播问题（病毒、消息、传染）：传播规律为层层裂变，初始1人，每轮每人传给x人。第一轮新增x人，总人数 ；第二轮所有人每人再传播x人，新增 人，两轮后总人数：，多轮传播可套用 通用公式。 握手问题（单向、无重复）：n人两两握手，总次数： 互送礼物、贺卡（双向）：n人互送礼物，总份数： 易错点1：增长率次数理解错误 例题：原价100元，连续两次涨价后为121元。 ❌ 错解：（错误原因：两次增长为复利增长，第二次增长基数为第一次涨价后价格，不可直接用单次增长率翻倍计算，属于概念性错误） ✅ 正解： 易错点2：面积小路宽度少乘2 场景：矩形四周修等宽小路x，长和宽需同时减去2x（左右、上下各一条小路） ❌ 错解：只减一个x，忽略双向宽度，导致有效边长、面积计算偏大，方程列式错误 ✅ 正解：有效长宽 = 原长宽 − 2x 易错点3：利润问题销量变化写反 规律：降价→销量增加，涨价→销量减少 常见错误：降价x元，错误用原销量减去变化量；涨价x元，错误用原销量加上变化量。实际规则：降价增销量、涨价减销量，严格按题意列式。 易错点4：握手与互送礼物公式混淆 1. 握手、单循环比赛：无双向重复，需要除以2； 2. 互送贺卡、互发消息：双向行为，不除以2。 易错点5：省略检验步骤，保留不合理根 解方程后常出现一正一负、两正根的情况，未结合实际场景取舍，保留负数根、超范围正根（如售价低于成本、小路宽度大于图形边长），是中考填空、解答题高频扣分点。 易错点6：动点几何公式写错 易错逻辑：直接设运动时间为线段长度，忽略速度参数。正确公式：线段长度（运动路程）= 运动速度 × 运动时间，以此表示三角形边长、矩形边长再列面积方程。 易错点7：答题不规范 完整解题扣分细节：设未知数无单位、方程求解后无检验步骤、答句遗漏对应问题、结果未化简、整数类结果出现小数，日常作业和考试中步骤分损失严重。 【题型一】传播问题(一元二次方程的应用) 【例1】．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有196人患病，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（    ）人． A．13 B．14 C．15 D．16 【变式1】．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_________名同学． 【变式2】．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，问： (1)请列出该方程； (2)请解出x的值． 【变式3】．数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【题型二】增长率问题(一元二次方程的应用) 【例2】．（2025·江苏南通·二模）某件商品原价1000元，连续两次都降价后售价为640元，则x的值为（    ） A．68 B．64 C．36 D．20 【变式1】．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）某地农村人居住环境显著改善，农村卫生厕所普及率两年内实现翻一番，若设该地农村卫生厕所普及率年平均增长的百分率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）《疯狂动物城2》上映后票房持续增长，据统计连云港市首日票房约为100万元，第三天票房约为350万元，设票房收入平均每天增长率为，则可列方程为_____． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）某商场在国庆期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以128元的价格出售． (1)求平均每次降价的百分率； (2)售货员向经理建议：先公布降价，再下调，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 【题型三】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【例3】．（2024九年级上·江苏扬州·期末）我校有一块正方形的空地需要美化，现向各个年级的同学征集设计方案．某同学设计图如图所示，空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草．若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为3m，种植花草的区域的面积为，设水池半径为，可列出方程（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在一块长为25米、宽为20米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列出方程为_____． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，公园原有一块长为、宽为的矩形空地，现要在空地内的四周修建等宽的道路，余下空地栽种鲜花．要使鲜花栽种面积为，道路的宽应为多少？ 【变式3】．（25-26九年级上·江苏南京·期中）数学课上，老师布置了一个实践活动——将一个长为，宽为的矩形硬纸板折叠成一个长方体盒子． (1)如图（1），小明在硬纸板的四个角各裁去一个同样的正方形，将其折成一个底面积为的无盖长方体盒子，求这个盒子的体积． (2)如图（2）①，小红在硬纸板的四个角各裁去一个同样的矩形，将其折成一个底面积为的有盖的长方体盒子（如图（2）②）．设裁去的矩形的宽为，根据题意可得方程： ． 【题型四】营销问题(一元二次方程的应用) 【例4】．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）为提高经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销．根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低2元，每天可多售出4个．已知每个电子产品的固定成本为100元，如果降价后公司每天获利30000元，那么这种电子产品降价后的销售单价为多少元？设这种电子产品降价后的销售单价为x元，则所列方程为（    ） A．（x﹣100）[300＋4（200﹣x）]＝30000 B．（x﹣200）[300＋2（100﹣x）]＝30000 C．（x﹣100）[300＋2（200﹣x）]＝30000 D．（x﹣200）[300＋4（100﹣x）]＝30000 【变式1】．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）某大学生利用暑假社会实践参与了一家网店经营，该网店以每个20元的价格购进900个某新型商品．第一周以每个35元的价格售出300个，第二周若按每个35元的价格销售仍可售出300个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个）．若第二周单价降低x元销售一周后，商店对剩余商品清仓处理，以每个15元的价格全部售出，如果这批商品计划获利9500元，问第二周每个商品的单价应降低多少元？ 【变式2】．（2024九年级上·江苏泰州·阶段检测）石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． (1)设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示） (2)每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； (3)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）太湖水域辽阔，水质清澈，水草丰茂，底栖生物丰富，在无锡、苏州等太湖沿岸城市，吃蟹是秋季最重要的民俗活动之一．某学校九年级利用国庆假期开展社会实践活动，调查螃蟹行情，帮某商家解决销售问题的同时为顾客谋实惠．调查发现，螃蟹的进价为40元/千克．售价为50元/千克时，每天可销售100千克．每千克每涨价1元，每天少销售2千克． (1)某天商家正好销售70千克的螃蟹，则获利多少元？ (2)若商家一天销售螃蟹获总利润为1600元，且售价需尽可能优惠顾客，则当天螃蟹的售价为多少元/千克？ 【题型五】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【例5】．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为（     ） A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定 【变式1】．如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．当____s时，的面积为16cm2    【变式2】．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动．设运动时间为秒． (1)当时，的面积为__________； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能，请说明理由； 【变式3】．（2024·江苏徐州·二模）已知是等腰直角三角形，．    (1)当时， ①如图①，将直角的顶点D放至的中点处，与两条直角边分别交于点E、F，请说明为等腰直角三角形； ②如图②，将直角顶点D放至边的某处，与另两边的交点分别为点E、F，若为等腰直角三角形且面积为4，求的长． (2)若等腰直角三个顶点分别在等腰直角的三边上，等腰直角的直角边长为1时，求等腰直角的直角边长的最大值． 【题型六】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【例6】.为了迎接中考、互相激励，小亮同学和他的小组成员约定：月考后每个人都要向组内其他成员赠送一份小礼物，若他们一共赠送了份礼物，设小亮及小组一共有人，则下面方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）2025年江苏省城市足球联赛(简称“苏超”)爆火，在全省掀起足球热．某校开展校园足球联赛，以班级为单位组队参赛，采用单循环制，即每两队之间只进行一场比赛，若该联赛有队伍x支，预计常规赛共进行15场比赛，则根据题意可列方程为______ 【变式2】．2022年是广东省男子篮球联赛举办的第8年，常规赛将采用分区分组巡回赛制（每两队之间进行一场比赛），某小组共进行了10场比赛，问该小组有多少支球队参赛？ 【变式3】．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为6，则共握手 次； (2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数； (3)若在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数可能为20吗？为什么？ 1. 解题万能口诀 审、设、列、解、验、答六大步骤缺一不可，区别于一元一次方程应用题，双重检验、根的取舍是本节专属核心考点，也是解题得分关键。 2. 题型速记归类 涨跌变化 → 增长率平方模型 图形修路、裁剪 → 面积平移模型 销售盈亏 → 单件利润×销量 传染、握手、送礼 → 计数组合模型 数字组合 → 数位代数式表示 3. 本节课重难点 重点：掌握六大解题步骤，熟练五类经典题型的列式方法。 难点：准确梳理复杂数量关系，结合实际情境取舍方程的根。 解题关键：先固定核心未知数，再用含未知数的代数式串联所有相关物理量，精准锁定唯一不变的等量关系列式，解题后必须结合生活实际筛选有效根。 4. 规范答题要求 规范答题要求：步骤分层书写、设元标注清晰单位、方程求解过程简洁规范、强制书写检验过程、答句完整对应题干问题、结果化简为最简形式，整数类问题结果必须为正整数。 本节学习总结：本章所有实际问题，本质都是依托五大固定模型构建一元二次方程，解题流程标准化，核心难点不在于解方程，而在于精准找等量关系、合理取舍方程根，熟练掌握易错点可规避90%以上考试丢分。 一、单选题 1．2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．某件商品原价1000元，连续两次都降价后售价为640元，则x的值为（    ） A．68 B．64 C．36 D．20 3．有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 4．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的倍．已知一个钉子受击次后恰好全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的．设铁钉的长度为，那么符合这一事实的方程是（     ） A． B． C． D． 5．如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为，则下列方程正确的是（　　）    A． B． C． D． 6．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元?设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．某工厂因生产技术落后等因素，造成去年的利润比前年减少了．该工厂今年年初开展了技术革新，计划今年的利润比去年增长，设该工厂按计划完成任务后今年和去年这两年平均增长的百分数为．则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 9．中，，平分交于，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．春节来临之际，某童装专柜决定通过降价销售，增加收入，在销售中发现；某童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种童装共盈利1050元，设每件童装降价元，那么可以列方程为______．    11．某学习小组为了在学习上更好地互帮互助，每位组员都给同组的其他同学各提一条建议，该小组一共收到72条建议．若设这个小组有人，则应列方程为_______． 12．俗语有云：在技能学习中，有“一日不练手生，两日不练眼生，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看”的说法，意味着知识或技艺若不及时巩固会逐渐遗忘．假设某人学习了一项技能，初始掌握程度为100分．且每天“遗忘”的百分比相同．若经过2天后，技能掌握程度剩余49分，每天“遗忘”的百分比为______ 13．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的宽是多少步？”设这块矩形田地的宽为x步，则根据题意可列方程为_________． 14．徐老师购买了576张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有______名学生． 15．如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为_______________________________ 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为__s． 三、解答题 17．一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长． 18．把一个足球垂直地面向上踢，（秒）后该足球的高度（米）适用公式． (1)经过多少秒时球的高度为米？ (2)试问球在上升过程中，球的高度能否达到米，若能请求出对应的时间，若不能请说明理由． 19．某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． (1)每轮平均1人会传染多少人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 20．立足科教兴国发展战略，助力青少年机器人大赛筹备工作，某科创工坊加工甲、乙两款智能巡线小车配件．已知单件甲型小车耗材成本比乙型多元，花费元制作甲型小车的数量与花费元制作乙型小车的数量相同． (1)分别求出甲、乙两款小车单件耗材成本是多少元？ (2)工坊原定计划安排生产甲型小车台，乙型台．为适配赛事升级要求，提升成品性能，工坊优化了生产工艺．甲型小车精简内部线路，单件成本下降元，制作数量增加台；乙型小车加装避障感应配件，单件成本增加元，制作数量减少台，这样全部耗材总费用为元，求的值． 21．在“乡村振兴，国潮好物”直播助农活动中，某电商平台推出了两款特色农产文创产品：“古法手作茶具套装”（款）和“非遗植物染丝巾”（款）．第一周，该平台以每件30元的进价购进了、两款产品共1000件，并全部售出．其中款售价50元、款售价45元，共获利16000元． (1)求该平台第一周分别购进款，款产品各多少件？ (2)第二周，该平台再次以相同进价购进与第一周相同数量的、两款产品，并调整了售价．款的售价在第一周的基础上下调，此时款的销售量较第一周下降了；款的售价在第一周的基础上上调，此时款的销售量与第一周相同，结果第二周的总销售额与第一周的总销售额相等．求的值． 22．智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 23．现有如图所示A、B、C三类纸片各若干张，A、B类纸片是边长分别为，的正方形，C类纸片是长、宽分别为，的矩形纸片． (1)若取A、B类纸片各1张，C类纸片2张可拼成一个面积为64的大正方形，求的值； (2)若取3张A类纸片，2张B类纸片，5张C类纸片可拼成一个大长方形， ①在下面的方框中画出拼图； ②若大长方形面积为65，求所拼大长方形的长． 24．已知是等腰直角三角形，．    (1)当时， ①如图①，将直角的顶点D放至的中点处，与两条直角边分别交于点E、F，请说明为等腰直角三角形； ②如图②，将直角顶点D放至边的某处，与另两边的交点分别为点E、F，若为等腰直角三角形且面积为4，求的长． (2)若等腰直角三个顶点分别在等腰直角的三边上，等腰直角的直角边长为1时，求等腰直角的直角边长的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 用一元二次方程解决问题 （核心知识+7易错辨析+6典例精讲+课后作业） 【知识点01】列一元二次方程解应用题通用六步 一元二次方程应用题解题有固定规范流程，缺一不可，其中“检验”是本章节最核心的特色步骤。 1. 审：审题找关系 读懂题干，区分已知量、未知量，梳理题目中的核心等量关系，这是列方程的依据。 2. 设：规范设未知数 分为直接设（问什么设什么）和间接设（方便列式时使用），设未知数必须带单位，保证单位统一。 3. 列：列出方程 用含未知数的代数式表示相关数量，根据等量关系列出标准一元二次方程。 4. 解：求解方程 灵活选用因式分解法、公式法、配方法解方程，求出方程的两个实数根。 5. 验：双重检验（重中之重） ① 代数检验：根是否满足原方程；② 实际检验：根是否符合现实生活意义，不符合则舍去。 6. 答：规范作答 完整写出最终答案，对应题目问题，不遗漏信息。 【知识点02】四大经典必考题型模型 1. 增长率、降低率问题 核心模型公式 基数为a，变化次数为n，变化后总量为b，平均变化率为x 连续增长： 连续降低： 核心特点：复利式变化，每次变化的基数都是上一次变化后的总量，而非初始基数。中考必考两年连续增减问题，对应指数为2，切勿直接加减倍数。 2. 几何面积问题 常见场景：矩形修路、边框宽度、截取小正方形做无盖长方体、动点三角形面积。 解题技巧：利用平移法，将四周小路、边框等不规则空白区域拼接为规则矩形，剔除空白面积，快速得到有效图形长宽。关键细节：四周等宽小路、全方位边框问题，长和宽均需减去2倍宽度（上下、左右各一条）；单边小路仅减去1倍宽度，需结合题意区分。 动点问题思路：设运动时间为x，用“路程=速度×时间”表示动点线段长度，再结合面积公式列方程。 3. 销售利润问题 核心等量关系（必背） 单件利润 = 单件售价 − 单件成本 总利润 = 单件利润 × 销售数量 常见规律：商品涨价，单件利润增加，销售数量减少；商品降价，单件利润减少，销售数量增加。解题核心：根据题目给出的“每涨跌1元，销量变化若干件”，精准列出变化后的销量与单件利润表达式，杜绝写反增减关系。 4. 计数传播问题 传播问题（病毒、消息、传染）：传播规律为层层裂变，初始1人，每轮每人传给x人。第一轮新增x人，总人数 ；第二轮所有人每人再传播x人，新增 人，两轮后总人数：，多轮传播可套用 通用公式。 握手问题（单向、无重复）：n人两两握手，总次数： 互送礼物、贺卡（双向）：n人互送礼物，总份数： 易错点1：增长率次数理解错误 例题：原价100元，连续两次涨价后为121元。 ❌ 错解：（错误原因：两次增长为复利增长，第二次增长基数为第一次涨价后价格，不可直接用单次增长率翻倍计算，属于概念性错误） ✅ 正解： 易错点2：面积小路宽度少乘2 场景：矩形四周修等宽小路x，长和宽需同时减去2x（左右、上下各一条小路） ❌ 错解：只减一个x，忽略双向宽度，导致有效边长、面积计算偏大，方程列式错误 ✅ 正解：有效长宽 = 原长宽 − 2x 易错点3：利润问题销量变化写反 规律：降价→销量增加，涨价→销量减少 常见错误：降价x元，错误用原销量减去变化量；涨价x元，错误用原销量加上变化量。实际规则：降价增销量、涨价减销量，严格按题意列式。 易错点4：握手与互送礼物公式混淆 1. 握手、单循环比赛：无双向重复，需要除以2； 2. 互送贺卡、互发消息：双向行为，不除以2。 易错点5：省略检验步骤，保留不合理根 解方程后常出现一正一负、两正根的情况，未结合实际场景取舍，保留负数根、超范围正根（如售价低于成本、小路宽度大于图形边长），是中考填空、解答题高频扣分点。 易错点6：动点几何公式写错 易错逻辑：直接设运动时间为线段长度，忽略速度参数。正确公式：线段长度（运动路程）= 运动速度 × 运动时间，以此表示三角形边长、矩形边长再列面积方程。 易错点7：答题不规范 完整解题扣分细节：设未知数无单位、方程求解后无检验步骤、答句遗漏对应问题、结果未化简、整数类结果出现小数，日常作业和考试中步骤分损失严重。 【题型一】传播问题(一元二次方程的应用) 【例1】．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有196人患病，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（    ）人． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】患流行性感冒的人传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，解方程即可求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 依题意得， 即， 解方程得，（舍去）， 故选：A． 【点睛】考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流行性感冒的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的． 【变式1】．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_________名同学． 【答案】6 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键． 设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会6名同学． 故答案为：6． 【变式2】．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，问： (1)请列出该方程； (2)请解出x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查列一元二次方程和解一元二次方程， 根据已知求得主干、支干和小分支的数量，再结合总数为91即可列出方程； 移项化简，利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意知，主干、支干和小分支分别为1，x和，则； （2）解：，化简为， 解得，（舍去）， 故． 【变式3】．数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可． 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 【题型二】增长率问题(一元二次方程的应用) 【例2】．（2025·江苏南通·二模）某件商品原价1000元，连续两次都降价后售价为640元，则x的值为（    ） A．68 B．64 C．36 D．20 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程．根据两次降价后的价钱为640元，列出方程，求解即可． 【详解】解：由题意可得，两次降价后的价格为：， 解得或（舍去）． 故选：D． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）某地农村人居住环境显著改善，农村卫生厕所普及率两年内实现翻一番，若设该地农村卫生厕所普及率年平均增长的百分率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设现在的产值为，那么两年后的产值为，根据等量关系式：今年生产值×两年后的生产值，列出方程即可． 【详解】解：设现在的产值为，那么两年后的产值为， 根据题意，可得方程为 ， 即：． 故选：C． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）《疯狂动物城2》上映后票房持续增长，据统计连云港市首日票房约为100万元，第三天票房约为350万元，设票房收入平均每天增长率为，则可列方程为_____． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的实际应用，解题的核心是掌握增长率的计算公式：若初始量为，平均增长率为，经过次增长后的量为，则公式为． 根据票房每日增长率，由第三天的票房量列方程即可． 【详解】解：设平均每天增长率为，则第二天票房为万元， 第三天票房为万元．给定第三天票房为350万元， 故得方程． 故答案为：． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）某商场在国庆期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以128元的价格出售． (1)求平均每次降价的百分率； (2)售货员向经理建议：先公布降价，再下调，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 【答案】(1) (2)售货员的方案对顾客更优惠，因为按此方案降价后价格为元，低于元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． （1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据题意直接计算可得出答案． 【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率是， 根据题意列方程得，， 解得：（不合题意，舍去）； 答：平均每次下调的百分率为． （2）售货员的方案对顾客更优惠； ∴售货员的方案对顾客更优惠． 【题型三】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【例3】．（2024九年级上·江苏扬州·期末）我校有一块正方形的空地需要美化，现向各个年级的同学征集设计方案．某同学设计图如图所示，空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草．若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为3m，种植花草的区域的面积为，设水池半径为，可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】利用水池的半径x表示正方形的边长，求出正方形面积，水池的面积，利用种植花草的区域面积60m2,列出列出方程即可． 【详解】设水池半径为，直径为2xm， 正方形的边长为：(2x+6)m， 正方形面积为m2， 水池的面积为， 种植花草的区域的面积， ∴． 故选择：D． 【点睛】本题考查列方程解应用题问题，掌握图形问题应用题的表示方法，会用水池半径表示正方形的边长与面积，抓住正方形的面积减去两个半径相同的圆面积是种植花草的区域面积构造方程是解题关． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在一块长为25米、宽为20米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列出方程为_____． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程与图形面积的计算，理解图示面积的计算是关键，根据题意，草坪的长为米，宽为米，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，草坪的长为米，宽为米， ∴， 故答案为： ． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，公园原有一块长为、宽为的矩形空地，现要在空地内的四周修建等宽的道路，余下空地栽种鲜花．要使鲜花栽种面积为，道路的宽应为多少？ 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路的宽应为，列出方程，求解即可，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键． 【详解】解：设道路的宽应为， 根据题意得， 即， 解这个方程得，（不合题意，舍去）， 答：道路的宽应为5m． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏南京·期中）数学课上，老师布置了一个实践活动——将一个长为，宽为的矩形硬纸板折叠成一个长方体盒子． (1)如图（1），小明在硬纸板的四个角各裁去一个同样的正方形，将其折成一个底面积为的无盖长方体盒子，求这个盒子的体积． (2)如图（2）①，小红在硬纸板的四个角各裁去一个同样的矩形，将其折成一个底面积为的有盖的长方体盒子（如图（2）②）．设裁去的矩形的宽为，根据题意可得方程： ． 【答案】(1) (2) 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设小明在硬纸板的四个角各裁去一个边长为的正方形，则折成的无盖长方体盒子的底面为长，宽为的长方形，根据题意列出方程求解即可； （2）根据矩形纸片的长为，宽为，且折成的有盖长方体盒子的高为，即可列出方程． 【详解】（1）解：设小明在硬纸板的四个角各裁去一个边长为的正方形，则折成的无盖长方体盒子的底面为长，宽为的长方形， 根据题意得：， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴， ∴盒子的体积； （2）解：∵矩形纸片的长为，宽为，且折成的有盖长方体盒子的高为， ∴折成的有盖长方体盒子的底面是长为，宽为的矩形． 根据题意得：． 故答案为：． 【题型四】营销问题(一元二次方程的应用) 【例4】．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）为提高经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销．根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低2元，每天可多售出4个．已知每个电子产品的固定成本为100元，如果降价后公司每天获利30000元，那么这种电子产品降价后的销售单价为多少元？设这种电子产品降价后的销售单价为x元，则所列方程为（    ） A．（x﹣100）[300＋4（200﹣x）]＝30000 B．（x﹣200）[300＋2（100﹣x）]＝30000 C．（x﹣100）[300＋2（200﹣x）]＝30000 D．（x﹣200）[300＋4（100﹣x）]＝30000 【答案】C 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据每天利润=每天销售的件数×每个电子产品的利润，先分别求出每个电子产品的利润为（x-100）元，根据每降2元多售4件，就是每降1元多售两件求出降价的钱数（200-x）可求增加的数量为2（200-x）,可得每天销售的件数，根据公式列出方程即可． 【详解】解：设这种电子产品降价后的销售单价为x元， 每个电子产品的固定成本为100元，每个电子产品获利为（x-100）元， 每个电子产品降价为(200-x)元，增加件数为， 每天可售出这种电子产品的件数为， 根据题意得． 故答案为：C． 【点睛】本题考查销售利润的应用题，掌握列方程解应用题的方法与步骤，解题关键是每天利润=每天销售的件数×每个电子产品的利润，每个电子产品的利润=售价-固定成本，每天销售的件数=原来每天销售件数+增加销售部分． 【变式1】．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）某大学生利用暑假社会实践参与了一家网店经营，该网店以每个20元的价格购进900个某新型商品．第一周以每个35元的价格售出300个，第二周若按每个35元的价格销售仍可售出300个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个）．若第二周单价降低x元销售一周后，商店对剩余商品清仓处理，以每个15元的价格全部售出，如果这批商品计划获利9500元，问第二周每个商品的单价应降低多少元？ 【答案】第二周每个商品的单价应降低4元． 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【详解】设第二周每个商品的单价应降低x元，根据这批商品计划获利9500元建立方程，解方程即可． 【解答】解：第一周获利：（元）． 设第二周每个商品的单价应降低x元， 根据题意，得：， 即：， 解得：，， 当时，，（不合题意舍去）． 答：第二周每个商品的单价应降低4元． 【变式2】．（2024九年级上·江苏泰州·阶段检测）石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． (1)设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示） (2)每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； (3)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 【答案】(1) ， (2) 每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元 (3) 不可能 【知识点】列代数式、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据销售量=原销售量+降价增加的销售量，单件利润=原单件利润-降价金额，列出代数式； （2）根据总利润=单件利润×销售量列一元二次方程求解； （3）同样根据总利润关系列方程，利用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数解，即可得出结论． 【详解】（1） 解： 已知每件降价1元，多售出2件，降价元时，多售出件 原每天售出20件， 因此每天销售量为件 ，原单件利润为元， 降价元后，单件盈利为元． （2）根据总利润等于单件盈利乘销售量， 列方程得 整理得 因式分解得 解得 因此每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元． （3） 假设平均每天赢利2000元， 列方程得 整理得 判别式得 因此该方程没有实数根，不存在满足条件的降价 所以平均每天赢利2000元不可能． 【变式3】．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）太湖水域辽阔，水质清澈，水草丰茂，底栖生物丰富，在无锡、苏州等太湖沿岸城市，吃蟹是秋季最重要的民俗活动之一．某学校九年级利用国庆假期开展社会实践活动，调查螃蟹行情，帮某商家解决销售问题的同时为顾客谋实惠．调查发现，螃蟹的进价为40元/千克．售价为50元/千克时，每天可销售100千克．每千克每涨价1元，每天少销售2千克． (1)某天商家正好销售70千克的螃蟹，则获利多少元？ (2)若商家一天销售螃蟹获总利润为1600元，且售价需尽可能优惠顾客，则当天螃蟹的售价为多少元/千克？ 【答案】(1)1750 (2)螃蟹的售价为元/千克 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用； （1）设螃蟹的售价为元/千克，根据每千克每涨价1元，每天少销售2千克，某天市场正好销售70千克的螃蟹，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题； （2）设螃蟹的售价为元/千克，根据市场想一天销售螃蟹获总利润为1600元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设螃蟹的售价为元/千克， 由题意得：， 解得：， ∴（元）， 答：某天市场正好销售70千克的螃蟹，则获利1750元； （2）解：设螃蟹的售价为元/千克， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵帮某商家解决销售问题的同时为顾客谋实惠， ∴， 答：螃蟹的售价为元/千克． 【题型五】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【例5】．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为（     ） A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定 【答案】A 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 【详解】解：由题意，，运动时间， ， ， ， 解得（舍去）或5， ∴运动时间为5秒时，的面积等于． 故选：A． 【变式1】．如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．当____s时，的面积为16cm2    【答案】1或4/4或1 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】若运动的时间为t s，则CP=（20-4t）cm，CQ=2t cm，利用三角形的面积计算公式列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：若运动的时间为t s，则CP=（20-4t）cm，CQ=2t cm， 依题意得：（20-4t）×2t=16， 整理得：t2-5t+4=0， 解得：， 答：当t=1或4s时，△CPQ的面积为16cm2． 故答案为：1或4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动．设运动时间为秒． (1)当时，的面积为__________； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能，请说明理由； 【答案】(1) (2)的面积不能为，理由见解析 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，一元二次方程的实际应用，理解题意是解题的关键． （）根据计算即可； （）由题意得，，即得，，进而得到，再根据根的判别式判断方程的解的情况即可求解． 【详解】（1）解：当时，由题意得，， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （2）解：的面积不能为，理由如下： 由题意得，，， ∴，， ∴ ， 当的面积为时，则， 即， ∵， ∴方程无实数解， ∴的面积不能为． 【变式3】．（2024·江苏徐州·二模）已知是等腰直角三角形，．    (1)当时， ①如图①，将直角的顶点D放至的中点处，与两条直角边分别交于点E、F，请说明为等腰直角三角形； ②如图②，将直角顶点D放至边的某处，与另两边的交点分别为点E、F，若为等腰直角三角形且面积为4，求的长． (2)若等腰直角三个顶点分别在等腰直角的三边上，等腰直角的直角边长为1时，求等腰直角的直角边长的最大值． 【答案】(1) ①证明：如图， 过点D作于G，于 H， 连接．   是等腰直角三角形，，点是的中点， ，，， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 是等腰直角三角形； ②2或 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、动态几何问题(一元二次方程的应用)、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①过点D作于G，于 H， 连接．是等腰直角三角形，点是的中点，可得， ，，， 由“”可证，可得，即可求解； ②过点 F作于 N．由“”可证，可得，设， 则．根据勾股定理得再列出方程即可求解； （2）当点在上时，当C、Q、D共线时， 最长，当D在直角边上，过点E分别作于点E，于H．设．则 即可求解． 【详解】（1）① 略 ② 如图， 过点 F作于 N．    ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴， ∴． 设， 则． ， ， 或 ∴或 ， （2）设等腰的直角顶点为 D， 若 D 在上， 如图3．    取的中点Q， 连接， 则 ∵是直角边长为1的等腰直角三角形()． ∴当C、Q、D共线时， 最长， 则 ∴在等腰中， 当时，的长最大． 最大为2． 若D在直角边上， 如图4， 过点E分别作于点E，于H．    由知 设． 则 解得 当s取最大值时，    ∴的最大值为 ． 综上，的最大值为 ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型六】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【例6】.为了迎接中考、互相激励，小亮同学和他的小组成员约定：月考后每个人都要向组内其他成员赠送一份小礼物，若他们一共赠送了份礼物，设小亮及小组一共有人，则下面方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列一元二次方程，小组共有人，每人要送出件礼物，据此列出方程即可． 【详解】解：设小亮及小组一共有人，根据题意得． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）2025年江苏省城市足球联赛(简称“苏超”)爆火，在全省掀起足球热．某校开展校园足球联赛，以班级为单位组队参赛，采用单循环制，即每两队之间只进行一场比赛，若该联赛有队伍x支，预计常规赛共进行15场比赛，则根据题意可列方程为______ 【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据每两队之间只进行一场比赛，共进行15场比赛，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为； 故答案为：． 【变式2】．2022年是广东省男子篮球联赛举办的第8年，常规赛将采用分区分组巡回赛制（每两队之间进行一场比赛），某小组共进行了10场比赛，问该小组有多少支球队参赛？ 【答案】5 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，根据等量关系列出一元二次方程． 设该小组有n支球队，根据每两队之间进行一场比赛，可知共比赛了场，由此列一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设该小组有n支球队参赛 每两队之间进行一场比赛，则比赛总场数为 根据题意， 两边同时乘以2，得 即 因式分解，得 解得或（舍去） ∴该小组有5支球队参赛． 【变式3】．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为6，则共握手 次； (2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数； (3)若在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数可能为20吗？为什么？ 【答案】(1)3；15 (2)10人 (3)不可能；理由见解析 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索、一元二次方程的应用，正确归纳推出一般规律是解题关键． （1）根据每两个人见面必须握手，且只握手1次即可得； （2）先求出参加聚会的人数为时，共握手的次数，再归纳推出一般规律，令，解一元二次方程即可得； （3）参照（2）的规律，归纳推出一般规律，再令其等于20，解一元二次方程，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手（次）， 若参加聚会的人数为6，则共握手（次）． （2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次， 参加聚会的人数为2，则共握手次， 参加聚会的人数为3，则共握手次， 参加聚会的人数为4，则共握手次， 归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次， 若参加聚会的人共握手45次， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：参加聚会的人数为10人． （3）解：角的总数不可能是20；理由如下： 若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个， 归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个， 令，即， 解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去）， 所以角的总数不可能为20个． 1. 解题万能口诀 审、设、列、解、验、答六大步骤缺一不可，区别于一元一次方程应用题，双重检验、根的取舍是本节专属核心考点，也是解题得分关键。 2. 题型速记归类 涨跌变化 → 增长率平方模型 图形修路、裁剪 → 面积平移模型 销售盈亏 → 单件利润×销量 传染、握手、送礼 → 计数组合模型 数字组合 → 数位代数式表示 3. 本节课重难点 重点：掌握六大解题步骤，熟练五类经典题型的列式方法。 难点：准确梳理复杂数量关系，结合实际情境取舍方程的根。 解题关键：先固定核心未知数，再用含未知数的代数式串联所有相关物理量，精准锁定唯一不变的等量关系列式，解题后必须结合生活实际筛选有效根。 4. 规范答题要求 规范答题要求：步骤分层书写、设元标注清晰单位、方程求解过程简洁规范、强制书写检验过程、答句完整对应题干问题、结果化简为最简形式，整数类问题结果必须为正整数。 本节学习总结：本章所有实际问题，本质都是依托五大固定模型构建一元二次方程，解题流程标准化，核心难点不在于解方程，而在于精准找等量关系、合理取舍方程根，熟练掌握易错点可规避90%以上考试丢分。 一、单选题 1．2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． 2．某件商品原价1000元，连续两次都降价后售价为640元，则x的值为（    ） A．68 B．64 C．36 D．20 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程．根据两次降价后的价钱为640元，列出方程，求解即可． 【详解】解：由题意可得，两次降价后的价格为：， 解得或（舍去）． 故选：D． 3．有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均一个人传染人，根据传染规律得到两轮传染后的总患病人数，结合“新增120人患病”得到总人数的等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有1名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， 又∵经过两轮传染后新增120人患病，总患病人数为， ∴列方程得 ， ∵人数为正数，， ∴， 解得， 故选：A． 4．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的倍．已知一个钉子受击次后恰好全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的．设铁钉的长度为，那么符合这一事实的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据每次钉入木板的长度关系，求出三次钉入的长度，利用三次长度和等于铁钉总长度列方程即可． 【详解】解：∵第一次受击后进入木板的长度为，且每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的倍， ∴第二次钉入木板的长度为，第三次钉入木板的长度为， 又∵钉子受击次后恰好全部进入木板，总钉长为，即三次钉入长度和为， ∴列方程得． 5．如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为，则下列方程正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圈出的9个数可知最大数与最小数的差为16，设这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为，由“最大数与最小数的积为192”即可列出方程，得到答案． 【详解】解：由圈出的9个数可知：最大数与最小数的差为：， 设这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为， 根据题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得出圈出的9个数中最大数与最小数的差为16是解题的关键． 6．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元?设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据总利润=每台利润×销售量，分别表示出每台利润和销售量即可列出方程． 【详解】解：设每台冰箱定价元， ∵每台进货价为2500元， ∴每台利润为元． ∵原销售价为2900元， ∴销售价降低了元， 又∵每降低50元，平均每天多售出4台， ∴多售出的台数为， ∴平均每天总销售量为台． ∵总利润平均每天为5000元， ∴可得方程． 7．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意可得，，据此求出时，的长，再利用勾股定理求出此时的长即可判断①；根据三角形面积计算公式得到，则可建立方程，解方程即可判断②；求出时和时，的面积即可判断③． 【详解】解：由题意得，， ∴， 当时，则， ∵， ∴，故①说法正确； ， 当的面积为时，则， 整理得，解得或， ∵， ∴的面积可以为，故②符合题意； 当时，， 当时，， ∴当时和当时，的面积相等， 又∵四边形的面积， ∴当时和当时，四边形的面积相等，故③错误； 故选：C． 8．某工厂因生产技术落后等因素，造成去年的利润比前年减少了．该工厂今年年初开展了技术革新，计划今年的利润比去年增长，设该工厂按计划完成任务后今年和去年这两年平均增长的百分数为．则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设前年该工厂的利润为单位，分别用两种方式表示今年的利润，根据相等关系列出方程即可． 【详解】设前年该工厂的利润为单位， ∵去年利润比前年减少，今年计划比去年增长， ∴今年计划完成后的利润为 ； ∵两年平均增长的百分数为，即从前年到今年经过两年平均增长，年均增长率为， ∴今年的利润也可表示为 ； 由于两种方式表示的今年利润相等，因此可得方程． 9．中，，平分交于，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，作于点，过点作于点，设，，先用三角函数的知识表示出和，进而表示出的面积和的长，在中利用勾股定理并整理得到；再利用角平分线的定义和三角函数的知识表示出和，进而表示出和的面积，利用整理得到，令，，联立方程解出的值即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点，过点作于点， 设，， ，，， ， 在中，，， ，， ，， 在中，， ， 整理得：，即； 平分， ， ，， ，， ， ， 整理得：； 令，，则， 解得：或（舍去）， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形的面积公式、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点，利用等面积法和勾股定理建立方程是解题的关键．本题属于几何压轴题，有一定难度，适合有能力解决几何难题的学生． 二、填空题 10．春节来临之际，某童装专柜决定通过降价销售，增加收入，在销售中发现；某童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种童装共盈利1050元，设每件童装降价元，那么可以列方程为______．    【答案】 【分析】设每件童装降价x元，根据题意列出方程． 【详解】设每件童装降价元， 根据题意可得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是根据实际问题抽象出一元二次方程． 11．某学习小组为了在学习上更好地互帮互助，每位组员都给同组的其他同学各提一条建议，该小组一共收到72条建议．若设这个小组有人，则应列方程为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设该小组有人，则每人需提条建议，根据该小组一共收到72条建议，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设这个小组有人，则每人需提条建议， 则由题意得：， 故答案为：． 12．俗语有云：在技能学习中，有“一日不练手生，两日不练眼生，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看”的说法，意味着知识或技艺若不及时巩固会逐渐遗忘．假设某人学习了一项技能，初始掌握程度为100分．且每天“遗忘”的百分比相同．若经过2天后，技能掌握程度剩余49分，每天“遗忘”的百分比为______ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每天遗忘的百分比为x，则每天剩余比例为 ，根据题意列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每天“遗忘”的百分比为x， 由题意，得 ， 解得或（舍去）， ∴每天“遗忘”的百分比为， 故答案为：． 13．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的宽是多少步？”设这块矩形田地的宽为x步，则根据题意可列方程为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 设宽为x步，则长为步，根据矩形面积公式列方程． 【详解】解：设宽为x步，则长为步．由题意， 得． 故答案为． 14．徐老师购买了576张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有______名学生． 【答案】24 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设班级有名学生，根据题意列出方程即可，根据题意得等量关系，建立方程是解题的关键． 【详解】解：设班级有名学生， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， ∴班级共有24名学生． 故答案为：24． 15．如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为_______________________________ 【答案】 【分析】根据草坪的总面积为长为，宽为的长方形的面积，列出方程即可. 【详解】解：由题意，可列方程为. 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为__s． 【答案】2． 【分析】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB=（12-2x）cm，CQ=（6-x）cm，利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm， 依题意，得：（12﹣2x）（6﹣x）＝16， 整理，得：x2﹣12x+20＝0， 解得：x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 三、解答题 17．一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长． 【答案】6，8，10 【分析】可设该直角三角形的三边长分别为、、，利用勾股定理可得，解方程即可求解． 【详解】解：设该直角三角形的三边长分别为、、，根据题意得： ， 解得（舍去），． 所以斜边长为． 故这个三角形三边长为6、8、10． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是用表示出三边长． 18．把一个足球垂直地面向上踢，（秒）后该足球的高度（米）适用公式． (1)经过多少秒时球的高度为米？ (2)试问球在上升过程中，球的高度能否达到米，若能请求出对应的时间，若不能请说明理由． 【答案】(1)秒或秒 (2)不能，理由如下： ∵据题意得，整理得， ∴， ∴一元二次方程无解， ∴球的高度不能达到米． 【分析】（1）将代入即可求解； （2）将代入，求出判别式即可求解． 【详解】（1）当时，， 整理得：， 解得：，； ∴经秒或秒时球的高度为米； （2）略 19．某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． (1)每轮平均1人会传染多少人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 【答案】(1)每轮平均1人会传染8人 (2)三轮传染后，患病的人数会超过700 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． （1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论． 【详解】（1）解：由题意，得，解得（不合题意，舍去）． 故每轮平均1人会传染8人． （2）解：三轮传染后的人数为． ， ∴三轮传染后，患病的人数会超过700． 20．立足科教兴国发展战略，助力青少年机器人大赛筹备工作，某科创工坊加工甲、乙两款智能巡线小车配件．已知单件甲型小车耗材成本比乙型多元，花费元制作甲型小车的数量与花费元制作乙型小车的数量相同． (1)分别求出甲、乙两款小车单件耗材成本是多少元？ (2)工坊原定计划安排生产甲型小车台，乙型台．为适配赛事升级要求，提升成品性能，工坊优化了生产工艺．甲型小车精简内部线路，单件成本下降元，制作数量增加台；乙型小车加装避障感应配件，单件成本增加元，制作数量减少台，这样全部耗材总费用为元，求的值． 【答案】(1)甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元． (2)的值为． 【分析】(1) 设乙型小车耗材成本元，根据题意可知甲型小车耗材成本为元，花费元制作甲型小车的数量与花费元制作乙型小车的数量相同，列出分式方程，解方程即可． (2)由题意得新的成本为，甲款小车单件耗材成本为元，数量为台，乙款小车单件耗材成本为元，数量为台，全部耗材总费用为13500元，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙型小车耗材成本元，根据题意可知甲型小车耗材成本为元， 由题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元． （2）解：由（1）知甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元 由题意得，新的成本为：甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元 整理得： 解得：，（不符合题意，舍去） 答：的值为． 21．在“乡村振兴，国潮好物”直播助农活动中，某电商平台推出了两款特色农产文创产品：“古法手作茶具套装”（款）和“非遗植物染丝巾”（款）．第一周，该平台以每件30元的进价购进了、两款产品共1000件，并全部售出．其中款售价50元、款售价45元，共获利16000元． (1)求该平台第一周分别购进款，款产品各多少件？ (2)第二周，该平台再次以相同进价购进与第一周相同数量的、两款产品，并调整了售价．款的售价在第一周的基础上下调，此时款的销售量较第一周下降了；款的售价在第一周的基础上上调，此时款的销售量与第一周相同，结果第二周的总销售额与第一周的总销售额相等．求的值． 【答案】(1) 购进A款产品200件，B款产品800件 (2) 【分析】（1）根据购进总数量和总利润的等量关系，列出二元一次方程组求解即可； （2）先算出第一周总销售额，再根据第二周总销售额与第一周相等的等量关系列方程，舍去不符合题意的解后得到a的值． 【详解】（1）解：设该平台第一周购进A款产品件，购进B款产品件， 根据题意可得 解得 答：该平台第一周购进A款产品200件，B款产品800件， （2）解：第一周总销售额：（元） 设， 根据题意得： 解得（不符合题意，舍去）， 即， 得 ． 22．智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1) (2)404元 【分析】（1）设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，由题意得 解得： 即或 （不合题意，舍去） 答：该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为． （2）解：设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，由题意得： 解得，， 要尽可能让顾客得到实惠， 该品牌智能头盔的实际售价应定为每个404元． 23．现有如图所示A、B、C三类纸片各若干张，A、B类纸片是边长分别为，的正方形，C类纸片是长、宽分别为，的矩形纸片． (1)若取A、B类纸片各1张，C类纸片2张可拼成一个面积为64的大正方形，求的值； (2)若取3张A类纸片，2张B类纸片，5张C类纸片可拼成一个大长方形， ①在下面的方框中画出拼图； ②若大长方形面积为65，求所拼大长方形的长． 【答案】(1) (2)①拼图如下： ② 【分析】（1）由面积相等列出方程，求解出的值即可； （2）①将3张A和2张C拼成一列，3张C和2张B拼成一列即可； ②由面积相等列出方程，求解出的值，再求出长方形的长即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，则， ∵， ∴，则； （2）①略 ②由题意可知：， 整理，得， 因式分解，得， 解得或， ∵， ∴， ∴大长方形的长为：． 24．已知是等腰直角三角形，．    (1)当时， ①如图①，将直角的顶点D放至的中点处，与两条直角边分别交于点E、F，请说明为等腰直角三角形； ②如图②，将直角顶点D放至边的某处，与另两边的交点分别为点E、F，若为等腰直角三角形且面积为4，求的长． (2)若等腰直角三个顶点分别在等腰直角的三边上，等腰直角的直角边长为1时，求等腰直角的直角边长的最大值． 【答案】(1) ①证明：如图， 过点D作于G，于 H， 连接．   是等腰直角三角形，，点是的中点， ，，， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 是等腰直角三角形； ②2或 (2) 【分析】（1）①过点D作于G，于 H， 连接．是等腰直角三角形，点是的中点，可得， ，，， 由“”可证，可得，即可求解； ②过点 F作于 N．由“”可证，可得，设， 则．根据勾股定理得再列出方程即可求解； （2）当点在上时，当C、Q、D共线时， 最长，当D在直角边上，过点E分别作于点E，于H．设．则 即可求解． 【详解】（1）① 略 ② 如图， 过点 F作于 N．    ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴， ∴． 设， 则． ， ， 或 ∴或 ， （2）设等腰的直角顶点为 D， 若 D 在上， 如图3．    取的中点Q， 连接， 则 ∵是直角边长为1的等腰直角三角形()． ∴当C、Q、D共线时， 最长， 则 ∴在等腰中， 当时，的长最大． 最大为2． 若D在直角边上， 如图4， 过点E分别作于点E，于H．    由知 设． 则 解得 当s取最大值时，    ∴的最大值为 ． 综上，的最大值为 ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $