21.2.1 直接开平方法和因式分解法 第2课时 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的因式分解法，课堂导入通过复习直接开平方法，以解方程9x²－25＝0引出因式分解法，搭建新旧知识衔接的学习支架，帮助学生建立方法间的联系。 其亮点在于通过“试一试”“做一做”引导自主探究，结合例2分解3x²+2x=0等例题及小亮解法错误分析，培养推理意识和运算能力，用“数的平方与4倍是否相等”问题体现模型意识，助力学生发展数学思维，教师可提升教学效率。

华师版 九年级 数学（上） 第21章 一元二次方程 21.2.1 直接开平方法和因式分解法 第2课时　因式分解法 1 知识回顾 1．我们已经学过了用什么方法解一元二次方程？ 2．请用已学过的方法解方程：9x2－25＝0. 3．对于此方程，你还有其他的解法吗？ [(3x＋5)(3x－5)＝0] 知识模块一　用因式分解法解一元二次方程 自学互研 （2）x2 – 1 = 0. 你是怎样解得？ 试一试 解下列方程： 利用因式分解的方法解方程，这种方法叫做因式分解法. 对于教材P20题（2）x2 – 1 = 0,有这样的解法： 将方程左边用平方差公式分解因式，得 (x – 1)(x + 1) = 0 必有 x – 1 = 0 或 x + 1 = 0 分别解这两个一元一次方程，得 x1 = 1 ，x2 = – 1. 概括 4 做一做 试用两种方法解方程： x2 – 900 = 0. （1）移项，得 x2 = 900， 直接开平方，得 x =±30， ∴x1 = 30，x2 = – 30. （2）左边因式分解，得 x + 30 = 0或x – 30 = 0， 所以 得 x1 = 30，x2 = – 30. (x + 30)(x – 30)= 0， 例2 解下列方程： （1）3x2 + 2x = 0； （2）5x(x -3) -10(x -3)=0. （1）方程左边分解因式，得 解： x(3x + 2) = 0. 所以 x = 0 或 3x + 2 = 0. 得 x1 =，x2 = – . （2）方程左边分解因式，得 5(x-3)(x -2)=0. （2）5x(x -3) -10(x -3)=0 所以 x -3= 0 或 x – 2 = 0. 得 x1 = 3，x2 = 2. 思考 试写出一个一元二次方程，要求它的两根为x1=2，x2=3.符合条件的方程只有一个吗?如果还要求方程的二次项系数为5，符合条件的方程是什么? 自 探 主 究 一个数的平方与这个数的4倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 解：设这个数是x， 根据题意，我们可列方程：x2－4x＝0， 方程左边因式分解，得x(x－4)＝0， 所以x＝0或x－4＝0， 得x1＝0，x2＝4. 9 总结归纳 当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解．这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法． 合 探 作 究 范例：解下列方程： (1)x2－3x＝0； (2)(2x－1)2＝(x＋1)2. 解：(1)方程左边分解因式，得x(x－3)＝0. (2)移项，得(2x－1)2－(x＋1)2＝0. ∴x＝0或x－3＝0，得x1＝0，x2＝3. 方程左边分解因式，得 (2x－1＋x＋1)(2x－1－x－1)＝0. ∴2x－1＋x＋1＝0或2x－1－x－1＝0，得x1＝0，x2＝2. 仿例：解下列方程： (1)x－1＝(x－1)(x＋3)；　　　 解：移项，得(x－1)－(x－1)(x＋3)＝0. 方程左边分解因式，得(x－1)[1－(x＋3)]＝0， ∴x－1＝0或1－(x＋3)＝0，得x1＝1，x2＝－2. 12 (2)x(x－2)＋2x－4＝0. 解：变形，得x(x－2)＋2(x－2)＝0. 方程左边分解因式，得(x－2)(x＋2)＝0. ∴x－2＝0或x＋2＝0，得x1＝2，x2＝－2. 知识模块二　综合运用因式分解法或直接开平方法解一元二次方程 自学互研 在解一元二次方程时，有时会遇到解法选择的问题，这时就要看谁更为简捷了． 例3 解下列方程： （1）(x + 1)2 – 4 = 0； （2）12(2 – x)2 – 9 = 0. 分析 两个方程都可以通过简单的变形，化为 ( )2 = a (a ≥ 0) 的形式，用直接开平方法求解. (x + 1)2 = 4. （1）原方程可以变形为 解： 直接开平方，得 x + 1 = ±2. 所以 x1 = 1，x2 = – 3. 你是这样解的吗？还有没有其他解法？ （2）原方程可以变形为 _______________________. 直接开平方，得 _______________________. 所以 x1 = ________，x2 = ________. (2 – x)2 = 2 – x = ± 2 – 2＋ 小明和小亮一起解方程 x(3x + 2) – 6(3x + 2) = 0. 小明将方程左边分解因式，得 (3x + 2)(x – 6) = 0， 所以 3x + 2 = 0 或 x – 6 = 0. 得 你知道吗？ x1 = – ，x2 = 6 小亮的解法是这样的： 移项，得 x(3x + 2) = 6(3x + 2)， 方程两边都除以 (3x + 2)，得 x = 6. 小亮说：“我的方法多简便！” 可另一个根 x = – 哪里去了？小亮的解法对吗？你能解开这个谜吗？ 3x + 2 可能为 0. 仿例：解下列方程： (1)4(x＋1)2－25＝0； (2)(2x－1)2＝(x＋1)2. 解：(1)移项，得4(x＋1)2＝25. 方程两边都除以4，得(x＋1)2＝. 直接开平方，得x＋1＝±，即x1＝，x2＝－. 20 (2)移项，得(2x－1)2－(x＋1)2＝0. 方程左边分解因式，得 (2x－1＋x＋1)(2x－1－x－1)＝0. ∴2x－1＋x＋1＝0或2x－1－x－1＝0， 得x1＝0，x2＝2. 课堂小结 利用因式分解的方法解方程，这种方法叫做因式分解法. 直接开平方法和因式分解法,在解一元二次方程时，有时会遇到解法选择的问题，这时就要看谁更为简捷了． 随堂练习 1.用因数分解法解下列方程： (1)x2-2x =0; (2) (t-2)(t + 1)=0; (3)x(x + 1) - 5x =0. 解：(1)提取公因式x，得x(x−2)=0. ∴x=0或x−2=0，解得x1​=0, x2​=2. (2) 由题意可得，t−2=0或t+1=0 解得t1 ​=2,  t2​=−1. (3) 整理式子可得，x2-4x =0 提取公因式x，得x(x−4)=0. 可得x=0或x−4=0 解得x1 ​=0,  x2​=1. 解下列方程: (1)(x+2)2-16=0; (2) (2x + 3)2-25 =0; (3) 4(1 -3x)2 =1; (4)3(x -1)2-18=0. 解：(1)移项，得(x+2)2=16. 直接开平方法，得x+2=±4. 解得，x1​=2, x2​=－6. (2)移项，得(2x + 3)2 =25. 直接开平方法，得2x+3=±5. 解得，x1​=1, x2​=－4. 25 (3)系数除以4，得4(1 -3x)2 =. 直接开平方法，得1 -3x=±. 解得，x1​=, x2​=. (4)先移项后系数除以3，得(x -1)2= 6. 直接开平方法，得x -1=±. 解得，x1​=＋ , x2​=. $