21.1 认识一元二次方程课件2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的定义、一般形式、根及模型建立，通过复习导入（方程的解、一元一次方程）衔接旧知，情景导入（黄金分割问题）引出新知，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以实际问题（绿地面积、图书增长率等）驱动，通过对比辨析培养推理意识，借助范例仿例强化模型观念，课堂小结系统梳理知识。学生能提升抽象能力与应用意识，教师可高效开展概念教学与问题解决指导。

华师版 九年级 数学（上） 第21章　一元二次方程 21.1 认识一元二次方程 1 什么是方程的解？ 复习导入 使方程左右两边相等的未知数的值，就叫做方程的解. 什么叫做一元一次方程？ 只含有一个未知数，并且未知数的次数为“1”的整式方程，叫做一元一次方程.它的一般形式是：ax﹢b﹦0(a，b为常数，a ≠ 0). 情景导入 要设计一座2 m高的维纳斯女神雕 像，使雕像的上部BC(肚脐以上)与下部AC(肚脐以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，即点C(肚脐)就叫做线段AB的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割比，试求出雕像下部设计的高度． 该问题可转化为下面的数学模型：如图，C为AB上一点，AB＝2，AC，AB，BC间存在等量关系＝，点C叫做线段AB的黄金分割点． 如果假设AC＝x，那么BC＝_______，根据题意，得______________．整理，得________________. A C B 2－x x2＝2(2－x) x2＋2x－4＝0 4 知识模块一　一元二次方程的定义及一般形式 自学互研 问题1 绿苑小区准备在两幢楼房之间设置一块面积为900m2的矩形绿地，并且长比宽多10m.求绿地的长和宽. 分析 我们可以通过列方程解决这类实际问题. 设绿地的宽为x m，可列出方程 x(x + 10) = 900, 整理得 x2+10x-900=0. ① 问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 7 分析 设这两年的年平均增长率为x. 已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5(1+x)万册. 同样，明年年底的图书数又是今年年底图书数的(1+x)倍，即 5(1+x)(1+x)=5(1+x)2(万册). 可列得方程 5(1 +x)2=7.2, 即 5x2+10x－ 2.2 =0. ② 思考 问题1和问题2分别归结为解方程①和②.显然，这两个方程都不是一元一次方程. 那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里?它们又有什么共同特点呢? x2+10x-900=0. ① 5x2+10x－ 2.2 =0. ② 共同特点： （1）都是整式方程 （2）只含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2 x2+10x-900=0. ① 5x2+10x－ 2.2 =0. ② 概括 x2+10x-900=0. ① 5x2+10x－ 2.2 =0. ② 上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是 注意：这些都是在方程经过去分母，去括号，移项，合并同类项等变形后得到一般形式的基础上归纳的． ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 a ≠ 0 x2+10x-900=0. ① 5x2+10x－ 2.2 =0. ② 请分别指出①和②中两个方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 合 探 作 究 范例1：下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为 ( ) A．ax2＋bx＋c＝0 B．x2－2＝(x＋3)2 C．x2＋－ 3＝0 D．x2－1＝0 D 仿例：若方程(m－2)x2＋3x－6＝0是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是( ) A．m≠0 B．m≠－2 C．m≠2 D．m＝2 C 范例2：一元二次方程3x2－6x＋1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 ( ) A．3x2，6x，1 B．3x2，－6x，1 C．3，6，1 D．3，－6，1  D 仿例：将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 解：方程3x(x－1)＝5(x＋2)的一般形式是3x2－8x－10＝0， 二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10. 知识模块二　一元二次方程的根 自学互研 x＝2是方程3x(x－1)＝5(x＋2)的根吗？为什么？ 解：把x＝2代入方程3x(x－1)＝5(x＋2)的左右两边，得到左边≠右边，所以不是原方程的根． 合 探 作 究 范例：若x＝2是方程x2＋nx＋4＝0的一个解，则n的值为 ( ) A．4 B．－4 C．5 D．－5 B 仿例：已知m是方程x2－x－3＝0的一个实数根，求代数式(m2－m)(m－＋1)的值． 解：∵m是方程x2－x－3＝0的根， ∴m2－m－3＝0，m≠0. ∴m－＝1，m2－m＝3. ∴原式＝3×(1＋1)＝6. 知识模块三　建立一元二次方程模型 自学互研 一块矩形花圃的长比宽多3 m，面积为28 m2，求花圃的长和宽． 解： 设花圃的宽为 x m，则长为(x＋3)m. 如何用数学方法解决这个问题？ 根据面积公式，得x(x＋3)＝28. 化简，得x2＋3x－28＝0. 合 探 作 究 范例：利用一面长度为15 m的墙，用30 m长的篱笆，怎样围成一个面积为72 m2的矩形场地？若设与墙垂直的一边长为x m，由题意可列方程___________________． (30－2x)x＝72 仿例：如图，有一个面积为72 cm2的矩形，一边剪短3 cm，另一边剪短4 cm，恰好变成一个正方形，则这个正方形的边长为多少？设正方形的边长为x cm，可列方程为 ( ) A．(x＋3)(x＋4)＝72 B．(x－3)(x－4)＝72 C．(x＋3)(x－4)＝72 D．(x－3)(x＋4)＝72 A 课堂小结 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程 . 一元二次方程的一般形式是 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 a ≠ 0 随堂练习 将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项: (1) 3x2 -x=2; (2)7x-3=2x2 ; 解：(1) 3x2 -x - 2=0；二次项系数：3 ，一次项系数：−1 ，常数项：−2. (2) 2x2 − 7x＋3=0；二次项系数：2 ，一次项系数：−7 ，常数项：3. (3) x(2x - 1) - 3x(x - 2)=0; (4) 2x(x- 1)=3(x + 5) -4. (3) x2 − 5x=0；二次项系数：1，一次项系数：−5 ，常数项：0. (4) 2x2 − 5x − 11=0；二次项系数：2，一次项系数：−5 ，常数项：− 11. $