第2章 一元二次方程章节复习（10题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学一元二次方程复习讲义通过表格梳理教学目标与重难点，按“概念-解法-应用”逻辑构建知识体系，清晰呈现直接开平方法、配方法等四种解法的适用特征，突出根的判别式与韦达定理的综合应用，以及配方法变形和实际问题建模的难点。 讲义亮点在于“即学即练”与分层题型设计，如“解错复原问题”引导学生辨析甲、乙同学解题步骤错误，培养推理意识，实际应用题（茶叶销量增长、矩形菜地面积）强化模型意识。基础题巩固运算能力，综合题提升分析能力，助力教师实施精准复习教学。

第2章 一元二次方程章节复习 教学目标 1. 系统梳理一元二次方程的概念、四种解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），构建完整的知识体系。 2. 掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（韦达定理），能灵活运用解决综合问题。 3. 通过实际问题的解决，巩固方程建模思想，提升分析问题与解决问题的能力。 教学重难点 重点： 1. 一元二次方程四种解法的灵活选择与规范应用，特别是根据方程特征选用简捷方法。 2. 根的判别式与韦达定理的综合应用，解决与方程根有关的参数及代数式求值问题。 教学难点： 1. 配方法的代数变形逻辑与符号处理，尤其是在二次项系数不为1时的正确操作。 2. 实际问题中正确建立一元二次方程模型，并根据实际意义对方程的根进行合理取舍。 知识点01 一元二次方程的相关概念 1.一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3） 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2.一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2） 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 3.一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 【即学即练】 1．（25-26八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的概念逐一判断即可． 【详解】解：①是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ②中当时，它不是一元二次方程， ③整理得，它不是一元二次方程， ④不是一元二次方程， ⑤是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ⑥不是一元二次方程， 综上，一元二次方程有2个． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）将一元二次方程化为一般形式为___． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式（a，b，c为常数且），即可解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）若是关于的方程的解，则_____． 【答案】 【分析】根据方程的解的定义，将代入原方程得到的值，再整体代入所求代数式求值即可． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 整理得， 即， ． 知识点02 一元二次方程的解法 1.解一元二次方程-直接开平方 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 2.解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3.解一元二次方程-公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 4.解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 【即学即练】 1．（25-26八年级下·江苏南通·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1), (2), 【详解】（1）解：， ， 两边开平方得， 即或， 解得，； （2） 因式分解得 即或 解得，． 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程； （2）利用公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·山东威海·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； (2)若，是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)另一个实数根为 (2)或 【分析】（1）设该方程的另一个实数根为m，由根与系数的关系得到，解方程组即可得到答案； （2）由根与系数的关系得到，根据完全平方公式的变形得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设该方程的另一个实数根为m， 由根与系数的关系得， 解得， ∴另一个实数根为； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 综上所述，a的值为或． 知识点03 一元二次方程的应用 1.列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2.列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 【即学即练】 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）茶叶礼盒以春茶品质最佳，每年春季采摘加工成礼盒．本地茶农线上销售某款茶叶礼盒，该礼盒成本为40元/盒，售价为70元/盒．已知该礼盒4月份销售100盒，受端午节日氛围带动，6月份销量增至144盒． (1)若4月份到6月份销量的月平均增长率保持不变，求这款茶叶礼盒销量的月平均增长率； (2)为了延续端午销售热度，茶农计划在7月份对这款茶叶礼盒降价促销．市场调研显示：以6月份的销量144盒为基数，售价每降低1元，月销售量就会增加8盒．若要使7月份这款礼盒的总利润达到4600元，且降价后的单盒利润不低于24元，该茶叶礼盒的售价应降价多少元？ 【答案】(1)这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为． (2)该茶叶礼盒的售价应降价5元． 【分析】（1）设这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为x，根据“该礼盒4月份销售100盒，受端午节日氛围带动，6月份销量增至144盒”列方程求解即可； （2）设该茶叶礼盒的售价应降价a元，根据“7月份这款礼盒的总利润达到4600元”列方程求解，再结合降价后的单盒利润不低于24元取合适的解即可． 【详解】（1）解：设这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为． （2）解：设该茶叶礼盒的售价应降价a元， 由题意得，， 化简，得， 解得，． 因为降价后的单盒利润不低于24元， 所以，即， 所以不合题意，舍去． 答：该茶叶礼盒的售价应降价5元． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）某农场准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个长方形菜地（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设平行于墙的一边的长为． (1)如图1，如果长方形菜地的一边靠墙，另三边、、由篱笆围成，当菜地的面积为时，求x的值； (2)如图2，如果长方形菜地的一边由墙和一节篱笆构成，另三边、、由篱笆围成，当菜地面积为时，求x的值． 【答案】(1)6 (2)12 【分析】（1）根据“一段长为的篱笆”可表示出，再根据矩形的面积，列出方程，解之取符合题意的值即可； （2）先表示，再根据矩形的面积，列出方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴x的值为6； （2）解：根据题意得， 整理得， 解得（不合题意，舍去），， 答：x的值为12． 3．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 题型01 判断是否是一元二次方程 【典例1】下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可得出答案，牢记一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：．当时，不满足题意，故本选项不符合题意； ．含有两个未知数，故本选项不符合题意； ．含有分式，故本选项不符合题意； ．满足一元二次方程的定义，故本选项符合题意； 故选：． 【变式1】下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； B、当时，方程不是一元二次方程，故不符合题意； C、方程化为，不是一元二次方程，故不符合题意； D、方程即是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 【变式2】下列方程，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； B、，满足一元二次方程的定义，故该选项是正确的； C、不是整式方程，则不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； D、，含有一个未知数x，未知数的最高次数是1，故该选项是错误的； 故选：B． 【变式3】已知关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出且，再求出答案即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：， 故答案为：1． 题型02 一元二次方程化为一般形式 【典例2】将方程化成一元二次方程的一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数、常数项即可． 【详解】解：将方程化成一元二次方程的一般形式为， 则二次项系数为1，一次项系数为4，常数项为0， 故选：D． 【变式1】把方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．3，，1 B．3，6，1 C．3，1，6 D．3，6， 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是（是常数，且），它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键．通过移项，将方程化成一般形式，由此即可得． 【详解】解：把方程化成一般形式为， 则二次项系数为3、一次项系数为、常数项为1， 故选：A． 【变式2】把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程一般式的形式是解题的关键． 一元二次方程一般式为，由此即可求解． 【详解】解：， 整理得，， ∴， 故选：B ． 【变式3】将方程改写成为的形式，则，，的值分别为（    ） A．3，，2 B．3，， C．3，， D．2，，8 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程转化为一般式后，进行判断即可． 【详解】解：将方程改写成为的形式为， 则，，的值分别为3，， 故选：C． 题型03 利用一元二次方程的解求值 【典例3】关于x的方程的一个根为3，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，由代入一元二次方程得出关于的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程的一个根是3， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式1】若是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求整式的值；将代入方程，将整式化为，整体代入计算，即可求解；理解一元二次方程的解，会用整体代换法求整式的值是解题的关键. 【详解】解：是方程的一个根， ， ， 原式 ， 故答案：8． 【变式2】已知是方程的一个根，则式子的值为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．由方程根的定义得到，整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为： 【变式3】已知实数是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解是指能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把代入方程得到，变形可得，，然后把它们整体代入中，通分、化简、约分即可． 【详解】实数是关于的一元二次方程的一个解， ， ， ， 故答案为： 题型04 解一元二次方程 【典例4】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）把常数移到右边，再利用配方法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【变式1】按要求解下列方程． (1)．（因式分解法） (2)．（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法． （1）先提公因式x，然后根据或，即可求解． （2）先根据的情况判断根的情况，再根据求根公式求解即可． 【详解】（1）解： 因式分解，得， ∴或， 解得：， （2）解： ∵，，， ∴， ∴， ∴， 【变式2】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程 【分析】（）利用公式法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】（1）解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， 或， ∴，． 【变式3】解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的方法是关键； （1）先计算，再利用求根公式解方程即可； （2）把方程化为可得，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 题型05 解一元二次方程错解复原问题 【典例5】习题课上，数学老师展示了解方程时的两种错误解答过程： 甲：原方程可变形为： 第一步 第二步 第三步 第四步 则第五步 ∴，第六步 乙：原方程可变形为： 第一步 第二步 则或第三步 ∴， 第四步 (1)分别写出甲，乙的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)甲从第一步开始出错，乙从第二步开始出错 (2)见解析 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元二次方程的计算的步骤一步步检查即可； （2）根据配方法和因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：甲：原方程可变形为：第一步，故甲从第一步开始出错； 乙：原方程可变形为：第一步， 第二步，故乙从第二步开始出错； ∴甲从第一步开始出错，乙从第二步开始出错． （2）解：（方法不唯一） 配方法： 方程变形为：， ， 配方得， 则或， ，； 因式分解法： 方程变形为：， ， 则或， ，． 【变式1】小明在学习一元二次方程解法时，解方程的过程如下： 解：     …第一步     …第二步    …第三步 ．   …第四步 ∴原方程没有实数根． 根据小明的解题过程，解答下列问题： (1)上述过程中，从第_________步开始出现了错误． (2)正确解出这个方程（可选择合适的解方程的方法）， 【答案】(1)一 (2)，，过程见解析 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）根据一元二次方程的解法依次判断每一步即可； （2）根据一元二次方程的解法写出正确的解方程过程即可． 【详解】（1）解：根据一元二次方程的解法可以判断出第一步开始出现了错误． 故答案为：一． （2）解：正确解答过程如下： ， ∴， ∴， ∴． ∴，． 【变式2】阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)③；只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； (2)见解析． 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤． （1）根据配方法解一元二次方程的方法和步骤，即可获得答案； （2）利用配方法解该一元二次方程即可． 【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加． 故答案为：③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； （2）解：， 移项得，， 两边同除以2得，， 配方得，， 即，， ∴或， ∴，． 【变式3】下面是小华利用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 移项，得．…………………………………………第一步 配方，得，即………………第二步 由此，可得．…………………………………………第三步 ……………………………………第四步 请完成下列任务： (1)上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是_________，其中，“配方法”所依据的数学公式是_______（填“完全平方公式”或“平方差公式”） (2)小华同学利用配方法解题过程中，从第______步开始出现错误，请写出正确的解题过程． 【答案】(1)等式的基本性质，完全平方公式 (2)二，解题过程见解析 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键． 对于（1），根据等式的基本性质和完全平方公式解答即可； 对于（2），先移项，再配方，然后求出解即可． 【详解】（1）解：上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是等式的基本性质，其中“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式． 故答案为：等式的基本性质，完全平方公式； （2）解：小华同学利用配方法解题的过程中，从第二步开始出现错误，正确的解法如下： ， 移项，得， 配方，得， 即， 可得， ∴． 故答案为：二． 题型06 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例6】关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数 C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键； 先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可． 【详解】解：由可得 ∴原方程有两个相等的实数根， 故选：D． 【变式1】一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】计算出判别式的值即可得出答案． 本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系： ①当时，方程有两个不相等的实数根； ②当时，方程有两个相等的实数根； ③当时，方程无实数根． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式2】关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】根据方程的根的判别式，计算判断解答即可． 本题考查了根的判别式应用，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：∵的一元二次方程， 即， ∴， ∴， 故此方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式3】对于实数a，b定义运算“”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式．先根据新定义把方程化为一元二次方程，再根据根的判别式的值得到，所以，然后根据根的判别式的意义进行判断． 【详解】解：关于x的方程化为：， 整理得， ∵ ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 题型07 根据一元二方程根的情况求参数 【典例7】已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为3，求k的值； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)k的取值范围为． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． （1）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值； （2）根据根的判别式公式，令，得到关于的一元一次不等式，解之即可． 【详解】（1）解：把代入得， ； （2）解：方程有两个不相等的实数根， ， ． 的取值范围为． 【变式1】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当取最大的整数时，求原方程的两个根． 【答案】(1)； (2)；． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程： （1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可； （2）由（1）求出k，代入原方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等实数根 ∴ 即， ∴， 解得：； （2）解：∵，且取最大的整数， ∴， ∴原方程为：， ∴， 即， 解得：；． 【变式2】已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的一个根为，求方程另一个根的值． 【答案】(1)且； (2)另一个根的值为． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式、一元二次方程的解以及解一元二次方程． （1）根据一元二次方程的定义和根的判别式，可得关于的不等式，解不等式即可得出的取值范围； （2）把代入方程，得出的值，再将的值代入原方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 即， 解得：且； （2）解：将代入方程有实数根， 即， 解得：． 将代入原方程，即， 整理得， 解得：． 【变式3】已知一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握相关定义，以及当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，是解题的关键． （1）根据一元二次方程的定义得出，再根据方程有两个实数根得出，即可求解； （2）根据（1）中的取值范围，得出k的值，将其代入，求出，再把代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得：， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得：， 综上： 的取值范围且； （2）解：∵且， ∴符合条件的最大整数， 把代入得：， 解得：， ∵方程与有一个相同的根， ∴方程的一个根为， 把代入得：， 解得：． 题型08 一元二次方程根与系数的关系 【典例8】一元二次方程的两个根分别为、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握这个关系是关键．当然本题也可直接解方程来求解． 由一元二次方程根与系数的关系带入即可求得． 【详解】解：由根与系数的关系得：；； ∴ 故答案为： ． 【变式1】若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴， 故答案为：. 【变式2】设是方程的两个实数根，则的值为 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，根据根与系数的关系可得，根据一元二次方程的解的定义可得，即，再根据代值计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为；． 【变式3】已知是关于的一元二次方程的两个实数根．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记两个关系式是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为， ， ， ， ． 故答案为：． 题型09 利用一元二次方程根与系数的关系求参数 【典例9】关于的方程的两实数根，满足，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，先计算一元二次方程根的判别式，求出的范围，再由即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：， ， ， 解得：， 由题意得，解得：， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1】已知关于x的方程有两个不相等的实数根，且则k的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．计算根的判别式，由题意得关于的不等式，求解得出的取值范围；利用根与系数的关系，用含的代数式表示出两根的和与积，代入关系式得关于的方程，求解即可． 【详解】解：关于的方程有两个实数根． ， 解得． ，， ， 即， ，， ∵， ， 故答案为：． 【变式2】已知，是关于的方程的两根，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，进而可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵，是关于的方程的两根， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求m的取值范围． (2)是否存在实数m，使成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，2 【详解】解：（1）由题意，得，解得． （2）存在． 由一元二次方程的根与系数的关系，得，． ． 整理，得，解得，． 由（1）可知，，． 题型10 用一元二次方程解决实际问题 【典例10】安徽黄山“徽州非遗文化节”文创产品展销，2025年文化节前夕，徽州生态保护区采购歙砚礼盒与黄山毛峰礼盒两类非遗产品．歙砚礼盒进货价28元/盒，毛峰礼盒进货价22元/盒．（注：利润=销售价－进货价） (1)首单用5400元采购，经统计，毛峰礼盒数量是歙砚礼盒的2倍，求两类礼盒分别购进的数量； (2)展销中发现毛峰礼盒滞销，原售价34元/盒时日售10盒，市场部调研显示：每降价1元，日均销量增5盒．为落实“文化惠民”政策，尽快减少库存，需设定新售价使毛峰礼盒日均销售利润达240元，求此时每盒售价． 【答案】(1)歙砚礼盒购进盒，则毛峰礼盒购进盒； (2)此时每盒售价28元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用． （1）设歙砚礼盒购进x盒，则毛峰礼盒购进盒，根据题意列方程求解即可； （2）设每盒售价a元，求出日均销量为盒，单盒利润为元，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设歙砚礼盒购进x盒，则毛峰礼盒购进盒， ∵歙砚礼盒进货价28元/盒，毛峰礼盒进货价22元/盒，首单用5400元采购， ∴， 解得：， ∴， 答：歙砚礼盒购进盒，则毛峰礼盒购进盒； （2）解：设每盒售价a元， ∵原售价34元/盒时日售10盒，市场部调研显示：每降价1元，日均销量增5盒， ∴日均销量为盒，单盒利润为元 ∵日均销售利润达240元， ∴， 即 解得：，（舍去）， 答：此时每盒售价28元． 【变式1】有1个人患了流感，假设在每轮传染中平均1个人传染了x个人． (1)求经过两轮传染后，患上流感的人数（用含x的代数式表示）． (2)若经过两轮传染后，有100人患上流感，为了对症下药，医院计划设置普通病房和重症病房（所有病房都是单人病房），且重症病房的数量不少于普通病房的，在经过第三轮传染后，为了一次性将所有病人收治入院，则医院至少需要设置多少个重症病房？ 【答案】(1) (2)医院至少需要设置167个重症病房 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据在每轮传染中平均1个人传染了x个人，列出代数式即可； （2）先根据两轮传染后，有100人患上流感，列出方程求出的值，进而求出三轮传染后的总人数，设医院需要设置y个重症病房，根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第一轮被传染的人数为x，第二轮被传染的人数是， 两轮传染后，患上流感的人数为． （2）由题意，得， 解得（舍去），， 经过第三轮传染后，患上流感的人数为． 设医院需要设置y个重症病房，则设置个普通病房． 由题意，得， 解得， 为正整数， ， ∴医院至少需要设置167个重症病房． 【变式2】现有一些矩形硬纸板，每一块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计） (1)每个矩形硬纸板的四个角分别去掉2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形后，可以折叠成一个有盖的长方体盒子（如图），已知该长方体盒子的底面积是，求出该盒子的高； (2)工厂将这些硬纸板全部做成有盖盒子出售．已知每块矩形纸板的成本为12元，若有盖盒子的售价为24元/个，则每天可售出18个．在销售过程中发现，有盖盒子价格每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利208元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 【答案】(1)该长方体盒子的高为 (2)每个有盖盒子应降价4元 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，正确读懂题意，列出方程是解题的关键． （1）设该长方体盒子的高为，根据长方体盒子的底面积是，结合图形得：，求解即可； （2）设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子售价为元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设该长方体盒子的高为， 由题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该长方体盒子的高为； （2）解：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子售价为元， 由题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：每个有盖盒子应降价4元． 【变式3】坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一，也是亚洲最大的水上摩天轮．为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮． (1)据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件98元，每天可售出24件．市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加4件．为配合“江甫文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1400元，售价应降低多少元？ 【答案】(1)若月平均增长率相同，月平均增长率为 (2)售价应降低元 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设增长率为，根据数量关系列式求解即可； （2）设降价元，则每天销量可增加件，由此得到降价后的售价为元，销量为件，降价后每件的利润为（元），由此列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到万件， ∴设增长率为， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴若月平均增长率相同，月平均增长率为； （2）解：售价每降低1元，每天销量可增加4件， ∴设降价元，则每天销量可增加件， ∴降价后的售价为元，销量为件， ∴降价后每件的利润为（元）， ∴， 整理得，， 解得，，即，， 当降价为时，每天的销量为件， 当降价为时，每天的销量为件， ∵尽量减少库存， ∴售价应降低元． 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A、含有，两个未知数，故A不符合题意； B、是分式，方程不是整式方程，故B不符合题意； C、含有，两个未知数，且未知数最高次数为1，是二元一次方程，故C不符合题意； D、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，故D符合题意． 2．（25-26八年级下·山东威海·期末）一元二次方程配方后可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， ． 3．（25-26八年级下·山东青岛·期末）一元二次方程根的情况为（     ）． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】运用一元二次方程根的判别式判断根的情况即可求解． 【详解】解：∵，则，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 4．（25-26八年级下·福建福州·期末）若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与已知条件先求出方程的两个根，再通过两根之积计算的值． 【详解】∵ 方程的两根为、， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 二、填空题 5．（25-26八年级下·河南开封·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 【答案】 ，， 【分析】先将给定的一元二次方程整理为一般形式，再分别确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将一元二次方程移项整理为一般形式，得 ， ∴该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 6．（北京市石景山区2025-2026学年第二学期八年级期末数学试卷）若是一元二次方程的解，则k的值为____________． 【答案】 【分析】将代入原方程即可求解的值． 【详解】解：是一元二次方程的解 整理得 解得 ． 7．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知，，且，则_____． 【答案】/ 【分析】根据题意a，b是一元二次方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 8．（25-26八年级下·山东威海·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______________． 【答案】且 【分析】，一元二次方程的二次项系数不为，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于，据此列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得， 综上可得的取值范围是且． 三、解答题 9．（25-26八年级下·山东威海·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴，， 解得． 10．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）小明与小强两位同学解方程的过程如下： 小明： 解：两边同除以， 得， 则． 小强： 解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． (1)你认为两人的解法是否正确？若正确请在横线上打“√”，若错误请在横线上打“×”； 小明________，小强________； (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)， (2)解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 【分析】（1）小明：没有考虑的情况；小强：提取公因式时出现了错误；所以他们的解法都不正确； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：小明：没有考虑的情况，所以解法不正确； 小强：提取公因式时出现了错误，所以解法不正确． （2）略 11．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）某超市销售一款薯片，每袋进价5元．当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋．超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低1元，每天销量会增加4袋． (1)若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元？ (2)该超市每天能否通过降低价格实现250元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由． 【答案】(1)每袋薯片应降价5元 (2)不能实现每天250元的利润，理由如下： 设每袋薯片应降价元，根据题意得： ， 整理得：， ， ∴方程无实数解， ∴不能实现250元的利润． 【分析】（1）设每袋薯片应降价元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设每袋薯片应降价元，根据题意，列出方程，再根据根的判别式判断是否有根即可求解． 【详解】（1）解：设每袋薯片应降价元，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 又∵让利给消费者， ， 答：每袋薯片应降价5元； （2）略 12．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)的值为，方程的另一个根为 【分析】（1）先将方程整理为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，配方后利用完全平方的非负性证明判别式恒大于0，即可证明结论； （2）将已知根代入原方程求出的值，再将代回方程求解即可得到另一个根． 【详解】（1）证明： 将原方程整理为一般形式得 ， ∵无论取何实数， ∴，即 ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：把代入原方程得， 整理得， 解得， 把代入原方程得， 整理得， 解得， ∴的值为，方程的另一个根为． 一、单选题 1．（25-26八年级下·山东威海·期末）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式，其中为二次项系数，为一次项系数，再对应找出系数即可得到答案． 【详解】原方程为， 将方程移项整理为一般形式得或， 整理后可得，二次项系数和一次项系数为或． 2．（25-26八年级下·河南漯河·期末）关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（     ） A． B．1 C．3 D． 【答案】B 【分析】已知根代入方程求出参数，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：∵ 是一元二次方程 的根， ∴ 将 代入原方程得：， 解得 ， ∴ 原方程为 ， ， 解得方程的两个根为 ，. ∴ 方程的另一个根为 ． 3．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程有实数根需满足两个条件：一元二次方程二次项系数不为0，方程有实数根时根的判别式大于或等于0，求解两个条件后取交集即可得到结果． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为0，即， 解得； ∵原方程有实数根 ∴， 展开化简得， 解得， 综上，的取值范围是且． 4．（25-26八年级下·重庆·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据两根之积得到关于的方程，求解后再利用判别式验证，舍去无实根的情况，得到最终结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴由根与系数的关系得， 又∵， ∴，整理得：，解得：或， ∵方程有两个实数根， ∴判别式， ， 当时，，此时方程无实数根，舍去； 当时，，符合题意， ∴的值为． 5．（25-26八年级下·福建福州·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据“倍根方程”的定义，设出方程的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系建立等式，化简即可求出的值． 【详解】解：设方程的两个根分别为和，且．根据一元二次方程根与系数的关系可得： 由①得：，即． 将代入②得： 化简得：． 两边同乘（）得：． 二、填空题 6．（25-26八年级·全国·暑假作业）关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 7．（25-26九年级上·湖南湘潭·期末）近年来，国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，国内新能源汽车销量连续增长．某品牌新能源汽车2025年7月份销售量为25万台，9月份销售量为36万台，若该品牌新能源汽车8、9月份销售量的月平均增长率相同，设月平均增长率为，则根据题意可列方程为__________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据月平均增长率的定义，从7月到9月，销售量连续增长两次，每次增长率为x，因此9月销售量是万台，据此列方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为x，则8月销售量为万台，9月销售量为万台． 根据题意，9月销售量为36万台， ∴． 故答案为：． 8．（2026·四川凉山·中考真题）已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，其中，， ， ∴，， ∴． 9．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）已知，是关于的一元二次方程两个实根，且满足，则的值为_______． 【答案】5 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，用含m的式子表示，求出的值，从而将已知条件转化为关于m的方程，求出m的值，再根据根的判别式求出m的取值范围，确定最终结果即可． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系，得，， 由根的判别式，可知， 解得或， ∴， 解得或， ∵， ∴不符合题意， ∴ ． 10．（21-22八年级下·浙江金华·期中）已知直角三角形的两条边长分别是方程的两个根，则此三角形的斜边长是___________． 【答案】或 【分析】先解出方程的两个根为6和8，再分长是8的边是直角边和斜边两种情况进行讨论． 【详解】解：∵， ∴和， ∴①方程的两根6和8为直角边；②较大根8为斜边，较小根6为直角边； 当长是8的边是直角边时，则斜边； 长是8的边也可是斜边． 故斜边长是或． 三、解答题 11．（25-26八年级下·福建福州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据配方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：移项，得， 两边同加上4，得， ， ， ，； （2）解：移项，得， 因式分解，得， ， ， ，． 12．（25-26八年级下·北京顺义·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，可得，进一步求解即可； （2）根据，结合k为正整数，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得，， ∴的取值范围为； （2）解：∵，是原方程的两个实数根，， ∵k为正整数， ∴， ∴方程为， ∴． 13．（25-26八年级下·广西贺州·期末）某水果店售卖时令水果，进价是每千克元，市场调查可知：售价定为每千克元时，每日可售出千克；售价每降低元，每日销量增加千克．设每千克售价降低元．（，为整数） (1)用含的式子表示：现在每千克售价为_____元，每日销售量为_______千克； (2)若该水果店每日销售这种水果获利元，为了尽快减少这种水果的库存，求此时水果的售价； (3)水果店规定：每千克这种时令水果的利润不少于元，且每日水果销售量超过千克，求符合条件的所有整数． 【答案】(1)， (2)元 (3)，， 【分析】（1）设每千克售价降低元，根据题意列出关于的表达式． （2）设水果每千克售价降低元，则售价为元，根据题意列出方程计算即可． （3）依题意得不等式组，求出的取值范围，根据只能取整数即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，现在每千克售价元，每日销量千克． （2）解：设水果每千克售价降低元，则售价为元，列方程得： 整理得：，即 解得，， ∵尽快减少这种水果的库存，每日销售量为千克必须是最大的， ∴（舍去）， ∴水果的售价为：（元） 答：此时水果的售价为元． （3）解：依题意得不等式组： 解得，即， ∵是整数， ∴取，，， 答：符合条件的所有整数有，，． 14．（25-26八年级下·陕西西安·期末）小高家有一块空地，空地上有一面长为的围墙，小高打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为的门，门不消耗木栏，设长为． (1)如图①，当时， ①____________（用含的代数式表示）； ②若围成的养蜂场面积为，求的长； (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到？并说明理由． 【答案】(1)①② (2)解：当时，养蜂场的面积不能达到， 理由如下： 设时，养蜂场的面积达到， 则， 解得，， ∴，即， ， 方程无实数解， 当时，养蜂场的面积不能达到． 【分析】（1）①设的长度为，根据矩形的周长公式可得； ②如果围成的养蜂场面积为，可列方程，解方程即可求出的长度； （2）设时，，养蜂场的面积达到，可列方程，一元二次方程根的判别式，所以方程无实数解，即可得到答案． 【详解】（1）①解：设的长度为， 四边形是矩形， ， 根据题意得，； ②解：围成的养蜂场面积为， 根据题意得，， 整理得，， 解得，，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去， 答：若围成的养蜂场面积为，则的长为米． （2）略 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程（）与（）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则这两个方程是互为“高关联方程”．例如，方程与是互为“高关联方程”． (1)若关于的一元二次方程与是互为“高关联方程”，求的值及相同的根． (2)若关于的一元二次方程①与②是互为“高关联方程”，且，求，的值． 【答案】(1)，相同根为 (2) 【分析】（1）先利用条件求出，再解方程找到唯一公共根； （2）先由得到关系式，再设公共根联立方程求出参数，并检验仅有一个公共根． 【详解】（1）解： 因式分解：， 得． 方程1：， 方程2：， 由： 把代入 因式分解：， 根为． 两个方程只有唯一公共根，满足“有且只有一个相同根”． ，相同根为 （2）解：方程①：， 方程②：， ，即， 只有一个公共根，设公共根为 两式相减： 把代入： 将代入： 化简得 已知，故， 得． 则． 检验： 方程①：，根 方程②：，根 只有唯一公共根，符合题意． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2章一元二次方程章节复习 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01一元二次方程的相关概念 2.知识清单 知识点02一元二次方程的解法 知识点03一元二次方程的应用 题型01判断是否是一元二次方程 题型02一元二次方程化为一般形试 题型03利用一元二次方程的解求值 元二次方程章节复习 题型04解一元二次方程 题型05解一元二次方程错解复原问题 3.题型精讲 题型06根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型07根据一元二方程根的情况求参数 题型08一元二次方程根与系数的关系 题型09利用一元二次方程根与系数的关系求参数 题型10用一元二次方程解决实际问题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.系统梳理一元二次方程的概念、 四种解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式 分解法)，构建完整的知识体系。 教学目标 2.掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（韦达定理），能灵活运用解决综 合问题。 3.通过实际问题的解决，巩固方程建模思想，提升分析问题与解决问题的能力。 重点： 1.一元二次方程四种解法的灵活选择与规范应用，特别是根据方程特征选用简捷方 教学重难点 法。 2.根的判别式与韦达定理的综合应用，解决与方程根有关的参数及代数式求值问题。 1/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 教学难点： 1.配方法的代数变形逻辑与符号处理，尤其是在二次项系数不为1时的正确操作。 2.实际问题中正确建立一元二次方程模型，并根据实际意义对方程的根进行合理取 舍。 知识清单 知识点01一元二次方程的相关概念 1.一元二次方程的定义 (1)一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方 程. (2)概念解析：· 一元二次方程必须同时满足三个条件：· ①整式方程，即等号两边都是整式：方程中如果有分母，那么分母中无未知数：· ②只含有一个未知数： ③未知数的最高次数是2. (3)判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的 最高次数是2”：“二次项的系数不等于0”；“整式方程”·· 2.一元二次方程的一般形式 (1)一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式2+b.x+c=0(a≠0)，这种形 式叫一元二次方程的一般形式.· 其中叫做二次项，α叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项.一次项系数b和常数项c可取任 意实数，二次项系数α是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就 不是一元二次方程了. (2)要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式.· 3.一元二次方程的解 (1)一元二次方程的解（根）的意义：· 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解 也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.· (2)一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解.这x1,2是一元二次方程ar2+bx+比=0 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (a≠0)的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.. 12+bx1+c=0(a≠0)，22+bx2+c=0(a≠0).. 【即学即练】 1.(25-26八年级下山东烟台期中)下列方程中：①2x2-1=0,②ax2+bx+c=0,③ (x+2x-)=-3,④0，⑤-25，回原+K-2=0,是一元二次方程的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(25-26九年级上江苏盐城阶段检测)将一元二次方程x(x-2)=1化为一般形式为 3.(25-26八年级下浙江绍兴期末)若x=2是关于x的方程ax2+bx-8=0的解，则2a+b-2026= 知识点02一元二次方程的解法 1解一元二次方程直接开平方 形如x2=p或(+)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.· 如果方程化成x=p的形式，那么可得x=士√p: 如果方程能化成(x+)?p(p≥0)的形式，那么m+=±√D. 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数.. ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程.· ③方法是根据平方根的意义开平方：· 2.解一元二次方程配方法 (1)将一元二次方程配成（x+m)2=的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫 配方法. (2)用配方法解一元二次方程的步骤：· ①把原方程化为ax+bx+c=0(a≠0)的形式： ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边：· ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数： ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方 程无实数解。 3解一元二次方程-公式法 3/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -b±Vb2-4ac (1)把 2a (b2-4c≥0)叫做一元二次方程2+bx+c=0（a≠0)的求根公式.· (2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.· (3)用公式法解一元二次方程的一般步骤为：· ①把方程化成一般形式，进而确定α，b,c的值（注意符号）；· ②求出b2-4ac的值（若b2-4ac<0,方程无实数根)；. ③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根.· 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0：②b2-4c≥0. 4.解一元二次方程因式分解法 (1)因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两 个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一 元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）·· (2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得 到两个一元一次方程：④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.· 【即学即练】 1.(25-26八年级下江苏南通期末)解方程 (1)x2-2x+1=25: (2)x2+6x-7=0」 2.(25-26八年级下·福建福州期末)解方程： (1)x2-4x+2=0: (2)2x2+2x-3=0. 3.(25-26八年级下山东威海期末)已知关于x的一元二次方程x2-2x-3a+1=0有两个不相等的实数 根 (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根： (②)若a,B是该方程的两个根，且a2+B2=26,求a的值. 4/17 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点03一元二次方程的应用 1.列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验 和作答. 2.列一元二次方程解应用题中常见问题：· (1)数字问题：个位数为a,十位数是b,则这个两位数表示为10b+a. (2)增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%.如：若原数是α，每次增长的百分率为x,则第一次 增长后为a(1+x);第二次增长后为a(1+x)2,即原数×（1+增长百分率)2=后来数. (3)形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.②利用三角形、矩形、菱形、 梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用相似三角形的对应比例关系， 列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程. 【即学即练】 1.(25-26八年级下·浙江宁波期末)茶叶礼盒以春茶品质最佳，每年春季采摘加工成礼盒.本地茶农线 上销售某款茶叶礼盒，该礼盒成本为40元/盒，售价为70元/盒.已知该礼盒4月份销售100盒，受端午节 日氛围带动，6月份销量增至144盒. (1)若4月份到6月份销量的月平均增长率保持不变，求这款茶叶礼盒销量的月平均增长率： (2)为了延续端午销售热度，茶农计划在7月份对这款茶叶礼盒降价促销.市场调研显示：以6月份的销量 144盒为基数，售价每降低1元，月销售量就会增加8盒.若要使7月份这款礼盒的总利润达到4600元， 且降价后的单盒利润不低于24元，该茶叶礼盒的售价应降价多少元？ 2.(25-26八年级下·山东烟台期末)某农场准备利用长为8m的墙AB和一段长为26m的篱笆围建一个长 方形菜地（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设平行于墙的一边CD的长为xm。 墙 图1 图2 (I)如图1，如果长方形菜地的一边靠墙，另三边EC、CD、DF由篱笆围成，当菜地的面积为60m时， 求x的值： (2)如图2，如果长方形菜地的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边AC、CD、DF由篱笆围成，当菜 地面积为60m时，求x的值， 3.(25-26九年级下·山东淄博期末)如图，矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,点P从A开始沿AB 5/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 边向点B以lcm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，P,Q两点分别从 A,B同时出发 C B P ()若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动. ①经过几秒，△PBQ的面积等于8cm? ②△PBQ的面积能否等于10cm2?如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由. (2)若点P到达B后不停止，立即以原速沿BA返回；点Q到达C后不停止，继续以原速沿射线BC方向运动， 直到点P第一次回到A时，两点同时停止运动.在整个运动过程中，第几秒△PBQ的面积等于6Cm? 题型精讲 题型01判断是否是一元二次方程 【典例1】下列方程是关于x的一元二次方程的是() A.ax2+bx+c=0 B.xy-x=1 C.1+2x=3 D.2x2=4 【变式1】下列方程中是关于x的一元二次方程的是() A.x2+1=0 B.ax2+b+c0 C.(x-1)(x-2)=D.1= 【变式2】下列方程，属于一元二次方程的是() A.x2-y=1 B.x2-2x+3=0 c.x+1-1 D.2(x+1)=x 【变式3】己知关于x的方程(m+1)x2+27mx+5=0是一元二次方程，则m= 题型02一元二次方程化为一般形式 6/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例2】将方程x(x+4)=0化成一元二次方程的一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是 () A.0,4,0 B.-1,4,0 C.1,1,4 D.1,4,0 【变式1】把方程3x2+1=6x化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为() A.3,-6,1B.3,6,1 C.3,1,6 D.3,6,-1 【变式2】把一元二次方程2x-)=4r化成一般式，则a,b,c的值分别是() A.1,4,1 B.2,-5,0 C.3,4,0 D.-2,-5,1 【变式3】将方程3x2-8=2x改写成为ar2+bx+c=0的形式，则a,b,c的值分别为() A.3,-8,2B.3,-8,-2 C.3,-2,-8 D.2,-3,8 题型03利用一元二次方程的解求值 【典例3】关于x的方程x2-2x+3m=0的一个根为3，则m= 【变式1】若x=b是方程x2-4x+1=0的一个根，则8b-2b+6的值为 【变式2】已知m是方程x2+x-1=0的一个根，则式子2m+4m2+1的值为 【变式3】己知实数。是关于x的一元=次方程-2024+1=0的-个解，则口-2024-2024 a2+1的值是 题型04解一元二次方程 【典例4】解方程： (1)x2-2x-1=0: (2)x(1-x)=3x-3 【变式1】按要求解下列方程。 (1)x2-5x=0.(因式分解法) (2)x2-4x-3=0.(公式法) 【变式2】解下列方程： (1)x2-7x+8=0: 7/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)(x-4)2=2x-8 【变式3】解方程： (1)3x2-7x+4=0. (2)x2+8x+3=0 题型05 解一元二次方程错解复原问题 【典例5】习题课上，数学老师展示了解方程2(x-2)=(x-2时的两种错误解答过程： 甲：原方程可变形为： 2x-4=x2+4第一步 乙：原方程可变形为： x2-2x+8=0第二步 2(x-2)-(x-2)=0第一步 x2-2x+1=9第三步 (x-2)(2-x-2)=0第二步 (x-1)=9第四步 则x-2=0或2-x-2=0第三步 则x-1=士3第五步 ∴.x=2,x2=0 .x=4,2=-2第六 第四步 步 ()分别写出甲，乙的解答过程中是从第几步开始出现错误的： (2)请写出正确的解答过程， 【变式1】小明在学习一元二次方程解法时，解方程2x2-8x+3=0的过程如下： 解：2x2-8x+3=0 x2-2x+3=0 2 第一步 r-2x=-3 …第二步 x2-2x+1=2 1 …第三步 x-102=-1<0 2 …第四步 .原方程没有实数根 根据小明的解题过程，解答下列问题： 8/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)上述过程中，从第 步开始出现了错误. (2)正确解出这个方程（可选择合适的解方程的方法）， 【变式2】阅读下列关于解方程：2x2-8x-18=0的解题过程，解决下列问题. 解：移项得，2x2-8x=18① 两边同除以2得，x2-4x=9② 配方得，x2-4x+4=9③ 即，(x-2)2=9 .x-2=3或x-2=-3④ x=5,x2=-1⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤 一（填序号），错误的原因是 (2)请你写出正确的解答过程。 【变式3】下面是小华利用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 解：x2+4x-5=0 移项，得x2+4x=5 …第一步 配方，得x2+4x+16=5+16,即(x+4)=21…第二步 由此，可得x+4=±√21」 …第三步 .x=V21-4,x2=-21-4.…第四步 请完成下列任务： ()上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是 ,其中，“配方法”所依据的数学公式是 (填“完全平方公式”或“平方差公式”) (②)小华同学利用配方法解题过程中，从第步开始出现错误，请写出正确的解题过程. 题型06根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例6】关于x的一元二次方程(x-)=0的根的情况是() A.没有实数根 B.有两个不相等的实数 C.只有一个实数根 D.有两个相等的实数根 【变式1】一元二次方程x2-2x-4=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 9/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【变式2】关于x的一元二次方程5x2+mx=7的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 【变式3】对于实数a,b定义运算“⑧”为a⑧b=b2-b,例如3⑧2=22-3×2=-2，则关于x的方程 (化-3)⑧x=1的根的情况，下列说法正确的是（) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D 无法确定 题型07 根据一元二方程根的情况求参数 【典例7】己知关于x的一元二次方程x2-2x+k=0. (1)若方程的一个根为3，求k的值； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 【变式1】已知关于x的一元二次方程x-6r+3k=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围： (2)当k取最大的整数时，求原方程的两个根， 【变式2】己知关于x的一元二次方程(m+)x2-4x+1=0有实数根. (1)求m的取值范围； (2)若该方程的一个根为2，求方程另一个根的值. 【变式3】已知一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0有两个实数根. (1)求k的取值范围： (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+x-1=0有一个相同的根，求此时 m的值。 题型08一元二次方程根与系数的关系 【典例8】一元二次方程x2-5x-3=0的两个根分别为X1、x2,则xx2--x2= 【变式1】若一元二次方程2x2-4x-1=0的两根为m,n,则m+n的值为 10117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】设m,n是方程x2+x-2026=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 【变式3】己知x,是关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根.若2(：+x)+xx2+10=0, 则m的值为 题型09利用一元二次方程根与系数的关系求参数 【典例9】关于x的方程x+(2k+1)x++1=0的两实数根X1,为满足x2=5,则=一 【变式1】已知关于x的方程x-(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实数根x,x,且2xx+x+x-3=0 则k的值为 【变式2】己知×1，x2是关于x的方程x2+5x+c=0的两根，且+x2-2xx2=9,则c的值是 【变式3】已知×1，x是关于x的一元二次方程x-2(m+)x+m+5=0的两个实数根. (1)求的取值范围. 2)是否存在实数m,使(：-(：-)=m+2成立？若存在，求出m的值：若不存在，请说明理由. 题型10用一元二次方程解决实际问题 【典例10】安徽黄山“徽州非遗文化节”文创产品展销，2025年文化节前夕，徽州生态保护区采购歙砚礼 盒与黄山毛峰礼盒两类非遗产品.歙砚礼盒进货价28元/盒，毛峰礼盒进货价22元/盒，（注：利润=销售 价一进货价) (1)首单用5400元采购，经统计，毛峰礼盒数量是歙砚礼盒的2倍，求两类礼盒分别购进的数量： (2)展销中发现毛峰礼盒滞销，原售价34元/盒时日售10盒，市场部调研显示：每降价1元，日均销量增5 盒.为落实“文化惠民”政策，尽快减少库存，需设定新售价使毛峰礼盒日均销售利润达240元，求此时 每盒售价。 【变式1】有1个人患了流感，假设在每轮传染中平均1个人传染了x个人. ()求经过两轮传染后，患上流感的人数（用含x的代数式表示）. (2)若经过两轮传染后，有100人患上流感，为了对症下药，医院计划设置普通病房和重症病房（所有病房 都是单人病房)，且重症病房的数量不少于普通病房的5，在经过第三轮传染后，为了一次性将所有病人 收治入院，则医院至少需要设置多少个重症病房？ 【变式2】现有一些矩形硬纸板，每一块纸板长和宽分别为30cm,20cm.(纸板的厚度忽略不计) 11/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 30cm 20cm→ ()每个矩形硬纸板的四个角分别去掉2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形后，可以折叠成一个 有盖的长方体盒子（如图），已知该长方体盒子的底面积是252cm2,求出该盒子的高： (2)工厂将这些硬纸板全部做成有盖盒子出售.已知每块矩形纸板的成本为12元，若有盖盒子的售价为24 元个，则每天可售出18个.在销售过程中发现，有盖盒子价格每降低1元，平均每天可多售出2个，要 使每天获利208元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 【变式3】坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一，也是亚洲最大的 水上摩天轮.为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热 潮。 (1)据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到4.32万件.若月平均增 长率相同，求月平均增长率； (2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件98元，每天可售出 24件.市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加4件.为配合“江甫文化节”推广，商家决定降 价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1400元，售价应降低多少元？ 强化训练 基础自测 一、单选题 12/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 1.(25-26八年级下浙江宁波·期末)下列方程中，属于一元二次方程的是() A.2x2+3y-1=0 B.2+=2 C.2x-y=5 D.x2+2x-1=0 2.(25-26八年级下山东威海·期末)一元二次方程2x2-8x+1=0配方后可变形为() A.2(x-2)}2=-7B.2(x-2)}2=7 C.2(x-4)2=7 D.2(x+4)2=-9 3.(25-26八年级下山东青岛期未)一元二次方程5x2-3W2x+1=0根的情况为(). A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.只有一个实数根 4.(25-26八年级下福建福州期末)若关于x的一元二次方程x2-6x+m=0两根为x,x2,且=2x2, 则m的值为() A.10 B.8 C.6 D.4 二、填空题 5.(25-26八年级下·河南开封期末)将一元二次方程x2-3x=6化为一般形式后，其二次项系数、一次项 系数、常数项分别是 6.(北京市石景山区2025-2026学年第二学期八年级期末数学试卷)若x=1是一元二次方程 3x2+cx-1=0的解，则k的值为 11 7.(25-26八年级下-浙江宁波期末)已知a2+5a+3=0,b+5b+3=0:且a≠b,则。+6 8.(25-26八年级下山东威海期末)若关于x的一元二次方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根，则 a的取值范围是 三、解答题 9.(25-26八年级下山东威海·期末)解下列方程： (1)(2x-1)(x+2)=1 (2)(x-3)}+9=6(x-3) 10.(25-26八年级下·浙江绍兴期末)小明与小强两位同学解方程2(x-)=(x-1)'的过程如下： 小明： 小强： 13/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：移项，得2(x-1)-(x-1)2=0, 解：两边同除以(x-1) 提取公因式，得(x-1)(2-x-1)=0 得2=x-1, 则x-1=0或2-x-1=0, 则x=3 解得=x2=1。 (①)你认为两人的解法是否正确？若正确请在横线上打“√”，若错误请在横线上打“×”： 小明 小强 (2)写出你的解答过程。 11.(25-26八年级下·江苏苏州期末)某超市销售一款薯片，每袋进价5元.当每袋售价为15元时，平 均每天能卖出20袋.超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低1元，每天销量会增加4 袋. (1)若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元？ (2)该超市每天能否通过降低价格实现250元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由. 12.(25-26八年级下江苏苏州期末)已知关于x的一元二次方程x2+x-3x-k+1=0. ()求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根： (2)若该方程的一个根为-1，求k的值以及方程的另一个根 能力提升 一、单选题 1.(25-26八年级下·山东威海·期末)一元二次方程2x2-5=x的二次项系数和一次项系数分别是(). A.2,-5 B.2,1 C.-2,1 D.2,0 2.(25-26八年级下河南漯河期末)关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根为x=3,那么它的另 一个根为x=() A.-3 B.1 C.3 D.-7 3.(25-26八年级下山东淄博期末)已知关于x的一元二次方程(m2-4x2+2(m+)x+1=0有实数根，则 m的取值范围是() 14117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.m≥ 2且m≠士2 B.m≠士2 D,烟之月 4.(25-26八年级下重庆期末)已知关于x的一元二次方程x2-3mx+m2+7m=0的两个实数根为，x, 且满足x3=18,则m的值为(). A.-9 B.2 C.2或-9 D.-2或9 5.(25-26八年级下福建福州期末)如果关于x的一元二次方程x+br+c=0有两个实数根，且其中一 个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于x的方程Px'+2x+9=0是倍根方程， 则P9的值为() A 8 B.9 C.2 D.4 二、填空题 6.(25-26八年级全国暑假作业)关于x的方程(m+3)x7+x-1=0是一元二次方程，则m为 7.(25-26九年级上·湖南湘潭·期末)近年来，国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽 车，国内新能源汽车销量连续增长.某品牌新能源汽车2025年7月份销售量为25万台，9月份销售量为 36万台，若该品牌新能源汽车8、9月份销售量的月平均增长率相同，设月平均增长率为x,则根据题意可 列方程为 8.(2026四川凉山中考真题)己知一元二次方程x2+4x-3=0的两根是x,七，则+的值为 9.(25-26八年级下·重庆九龙坡阶段检测)已知a,B是关于x的一元二次方程x-(m-2)x+1=0两个 实根，且满足m(a+(B+)=7m-10,则m的值为。 10.(21-22八年级下浙江金华·期中)已知直角三角形的两条边长分别是方程x2-14x+48=0的两个根， 则此三角形的斜边长是 三、解答题 11.(25-26八年级下福建福州：期末)解方程： (1)x2-4x-2=0: 15117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②(x-2)2=2x(x-2). 12.(25-26八年级下·北京顺义·期末)已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-3=0有两个不相等的实数 根. (I)求k的取值范围： (②)设，x2是原方程的两个实数根.若k为正整数，求x2的值 13.(25-26八年级下广西贺州期末)某水果店售卖时令水果，进价是每千克10元，市场调查可知：售价 定为每千克18元时，每日可售出60千克；售价每降低1元，每日销量增加30千克.设每千克售价降低x元. (x>0,x为整数) ()用含x的式子表示：现在每千克售价为元，每日销售量为一千克： (2)若该水果店每日销售这种水果获利630元，为了尽快减少这种水果的库存，求此时水果的售价； (3)水果店规定：每千克这种时令水果的利润不少于1元，且每日水果销售量超过200千克，求符合条件的 所有整数x. 14.(25-26八年级下·陕西西安·期末)小高家有一块空地，空地上有一面长为10m的围墙MN,小高打算 利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场ABCD,已知木栏总长为48m,与墙相对的一面木栏需开一扇宽为 2m的门，门不消耗木栏，设AB长为xm, M D A 门 B 门 图① 图② (I)如图①，当AD≤MN时， ①AD= m(用含x的代数式表示)； ②若围成的养蜂场面积为l32m,求AB的长； (2)如图②，当AD>MN时，养蜂场的面积是否可以达到240m？并说明理由. 15.(25-26八年级下·浙江杭州期末)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)与 px2+qx+r=0(p≠0)都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且abc=pqr,则这两个方程 是互为“高关联方程”.例如，方程x2-4=0与x2-2x=0是互为“高关联方程”. (1)若关于x的一元二次方程x+2x-3=0与2x2+x+k=0是互为“高关联方程”，求k的值及相同的根. (2)若关于x的一元二次方程3x2+2x+m=0①与3x2+4x+n=0②是互为“高关联方程”，且mn≠0，求 m,n的值. 16117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 17117