21.2.3 公式法 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的公式法，通过韦达解高次方程的故事导入，引导学生回顾配方法步骤，进而推导求根公式，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动和方法对比培养数学思维与模型意识，推导公式时引导学生经历完整推理过程，例2结合表格总结不同解法适用类型，题型演练覆盖判别式三种情况。帮助学生提升运算能力和应用意识，为教师提供清晰的教学逻辑和丰富实例。

21.2.3 公式法 随堂演练 获取新知 情景导入 例题讲解 第21章 一元二次方程 课堂小结 情景导入 韦达是16世纪法国最伟大的数学家之一,比利时数学家 曾提出一个一元四十五次方程的求解问题向各国数学 家挑战,法国国王把这个问题交给了韦达,韦达当时就得 出一解,回家后一鼓作气,很快又得出22个解,答案公布,震惊了数学界.像这种高次方程,有没有一个通法,也就是说,对于每个次数的一元方程能否找出一个公式来求解,这一直是各国数学家都想解决的一个问题.我们今天就来研究一下,一元二次方程是否可以找出一个公式,在我们解这类方程的时候按公式代入就行了呢? 胡123 (胡123) - 通过数学家的故事,激发学生的学习兴趣,激起探究解一元二次方程的求根公式的学习欲望; 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ (1)移项 (2)系数化1 (3)配方 (4)开方 (5)求解 你能按照上面步骤来解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0,a、b、c为常数)吗？ 获取新知 通过对旧知识的回顾,学生再次经历了用配方法解方程的全过程,为后面的探索奠定了良好的基础. 3 解: 因为a≠0，方程两边都除以a，得 移项，得 配方，得 我们来解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0). 即 因为a ≠0,所以4a2>0． 能直接开方吗？ 当b2-4ac≥0时，直接开平方得 即 所以 Administrator (A) - 教学时要鼓励学生自主完成公式的推导过程，一方面可以巩固配方法，另一方面有利于理解求根公式。 一般地，对于一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0) 如果b2-4ac≥0，那么方程的根为: 这个公式叫做一元二次方程的求根公式. 将一元二次方程中系数a、b、c的值直接代入这个公式，就可以求得方程的根. 这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 这里为什么强调b2- 4ac ≥ 0? 如果b2- 4ac＜0，会怎么样呢？ Administrator (A) - 要告诉学生公式法适用于所有的一元二次方程。 例题讲解 例1 解下列方程： (1) 2x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2； (3) 5x2－4x－12＝0； (4) 4x2＋4x＋10＝1－8x. 解： (1) a＝2，b＝1，c＝－6， b2－4ac＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49， 所以 即 Administrator (A) - 通过此例题，使学生明白，应用公式法解一元二次方程时，要注意首先要将方程整理成一般形式. 例1 解下列方程： (1) 2x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2； (3) 5x2－4x－12＝0； (4) 4x2＋4x＋10＝1－8x. 解： 将方程化为一般形式，得 x2＋4x－2＝0. 因为b2－4ac＝24＞0， 所以 即 Administrator (A) - 用公式法解一元二次方程，要先化为一般形式，再确定各项的系数，这是最关键的一步,一定要重点提醒学生. (3)因为b2－4ac＝256＞0， 所以 即 解： 例1 解下列方程： (1) 2x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2； (3) 5x2－4x－12＝0； (4) 4x2＋4x＋10＝1－8x. 解：(4) 整理，得 4x2＋12x＋9＝0. 因为 b2－4ac＝0， 所以 即 这里 b2－4ac＝0，方程有两个相等的实数根。 例1 解下列方程： (1) 2x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2； (3) 5x2－4x－12＝0； (4) 4x2＋4x＋10＝1－8x. 9 公式法解一元二次方程的步骤: 1.变形:化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: b2-4ac的值; 4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求解; 若b2-4ac<0，则方程没有实数根. 例2 用适当的方法解方程： (1) 3x（x + 5）= 5（x + 5）； (2)（5x + 1）2 = 1； (1)分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快. 解：化简得 (3x -5) (x + 5) = 0. 即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0. （3）x2 - 12x = 4 ; （4）3x2 = 4x + 1. 例2 用适当的方法解方程： (1) 3x（x + 5）= 5（x + 5）； (2)（5x + 1）2 = 1； (2)分析：方程一边以平方形式出现，另一边是非负常数，可用直接开平方法. 解：开平方,得 5x + 1 = ±1. 解得 x 1= 0 , x2= （3）x2 - 12x = 4 ; （4）3x2 = 4x + 1. （3）分析：二次项的系数为1，用配方法来解题较快. 解：配方,得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62, 即 (x - 6)2 = 40. 开平方,得 解得 例2 用适当的方法解方程： (1) 3x（x + 5）= 5（x + 5）； (2)（5x + 1）2 = 1； （3）x2 - 12x = 4 ; （4）3x2 = 4x + 1. 解：化为一般形式为3x2-4x - 1 = 0. ∵b2 - 4ac = 28 > 0, （4）分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法. 例2 用适当的方法解方程： (1) 3x（x + 5）= 5（x + 5）； (2)（5x + 1）2 = 1； （3）x2 - 12x = 4 ; （4）3x2 = 4x + 1. 各种一元二次方程的解法及适用类型： 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 因式分解法 配方法 公式法 x2 + px + q = 0 （p为偶数，p2 - 4q ≥0） (x+m)2＝n（n ≥ 0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m)（x + n）＝0 理解应用 绿苑小区准备在两幢楼房之间设置一块面积为900 m2的矩形绿地，并且长比宽多10 m，求绿地的长和宽. 回顾：设绿地的宽为x m，可列出方程x2＋10x－900＝0. 问题1 教材21.1节问题1： 因为b2－4ac＝3700＞0， 所以 即 解： 负数不符合题意，舍去. 取 因此绿地的宽约为25.4 m，长约为35.4 m. Administrator (A) - 解决本章首节中的问题1，让学生在学习中获得成功的体验，另外的几个问题，在有富裕时间的情况下，也可以让学生尝试解决. 1.解下列方程： (1)x2-7x-18=0; 解：(1)这里 a=1, b= -7, c= -18. b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121>0, 方程有两个不等的实数根 即 x1=9，x2=-2 （3）（x-2)(1-3x)=6. 随堂演练 1.解下列方程： (1)x2-7x-18=0; (2)方程化为 这里 a=1, b= , c= 3. b2 - 4ac=( )2 - 4×1×3=0, 方程有两个相等的实数根 即 （3）（x-2)(1-3x)=6 这里 a=3, b= -7, c= 8. b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0, 方程没有实数根. (3)方程化为：3x2-7x+8=0 1.解下列方程： (1)x2-7x-18=0; （3）（x-2)(1-3x)=6 2.用适当的方法解下列方程： (1)(x－3)2－25＝0； (2)x(x－2)＋x－2＝0； (3)x2＋8x＋15＝0； (4)5x2－3x＝x+1. 解：(1)(x-3)2-25＝0. 移项，得(x-3)2＝25. 开平方，得x-3＝±5， 即x-3＝5或x-3＝-5， 解得x1＝8，x2＝-2. 解： (2)(x-2)(x＋1)＝0， ∴x-2＝0或x+1＝0， 解得x1＝2，x2＝-1. 2.用适当的方法解下列方程： (1)(x－3)2－25＝0； (2)x(x－2)＋x－2＝0； (3)x2＋8x＋15＝0； (4)5x2－3x＝x+1. 解： (3)移项，得x2＋8x＝-15. 配方，得x2+8x+16＝1， 即(x+4)2＝1. 开平方，得x+4＝±1， 即x+4＝1或x+4＝-1， 解得x1＝-3，x2＝-5. 2.用适当的方法解下列方程： (1)(x－3)2－25＝0； (2)x(x－2)＋x－2＝0； (3)x2＋8x＋15＝0； (4)5x2－3x＝x+1. 2.用适当的方法解下列方程： (1)(x－3)2－25＝0； (2)x(x－2)＋x－2＝0； (3)x2＋8x＋15＝0； (4)5x2－3x＝x+1. 解：(4)方程化为5x2－4x－1＝0. a＝5，b＝－4，c＝－1. b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0. 方程有两个不等的实数根 即 课堂小结 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（b2-4ac值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算） $