第15讲数据的离散程度暑假预习讲义（知识点+题型精讲）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第15讲 数据的离散程度 目录 知识点1 极差 2 知识点2 离差平方和 2 知识点3 方差（核心重难点） 2 知识点4 标准差 2 知识点5 计算器求方差 3 题型1 求方差 3 题型2 利用方差求未知数据的值 5 题型3 根据方差判断稳定性 7 题型4 运用方差做决策 9 题型5 求极差 11 题型6 标准差 13 题型7 求离差平方和 14 题型8 离差平方和的应用 17 解答题 19 1. 知识目标：掌握极差、离差平方和、方差、标准差的定义与计算公式，理解各统计量的统计意义与数据波动规律。 2. 能力目标：熟练计算四类离散统计量，能逆向求解未知数据，掌握计算器求方差的方法，可依据离散程度判断数据稳定性、完成数据分析决策。 3. 素养目标：区分集中趋势与离散程度统计量，建立数据分析思维，能结合实际场景利用数据波动规律解决问题。 知识点1 极差 1. 定义：一组数据中最大值与最小值的差值，是最简单的离散统计量。 2. 公式：极差 = 最大值 − 最小值 3. 意义：反映数据的整体取值波动范围，极差越大，数据波动范围越大；反之越集中。 4. 优缺点：计算简单，仅依靠极值，无法反映全部数据的真实波动情况，易受极端值影响。 知识点2 离差平方和 1. 定义：一组数据中每个数据与平均数差值的平方之和，简称平方和。 2. 公式：若数据 的平均数为 ，离差平方和 。 3. 意义：刻画所有数据偏离平均值的总程度，平方和越大，整体偏离程度越大，数据越散乱。 知识点3 方差（核心重难点） 1. 定义：离差平方和的平均数，用来精准刻画一组数据的整体波动大小。 2. 公式： 3. 波动规律：方差越大，数据波动越大、稳定性越差；方差越小，数据波动越小、稳定性越强。 4. 数据平移缩放性质：数据整体加减常数，方差不变；数据整体乘常数，方差乘该常数的平方。 知识点4 标准差 1. 定义：方差的算术平方根，与原数据单位一致，弥补方差单位不匹配的缺陷。 2. 公式： 3. 意义：统计规律与方差完全一致，仅单位不同，更适配实际数据分析场景。 知识点5 计算器求方差 1. 操作流程：打开统计模式→依次录入所有数据→调用方差、标准差公式一键计算。 2. 注意事项：数据录入需完整无遗漏，录入错误需及时清除重录，保证结果准确。 题型1 求方差 解题技巧（四步计算法、规范运算） 1. 第一步：计算整组数据的平均数； 2. 第二步：依次求出每个数据与平均数的差值； 3. 第三步：对所有差值进行平方运算，求和得到离差平方和； 4. 第四步：平方和除以数据总个数，得到方差； 5. 避坑：差值必须平方，避免正负抵消，严格按照四步顺序计算。 1．已知某组数据的方差计算式为，则下列关于这组数据的说法错误的是（     ） A．这组数据的中位数是3 B．这组数据的平均数是3 C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 【答案】D 【分析】从方差计算式中提取原始数据，再计算各统计量判断正误. 【详解】解：A、由方差公式得这组数据为. 将数据从小到大排列为， ∵共5个数据，第3个数据为3， ∴中位数是3； 故A、正确． B、， 故B正确． C、∵3出现的次数最多，共2次， ∴众数是3； 故C正确． D、， 故D错误． 2．为了解某班同学一周的课外阅读量，任选班上15名同学进行调查，统计如表，则下列说法错误的是（     ） 阅读量（单位：本/周） 0 1 2 3 4 人数（单位：人） 1 4 6 2 2 A．中位数是2 B．平均数是2 C．众数是2 D．方差是2 【答案】D 【详解】解：共15个数据，中位数为从小到大排列后第8个数据， ∵前个数据为0和1，第6至第11个数据为2， ∴第8个数据是2，中位数为2，A正确； 加权平均数为，B正确； ∵阅读量为2的人数最多，共6人， ∴众数为2，C正确； 方差为，D错误． 3．一组数据方差为4，若将每个数据都乘以2，新数据方差为________． 【答案】16 【分析】根据方差的定义推导每个数据扩大倍数后的新方差即可，若一组数据每个数据都乘以常数，新数据的方差为原方差乘以． 【详解】解：设原数据为，原数据的平均数为，原方差为， 由题意得 将每个数据乘以后，新数据为 新数据的平均数 新数据的方差 ． 4．一组数据：，，，…，，在这一组数据的方差计算式中，2025表示该组数据的________． 【答案】平均数 【分析】设个数据分别为，则这组数据的方差为其中为这组数据的平均数，为数据的个数，据此结合题意可得答案． 【详解】解： 根据题意可得2025表示该组数据的平均数． 题型2 利用方差求未知数据的值 解题技巧（设元列式、方程求解、结果校验） 1. 设未知数据为未知数，先表示出整组数据的平均数； 2. 代入方差公式，结合题干已知方差列出方程； 3. 化简解方程，求出未知数据； 4. 校验：代入原式验算方差，舍去不符合实际的解。 5．老师在黑板上写出一个计算方差的算式：，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（     ） A． B．平均数为8 C．众数是6 D．添加一个数8后方差不变 【答案】D 【分析】本题根据方差公式还原原数据，再结合相关定义逐一判断选项，找出错误结论． 【详解】根据方差公式，可得原数据为11，9，8，6，6，据此判断： ∵方差算式中共有5个平方项， ∴，A选项正确，不符合题意； ∵所有平方项中减去的数都是8， ∴这组数据的平均数为8，B选项正确，不符合题意； ∵原数据中6出现次数最多， ∴众数是6，C选项正确，不符合题意； 添加一个数8后，新数据共6个，平均数仍为8， 新方差为： ， 原方差，可得， ∴添加一个数8后方差改变，D选项错误，符合题意． 6．为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出5株小麦苗，测得苗高如下表，若甲块田地小麦苗高的方差大于乙块田地小麦苗高的方差，则表中的值可能是（    ） 甲 10 11 12 13 乙 8 9 10 11 12 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【分析】根据题意先求出乙的方差，再结合选项逐一验证甲的方差，即可得到满足条件的值． 【详解】解：∵乙的苗高为， ∴乙的平均数， ∴乙的方差． 当时，甲的平均数，得，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，不满足，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，满足条件． 7．一组数据的方差为，则该组数据的平均数是______． 【答案】 【分析】根据方差的定义，方差计算公式即可得到结果． 【详解】解：方差的计算公式为，其中为这组数据的平均数，为数据的个数， 对比题目给出的方差为，可得该组数据的平均数． 8．已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为________． 【答案】 【分析】根据方差的定义，对比方差标准公式可得到这组数据的数据个数和平均数，再计算数据总和即可． 【详解】解： 这组数据的平均数，数据个数 这组数据的总和为． 题型3 根据方差判断稳定性 解题技巧（方差比大小、定波动强弱） 1. 核心规则：方差越小，数据波动越小，稳定性越强； 2. 对比多组数据方差数值，直接判定稳定程度； 3. 特殊说明：平均数相近时，方差对比才有实际意义； 4. 答题话术：方差小→波动小→数据稳定。 9．甲、乙、丙、丁四位射击运动员各射击10次，平均成绩均为8环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】平均成绩相同时，比较方差大小即可判断成绩稳定性． 【详解】解：∵四人平均成绩均为8环， 又∵， ∴成绩最稳定的是丁． 10．技术员分别从甲、乙两块地中随机抽取1000株麦苗，测得苗高的平均数相同，方差分别为，，检测结果是甲地小麦比乙地小麦长得整齐，则的值可能是（     ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】D 【分析】方差越小，数据波动越小，麦苗长得越整齐． 【详解】解：∵甲地小麦比乙地小麦长得整齐， ∴， ∵，， ∴， 四个选项中只有13满足． 11．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为： ， ， ， ，则小麦长势比较整齐的试验田是___________________ ． 【答案】甲 【分析】甲乙两块试验田麦苗平均高度相同，方差越小，数据波动越小，小麦长势越整齐，比较甲乙的方差大小即可得出结论. 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∵方差越小，数据波动越小，小麦长势越整齐， ∴甲试验田小麦长势比较整齐. 12．在大课间活动中，体育老师对甲、乙两名同学每人进行10次立定跳远测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，则甲、乙两名同学成绩更稳定的是____________． 【答案】乙 【分析】两人测试次数相同，平均成绩相同，根据方差的意义判断稳定性，方差越小，成绩越稳定． 【详解】解：∵， ∴甲、乙两名同学成绩更稳定的是乙． 题型4 运用方差做决策 解题技巧（均值定水平、方差定稳定、综合决策） 1. 双标准判断：平均数反映整体水平，方差反映稳定性； 2. 平均数相同：优先选方差小的，数据更稳定、发挥更均衡； 3. 平均数不同：优先保证整体水平，再兼顾稳定性； 4. 适用场景：成绩选拔、产品质量、射击比赛、数据筛选等。 13．某教育部门为了解本地初中学生每日体育锻炼的达标情况，从辖区内6000名八年级学生中，随机抽取100名学生统计每日锻炼时长，得到样本数据．在平均数、中位数、众数、方差四个统计量中，制定体育锻炼推广方案时，最具参考价值的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【详解】解：∵平均数反映数据的平均水平，易受极端值影响，中位数反映数据的中间水平，方差反映数据的波动大小，众数反映数据的多数水平，代表研究对象中最普遍的情况； 制定体育锻炼推广方案，需要参考大多数学生的锻炼时长情况来制定合理方案， ∴最具参考价值的统计量是众数. 14．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如表所示，根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（     ） 甲 乙 丙 丁 9.5 8.5 8.2 9.5 0.09 2.85 0.16 0.65 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】平均数越大代表平均成绩越好，方差越小代表数据波动越小，发挥越稳定，先找出平均成绩更高的运动员，再从中选出方差最小的即可得到结果． 【详解】解：由表格数据可知，四名运动员的平均成绩中，最大的是甲和丁，，均高于乙和丙的平均成绩，因此成绩好的运动员在甲和丁中选择。 比较甲和丁的方差，∵，即， ∴ 甲的方差更小，发挥更稳定，因此选择甲参加比赛． 15．某校进行体操比赛，甲、乙、丙三个班各选15名学生参加比赛．若三个班的参赛学生的平均身高都是，方差分别是，，，则参赛学生身高比较整齐的班级是__________． 【答案】甲 【分析】方差越小，数据的波动越小，身高越整齐，比较三个班的方差大小即可得到结果； 【详解】解：，，， ， ∴甲班参赛学生身高的方差最小，因此参赛学生身高比较整齐的班级是甲班． 16．为加强中学生安全意识，树立“安全第一，预防为主”的思想，某中学开展了校园安全知识竞赛，八年级甲、乙、丙三个班比赛成绩的平均数与方差如表所示．若要从中选择一个成绩较好且发挥稳定的班级代表年级去参加该知识竞赛，应该选择_________班． 甲 乙 丙 平均数 方差 【答案】乙 【分析】根据平均数和方差的意义解题，先选出平均数较大的成绩较好的班级，再从中选出方差较小的发挥更稳定的班级，即可求解． 【详解】解：由表中数据可知，甲，乙两班的平均数均为，大于丙班的平均数，因此甲，乙两班成绩较好. 在甲，乙两班中，乙班的方差为，小于甲班的方差，方差越小，成绩波动越小，发挥越稳定，因此乙班发挥更稳定． 题型5 求极差 解题技巧（找极值、做减法、快速求值） 1. 找出一组数据中的最大值、最小值； 2. 直接用最大值减去最小值，结果即为极差； 3. 带单位运算，极差单位与原数据一致； 4. 特点：计算最简，仅反映数据取值区间，不代表整体波动。 17．为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，结果如下表所示 月用水量/t 7 8 12 14 户数 3 5 5 7 下列关于“月用水量”的说法错误的是（     ） A．平均数是10.95 B．极差是8 C．众数是14 D．中位数是12 【答案】B 【详解】解：平均数，故A正确； ∵最大值为，最小值为，极差为，故B错误； ∵月用水量对应的户数最多，为户， ∴众数是，故C正确； ∵个数据排序后，前个数据不超过，第到个数据都是， 因此第、个数据都是，中位数为，故D正确． 18．根据A，B两地同一天（24小时）气温的数据，在同一幅图中画出箱线图，如图所示．给出下列结论： ①A，B两地气温数据的中位数都是15 ②A地气温数据的第一四分位数是10 ③A地气温的温差比B地大 ④A地最高气温比B地的最高气温低 则正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据箱线图的特征，分别读取A、B两地的中位数、第一四分位数、最大值（最高气温）、最小值（最低气温），计算温差（极差）并比较大小，逐一判断结论即可． 【详解】由箱线图可知： 对于A地：中位数为15，第一四分位数（箱体下沿）为10，最高气温（上须顶端）约为26，最低气温（下须底端）约为7； 对于B地：中位数为15，最高气温约为24，最低气温约为12， ∴结论①：A，B两地气温数据的中位数都是15，正确； 结论②：A地气温数据的第一四分位数是10，正确； 结论③：A地温差约为，B地温差约为， ， 地温差比B地大，正确； 结论④：地最高气温约为26，B地最高气温约为24，， 地最高气温比B地高，结论错误， 综上所述，正确的结论有①②③，共3个． 19．一组数据的最大值是183，最小值是145，将这组数据进行分组时，取组距为5，则组数是_________； 【答案】8 【分析】先求出数据的极差，再根据组数的计算方法，对计算结果向上取整即可得到组数． 【详解】解：极差为， 计算得， 对结果向上取整，得组数为． 20．一组数据，0，1，2，7的极差是__________． 【答案】 【分析】极差是一组数据中最大值与最小值的差，准确找出这组数据的最大值和最小值，再代入定义式计算即可． 【详解】解：在数据，0，1，2，7中，最大值为，最小值为， ∴极差为． 题型6 标准差 解题技巧（先方后根、单位统一、规律同步） 1. 计算顺序：先求出数据方差，再对方差开算术平方根得到标准差； 2. 核心规律：标准差大小、波动、稳定性判断规则与方差完全一致； 3. 优势：标准差单位与原数据相同，结果更贴合实际意义； 4. 避坑：标准差无负值，开方只取正根。 21．对5名女生“一分钟仰卧起坐”个数（每名女生的个数均不相同）进行登记时，误将最高成绩45个写成了48个，则下列统计量中不受影响的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 【答案】B 【分析】根据平均数，中位数，方差，标准差的概念，逐一判断即可解答． 【详解】解：将个不同成绩按从小到大排列，中位数为第个数据， ∵最高成绩为最大数据，将其从改为后仍为最大数据，排序后第个数据不变， ∴中位数不受影响． 22．已知一组数据的方差是，则这组数据的标准差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方差和标准差，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．根据标准差是方差的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵数据的方差是， ∴这组数据的标准差是； 故选：D． 23．某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如表所示： 每天出次品的个数 0 2 3 4 天数 3 2 4 1 那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是_____． 【答案】 【分析】根据所给出的数据求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出这组数据的方差，最后根据标准差的定义解答即可． 【详解】解：这组数据的平均数是：， 这组数据的方差是：， 则这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是． 24．已知一个样本，0，2，x，3，平均数为2，则这个样本的方差是______，标准差是______． 【答案】 6 【分析】本题考查了平均数，方差及标准差，熟练掌握平均数，方差及标准差的计算方法是解答本题的关键先由平均数公式求得的值，再由方差公式求解出方差，开方后即可得出标准差． 【详解】：∵平均数， ∴， ∴， ∴方差， ∴标准差为． 故答案为：，． 题型7 求离差平方和 解题技巧（逐差平方、累加求和） 1. 先计算整组数据的平均数； 2. 逐个计算数据与平均数差值的平方； 3. 将所有平方值累加，得到离差平方和； 4. 关联公式：平方和 = 方差 × 数据个数，可逆向快速验算。 25．已知一组数据：10，8，9，8，11．刘丽将这些数分成了两组，第一组：8，8；第二组：9，10，11．则此分组情况下的组内离差平方和是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题根据组内离差平方和的定义计算，先分别求出两组数据的平均数，再计算每组内每个数据与本组平均数的差的平方和，将两组结果相加即可得到总的组内离差平方和． 【详解】解：∵第一组数据为， ∴第一组平均数， 第一组离差平方和， ∵第二组数据为， ∴第二组平均数， 第二组离差平方和， ∴总的组内离差平方和． 26．把数据2，4，6，9，10分成两组，根据组内离差平方和最小的原则，最佳分组是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】计算每个选项的总离差平方和，其中总离差平方和为两组离差平方和之和，比较大小后即可得到总离差平方和最小的分组． 【详解】解：对于选项A：∵的平均数， ∴， ∵的平均数， ∴， ∴； 对于选项B：∵的平均数， ∴， ∵的平均数， ∴， ∴； 对于选项C：∵单元素组的离差平方和为， ∴， ∵的平均数， ∴， ∴； 对于选项D：∵的平均数， ∴， ∵单元素组的离差平方和为，即， ∴. 比较大小得， 所以最佳分组为选项B． 27．甲、乙、丙、丁四位同学进行投篮比赛，投中的个数分别为6，10，7，9，则这组数据的离差平方和为______． 【答案】10 【分析】先根据平均数计算公式求出这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义计算结果． 【详解】解：这组数据的平均数， ∴这组数据的离差平方和． 28．已知一组数据的离差平方和为25，将该组数据分成两组后，组内离差平方和为15，则组间离差平方和为__________． 【答案】 【分析】根据离差平方和的分解规则，总离差平方和等于组内离差平方和与组间离差平方和之和，已知总离差平方和与组内离差平方和，作差即可得到组间离差平方和. 【详解】解：. 题型8 离差平方和的应用 解题技巧（和判波动、逆向求值、综合分析） 1. 波动判断：离差平方和越大，数据整体偏离均值越严重，波动越大； 2. 逆向应用：已知平方和可反求方差、标准差； 3. 数据对比：多组数据个数相同时，可直接通过平方和对比稳定性； 4. 综合解题：结合平均数、极差，全方位分析数据分布与波动情况。 29．将个数据分成两组，有以下种情况，分别计算各种情况的组内离差平方和，得到下表，哪一种分组方式使得同组数据最接近（     ） 分组方式 分组情况 组内离差平方和（） 第组 第组 方式 ，，， 方式 ， ，， 方式 ，， ， 方式 ，，， A．方式 B．方式 C．方式 D．方式 【答案】B 【分析】组内离差平方和反映组内数据的离散程度，组内离差平方和越小，说明组内数据波动越小，同组数据越接近，只需比较四种分组的组内离差平方和大小，找出最小值对应的分组即可． 【详解】解：∵， ∴方式2的组内离差平方和最小，同组数据最接近． 30．某班有名同学参加立定跳远专项训练，体育老师准备将他们分成两组开展分层训练，要求同一组内同学的成绩尽量接近，方便统一制定训练计划．老师先把名同学的立定跳远成绩从小到大排序，再进行分组，一共得到种分组方式，各组对应的组内离差平方和如下表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 第一组人，第二组人 第一组人，第二组人 第一组人，第二组人 第一组人，第二组人 已知：组内离差平方和越小，代表组内成绩差异越小、分组效果越好．则本次训练的最优分组序号是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，最优分组对应组内离差平方和最小的分组，只需比较四种分组的组内离差平方和大小，找出最小值对应的分组序号即可． 【详解】解：四种分组的组内离差平方和分别为，，，，比较大小得， ∵ 组内离差平方和越小，分组效果越好，对应分组序号为， ∴ 最优分组序号是． 31．在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，．想使个数相差较小的同学分在一组，于是将个数据从小到大排列，共分了个间隔，经计算第个间隔的组内离差平方和约；第个间隔的组内离差平方和为；第个间隔的组内离差平方和为，根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组．这两组是____________． 【答案】和 【分析】先将原数据从小到大排列，再比较三个间隔的组内离差平方和，根据组内离差平方和最小原则确定分组位置即可． 【详解】解：将个数据从小到大排列，得到． 比较三个间隔的组内离差平方和，可得． 可知第个间隔的组内离差平方和最小， 因此在第个间隔处分组，得到两组分别为和． 即这两组是和． 32．10名学生1分钟的跳绳成绩（单位：次）如下：60，65，70，80，85，90，100，110，120，150．为提高这些学生的跳绳成绩，冯老师计划将他们按跳绳成绩分为A，B两组进行分层训练，并计算每种方式的成绩数据的组内离差平方和，结果如下表： 分组方式 A组 B组 方式1 60，65，70 80，85，90，100，110，120，150 3600 方式2 60，65，70，80，85 90，100，110，120，150 2550 方式3 60，65，70，80，85，90，100 110，120，150 2102.38 上述三种分组方式中，较为合理的是__________（填“方式1”“方式2”“方式3”）． 【答案】方式3 【详解】解：根据分组合理性的判断规则，组内离差平方和越小，组内数据越集中，分组越合理． 比较三种分组方式的组内离差平方和大小可得：， 方式3的组内离差平方和最小，因此方式3分组较为合理． 解答题 33．在学校举办的“劳动与科技”实践周中，八年级（1）班的同学负责照料两块草莓试验田，其中甲组地块采用“智能水肥一体化”技术种植，乙组地块采用“传统土壤”方式种植，为了评估两种种植方式的效果，成熟期时，同学们从甲、乙两地块中各随机采摘了颗草莓进行甜度检测（单位：，数值越大越甜）． 【数据收集】 甲组（智能水肥）： 乙组（传统土壤）： 【数据整理】同学们对数据进行了初步整理，并绘制了统计表和部分图表， 甲、乙两组草莓甜度统计分析表 组别 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 （已知甲组数据的五数概括为：最小值，下四分位数，中位数，上四分位数，最大值） 【问题解答】 (1)上述图表中_______，_______，_______，_______； (2)如果高端超市收购草莓的标准是“甜度稳定且品质均匀”，你会向农户推荐哪种种植方式？请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)推荐甲组（智能水肥一体化）的种植方式 理由如下： ∵两组数据的平均数、众数、中位数都相同，但甲组的方差小于乙组的方差， ∴甲组种植技术种植的草莓甜度稳定，品质均匀，符合高端超市“甜度稳定且品质均匀”的收购标准． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义计算即可得到的值，把乙组的成绩从小到大排列，根据四分位数的定义计算即可得到的值； （2）根据两组数据方差的大小，比较数据的离散程度和稳定性即可． 【详解】（1）解: 甲组数据中, 数据出现次数最多， ∴众数， 乙组数据按大小顺序排列为：，共个数据， ∴中位数为第个数据的平均数，即， 解法一：∵乙组数据从小到大排列为， 第一四分位数为前个数据的中位数， ∴第一四分位数为， 第三四分位数为后个数据的中位数， ∴第三四分位数为； 解法二：∵乙组数据从小到大排列为， ， ∴第一四分位数为第个数：， ∵， ∴第三四分位数为第个数：， 故答案为：，，，． （2）略. 34．某工厂计划生产一批智能机器人的关节部件，其外壳部分需要使用打印技术制造．现有甲、乙两个品牌的钛合金粉末（打印原料）可供选择，工厂的质检部门各随机抽取了10桶进行测试打印，按顺序记录下每桶原料打印的合格产品数量，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一： 每桶打印合格产品数（单位：个） 甲：48，51，48，51，48，50，51，50，51，52 乙：45，49，46，56，45，49，54，48，49，59 信息二：    信息三： 每桶打印合格产品数统计表 品牌 平均数 中位数 方差 甲 乙 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲品牌每桶打印合格产品数的平均数的值； (2)求乙品牌每桶打印合格产品数的中位数的值； (3)若每桶打印合格产品数越稳定越有利于生产，你认为工厂的质检部门会推荐哪个品牌？说明理由． 【答案】(1)50 (2)49 (3)解：工厂的质检部门会推荐甲品牌，理由如下： 甲、乙的平均数都为，而甲的方差小于乙的方差， 甲更稳定， 故工厂的质检部门会推荐甲品牌． 【分析】（1）根据平均数求解公式列式求解即可； （2）根据中位数定义求解即可； （3）根据平均数和方差的意义分析判断，即可解题． 【详解】（1）解：； （2）解：将乙按从小到大的顺序排列为：45，45，46，48，49，49， 49，54，56，59， 其中第五位与第六位数是49，49， 中位数； （3）略 35．某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中甲乙两组（每组10人）学生成绩如下：甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．经初步整理得如表数据： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 2.6 乙组 7 7 b (1)填空：_____________，_____________； (2)求乙组的值； (3)若从甲、乙两组中选择成绩较好的小组参加决赛，你认为选哪组更合适？请说明理由． 【答案】(1)6；7 (2)2 (3)选乙组，理由是：∵两组的平均数相同，乙组的中位数、众数均高于甲组，且乙组方差小于甲组，∴乙组的成绩较好，且比较稳定． 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解； （2）根据方差计算公式求解； （3）可以从不同统计量的意义分析． 【详解】（1）解：甲组10个数据，则中位数 为第5、6个数据的平均数，而数据已经排列，故第5、6个数据都是6，则中位数； 乙组中数据7出现的次数最多，故众数； （2）解：． （3）略 36．长春市体育中考改革，引体向上新纳入男生力量选考项目，某校体育老师从八年一班抽取10名男生开展为期一个月的引体向上专项训练，记录每个人训练前、后有效完成引体向上个数（单位：个） 训练前：5，6，6，7，8，9，10，11，12，14． 训练后：7，9，10，10，a，12，13，13，14，15． 根据以上数据，绘制如下不完整的表格，根据信息，解答问题： 平均数 众数 中位数 方差 训练前 8.8 6 m 7.76 训练后 n 10 11 5.61 (1) ， ， ； (2)根据《国家学生体质健康标准》，八年级男生引体向上达到10个为“及格”，达到12个为“良好”．老师制定了“及格率，良好率”的训练目标．请根据训练后数据，判断这两个目标是否达成，并说明理由． (3)由于统计失误，老师发现将一名学生训练后的成绩“14”误输入为“16”，则下列统计量不发生变化的有 ．（选出所有正确的选项） A．平均数    B．中位数    C．众数    D．方差 【答案】(1) (2)及格个，不达标的有7，9共2人，及格率，及格率目标不达标； 良好个，达标的有12，13，13，14，15共5人，良好率，良好率目标达标； (3)BC 【分析】（1）根据众数、中位数和平均数的定义求解即可； （2）根据题意计算即可求解； （3）根据众数、中位数、平均数和方差的定义即可判断． 【详解】（1）解：∵训练后众数为10， ∴； 训练前，排在中间的两个数分别是8和9， ∴； 训练后，； （2）解：及格个，不达标的有7，9共2人，及格率，及格率目标不达标； 良好个，达标的有12，13，13，14，15共5人，良好率，良好率目标达标． （3）解：误输入后的数据7，9，10，10，10，12，13，13，15，16． A、平均数：总和变大，平均数变大，发生变化； B、中位数：原中位数，新中位数，不变； C、众数：原众数是10，新众数还是10，不变； D、方差：数据波动变大，方差变大，发生变化； 所以不发生变化的是BC． 37．为落实课堂高效训练，八年级开展数学周测，甲、乙两名同学连续6次周测表现突出，老师记录了他们近次试卷卷面得分、课堂随堂答题积分情况． 信息 1：                                       信息 2：甲、乙随堂答题积分箱线图 甲同学卷面得分：，，，，，； 乙同学卷面得分：，，，，，. 信息 3：统计数据表 学生 卷面平均分 卷面众数 卷面中位数 平均随堂积分 随堂积分方差 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的 __________，__________，__________（填“”“”或“”）； (2)综合表现按卷面平均分的 、平均随堂积分的 计算，综合分数越高表现越好，判断甲、乙谁综合表现更好？ (3)自选一个统计量分析，说明甲、乙两名同学谁更优秀． 【答案】(1)，， (2)甲综合表现更好 (3)从卷面平均分分析，乙卷面平均分高于甲，乙卷面整体水平更高，乙更优秀（答案不唯一） 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出、的值；根据箱线图中甲的箱体比乙的箱体高，可知甲的随堂答题积分的波动性较大，所以； （2）分别计算出甲、乙的综合得分，根据计算结果判断； （3）根据卷面平均分判断可知乙更优秀． 【详解】（1）解：把甲的卷面得分按照从小到大的顺序排列，可得：、、、、、， 共有个数据，其中第、个数分别是、， 甲的卷面得分的中位数是； 乙的卷面得分中出现次数最多的是，共出现了次， 乙的卷面得分的众数是； 由箱线图可知，甲的箱体比乙的箱体高， 甲的随堂答题积分的波动性较大， ； （2）解：甲的综合得分为：， 乙的综合得分为：， ， 甲综合表现更好； （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 数据的离散程度 目录 知识点1 极差 2 知识点2 离差平方和 2 知识点3 方差（核心重难点） 2 知识点4 标准差 2 知识点5 计算器求方差 3 题型1 求方差 3 题型2 利用方差求未知数据的值 4 题型3 根据方差判断稳定性 4 题型4 运用方差做决策 5 题型5 求极差 6 题型6 标准差 7 题型7 求离差平方和 8 题型8 离差平方和的应用 8 解答题 10 1. 知识目标：掌握极差、离差平方和、方差、标准差的定义与计算公式，理解各统计量的统计意义与数据波动规律。 2. 能力目标：熟练计算四类离散统计量，能逆向求解未知数据，掌握计算器求方差的方法，可依据离散程度判断数据稳定性、完成数据分析决策。 3. 素养目标：区分集中趋势与离散程度统计量，建立数据分析思维，能结合实际场景利用数据波动规律解决问题。 知识点1 极差 1. 定义：一组数据中最大值与最小值的差值，是最简单的离散统计量。 2. 公式：极差 = 最大值 − 最小值 3. 意义：反映数据的整体取值波动范围，极差越大，数据波动范围越大；反之越集中。 4. 优缺点：计算简单，仅依靠极值，无法反映全部数据的真实波动情况，易受极端值影响。 知识点2 离差平方和 1. 定义：一组数据中每个数据与平均数差值的平方之和，简称平方和。 2. 公式：若数据 的平均数为 ，离差平方和 。 3. 意义：刻画所有数据偏离平均值的总程度，平方和越大，整体偏离程度越大，数据越散乱。 知识点3 方差（核心重难点） 1. 定义：离差平方和的平均数，用来精准刻画一组数据的整体波动大小。 2. 公式： 3. 波动规律：方差越大，数据波动越大、稳定性越差；方差越小，数据波动越小、稳定性越强。 4. 数据平移缩放性质：数据整体加减常数，方差不变；数据整体乘常数，方差乘该常数的平方。 知识点4 标准差 1. 定义：方差的算术平方根，与原数据单位一致，弥补方差单位不匹配的缺陷。 2. 公式： 3. 意义：统计规律与方差完全一致，仅单位不同，更适配实际数据分析场景。 知识点5 计算器求方差 1. 操作流程：打开统计模式→依次录入所有数据→调用方差、标准差公式一键计算。 2. 注意事项：数据录入需完整无遗漏，录入错误需及时清除重录，保证结果准确。 题型1 求方差 解题技巧（四步计算法、规范运算） 1. 第一步：计算整组数据的平均数； 2. 第二步：依次求出每个数据与平均数的差值； 3. 第三步：对所有差值进行平方运算，求和得到离差平方和； 4. 第四步：平方和除以数据总个数，得到方差； 5. 避坑：差值必须平方，避免正负抵消，严格按照四步顺序计算。 1．已知某组数据的方差计算式为，则下列关于这组数据的说法错误的是（     ） A．这组数据的中位数是3 B．这组数据的平均数是3 C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 2．为了解某班同学一周的课外阅读量，任选班上15名同学进行调查，统计如表，则下列说法错误的是（     ） 阅读量（单位：本/周） 0 1 2 3 4 人数（单位：人） 1 4 6 2 2 A．中位数是2 B．平均数是2 C．众数是2 D．方差是2 【答案】D 3．一组数据方差为4，若将每个数据都乘以2，新数据方差为________． 4．一组数据：，，，…，，在这一组数据的方差计算式中，2025表示该组数据的________． 题型2 利用方差求未知数据的值 解题技巧（设元列式、方程求解、结果校验） 1. 设未知数据为未知数，先表示出整组数据的平均数； 2. 代入方差公式，结合题干已知方差列出方程； 3. 化简解方程，求出未知数据； 4. 校验：代入原式验算方差，舍去不符合实际的解。 5．老师在黑板上写出一个计算方差的算式：，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（     ） A． B．平均数为8 C．众数是6 D．添加一个数8后方差不变 6．为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出5株小麦苗，测得苗高如下表，若甲块田地小麦苗高的方差大于乙块田地小麦苗高的方差，则表中的值可能是（    ） 甲 10 11 12 13 乙 8 9 10 11 12 A．12 B．13 C．14 D．15 7．一组数据的方差为，则该组数据的平均数是______． 8．已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为________． 题型3 根据方差判断稳定性 解题技巧（方差比大小、定波动强弱） 1. 核心规则：方差越小，数据波动越小，稳定性越强； 2. 对比多组数据方差数值，直接判定稳定程度； 3. 特殊说明：平均数相近时，方差对比才有实际意义； 4. 答题话术：方差小→波动小→数据稳定。 9．甲、乙、丙、丁四位射击运动员各射击10次，平均成绩均为8环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．技术员分别从甲、乙两块地中随机抽取1000株麦苗，测得苗高的平均数相同，方差分别为，，检测结果是甲地小麦比乙地小麦长得整齐，则的值可能是（     ） A．16 B．15 C．14 D．13 11．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为： ， ， ， ，则小麦长势比较整齐的试验田是___________________ ． 12．在大课间活动中，体育老师对甲、乙两名同学每人进行10次立定跳远测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，则甲、乙两名同学成绩更稳定的是____________． 题型4 运用方差做决策 解题技巧（均值定水平、方差定稳定、综合决策） 1. 双标准判断：平均数反映整体水平，方差反映稳定性； 2. 平均数相同：优先选方差小的，数据更稳定、发挥更均衡； 3. 平均数不同：优先保证整体水平，再兼顾稳定性； 4. 适用场景：成绩选拔、产品质量、射击比赛、数据筛选等。 13．某教育部门为了解本地初中学生每日体育锻炼的达标情况，从辖区内6000名八年级学生中，随机抽取100名学生统计每日锻炼时长，得到样本数据．在平均数、中位数、众数、方差四个统计量中，制定体育锻炼推广方案时，最具参考价值的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 14．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如表所示，根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（     ） 甲 乙 丙 丁 9.5 8.5 8.2 9.5 0.09 2.85 0.16 0.65 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 15．某校进行体操比赛，甲、乙、丙三个班各选15名学生参加比赛．若三个班的参赛学生的平均身高都是，方差分别是，，，则参赛学生身高比较整齐的班级是__________． 16．为加强中学生安全意识，树立“安全第一，预防为主”的思想，某中学开展了校园安全知识竞赛，八年级甲、乙、丙三个班比赛成绩的平均数与方差如表所示．若要从中选择一个成绩较好且发挥稳定的班级代表年级去参加该知识竞赛，应该选择_________班． 甲 乙 丙 平均数 方差 题型5 求极差 解题技巧（找极值、做减法、快速求值） 1. 找出一组数据中的最大值、最小值； 2. 直接用最大值减去最小值，结果即为极差； 3. 带单位运算，极差单位与原数据一致； 4. 特点：计算最简，仅反映数据取值区间，不代表整体波动。 17．为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，结果如下表所示 月用水量/t 7 8 12 14 户数 3 5 5 7 下列关于“月用水量”的说法错误的是（     ） A．平均数是10.95 B．极差是8 C．众数是14 D．中位数是12 18．根据A，B两地同一天（24小时）气温的数据，在同一幅图中画出箱线图，如图所示．给出下列结论： ①A，B两地气温数据的中位数都是15 ②A地气温数据的第一四分位数是10 ③A地气温的温差比B地大 ④A地最高气温比B地的最高气温低 则正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．一组数据的最大值是183，最小值是145，将这组数据进行分组时，取组距为5，则组数是_________； 20．一组数据，0，1，2，7的极差是__________． 题型6 标准差 解题技巧（先方后根、单位统一、规律同步） 1. 计算顺序：先求出数据方差，再对方差开算术平方根得到标准差； 2. 核心规律：标准差大小、波动、稳定性判断规则与方差完全一致； 3. 优势：标准差单位与原数据相同，结果更贴合实际意义； 4. 避坑：标准差无负值，开方只取正根。 21．对5名女生“一分钟仰卧起坐”个数（每名女生的个数均不相同）进行登记时，误将最高成绩45个写成了48个，则下列统计量中不受影响的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 22．已知一组数据的方差是，则这组数据的标准差是（    ） A． B． C． D． 23．某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如表所示： 每天出次品的个数 0 2 3 4 天数 3 2 4 1 那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是_____． 24．已知一个样本，0，2，x，3，平均数为2，则这个样本的方差是______，标准差是______． 题型7 求离差平方和 解题技巧（逐差平方、累加求和） 1. 先计算整组数据的平均数； 2. 逐个计算数据与平均数差值的平方； 3. 将所有平方值累加，得到离差平方和； 4. 关联公式：平方和 = 方差 × 数据个数，可逆向快速验算。 25．已知一组数据：10，8，9，8，11．刘丽将这些数分成了两组，第一组：8，8；第二组：9，10，11．则此分组情况下的组内离差平方和是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．把数据2，4，6，9，10分成两组，根据组内离差平方和最小的原则，最佳分组是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 27．甲、乙、丙、丁四位同学进行投篮比赛，投中的个数分别为6，10，7，9，则这组数据的离差平方和为______． 28．已知一组数据的离差平方和为25，将该组数据分成两组后，组内离差平方和为15，则组间离差平方和为__________． 题型8 离差平方和的应用 解题技巧（和判波动、逆向求值、综合分析） 1. 波动判断：离差平方和越大，数据整体偏离均值越严重，波动越大； 2. 逆向应用：已知平方和可反求方差、标准差； 3. 数据对比：多组数据个数相同时，可直接通过平方和对比稳定性； 4. 综合解题：结合平均数、极差，全方位分析数据分布与波动情况。 29．将个数据分成两组，有以下种情况，分别计算各种情况的组内离差平方和，得到下表，哪一种分组方式使得同组数据最接近（     ） 分组方式 分组情况 组内离差平方和（） 第组 第组 方式 ，，， 方式 ， ，， 方式 ，， ， 方式 ，，， A．方式 B．方式 C．方式 D．方式 30．某班有名同学参加立定跳远专项训练，体育老师准备将他们分成两组开展分层训练，要求同一组内同学的成绩尽量接近，方便统一制定训练计划．老师先把名同学的立定跳远成绩从小到大排序，再进行分组，一共得到种分组方式，各组对应的组内离差平方和如下表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 第一组人，第二组人 第一组人，第二组人 第一组人，第二组人 第一组人，第二组人 已知：组内离差平方和越小，代表组内成绩差异越小、分组效果越好．则本次训练的最优分组序号是（     ） A． B． C． D． 31．在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，．想使个数相差较小的同学分在一组，于是将个数据从小到大排列，共分了个间隔，经计算第个间隔的组内离差平方和约；第个间隔的组内离差平方和为；第个间隔的组内离差平方和为，根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组．这两组是____________． 32．10名学生1分钟的跳绳成绩（单位：次）如下：60，65，70，80，85，90，100，110，120，150．为提高这些学生的跳绳成绩，冯老师计划将他们按跳绳成绩分为A，B两组进行分层训练，并计算每种方式的成绩数据的组内离差平方和，结果如下表： 分组方式 A组 B组 方式1 60，65，70 80，85，90，100，110，120，150 3600 方式2 60，65，70，80，85 90，100，110，120，150 2550 方式3 60，65，70，80，85，90，100 110，120，150 2102.38 上述三种分组方式中，较为合理的是__________（填“方式1”“方式2”“方式3”）． 解答题 33．在学校举办的“劳动与科技”实践周中，八年级（1）班的同学负责照料两块草莓试验田，其中甲组地块采用“智能水肥一体化”技术种植，乙组地块采用“传统土壤”方式种植，为了评估两种种植方式的效果，成熟期时，同学们从甲、乙两地块中各随机采摘了颗草莓进行甜度检测（单位：，数值越大越甜）． 【数据收集】 甲组（智能水肥）： 乙组（传统土壤）： 【数据整理】同学们对数据进行了初步整理，并绘制了统计表和部分图表， 甲、乙两组草莓甜度统计分析表 组别 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 （已知甲组数据的五数概括为：最小值，下四分位数，中位数，上四分位数，最大值） 【问题解答】 (1)上述图表中_______，_______，_______，_______； (2)如果高端超市收购草莓的标准是“甜度稳定且品质均匀”，你会向农户推荐哪种种植方式？请说明理由． 34．某工厂计划生产一批智能机器人的关节部件，其外壳部分需要使用打印技术制造．现有甲、乙两个品牌的钛合金粉末（打印原料）可供选择，工厂的质检部门各随机抽取了10桶进行测试打印，按顺序记录下每桶原料打印的合格产品数量，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一： 每桶打印合格产品数（单位：个） 甲：48，51，48，51，48，50，51，50，51，52 乙：45，49，46，56，45，49，54，48，49，59 信息二：    信息三： 每桶打印合格产品数统计表 品牌 平均数 中位数 方差 甲 乙 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲品牌每桶打印合格产品数的平均数的值； (2)求乙品牌每桶打印合格产品数的中位数的值； (3)若每桶打印合格产品数越稳定越有利于生产，你认为工厂的质检部门会推荐哪个品牌？说明理由． 35．某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中甲乙两组（每组10人）学生成绩如下：甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．经初步整理得如表数据： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 2.6 乙组 7 7 b (1)填空：_____________，_____________； (2)求乙组的值； (3)若从甲、乙两组中选择成绩较好的小组参加决赛，你认为选哪组更合适？请说明理由． 36．长春市体育中考改革，引体向上新纳入男生力量选考项目，某校体育老师从八年一班抽取10名男生开展为期一个月的引体向上专项训练，记录每个人训练前、后有效完成引体向上个数（单位：个） 训练前：5，6，6，7，8，9，10，11，12，14． 训练后：7，9，10，10，a，12，13，13，14，15． 根据以上数据，绘制如下不完整的表格，根据信息，解答问题： 平均数 众数 中位数 方差 训练前 8.8 6 m 7.76 训练后 n 10 11 5.61 (1) ， ， ； (2)根据《国家学生体质健康标准》，八年级男生引体向上达到10个为“及格”，达到12个为“良好”．老师制定了“及格率，良好率”的训练目标．请根据训练后数据，判断这两个目标是否达成，并说明理由． (3)由于统计失误，老师发现将一名学生训练后的成绩“14”误输入为“16”，则下列统计量不发生变化的有 ．（选出所有正确的选项） A．平均数    B．中位数    C．众数    D．方差 37．为落实课堂高效训练，八年级开展数学周测，甲、乙两名同学连续6次周测表现突出，老师记录了他们近次试卷卷面得分、课堂随堂答题积分情况． 信息 1：                                       信息 2：甲、乙随堂答题积分箱线图 甲同学卷面得分：，，，，，； 乙同学卷面得分：，，，，，. 信息 3：统计数据表 学生 卷面平均分 卷面众数 卷面中位数 平均随堂积分 随堂积分方差 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的 __________，__________，__________（填“”“”或“”）； (2)综合表现按卷面平均分的 、平均随堂积分的 计算，综合分数越高表现越好，判断甲、乙谁综合表现更好？ (3)自选一个统计量分析，说明甲、乙两名同学谁更优秀． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $