精品解析：四川省广安加德学校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

广安加德学校2025-2026学年度上期高2024级第一次月考 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 某校高一､高二､高三的学生人数分别为800，750，650，为了解学生的视力情况，现用分层随机抽样的方法从中抽取部分学生进行调查，若样本中高二学生的人数为30，则这次调查的样本容量为（ ） A. 88 B. 90 C. 92 D. 94 【答案】A 【解析】 【分析】设样本容量为x，然后由分层抽样的定义列方程求解即可 【详解】设样本容量为x，则，解得x=88. 故选：A 2. 下列能使向量，，成为空间的一个基底的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理及空间中四点共面的充要条件，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A：由，可得M，A，B，C四点共面，即共面， 所以选项A无法构成基底，选项C可以构成基底； 对于B：因为，由平面向量基本定理，可得共面，无法构成基底，故B错误； 同理选项D中，共面，故D错误. 故选：C 3. 北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型计算公式，结合组合的定义、对立事件的概率公式进行求解即可. 【详解】因为玉衡和天权都没有被选中的概率为， 所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为. 故选：B. 4. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与至少有一个红球 C. 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D. 至少有一个黑球与都是红球 【答案】C 【解析】 【详解】A选项：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生， 如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，故错误； B选项：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生， 如：一个红球一个黑球，∴这两个事件不是互斥事件，故错误； C选项：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生， 但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球， ∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，故正确； D选项：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生， ∴这两个事件是对立事件，故错误. 5. 郑州地铁1号线的开通运营，极大方便了市民的出行．某时刻从二七广场站驶往博学路站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，60，60，60，50，40，40，30，30，10．这组数据的平均数，众数，90%分位数的和为（ ） A. 125 B. 135 C. 165 D. 170 【答案】D 【解析】 【分析】利用公式可求平均数和90%分位数，再求出众数后可得所求的和. 【详解】这组数据的平均数为， 而，故90%分位数， 众数为，故三者之和为， 故选：D. 6. 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在下图两种分布形态中，分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是（ ） A. 为中位数，为平均数，为平均数，为中位数 B. 为平均数，为中位数，为平均数，为中位数 C. 为中位数，为平均数，为中位数，为平均数 D. 为平均数，为中位数，为中位数，为平均数 【答案】A 【解析】 【分析】在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数是每组频率的中间值乘频数再相加之和，由此能求出结果． 【详解】解：在频率分布直方图中， 中位数两侧小矩形的面积相等， 平均数是每组频率的中间值乘频数再相加之和， 结合两个频率分布直方图得： 为中位数，为平均数，为平均数，为中位数． 故选：A． 7. 在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加减法运算和向量基本定理进行变形. 【详解】 如图所示： ，因为分别为，的中点， 所以，， 所以． 8. 如图在长方体中，，E，F，G分别是棱的中点，P是底面内一个动点，若直线平面平行，则线段的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，建立方程，表达出，求出最小值. 【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， ，， 设，平面的法向量为， 则， 令得，故， 由，则， 考虑平面内，由两点间距离公式得 ， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1； B. 已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用简单随机抽样的意义判断A，利用平均数和方差的计算公式判断B，利用百分位数的定义判断C，利用方差的性质判断D. 【详解】对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为， 以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为，故A正确； 对于B，因为数据1，2，，6，7的平均数是，所以， 这组数据的方差是，故B错误； 对于C，该组数据从小到大排列为12，14，15，17，19，23，27，30， 又，即第70百分位数为第6个数为23，故C正确； 对于D，依题意，，则， 故数据的标准差为，故D正确； 故选：ACD 10. 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记“得到的点数为奇数”为事件A，记“得到的点数不大于4”为事件B，记“得到的点数为质数”为事件C，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. C. 事件与相互独立 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用古典概型来计算各事件概率，利用独立事件的定义，利用对立事件概念即可判断各选项. 【详解】对于A，事件B为“得到的点数不大于4”，即得到的点数为， 事件C为“得到的点数为质数”，即得到的点数为，显然得到点数为时， 事件B与事件C同时发生，所以事件与不互斥，故A错误； 对于B，事件A为“得到的点数为奇数”， 事件B为“得到的点数不大于4”， 故得到点数为，表示事件发生，即，故B正确； 对于C，由事件A为“得到的点数为奇数”，则， 事件C为“得到的点数为质数”， 则， 而得到点数为，表示事件发生，即， 此时，所以事件与事件不相互独立，故C错误； 对于D，而得到点数为，表示事件发生，即， 所以，故D正确， 故选：BD. 11. 在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 当平面时，不可能垂直 B. 若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 C. 当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为 D. 当时，的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】在空间直角坐标系中，由向量法结合向量垂直判断A；由几何关系得出与平面所成线面角，得，求出点P的轨迹长判断B；由得点P在上，利用几何关系可得的面积最值在端点及中点位置判断C；将平面与平面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理求解判断D. 【详解】对于A，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 则，，设平面的一个法向量为， 所以，令，则，即平面的法向量为， 若平面，则，即， 由，则，即P为中点时，有平面，且，A错误； 对于B，因为平面，连接，则即为与平面所成角， 若与平面所成角为，则，所以， 即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，B正确； 对于C，因为，所以点P一定在上，又因为当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为， 设的中点为H，由图形的变化可得当点P在DH和运动时，所得截面对称相同， 于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为，C错误； 对于D，如图，将平面与平面沿展成平面图形， 线段即为的最小值，利用余弦定理得， 所以，D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，，M在y轴上，且，则点M的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【详解】设，由知，点M到A、B两点距离相等. 由两点之间距离公式可得：， 解之得，所以点M的坐标为. 13. 已知事件两两互斥，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式即可求解. 【详解】因为事件两两互斥， 所以， 又因为， 所以， 同理可得， 所以. 故答案为：. 14. 平行六面体的底面为正方形，且，．则____________． 【答案】 【解析】 【分析】设在底面内的射影为P，过P作，，连结，，，从而根据线面垂直的判定及性质得到，，从而得到P在的角平分线上，从而得到，即可得到，再以，，所在的直线分别为，，为轴建立空间直角坐标系，设，，找到所需各点的坐标，从而得到，，再根据即可求出的值，进而即可得到的值． 【详解】设在底面内的射影为P，过P作，，连结，，， 则平面，由平面，则， 又平面，则平面， 又平面，所以，同理， 又，则，则，则P在的角平分线上，所以， 设，则，，则，所以， 设，交点为O，以O为原点， 则以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 设，，则，则， 则，，，， 所以，， 又，则， 即， 解得，（舍去）， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，，且，． （1）求，，； （2）求向量与所成夹角的余弦值； （3）求在上的投影向量（用坐标表示）． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 ，，，， 又，，. 因此，，. 【小问2详解】 ，. ，. . 因此向量与所成夹角的余弦值为. 【小问3详解】 在上的投影向量为. 16. 某校夏令营有三名男同学A，B，C和三名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表． 年级 高一 高二 高三 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）． （1）写出试验的样本空间； （2）设事件M为“选出的2人来自不同年级且恰为1名男同学和1名女同学”，试用集合表示事件M，并求出事件M发生的概率； （3）设事件A为“选出的2人来自不同年级”，事件B为“选出的2人恰为1名男同学和1名女同学”，判断事件A，B是否独立，并说明理由． 【答案】（1） （2）事件， ； （3）事件A，B不独立，理由如下：事件， ，，， ，， ∴事件A，B不独立． 【解析】 【详解】（1）由题意，试验的样本空间； （2）事件，； （3）略 17. 如图，在三棱锥中，底面，，，分别为棱，的中点，在线段上，且，，． （1）求点N到直线的距离； （2）点D在线段上运动（包括端点），是否存在一点D，使平面？若存在，求出线段的值；若不存在，请说明理由．（以上问题用向量法求解，综合法一律不得分） 【答案】（1） （2）结合（1）的空间直角坐标系，有，则，， 设，，则，平面的法向量为， 所以，令，得到， 又平面，即， 所以，解得， 所以． 【解析】 【分析】（1）先根据题意建立空间直角坐标系，得到所需各点的坐标，从而得到，，进而结合投影向量即可求出点到直线的距离； （2）结合（1）的空间直角坐标系，设，，从而求出平面的法向量为，再根据题意得到，即可求出的值，进而即可得到结论． 【小问1详解】 由底面，，且底面，则，，两两垂直， 所以以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由，，，且，分别为棱，的中点， 则，，， 所以，， 所以在上的投影向量的模长为， 所以点到直线的距离为． 【小问2详解】 略 18. 在平行六面体中，，，，M为的中点，N为的三等分点且靠近点C．记，，． （1）用，，表示向量，并求的长度； （2）求平面的法向量（用，，表示）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，利用空间向量的数量积和模长公式计算即可求解； （2）设平面的法向量，根据法向量的定义结合向量数量积的运算性质即可求解. 【小问1详解】 由题意知：， ，； 【小问2详解】 ，，设平面的法向量，， 由，得 ①； 由，得 ②； 令，由①②得，，． 19. 某地区为了了解市民的心理健康水平，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将心理健康分为四个等级： 调查评分 心理等级 有隐患 一般 良好 优秀 并绘制了如图所示的频率分布直方图．已知调查评分在的市民人数为400人．（用频率估计概率） （1）求n的值及频率分布直方图中的t值； （2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照分层随机抽样的方法抽取3人，进行心理疏导．根据以往的数据，经心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后恢复情况相互独立，试问抽取的3人中，经过心理疏导后至少有一人心理等级转为“良好”的概率； （3）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照简单随机抽样的方法抽取3人，进行心理疏导．根据以往的数据，经心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后恢复情况相互独立，试问抽取的3人中，经过心理疏导后恰有一人心理等级转为“良好”的概率． 【答案】（1）人， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图数据列式求解即可， （2）由分层抽样与对立事件的概率公式可求解． （3）利用互斥事件的概率加法公式与独立事件概率乘法公式可求解. 【小问1详解】 由已知条件可得（人），，； 【小问2详解】 由（1）知，所以调查评分在的人数占调查评分在的人数的， 故抽取的三人中调查评分在内的有1人，调查评分在内的有2人． 因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立， 所以选出的3人经过心理疏导后，心理等级均达不到“良好”的概率为， 所以经过心理疏导后，至少有1人心理等级转为“良好”的概率； 【小问3详解】 在调查评分在的市民中随机抽取1人，其来自调查评分在内的概率为， 来自调查评分在内的概率为，该人转化为“良好”的概率为， 抽取的3人中，经过心理疏导后恰有一人心理等级转为“良好”的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安加德学校2025-2026学年度上期高2024级第一次月考 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 某校高一､高二､高三的学生人数分别为800，750，650，为了解学生的视力情况，现用分层随机抽样的方法从中抽取部分学生进行调查，若样本中高二学生的人数为30，则这次调查的样本容量为（ ） A. 88 B. 90 C. 92 D. 94 2. 下列能使向量，，成为空间的一个基底的关系式是（ ） A. B. C. D. 3. 北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与至少有一个红球 C. 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D. 至少有一个黑球与都是红球 5. 郑州地铁1号线的开通运营，极大方便了市民的出行．某时刻从二七广场站驶往博学路站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，60，60，60，50，40，40，30，30，10．这组数据的平均数，众数，90%分位数的和为（ ） A. 125 B. 135 C. 165 D. 170 6. 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在下图两种分布形态中，分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是（ ） A. 为中位数，为平均数，为平均数，为中位数 B. 为平均数，为中位数，为平均数，为中位数 C. 为中位数，为平均数，为中位数，为平均数 D. 为平均数，为中位数，为中位数，为平均数 7. 在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（ ） A. B. C. D. 8. 如图在长方体中，，E，F，G分别是棱的中点，P是底面内一个动点，若直线平面平行，则线段的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1； B. 已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16. 10. 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记“得到的点数为奇数”为事件A，记“得到的点数不大于4”为事件B，记“得到的点数为质数”为事件C，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. C. 事件与相互独立 D. 11. 在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 当平面时，不可能垂直 B. 若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 C. 当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为 D. 当时，的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，，M在y轴上，且，则点M的坐标为____________． 13. 已知事件两两互斥，若，则__________. 14. 平行六面体的底面为正方形，且，．则____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，，且，． （1）求，，； （2）求向量与所成夹角的余弦值； （3）求在上的投影向量（用坐标表示）． 16. 某校夏令营有三名男同学A，B，C和三名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表． 年级 高一 高二 高三 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）． （1）写出试验的样本空间； （2）设事件M为“选出的2人来自不同年级且恰为1名男同学和1名女同学”，试用集合表示事件M，并求出事件M发生的概率； （3）设事件A为“选出的2人来自不同年级”，事件B为“选出的2人恰为1名男同学和1名女同学”，判断事件A，B是否独立，并说明理由． 17. 如图，在三棱锥中，底面，，，分别为棱，的中点，在线段上，且，，． （1）求点N到直线的距离； （2）点D在线段上运动（包括端点），是否存在一点D，使平面？若存在，求出线段的值；若不存在，请说明理由．（以上问题用向量法求解，综合法一律不得分） 18. 在平行六面体中，，，，M为的中点，N为的三等分点且靠近点C．记，，． （1）用，，表示向量，并求的长度； （2）求平面的法向量（用，，表示）． 19. 某地区为了了解市民的心理健康水平，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将心理健康分为四个等级： 调查评分 心理等级 有隐患 一般 良好 优秀 并绘制了如图所示的频率分布直方图．已知调查评分在的市民人数为400人．（用频率估计概率） （1）求n的值及频率分布直方图中的t值； （2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照分层随机抽样的方法抽取3人，进行心理疏导．根据以往的数据，经心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后恢复情况相互独立，试问抽取的3人中，经过心理疏导后至少有一人心理等级转为“良好”的概率； （3）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照简单随机抽样的方法抽取3人，进行心理疏导．根据以往的数据，经心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后恢复情况相互独立，试问抽取的3人中，经过心理疏导后恰有一人心理等级转为“良好”的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $