1.2 二次函数的图像 同步课时练 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 练习围绕二次函数图像，分基础巩固、能力提升、拓展探究三层，覆盖从概念理解到综合变换的进阶路径，梯度合理，适配新授课知识内化与思维发展。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|开口方向、顶点坐标、平移规律|直接考查核心概念，如选择1判断开口方向，填空7应用平移口诀| |能力提升|参数求解、图像性质综合|结合点坐标求参数（题13），平移后解析式推导（题14）| |拓展探究|翻折与平移综合变换|通过翻折后平移（题15），深化对图像变换本质的理解|

第1章 二次函数 1.2 二次函数的图像 同步课时练 【教材版本】浙教版九年级上册　　【建议用时】45分钟　　【满分】100分 【学习目标】 1. 会用描点法画出二次函数 y = ax²、y = a(x-h)² + k 等的图像； 2. 掌握二次函数图像的平移规律，能准确写出平移后的函数表达式； 3. 能根据图像或表达式确定二次函数的开口方向、顶点坐标和对称轴。 【知识梳理】 一、y = ax² 的图像 ◆ 图象是抛物线，关于 y 轴对称，顶点在原点 (0, 0)； ◆ a > 0 时，开口向上，有最小值 y = 0；a < 0 时，开口向下，有最大值 y = 0； ◆ |a| 越大，抛物线开口越小（越瘦）；|a| 越小，开口越大（越胖）。 二、图像的平移规律 ◆ 上下平移： y = ax² + k —— 向上平移 |k| 个单位（k > 0）或向下平移 |k| 个单位（k < 0） ◆ 左右平移： y = a(x - h)² —— 向右平移 h 个单位（h > 0）或向左平移 |h| 个单位（h < 0） ◆ 综合平移： y = a(x - h)² + k —— 先左右平移 h 个单位，再上下平移 k 个单位 口诀：上加下减常数项，左加右减自变量。 三、顶点式 y = a(x - h)² + k ◆ 顶点坐标为 (h, k)，对称轴为直线 x = h； ◆ a > 0 开口向上，a < 0 开口向下；|a| 控制开口大小； ◆ 任意二次函数 y = ax² + bx + c 可通过配方法化为顶点式。 一、选择题（每小题5分，共25分） 1．抛物线 y = 2x² 的开口方向和顶点坐标分别是（ ） A．开口向上，顶点 (0, 0) B．开口向下，顶点 (0, 0) C．开口向上，顶点 (0, 2) D．开口向下，顶点 (2, 0) 2．将抛物线 y = x² 向上平移 3 个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A．y = x² + 3 B．y = x² - 3 C．y = (x + 3)² D．y = (x - 3)² 3．抛物线 y = -3(x - 1)² + 2 的顶点坐标是（ ） A．(1, 2) B．(-1, 2) C．(1, -2) D．(-1, -2) 4．已知抛物线 y = a(x + 2)² - 1 开口向下，且形状与 y = 2x² 相同，则 a 的值为（ ） A．2 B．-2 C．1/2 D．-1/2 5．抛物线 y = (x + 3)² - 4 的对称轴是（ ） A．直线 x = 3 B．直线 x = -3 C．直线 x = 4 D．直线 x = -4 二、填空题（每小题5分，共25分） 6．二次函数 y = 2(x - 3)² + 1 的顶点坐标为 ______，对称轴为 ______。 7．将抛物线 y = -x² 先向右平移 2 个单位，再向下平移 5 个单位，所得抛物线的解析式为 ________________。 8．抛物线 y = 3x² 与 y = (1/3)x² 相比，开口更大的是 ____________。 9．若抛物线 y = a(x + 1)² - 3 经过点 (1, 5)，则 a = ______。 10．二次函数 y = -(x - 2)² + 3 有最______值（填"大"或"小"），该值为 ______。 三、解答题（共20分） 11．（10分）用描点法画出二次函数 y = x² - 2x - 3 的图像，要求： （1）用配方法将函数化为 y = a(x - h)² + k 的形式； （2）写出顶点坐标和对称轴； （3）列表（至少取5组 x、y 值），并在坐标系中描点连线。 12．（10分）已知抛物线 y = 2(x + 1)² - 8。 （1）写出该抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； （2）说出该抛物线可由 y = 2x² 经过怎样的平移得到； （3）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？ 四、能力提升（共20分） 13．（8分）已知二次函数 y = ax² 的图像经过点 (-2, -8)。 （1）求 a 的值，并判断抛物线的开口方向； （2）若点 A(m, -18) 也在此抛物线上，求 m 的值； （3）当 -1 ≤ x ≤ 2 时，求 y 的取值范围。 14．（12分）已知抛物线 C₁：y = x² - 4x + 5。 （1）将 C₁ 化为顶点式，写出顶点坐标和对称轴； （2）将 C₁ 向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，得到 C₂，求 C₂ 的解析式（用顶点式表示）； （3）写出 C₂ 的开口方向，并说明 C₁ 与 C₂ 的形状是否相同。 五、拓展探究（共10分） 15．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线 y = a(x - h)² + k 的顶点为 P。 （1）若 a = 1，h = 0，k = -4，请写出抛物线的解析式，并求出它与 x 轴的交点坐标； （2）在第（1）问的基础上，若将此抛物线先关于 x 轴翻折，再向右平移 3 个单位，求最终所得抛物线的解析式； （3）想一想：平移和翻折变换对抛物线开口方向、顶点坐标和形状分别有什么影响？（用你自己的语言总结） 参考答案与解析 一、选择题 1．A 解析：a = 2 > 0，开口向上；对于 y = ax²，顶点恒为 (0, 0)。 2．A 解析：上加下减常数项，y = x² 向上平移 3 个单位 → y = x² + 3。左右平移才在括号内改变。 3．A 解析：y = a(x - h)² + k 中，顶点为 (h, k)。h = 1，k = 2，故顶点 (1, 2)。 4．B 解析：开口向下 → a < 0；形状相同 → |a| = 2；∴ a = -2。 5．B 解析：y = (x + 3)² - 4 = (x - (-3))² - 4，对称轴为 x = h = -3。 二、填空题 6．(3, 1)；直线 x = 3 解析：顶点式 y = a(x - h)² + k，顶点为 (h, k)，对称轴为 x = h。 7．y = -(x - 2)² - 5 解析：向右平移 2→ x 替换为 (x-2)；向下平移 5→ 常数项 -5。 8．y = (1/3)x² 解析：|3| > |1/3|，|a| 越小开口越大，(1/3)x² 开口更大。 9．a = 2 解析：代入 (1, 5)：5 = a(1+1)² - 3 → 5 = 4a - 3 → a = 2。 10．大；3 解析：a = -1 < 0，开口向下，有最大值。顶点 (2, 3)，最大值为 3。 三、解答题 11．解： （1）y = x² - 2x - 3 = (x² - 2x + 1) - 1 - 3 = (x - 1)² - 4。 （2）顶点坐标 (1, -4)，对称轴为直线 x = 1。 （3）列表： x | -1 0 1 2 3 y | 0 -3 -4 -3 0 描点连线可得一条开口向上、顶点在 (1, -4) 的抛物线。 12．解： （1）a = 2 > 0，开口向上；顶点 (-1, -8)；对称轴 x = -1。 （2）y = 2(x + 1)² - 8 由 y = 2x² 先向左平移 1 个单位，再向下平移 8 个单位得到。 （3）∵ 开口向上，在对称轴左侧 y 随 x 增大而减小，∴ 当 x < -1 时，y 随 x 的增大而减小。 四、能力提升 13．解： （1）代入 (-2, -8)：-8 = a·(-2)² = 4a，∴ a = -2。抛物线开口向下。 （2）将 A(m, -18) 代入 y = -2x²：-18 = -2m² → m² = 9 → m = ±3。 （3）∵ 开口向下、顶点在原点，|x| 越大 y 越小。 当 x = -1 时，y = -2；当 x = 2 时，y = -8；顶点处 y = 0。 ∴ y 的取值范围是 -8 ≤ y ≤ 0。 14．解： （1）y = x² - 4x + 5 = (x² - 4x + 4) - 4 + 5 = (x - 2)² + 1。 顶点 (2, 1)，对称轴 x = 2。 （2）C₁ 向左平移 1 个单位 → 对称轴 x = 2 - 1 = 1；向上平移 2 个单位 → k = 1 + 2 = 3。 ∴ C₂：y = (x - 1)² + 3。 （3）C₂ 开口向上（a = 1 > 0）。C₁ 与 C₂ 形状相同，因为二次项系数 a 相同，只是位置不同。 五、拓展探究 15．解： （1）a = 1，h = 0，k = -4，∴ 解析式为 y = x² - 4。 令 y = 0：x² - 4 = 0 → x² = 4 → x = ±2。与 x 轴交点为 (-2, 0) 和 (2, 0)。 （2）关于 x 轴翻折：y 变为 -y，即 -y = x² - 4 → y = -x² + 4。 再向右平移 3 个单位：x 替换为 (x - 3)，→ y = -(x - 3)² + 4。 （3）总结： · 平移变换：改变顶点位置，不改变开口方向和开口大小； · 翻折变换（关于 x 轴）：改变开口方向（a → -a），形状保持不变（|a| 不变），顶点纵坐标变为相反数。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $