精品解析：四川省广安加德学校2025-2026学年高二（领航班）上学期10月月考数学试题

广安加德学校2025—2026学年度上学期高2024级1班第一次月考 数学试卷 考试时长：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过，两点的直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两点间斜率公式可得斜率，再由倾斜角与斜率关系可得结果. 【详解】设直线的倾斜角为，所以， 因，所以， 故选：A. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出点的坐标可得答案. 【详解】由点与点A关于平面对称，可得，所以. 故选：A. 3. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求出，再利用平行线距离公式即可求出，即可求解. 【详解】因为直线与平行， 所以，即， 因为直线与直线的距离为， 所以，即，解得或（舍去）， 故． 故选：C. 4. 下列试验中是古典概型的是（ ） A. 在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 B. 口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C. 向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D. 射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性进行判断． 【详解】对于A，“发芽”或“不发芽”概率不同，不满足等可能性，故A错误； 对于B，任取一球的概率相同，均为，故B正确； 对于C，基本事件有无限个，不满足有限性，故C错误； 对于D，由于射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环的概率不等，不满足等可能性，故D错误. 故选：B. 5. 在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】选一组基底，利用空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意有，所以 ， 所以，所以， 故选：B. 6. 已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先求出定点，再根据当时，点P到l的距离最大，运用两点间距离公式计算即可. 【详解】将直线l的方程变形为，由， 得，所以直线l过定点， 当时，点P到l的距离最大，故最大距离为. 故选：D. 7. 某学校组织学生开展环保知识测试活动，现把100名学生的成绩绘制成了如图所示的频率分布直方图，根据图中数据得（ ） A. ，此样本数据的66%分位数为82.5 B. ，此样本数据的66%分位数为82.5 C. ，此样本数据的66%分位数为85 D. ，此样本数据的66%分位数为85 【答案】B 【解析】 【分析】利用概率和为1可求，利用百分位数的定义可求66%分位数，从而可得结论. 【详解】由频率分布直方图得：，解得， 数据在的频率为，数据在的频率为0.84， 因此此样本数据的66%分位数，由，解得， 所以估计此样本数据的66%分位数为82.5. 故选：B. 8. 三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，直线AC与BD所成角为，则三棱锥外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得证为等腰三角形，于是建立如图所示空间直角坐标系，，根据与直线AC与BD所成角为建立方程，求得，然后找出外接球球心，根据相关数量关系，建立外接球半径的等式关系，求出半径，应用球的表面积公式即可得解 【详解】由题意可得，因为为等边三角形，所以， 又，且 所以，所以, 取的中点，易得,又 所以平面，又平面，所以平面平面， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 令，所以， 因为，所以，所以， 所以， 因为直线AC与BD所成角为，所以， 解得，即， 如图，为外接球的球心，为等边三角形的重心， 设点A在平面内的投影为，作， 所以, 所以在中， ,, 所以在中，，解得， 所以，三棱锥外接球表面积为， 故选：A 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解； 2.若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体求解； 3.正方体的内切球的直径为正方体的棱长． 4.球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长． 5.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或不选对0分． 9. 已知直线，直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距等于直线在轴上的截距 B. 若点在直线上，则点也在直线上 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线的截距、直线与直线平行与垂直关系，逐项判断即可. 【详解】直线在轴上的截距为，直线在轴上的截距为2，不相等，故A错误； 若点在直线上，则，所以点在直线上，故B正确； 当时， 与重合，故C错误； 若，则，故D正确. 故选：BD 10. 已知是一个随机试验中的三个事件，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若事件两两互斥，则 B. 若事件相互独立，则与也相互独立 C. 若，，则事件相互独立与互斥能同时成立 D. 若两两独立，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据互斥事件和独立事件的性质，逐项判断即可. 【详解】对于选项A，若事件两两互斥，则根据互斥事件的性质，可得，故A正确； 对于选项B，因为事件相互独立，根据独立事件的性质，可得与也相互独立，故B正确； 对于选项C，若事件相互独立，则；若事件为互斥事件，则，所以若，，则事件相互独立与互斥不能同时成立，故C错误； 对于选项D，假设从、、、中随机选出一个数字，记事件为“取出的数字为或”，事件为“取出的数字为或”，事件为“取出的数字为或”，则，，所以，，，所以事件两两独立，但，故D错误. 故选：AB 11. 在棱长为2的正方体中，点P满足，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则 C. 若，则P到平面的距离为 D. 若，时，直线与平面所成角为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得，利用线面角的向量求法得到，借助于函数的单调性即可求得的范围. 【详解】连结，，，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且，平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确； 如图以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 对于B，，， 则，得， 所以，，， 故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又，， 设平面的法向量为，则， 故可取，又， 则到平面的距离为，故C错误； 对于D，当，时，，则， 又由C已得平面的法向量为， 则， 当时，， 当时，， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据夹角公式算出，进而求出正弦值. 【详解】根据夹角公式，， 注意到，则， 于是. 故答案为： 13. 已知点在直线上，则的最小值为__________ 【答案】4 【解析】 【分析】根据所求式子，转化为动点到两个定点的距离和，利用数形结合，结合对称性，即可求最小值. 【详解】， 表示直线上的点到定点和的距离和，如图， 点关于的对称点为，， 当点三点重合时，最小，最小值为4. 故答案为：4 14. 已知正数a，b，c，d互不相等，若数据a，b，c的方差和数据b，c，d的方差相等，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，从而，进一步变形并结合基本不等式即可求解. 【详解】由题知，化简可得， 所以 ， （当且仅当，即时取等号）， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点的坐标为，，．求： （1）点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形； （2）点C关于直线AB对称点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）由ABCD为平行四边形知可求； （2）设点关于直线AB对称点的坐标为，由题意可得出，解方程即可得出答案. （3）求出和点到直线AB的距离即可求出面积. 【小问1详解】 设，由ABCD为平行四边形知， 即，则，解得，即. 【小问2详解】 直线AB的方程为，即， 点关于直线AB对称点的坐标为， 所以，解得：， 故C关于直线AB对称点的坐标为. 【小问3详解】 ， 直线AB的方程， 点到直线AB：的距离为， ∴. 16. 为探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小白鼠随机均分为两组：对照组（不添加药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的体重增加量（单位：g），这些小白鼠的体重增加量都在内，按照，，，，，分组，得到如下频率分布直方图. （1）估计对照组小白鼠体重增加量的平均数（每组以该组所在区间的中点值为代表）及中位数； （2）求a的值及实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠的只数； （3）现从实验组和对照组中各随机抓取1只小白鼠，用事件A表示“所取2只小白鼠体重增加量均超过20g”，事件B表示“2只小白鼠仅有1只体重增加量不超过25g”，求，，并判断A，B是否相互独立. 【答案】（1）平均数为19，中位数为20 （2）24 （3），，A，B不相互独立. 【解析】 【分析】（1）应用频率分布直方图平均数及中位数公式计算求解； （2）先应用频率和为1得出参数a，再结合频率计算求解只数； （3）应用独立事件概率乘积公式判断即可. 【小问1详解】 估计对照组小白鼠体重增加量的平均数为 . 因为， 所以估计对照组小白鼠体重增加量的中位数为20. 【小问2详解】 由， 得， 估计实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠只数为. 【小问3详解】 由题意知，从对照组中随机抓取1只小白鼠，体重增加量超过20g的概率为0.5，超过25g的概率为0.3，从实验组中随机抓取1只小白鼠，体重增加量超过20g的概率为0.4，超过25g的概率为0.15， 所以， ， ， ， 因为，所以A，B不相互独立. 17. 如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：在图1中，由，，得，则， 所以，由，得，即， 在图2中，，取的中点，连接，由为的中点， 得，则，由，得，而， 平面，则平面，又平面，所以. （2） （3）线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且 【解析】 【分析】（1）在平面图形中证得，，取的中点，连接，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）由（2）中信息，利用点到平面的距离的向量公式计算得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知及（1）得平面平面，平面平面，， 于是平面，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 则， 由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 假设线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为， 在中，，所以， 因为三棱锥的体积为，设点到平面的距离为， 所以，所以，所以点到平面的距离为， 令，由（2）得，， 又平面的法向量为， 则点到平面的距离为，解得， 线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且. 18. 某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷次，记第次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为. （1）分别计算事件“”和“”的概率； （2），令.记是3的倍数的概率为； ①求； ②试推导与之间的关系. 【答案】（1） （2）①；；② 【解析】 【分析】（1）通过列举法，利用古典概型概率公式计算即得； （2）①与（1）同法运用古典概型概率公式求解；②记分别表示被3整除、被3除余1，被3除余2的事件，记分别表示被3整除、被3除余1，被3除余2的事件，依题意，建立①②③组成的方程组，消去，即得，将代入整理即得与之间的关系式. 【小问1详解】 记事件为“”，事件为“”， ①求：样本空间为：，，则； ②求，样本空间为： ， ，则. 【小问2详解】 ①求，先令事件“是3的倍数”，由（1），，则； 求，先令事件“是3的倍数”，由（1），， 因，则. ②记事件为“被3整除”，为“被3除余1”， 为“被3除余2”，∵，∴两两互斥，且， 记事件为“被3整除”，为“被3除余1”， 为“被3除余2”，则两两互斥，且， 由于每次抛掷得到的数字互不影响， 则 由：， 将代入上式，整理得：， 即. 19. 已知与轴分别相交于，过点的直线交圆于． （1）当时，求直线的方程； （2）当的面积取得最大值时，将圆沿轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在一点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由； （3）在圆上任取一点，过作轴的垂线段，为垂足，当在圆上运动时，线段 的中点的轨迹记为曲线，曲线与直线交于，直线与直线相交于，在定直线上，直线与直线相交于，在定直线上，判断直线，的位置关系，并注明． 【答案】（1） （2）存在，理由如下， 易知直线的斜率不为0，设，即， 由（1），，，又， 化简得， 令，则， ，又 ， 故最大时，由对勾函数的单调性可得，故此时 ， 建立空间直角坐标系，如图，则，，， ，， 设平面的法向量为，则，即， 取，则， 设，其中，则，， 设平面的法向量为，则，即， 取，易得， ，解得，， （3） 设， 联立，化简得， ， ， ， 设，， 联立，得， 又，代入得， 即点在定直线上， 易得， 联立，化简得， 设，则， 所以，同理，在定直线上， 所以与重合. 【解析】 【分析】（1）设，由圆心到直线的距离公式和圆内弦长列方程求解即可； （2）由三角形面积公式得到，再令，由对勾函数的单调性求出，然后建立如图所示坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，代入空间向量的二面角公式计算即可； （3）直曲联立表示出韦达定理，再设，，联立两直线方程得到点在定直线上，设然后再联立直线与圆方程得到韦达定理，得到即可； 【小问1详解】 易知直线的斜率不为0，设，即， 则圆心到直线的距离， 又 即， 解得，所以直线的方程为， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键在于利用直曲联立证明得到点在定直线上，再联立证明，得到在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安加德学校2025—2026学年度上学期高2024级1班第一次月考 数学试卷 考试时长：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过，两点的直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 3. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. 12 D. 14 4. 下列试验中是古典概型的是（ ） A. 在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 B. 口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C. 向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D. 射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 5. 在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 5 7. 某学校组织学生开展环保知识测试活动，现把100名学生的成绩绘制成了如图所示的频率分布直方图，根据图中数据得（ ） A. ，此样本数据的66%分位数为82.5 B. ，此样本数据的66%分位数为82.5 C. ，此样本数据的66%分位数为85 D. ，此样本数据的66%分位数为85 8. 三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，直线AC与BD所成角为，则三棱锥外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或不选对0分． 9. 已知直线，直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距等于直线在轴上的截距 B. 若点在直线上，则点也在直线上 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知是一个随机试验中的三个事件，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若事件两两互斥，则 B. 若事件相互独立，则与也相互独立 C. 若，，则事件相互独立与互斥能同时成立 D. 若两两独立，则 11. 在棱长为2的正方体中，点P满足，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则 C. 若，则P到平面的距离为 D. 若，时，直线与平面所成角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________. 13. 已知点在直线上，则的最小值为__________ 14. 已知正数a，b，c，d互不相等，若数据a，b，c的方差和数据b，c，d的方差相等，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点的坐标为，，．求： （1）点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形； （2）点C关于直线AB对称点的坐标； （3）求的面积． 16. 为探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小白鼠随机均分为两组：对照组（不添加药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的体重增加量（单位：g），这些小白鼠的体重增加量都在内，按照，，，，，分组，得到如下频率分布直方图. （1）估计对照组小白鼠体重增加量的平均数（每组以该组所在区间的中点值为代表）及中位数； （2）求a的值及实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠的只数； （3）现从实验组和对照组中各随机抓取1只小白鼠，用事件A表示“所取2只小白鼠体重增加量均超过20g”，事件B表示“2只小白鼠仅有1只体重增加量不超过25g”，求，，并判断A，B是否相互独立. 17. 如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷次，记第次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为. （1）分别计算事件“”和“”的概率； （2），令.记是3的倍数的概率为； ①求； ②试推导与之间的关系. 19. 已知与轴分别相交于，过点的直线交圆于． （1）当时，求直线的方程； （2）当的面积取得最大值时，将圆沿轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在一点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由； （3）在圆上任取一点，过作轴的垂线段，为垂足，当在圆上运动时，线段 的中点的轨迹记为曲线，曲线与直线交于，直线与直线相交于，在定直线上，直线与直线相交于，在定直线上，判断直线，的位置关系，并注明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $