2026年苏科版八升九年级数学暑期预习讲义（第11讲）——数据的集中趋势与离散程度（知识梳理+题型精析+同步自测）

暑期预习讲义（第11讲）——数据的集中趋势与离散程度（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】 算术平均数与加权平均数（必考） 1 【知识点二】中位数与众数 2 【知识点三】数据的离散程度（反映数据波动、稳定性） 2 【知识点四】四分位数与箱线图 3 【知识点五】四大统计量选用原则 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】算术平均数与加权平均数 3 【题型 2】中位数与众数 5 【题型 3】极差与方差基础计算及稳定性判断 8 【题型 4】四分位数与箱线图 10 三.经典题型精析（综合提升） 13 【题型 5】平均数、众数、中位数综合 13 【题型 6】平均数、众数、中位数、方差综合 15 四.同步自测 19 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 19 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 23 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 26 一.教材知识梳理 【知识点一】 算术平均数与加权平均数（必考） 1. 算术平均数定义：一组数据的总和除以数据的总个数。 公式：若数据为，则平均数。 特点：利用所有数据，容易受极端值（偏大或偏小数据）影响。 2. 加权平均数（必考） 定义：当一组数据中各个数据权重（重要程度）不同时，使用加权平均数。 公式：若数据对应权重， 。 常见权重：百分比、次数、个数、比例等。 【知识点二】中位数与众数 3. 中位数 定义：将一组数据从小到大（或从大到小）排序后，位于中间位置的数。 判定规则： ① 数据个数为奇数：中位数为最中间的那个数据； ② 数据个数为偶数：中位数为中间两个数据的平均数。 特点：只与数据位置有关，不受极端值影响，反映数据中等水平。 4. 众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据。 注意：① 众数可以有一个或多个；② 所有数据出现次数相同时，无众数。 特点：反映数据最集中的数值，不受极端值影响。 【知识点三】数据的离散程度（反映数据波动、稳定性） 1. 极差：公式： 意义：极差越大，数据波动越大、越不稳定；极差越小，数据越集中、稳定。 缺点：只用到最值，不能反映全部数据波动情况。 2. 离差平方和：样本中，各数据与平均数的差（以称离差）的平方和称为离差平方和，记为 对于一组数据，这组数据的平均数，则 2. 方差（核心重点） 定义：反映一组数据偏离平均数的整体波动大小。 公式： 方差性质（必考结论）： ① 方差越大，数据波动越大、越不稳定； ② 方差越小，数据波动越小、越稳定； ③ 所有数据相等时，方差为0。 【知识点四】四分位数与箱线图 在一组从小到大排列的数据中，，，这三个数值把所有的数据分为个数相等的四个部分，这在个数叫作四分位数。其中第25百分位数也称为下四分位数，第75百分位数也称为上四分位数。 箱线图是一种用统计量来表示一组数据分布特点的统计图。它通过从下至上依次展示的最小值、下四分位数（）、中位数（）、上四分位数（）和最大值，来直观呈现数据分布。其中，箱体（大长方形）的高度等于上四分位数与下四分位数的差，反映了中间50% 数据的离散程度：箱体越扁，说明中间的数据越集中；箱体越高，说明中间的数据越分散。 【知识点五】四大统计量选用原则 1. 平均水平、利用全部数据：选平均数（无极端值优先）； 2. 避免极端值干扰、看中等水平：选中位数； 3. 看出现频率最高的数据、大众水平：选众数； 4. 比较数据稳定性、波动大小：看方差。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】算术平均数与加权平均数 【例题1】（25-26八年级下·山西阳泉·期末）年月日，某校开展以“珍爱地球人与自然和谐共生”为主题的竞赛活动，竞赛成绩分为，，，四个等级，依次记为分，分，分，分，学校随机抽取了名学生的成绩进行整理，绘制如下统计图： （1）补全统计图； （2）求被抽查学生的平均成绩； （3）学校决定，给成绩在分及以上的同学授予“生态保护先锋”称号．根据上面的统计结果，估计该校名学生中将获得“生态保护先锋”称号的人数． 【答案】（1）统计图如图所示： （2）；（3）估计该校名学生中约有人将获得“生态保护先锋”称号． 【分析】（1）用抽取的总人数减去已知等级人数，求出等级的人数，即可补全条形统计图； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）用总人数乘以样本中成绩在分及以上的人数所占比例即可． 解：（1）解：由统计图可知，、、等级的人数分别为人、人、人， ∵学校随机抽取了名学生的成绩进行整理， ∴等级的人数为（人）， ∴补全统计图如下：略 （2）解：由（1）可得，等级的人数为人， ∴被抽查学生的平均成绩为（分）， 答：被抽查学生的平均成绩为分． （3）解：（人）， 答：估计该校名学生中约有人将获得“生态保护先锋”称号． 【变式1】（25-26八年级下·四川乐山·期末）已知一组数据：，，，，，这组数据的平均数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平均数的定义，用所有数据的和除以数据总个数即可得到结果． 解：这组数据共有个，数据总和为， 这组数据的平均数为． 【变式2】（25-26八年级下·福建厦门·期末）某校举行演讲比赛，总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占计算．若小海的初赛成绩为分，复赛成绩为分，则他的总成绩为________分． 【答案】84 解：他的总成绩为 （分）． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）“消防安全，人人有责”．当火灾发生时，保持冷静，科学逃生，是保护生命健康的重要保证．某校为加强对消防安全知识的宣传，组织全校学生进行消防安全知识测试，测试结束后，随机抽取名学生的成绩，整理并绘制了成绩的频数分布表如下： 成绩x/分 频数 根据以上信息，回答下列问题： （1）求出这个数据的平均数； （2）若该校有名学生参加本次测试，请估计成绩不低于分的人数． 【答案】（1）（分）；（2）成绩不低于分的约有人 【分析】（1）根据加权平均数的求法求解即可； （2）用总人数乘样本中成绩不低于80分的人数所占比例即可． 解：（1）这次测试中个数据的平均数为（分）． （2）（人）． 答：成绩不低于分的约有人． 【题型 2】中位数与众数 【例题2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）为了解某校八年级学生立定跳远的情况，体育老师随机在八（1）班抽查了20名同学进行测试．然后根据获取的样本数据，制作了如图所示的条形统计图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次抽查中，分数为9分的学生有 人，这20个样本数据的中位数是 分，众数是 分； （2）若规定立定跳远得分9分及以上（含9分）为该项目“优秀”，根据样本数据，请估计八年级400名学生中该项目“优秀”的人数． 【答案】（1）7；9；9；（2）260人 【分析】此题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体的统计方法．解题的关键是数形结合，熟练掌握条形统计图的特点． （1）根据条形统计图求出分数为9分的学生人数，根据中位数和众数的定义解答即可； （2）用样本估计总体即可． 解：（1）解：分数为9分的学生有（人）， 分出现的次数最多， 这20个样本数据的众数是9分， 第10个和第11个数据均为9分， 这20个样本数据的中位数是9分． （2）解：（人）， 答：八年级400名学生中该项目“优秀”的人数为260人． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·期末）一组数据3，5，4，5，6的众数和中位数分别是（     ） A．5，4 B．5，5 C．4，5 D．3，5 【答案】B 【分析】先将数据按从小到大排序，再根据定义分别找出众数和中位数即可． 解：将原数据从小到大排序得：3，4，5，5，6， ∵该组数据中，出现次数最多， ∴众数为， ∵该组数据共个数，为奇数个，正中间的数是第个数，即， ∴中位数为． 【变式2】（2026·新疆和田·模拟预测）某市一周空气质量报告中平均浓度（单位：）分别为：20、35、31、50、30、42、31，这组数据的中位数是________，众数是________． 【答案】 【分析】本题考查中位数与众数的概念， 解题思路为先将数据按从小到大排序，再根据数据个数确定中位数，最后找出出现次数最多的数据得到众数． 解：首先将这组数据从小到大排列为：， 这组数据共有个，为奇数个，因此中位数是排序后位于中间位置的数，即第个数，为， 这组数据中，出现的次数最多，因此众数是， 故答案为，． 【变式3】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）某工艺品厂草编车间共有20名工人，调查每个工人的日均生产能力，获得数据如下表： 日均生产能力（件） 10 11 12 13 14 15 人数 1 3 5 4 4 3 （1）求这20名工人日均生产件数的平均数、众数、中位数． （2）为了提高工作效率和工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施．若要使占的工人都能完成任务，应选什么统计量（平均数、众数、中位数）作为日生产件数的定额？ 【答案】（1）平均数：12.8件；众数：12件；中位数：13件．；（2）选众数12 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数，熟练掌握平均数、中位数、众数的定义是解此题的关键． （1）根据平均数、中位数、众数的定义即可得出答案； （2）分别从平均数、众数、中位数的角度，讨论达标人数和获奖人数情况，从而得出结论． 解：（1）解：由题意得： 平均数（件） 出现的次数最多，故众数：12件； 名工人日均生产件数从小到大排列，排在中间的数分别为、，故中位数：13件． （2）解：如果以平均数“12.8”作为定额，那么将有9名工人可能完不成任务． 如果以中位数“13”作为定额，那么将有9名工人可能完不成任务． 如果以众数“12”作为定额，那么可能有4名工人完不成任务，16名工人能完成任务，即的工人都能完成任务． 因此，选众数12作为日生产件数的定额． 【题型 3】极差与方差基础计算及稳定性判断 【例题3】（2023·山东青岛·模拟预测）省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，成绩（单位：环）如表： 队员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 9 7 10 10 9 9 乙 10 8 9 8 10 9 （1）分别计算甲、乙六次测试成绩的平均数； （2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差，你认为推荐谁参加全国比赛更合适？请说明理由． 【答案】（1）甲、乙六次测试成绩的平均数均为9环；（2）甲方差为1，乙方差为，推荐乙参加全国比赛更合适，理由见分析． 【分析】（1）根据加权平均数公式计算即可； （2）根据表格中的数据可以分别计算出甲和乙的方差，然后根据方差越小越稳定即可解答本题． 本题考查方差和算术平均数，解答本题的关键是明确题意，会计算一组数的算术平均数和方差． 解：（1）解：甲的平均成绩是：（环， 乙的平均成绩是：（环， 故甲、乙六次测试成绩的平均数均为9环； （2）解：推荐乙参加全国比赛更合适，理由： 甲的方差是：， 乙的方差是：， ， 乙成绩比较稳定， 推荐乙参加全国比赛更合适． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一组数据3，4，a，5的平均数为，若数据4与的离差为1，则a为（     ） A．0 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】先根据离差的定义求出这组数据的平均数，再根据平均数计算公式列方程求解即可． 解：∵数据与的离差为， ∴， 解得， 又∵数据，，，的平均数为， ∴， 整理得， 解得． 【变式2】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）一组数据：，，，，．这组数据的极差是________． 【答案】 【分析】先找出这组数据的最大值与最小值，再计算两者的差即可. 解：这组数据的最大值为，最小值为，因此极差为. 【变式3】（23-24九年级上·江苏镇江·期末）九年级2班举办了主题为“庆元旦，迎新春”的演讲比赛．由学生1，学生2，老师、班长一起组成四人评委团，对演讲者现场打分，满分10分．下图是甲、乙二人的演讲得分的不完整折线图，已知二人得分的平均数都是8分． （1）班长给乙的打分是 分，补全折线图； （2）在参加演讲的同学中，如果某同学得分的四个数据的方差越小，则认为评委对该同学演讲的评价越一致．请通过计算推断评委对甲、乙两位同学中哪位同学的评价更一致． 【答案】（1）8，见分析；（2）评委对乙同学的评价更一致 【分析】本题考查了折线统计图及方差的知识，掌握方差的计算方法，注重数形结合的思想，是解答本题的关键． （1）根据平均分求出总分，再减去其他三人所打的分数，即可作答，再补全图形即可； （2）求出甲乙两位同学分数的方差，据此判定即可． 解：（1）解：（分） 班长的打分为8； 补全图形如图所示： （2）∵， ∴ ∵， ∴  即评委对乙同学的评价更一致； 【题型 4】四分位数与箱线图 【例题4】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某学校将举行运动会，802班准备从甲、乙、丙三名学生中选拔实心球参赛选手，现得到这三名学生最近20次的实心球成绩，并绘制了箱线图（如图）． 三名学生实心球成绩的箱线图（单位：米） （1）这三名学生中，成绩最稳定的是 ，成绩的中位数最大的是 ；（填：甲、乙、丙） （2）你会选择谁参加运动会？请说明理由． 【答案】（1）乙；甲；（2）解：选择甲学生参加运动会，理由如下： 因为甲学生的成绩比较稳定，且中位数最大，整体成绩也较大，虽然丙有最好的成绩，但波动大，风险高，所以选择甲学生参加运动会． 【分析】（1）根据箱线图所给的信息求解即可； （2）应选择成绩稳定且中位数较大的学生参加运动会，据此结合箱线图可得答案． 解：（1）解：由箱线图可知，乙学生的数据最集中，且最大值与最小值的差值最小，说明数据波动小，故成绩最稳定； 由箱线图可知，成绩的中位数最大是甲； （2）解：略 【变式1】（25-26八年级下·天津北辰·期末）如图，将某组数据绘制成箱线图，则该组数据的上四分位数为（   ）． A．140 B．150 C．163 D．180 【答案】C 【分析】根据箱线图的定义，箱线图矩形框的上边界代表上四分位数，矩形框下边界为下四分位数，框内横线为中位数，上下两条短线分别为最大值、最小值，直接读取对应数值即可求解． 解：由箱线图各部分含义可知： 最小值：120； 下四分位数（）：140； 中位数（）：150； 上四分位数（）：163； 最大值：180． 故上四分位数对应数值为163． 【变式2】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）在一次数学学科单元模拟测试中，总分为100分，某校八年级1班学生成绩的箱线图如图所示，则该班学生成绩的下四分位数是______分． 【答案】 【分析】由箱线图的信息即可得到答案． 解：由箱线图可知，该班学生成绩的下四分位数是68分． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示． （1）甲班成绩的中位数为___________，乙班成绩的上四分位数为___________． （2）图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ （3）由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？ 【答案】（1）128；128；（2）甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学；（3）甲班平均分较高 【分析】本题考查箱线图的相关知识，涉及平均数，中位数，上四分位数，能够从箱线图中获取有用信息是解题的关键．四分位数应用于统计学的箱线图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱线图中“箱体”的下底边对应数据为下四分位数，上底边对应数据为上四分位数，中间的线对应中位数． （1）根据箱线图得到学生分数的大致分布情况，即可得出答案； （2）根据箱线图的定义解答即可； （3）根据箱线图得到学生分数在128分以上的大致情况，即可作出判断． 解：（1）解：由图可知，甲班成绩的中位数为128，乙班成绩的上四分位数为128， 故答案为：128；128； （2）解：甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学； （3）解：由两班成绩箱线图可以看出，甲班成绩的中位数为128，而乙班的上四分位数是128，同时，甲班的下四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 5】平均数、众数、中位数综合 【例题5】（25-26八年级下·河南周口·期末）某中学抽取20名八年级学生进行跳绳测试，成绩（单位：次/分钟）如下： 120，135，140，130，145，150，140，138，142，140，136，148，140，152，139，141，143，140，146，137． （1）整理数据：求这组数据的平均数、众数、中位数； （2）若该校八年级共300人，跳绳140次及以上为达标，估计达标人数． 【答案】（1）平均数：；众数：140；中位数：140；（2）人 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的概念求解即可； （2）根据20人中140及以上共13人计算即可． 解：（1）解：平均数：， 众数：140 出现5次，故众数：140； 将数据排序后：120，130，135，136，137，138，139，140，140，140，140，140，141，142，143，145，146，148，150，152． 排序后第10、11个数为140、140， 中位数：； （2）解：20人中140及以上共13人， （人）， 答：估计达标人数为195人． 【变式1】（25-26八年级下·河南商丘·期末）已知一组数据：13，17，10，8，x，2，若中位数是10，则平均数和众数分别是（     ） A．10，10 B．10，11 C．11，10 D．11，11 【答案】A 【分析】先根据中位数的定义确定未知数据的取值，再根据平均数和众数的定义计算结果即可． 解：∵这组数据一共有6个数， ∴这组数据的中位数是把这组数据按照从小到大的顺序排列后，第3个数和第4个数的平均数， 把已知数据按照从小到大的顺序排列为2，8，10，13，17， 若，那么第3个数据小于10，第4个数据为10，此时一定不满足中位数为10， 若，那么第3个数据为10，第4个数据大于10，此时一定不满足中位数为10， 若，那么第3个数据为10，第4个数据为10，此时满足中位数为10， ∴这组数据为2，8，10，10，13，17， ∴这组数据的平均数为，众数为10． 【变式2】（25-26八年级上·浙江宁波·开学考试）数据1，3，5，12，，其中整数是这组数据中的中位数和众数，则该组数据的平均数是__________． 【答案】或 【分析】本题考查中位数、众数和平均数，根据定义找到的值是关键． 根据中位数、众数的定义可知，可取的整数值有、，然后代入求平均数即可． 解：∵数据1，3，5，12，的中位数和众数是整数， ∴或， 当时，这组数据的平均数为， 当时，这组数据的平均数为， 故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级下·天津北辰·期末）为了提高同学们的交通安全意识，某学校开展了交通安全知识竞赛．学校随机抽取名学生的知识竞赛成绩（满分10分）．根据统计结果，绘制成如下统计图1和图2． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为_____，图1中的值为_____； （2）求统计的这组学生成绩数据的平均数、众数和中位数； （3）该校共有800名学生参加了知识竞赛，请估计学生竞赛成绩高于8分的人数． 【答案】（1）；；（2）平均数为；众数为；中位数为；（3）人 【分析】（1）利用6分人数与对应百分比求出抽取总人数，再用7分人数除以总人数得到7分占比，求出； （2）平均数用加权平均数公式计算，众数是出现次数最多的分数，中位数取排序后中间两个数的平均值； （3）先算出样本中高于8分的人数占比，再用总人数800乘以该占比得到估计人数． 解：（1）解：由条形图知6分有4人，扇形图6分占10%， 总人数， 7分人数为6人，7分占比：， 故． （2）解：各分数对应人数：6分：4人，7分：6人，8分：11人，9分：12人，10分：7人，总人数40． 平均数； 众数9分人数12人，人数最多，故众数为9； 中位数：总共有40个数据，中位数为第20、21个数据的平均值． 累计人数：6分4人，累计4人；7分6人，累计10人；8分11人，累计21人． 第20、21个数据都为8，因此中位数为． （3）解：高于8分即9分、10分，样本中人数：人，占比． 全校800人，预估人数：． 【题型 6】平均数、众数、中位数、方差综合 【例题6】（25-26八年级下·河南三门峡·期末）2026年，中国航天事业迎来70周年．回望来路，中国航天一步一跨越、一步一辉煌，在浩瀚宇宙镌刻下属于中华民族的壮丽史诗．为普及航天科普知识，丰富校园科技文化生活，我校举办了航天知识竞赛．全校学生积极组队参与，赛后，学校对各组的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，以下是甲、乙两组学生的成绩信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98． 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1）_____________，_____________； （2）补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【答案】（1）90，92；（2）；（3）乙组竞赛成绩较好． 理由：由【信息2】可知，甲乙两组的中位数相同，但乙组的平均数和众数均大于甲组平均数，且乙组的方差小于甲组的方差，所以乙组平均分更高，成绩更稳定，由【信息3】可知，乙组的箱线图的箱体更扁，成绩更集中，所以乙组竞赛成绩较好． 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）求出甲组10名学生成绩的最大值、最小值、第一四分位数、中位数，以及第三四分位数，补全甲组竞赛成绩的箱线图即可； （3）根据平均数、中位数、方差以及箱线图的意义分析即可． 解：（1）解：将甲组10名学生的成绩按从小到大排列为：60、70、70、80、89、91、92、96、98、100，排在第、名的成绩分别为、， 甲组的中位数； 乙组10名学生的成绩中，92出现了2次，次数最多， 乙组的众数； （2）解：甲组10名学生的成绩按从小到大排列为：60、70、70、80、89、91、92、96、98、100，则最大值为100，最小值为60，中位数为90， 解法一：第一四分位数为前5个数据的中位数，则第一四分位数； 第三四分位数为后5个数据的中位数，则第三四分位数； 解法二：， 第一四分位数为第3个数，即； ， 第三四分位数为第8个数，即； 补全甲组竞赛成绩的箱线图如答图； （3）略 【变式1】（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.7 8.6 8.4 0.27 如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表中数据一定不发生变化的是（     ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 【答案】D 【分析】本题考查了众数（数据中出现次数最多的）、方差（先求平均值，每个数减平均值后平方，全部平方和除以数量）、平均数（总数除以数量）和中位数（一组数据奇数个，取中间数；一组数据偶数个，取最中间两个数平均值），根据中位数的定义，判断去掉两端分数后中间位置的数据是否改变，即可得到结论． 解：A、平均数的大小与数量有关，由原来9个分数变7个分数，平均数可能会发生变化，不满足； B、众数是指出现的次数多的那个分数，去掉最高分和最低分，众数可能会发生变化，不满足； C、方差与平均数相关，平均数可能发生变化，方差也可能会变化，不满足； D、原有9个分数，从大到小排列后的中位数是位于中间位置的第5个数，去掉一个最高分和一个最低分后剩余7个分数，新的中位数是排序后位于中间位置的第4个数，还是原数据中的第5个数，中位数不发生变化，满足． 【变式2】（25-26八年级下·福建厦门·期末）已知一组数据的方差为：，则________；这组数据的中位数是________． 【答案】 【分析】根据方差的计算公式，可得出这组数据的容量为5，平均数为10，先利用平均数的计算方法求出的值，再将数据从小到大排序后找出中位数即可． 解：由方差公式 可知，这组数据共5个，平均数为 根据平均数的计算公式可得 整理得 解得 将这组数据从小到大排列为： 5个数据的中位数为排序后的第3个数据，因此中位数是． 【变式3】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）某校为了解学生在大课间的体育运动情况，从七年级和八年级各抽取一个班级进行体育测试，测试分为800米跑、1分钟跳绳、坐位体前屈3项，各项成绩分别按计算最终得分．现从每个班级随机抽测了10名学生，测试满分为100分，相关数据分析如下． （一）收集与整理 七年级10名学生的体育成绩（单位：分）：63，71，78，82，84，86，86，89，95，96． 八年级10名学生的体育成绩（单位：分）：66，73，77，81，83，85，85，90，94，96； （二）描述与分析 七年级和八年级的体育成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 83 85 93.8 八年级 83 85 77.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中，的值：________，________； （2）小华同学的800米跑、1分钟跳绳、坐位体前屈3项成绩分别为：85分、90分、80分，请计算小华同学的最终得分； （三）迁移与应用 （3）请结合以上统计量对该校七八年级体育成绩进行对比分析． 【答案】（1），；（2）分；（3）解：七八年级平均成绩相同，八年级方差更小，体育成绩更稳定，整体成绩优于七年级（合理即可）． 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据加权平均数的定义求解即可； （3）从平均成绩，方差与稳定性的关系阐述即可． 解：（1）解：将八年级10名学生的成绩从小到大的顺序排列为：66， 73， 77， 81， 83， 85， 85， 90， 94， 96，中位数为第5个和第6个数据的平均数，则； ∵七年级10名学生的成绩中，成绩为86的人数最多， ∴七年级10名学生的成绩的众数为86，即； （2）解：（分）， 答：小华同学的最终得分为85分； （3）略 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·浙江衢州·期末）甲，乙两个网站6月份的日均活跃人数分别为1万人和2万人（用户不重叠），日人均活跃时间分别为和．则6月份这两个网站所有用户的日人均活跃时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：6月份这两个网站所有用户的日人均活跃时间为． 2．（25-26八年级下·河南周口·期末）一组数据： 3，5，4，5，6， 中位数和众数分别是（     ） A．4，5 B．5，5 C．5，4 D．4，4 【答案】B 【分析】先将数据按从小到大的顺序排列，根据众数和中位数的定义求解，出现次数最多的数是众数，数据个数为奇数时，排序后最中间的数就是中位数． 解：∵将这组数据从小到大排列为：，，，，，数据共个，为奇数个， ∴中位数为排序后第个数，即； ∵在这组数据中出现次数最多，为次，其余数都只出现次， ∴众数为． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）小明想判断自己的体能测试成绩是否超过班级一半同学的成绩，应分析全班同学成绩的（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．以上均可以 【答案】B 【分析】本题考查了中位数的意义，根据中位数的意义分析即可． 解：小明想判断自己的体能测试成绩是否超过班级半数同学的成绩，应分析全班同学成绩的中位数． 故选：B． 4．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的下四分位数为（     ） A．160 B．143 C．130 D．120 【答案】D 【分析】根据箱线图直接得出答案即可． 解：根据箱线图可得：该组数据的下四分位数为120． 5．（安徽芜湖市2025-2026学年度第二学期期末教学质量测评八年级数学试卷）现有甲、乙、丙、丁四种机器人在性能测试中的平均成绩都是128分，方差分别是，，，，这四种机器人测试成绩最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】当各组数据平均数相等时，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，只需比较四个方差的大小即可得到结果． 解：∵四种机器人的平均成绩相同，方差越小，测试成绩越稳定， ， ∴甲的方差最小，甲的测试成绩最稳定． 6．（25-26八年级下·陕西榆林·阶段检测）已知一组数据2，4，6，8，则这组数据的离差平方和为（     ） A．20 B．19 C．18 D．17 【答案】A 【分析】先计算这组数据的平均数. 再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数差的平方和，即可得到结果． 解：这组数据的平均数为， 则这组数据的离差平方和为：． 7．（25-26八年级下·河南周口·期末）若一组数据的离差平方和，则这组数据的方差的值为（     ） A．5 B．6 C．5.5 D．10 【答案】B 【分析】根据方差的计算公式，用已知的离差平方和除以数据个数即可得到方差结果． 解：根据方差的定义，方差计算公式为 ， ∵本题中数据个数 ，题目给出离差平方和 ∴． 8．（25-26八年级下·广西南宁·期末）把数据2，4，6，9，10分成两组，根据组内离差平方和最小的原则，最佳分组是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】计算每个选项的总离差平方和，其中总离差平方和为两组离差平方和之和，比较大小后即可得到总离差平方和最小的分组． 解：对于选项A：∵的平均数， ∴， ∵的平均数， ∴， ∴； 对于选项B：∵的平均数， ∴， ∵的平均数， ∴， ∴； 对于选项C：∵单元素组的离差平方和为， ∴， ∵的平均数， ∴， ∴； 对于选项D：∵的平均数， ∴， ∵单元素组的离差平方和为，即， ∴. 比较大小得， 所以最佳分组为选项B． 9．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）2026年“五四”青年节到来之际，为传承五四精神，某校举办了演讲比赛，八（1）班派出6位同学参赛，成绩如下表所示，则下列选项中不正确的是（     ） 参赛选手 1号 2号 3号 4号 5号 6号 成绩/分 98 96 97 90 99 96 A．6位参赛同学成绩的众数是96分 B．6位参赛同学成绩的中位数是96.5分 C．6位参赛同学成绩的平均数是96分 D．6位参赛同学成绩的方差是10 【答案】D 【分析】按照众数、中位数、平均数、方差的定义逐步计算即可找出错误选项． 解：先将6位同学的成绩从小到大排列得：， ∵96出现次数最多，为2次， ∴众数为96分，A正确； ∵6个数据的中位数为第3，第4个数据的平均数，即分，B正确； ∵平均数分，C正确； ∵方差，D错误． 10．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）小明将某市4月份每天的最高气温情况进行收集整理，通过分析绘制成箱线图，根据图中信息，下列说法正确的是（     ） A．这组数据的第一四分位数是15 B．这组数据的中位数是22.5 C．这组数据的第三四分位数是26 D．这组数据的最小值是23，最大值是26 【答案】C 【分析】根据箱线图的定义，从左至右的五个关键位置分别代表最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值，直接读图即可判断． 解：由箱线图可知： 最小值为15．第一四分位数为23，中位数为24，第三四分位数为26，最大值为30． ∵第一四分位数为23，∴选项A错误； ∵中位数为24， ∴选项B错误； ∵第三四分位数为26， ∴选项C正确； ∵最小值为15，最大值为30， ∴选项D错误． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（湖南怀化市2025-2026学年下学期八年级期末数学教学质量监测试题）某校广播站在一次招聘中，分口语表达和写作能力两部分，口语表达和写作能力成绩按计算最终成绩，已知小丽的口语表达成绩为90分，写作能力成绩为85分，则小丽的最终成绩为_________分． 【答案】88 【分析】解题思路：根据两项成绩权重比6:4，利用加权平均数公式，代入口语表达成绩90分、写作成绩88分直接计算最终加权平均分． 解： ． 12．（25-26八年级上·河南周口·期末）若一组数据2， x， 4， 5， 6的中位数为4，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了中位数，解题的关键是掌握中位数的定义． 根据中位数的定义，将数据按从小到大排序后，第三个数即为中位数．已知中位数为4，因此排序后第三个数必须为4． 解：数据由5个数组成，排序后第三个数为中位数4， 已知数据中有2、4、5、6，其中2小于4，5和6大于4． 要保证4在第三位，需至少有两个数小于或等于4． 由于2已满足小于4，故x必须小于或等于4． 因此x的取值范围是． 故答案为：． 13．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知一组样本数据，，，，，的众数为8，则数的值为________． 【答案】 【分析】根据众数的定义，确定众数为后，结合数据中各数的出现次数，即可求出的值． 解：众数是一组数据中出现次数最多的数， 在原数据，，，，，中，出现次，出现次，出现次， 因为该组数据的众数为， 所以出现的次数需大于其他数出现的次数， 因此． 14．（25-26八年级下·湖南娄底·期末）在某场女排决赛中，A队战胜B队获得冠军．下图反映了两队队员拦网高度情况，_____队拦网高度更高． 【答案】A 【分析】本题主要考查了箱线图，解决本题的关键是根据箱线图中极小值、极大值、上四分位数、下四分位数、中位数的位置判断各项是否正确． 解：由箱线图可知，A队的极小值、极大值、上四分位数、下四分位数、中位数均高于B队， A队拦网高度的整体水平比B队高， 故答案为：A． 15．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）一组数据的最大值是183，最小值是145，将这组数据进行分组时，取组距为5，则组数是_________； 【答案】8 【分析】先求出数据的极差，再根据组数的计算方法，对计算结果向上取整即可得到组数． 解：极差为， 计算得， 对结果向上取整，得组数为． 16．（25-26八年级下·新疆阿克苏·期末）两名射击运动员各打10发，平均环数均为环，甲的方差为，乙的方差为，则_____（填甲或乙）发挥更稳定． 【答案】甲 解：由题意可得，两名射击运动员的平均环数相等，甲的方差为，乙的方差为， 比较得 ，即甲的方差小于乙的方差，根据方差的意义，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定，因此甲发挥更稳定． 17．（25-26八年级下·福建泉州·期末）数据组2，4，6，8，10，12的中位数是___________，上四分位数是___________． 【答案】 7 10 【分析】本题考查中位数和四分位数的计算，对于已排序的数据集，中位数是中间位置的数，上四分位数是数据上半部分的中位数，根据计算方法求解即可． 解：数据已按从小到大排序，为 ，数据个数 ， 中位数：由于为偶数，中位数为第个数据和第个数据的平均值，即， 上四分位数： 解法一：数据上半部分包括后个数据 ，其中位数为； 解法二：，所以上四分位数为第个数，为． 18．（重庆市九龙坡区2025-2026学年八年级下学期期末学业质量测评数学试题）某教育单位招聘教师，金老师的笔试、试讲、面试成绩分别为94分、95分、90分．根据招聘规则，按笔试、试讲和面试三项得分的比例所得到的综合成绩为最后成绩，则金老师最后成绩为_____分． 【答案】93 【分析】根据三项成绩给出的权重比，利用加权平均数的计算方法求出金老师的最终综合成绩； 解：金老师的最后成绩为（分）． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·广东深圳·期末）小明家准备购置一辆电动小汽车，根据家庭需求决定在甲，乙两种型号中选择一款，他们查阅了某权威机构对这两台汽车的评分如下表（单项评分满分10分）： 型号 外观 配置 舒适性 安全性 甲 7 8 6 9 乙 9 8 7 7 （1）若通过平均分来确定最终评分，小明会选择___________型号的小汽车？（填“甲”或“乙”） （2）小明一家人认为各项都有不同的“重要程度”，大家商定外观、配置、舒适性和安全性按的比例来确定最终的选择．你认为小明家会选择哪个型号的小汽车？请通过计算说明． 【答案】（1）乙；（2）甲 【分析】本题考查了平均数和加权平均数： （1）分别求出甲乙的平均分，比较大小即可作答； （2）用加权平均数公式计算． 解：（1）解：甲的平均分：， 乙的平均分：， ， 小明会选择乙型号的小汽车． 故答案为：乙． （2）解：甲的加权平均分为， 乙的加权平均分为， ， 小明会选择甲型号的小汽车． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·江苏无锡·期末）在一次演讲比赛中，评委对5位选手的“语言表达”与“演讲内容”两项成绩打分如图所示． （1）5位选手“语言表达”成绩的众数是___________分，“演讲内容”成绩的中位数是___________分： （2）求5位选手“演讲内容”成绩的平均分； （3）根据规定，“语言表达”与“演讲内容”成绩按一定比例计算最终成绩，若选手按比例计算后最终成绩为分，求“语言表达”所占比例为多少？（结果用百分数表示） 【答案】（1）90；85；（2）86分；（3） 【分析】本题考查了加权平均数、中位数、众数的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． （1）分别根据众数、中位数的定义计算即可； （2）根据平均数的定义计算即可； （3）根据加权平均数的计算公式解答即可． 解：（1）解：∵5位选手“语言表达”成绩出现次数最多的是90， ∴5位选手“语言表达”成绩的众数是90分； ∵5位选手“演讲内容”成绩按从小到大顺序排列为：80，80，85，90，95， ∴5位选手“演讲内容”成绩的中位数是85分； （2）解：5位选手“演讲内容”成绩的平均分（分）； （3）解：设选手B“语言表达”所占比例为，则“演讲内容”为，根据题意得： ， 解得， 答：选手B“语言表达”所占比例为． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·全国·课后作业）小明抽样调查了两个不同年龄段的人群晚上休息的时间，制作了如下统计图： （1）这两个年龄段的人群晚上休息的时间有什么特点？ （2）如果一组是青年组，另一组是老年组，那么你认为哪组有可能是青年组？ 【答案】（1）A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群（答案合理即可）；（2）A组有可能是青年组 【分析】本题考查了箱线图，能从箱线图获取信息是解题的关键． （1）观察箱线图，A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群； （2）根据箱线图并结合实际情况即可得出结论． 解：（1）解：由图可知，A年龄段的人群晚上休息时间的最大值、最小值及四分位数均晚于B年龄段人群（答案合理即可）； （2）解：由图可知，A年龄段的人群晚上休息时间比于B年龄段人群晚，而表青年人晚上休息时间普遍晚于老年人， 所以A组有可能是青年组． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·广东深圳·期末）光明区某中学八（1）班在一次数学测试中，某题（满分为分）的得分情况如图所示，请据图回答： （1）这题得分的众数是 分，中位数是 分； （2）求这题得分的平均数； （3）八（1）班和八（2）班在该题中的平均得分相同，但八（1）班成绩的方差，八（2）班成绩的方差，且，那么该题成绩比较稳定的班级是八（ ）班．（填“”或“”） 【答案】（1）；（2）分；（3） 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数以及方差： （1）根据众数和中位数的定义求即可； （2）根据加权平均数的定义求； （3）根据方差的意义判断． 解：（1）由于分所在的扇形面积比例为，因此众数为分 由于分比例为，分比例为，分比例为，分比例为 ， 得分中间的数是 故中位数是分 （2）（分） （3）八（1）班成绩的方差，八（2）班成绩的方差，且 八（2）班成绩的方差小 八（1）班和八（2）班在该题中的平均得分相同且方差越小，数据分布越集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 该题成绩比较稳定的班级是八（2）班． 23．（本小题满分10分）（湖南怀化市2025-2026学年下学期八年级期末数学教学质量监测试题）为了解学生对“防溺水知识”的掌握情况，某校组织全体学生进行了“防溺水”知识测试，测试后，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计分析，并将成绩由低到高，依次分为A、B、C、D、E五个组，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．已知B组同学的成绩如下（单位：分）：80、81、81、82、82、82、83、83、83、84、84、85根据所给信息，解答下列问题： （1）共抽取了_________名学生进行统计分析； （2）请补全频数分布直方图； （3）请求出扇形统计图中“C”所在扇形的圆心角的度数； （4）抽取的样本数据的中位数是多少？小明的成绩是84分，他估计自己的成绩在全校属于中等偏上，你同意他的观点吗？请说明理由． 【答案】（1）40；（2）；（3）；（4）我同意小明的观点，理由如下： 抽取的样本容量为40， 第20个和第21个数据的平均数为样本学生成绩的中位数． 第20个数和第21个数都是83， 中位数为， 小明的成绩是84分，， 小明的成绩在全校属于中等偏上． 【分析】（1）由D组的频数和占比求出人数即可； （2）先求出A组的频数，再求出E组频数，最后补全直方图即可； （3）先求出C组的占比，即可求出所在扇形的圆心角； （4）求出中位数，即可判断小明的观点． 解：（1）解：由题意可得，D组的频数为，占比为， ， 答：共抽取了名学生进行统计分析． （2）A组频数：（人）， E组频数：（人）， 补全频数直方图：略． （3）， 答：扇形统计图中“C”所在扇形的圆心角的度数为． （4）略 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100 乙：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 84.6 90 171.44 乙 86.3 92 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________； （2）求甲组学生竞赛成绩的下四分位数是_______，上四分位数是______，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据《信息2》和《信息3》，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【答案】（1）70，90；（2）70，96．；（3）乙组竞赛成绩较好． 理由：因为乙组的平均数86.3大于甲组平均数84.6，乙组的方差73.41小于甲组的方差171.44，说明乙组平均分更高，成绩更稳定． 所以乙组竞赛成绩较好． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据四分位数的求解方法求解上、下四分位数即可；然后求出甲组数据的最大值、最小值，再结合中位数和上、下四分位数即可补全箱线图； （3）可以从平均数和方差的角度分析． 解：（1）解：由甲组数据可得，出现的次数最多，故众数； 乙组共10个数据，且已经从小到大排列，则中位数是第5、6个数据的平均数， 故中位数； （2）解：方法一：前半部分为前5个数（60, 70, 70, 80, 89），中位数是第3个为70，则下四分位数为70，后半部分数据为（91, 92, 96, 98, 100），中位数是第3个为96，则上四分位数为96； 方法二：，则取整数3，那么第3个数据即为下四分位数，即70；，则取整数8，那么第8个数据即为上四分位数，即96； 甲组的数据最大值为100，最小值为60，而中位数为90，故补全箱线图见答案； （3）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第11讲）——数据的集中趋势与离散程度（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】 算术平均数与加权平均数（必考） 1 【知识点二】中位数与众数 2 【知识点三】数据的离散程度（反映数据波动、稳定性） 2 【知识点四】四分位数与箱线图 3 【知识点五】四大统计量选用原则 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】算术平均数与加权平均数 3 【题型 2】中位数与众数 4 【题型 3】极差与方差基础计算及稳定性判断 5 【题型 4】四分位数与箱线图 6 三.经典题型精析（综合提升） 7 【题型 5】平均数、众数、中位数综合 7 【题型 6】平均数、众数、中位数、方差综合 8 四.同步自测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 12 一.教材知识梳理 【知识点一】 算术平均数与加权平均数（必考） 1. 算术平均数定义：一组数据的总和除以数据的总个数。 公式：若数据为，则平均数。 特点：利用所有数据，容易受极端值（偏大或偏小数据）影响。 2. 加权平均数（必考） 定义：当一组数据中各个数据权重（重要程度）不同时，使用加权平均数。 公式：若数据对应权重， 。 常见权重：百分比、次数、个数、比例等。 【知识点二】中位数与众数 3. 中位数 定义：将一组数据从小到大（或从大到小）排序后，位于中间位置的数。 判定规则： ① 数据个数为奇数：中位数为最中间的那个数据； ② 数据个数为偶数：中位数为中间两个数据的平均数。 特点：只与数据位置有关，不受极端值影响，反映数据中等水平。 4. 众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据。 注意：① 众数可以有一个或多个；② 所有数据出现次数相同时，无众数。 特点：反映数据最集中的数值，不受极端值影响。 【知识点三】数据的离散程度（反映数据波动、稳定性） 1. 极差：公式： 意义：极差越大，数据波动越大、越不稳定；极差越小，数据越集中、稳定。 缺点：只用到最值，不能反映全部数据波动情况。 2. 离差平方和：样本中，各数据与平均数的差（以称离差）的平方和称为离差平方和，记为 对于一组数据，这组数据的平均数，则 2. 方差（核心重点） 定义：反映一组数据偏离平均数的整体波动大小。 公式： 方差性质（必考结论）： ① 方差越大，数据波动越大、越不稳定； ② 方差越小，数据波动越小、越稳定； ③ 所有数据相等时，方差为0。 【知识点四】四分位数与箱线图 在一组从小到大排列的数据中，，，这三个数值把所有的数据分为个数相等的四个部分，这在个数叫作四分位数。其中第25百分位数也称为下四分位数，第75百分位数也称为上四分位数。 箱线图是一种用统计量来表示一组数据分布特点的统计图。它通过从下至上依次展示的最小值、下四分位数（）、中位数（）、上四分位数（）和最大值，来直观呈现数据分布。其中，箱体（大长方形）的高度等于上四分位数与下四分位数的差，反映了中间50% 数据的离散程度：箱体越扁，说明中间的数据越集中；箱体越高，说明中间的数据越分散。 【知识点五】四大统计量选用原则 1. 平均水平、利用全部数据：选平均数（无极端值优先）； 2. 避免极端值干扰、看中等水平：选中位数； 3. 看出现频率最高的数据、大众水平：选众数； 4. 比较数据稳定性、波动大小：看方差。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】算术平均数与加权平均数 【例题1】（25-26八年级下·山西阳泉·期末）年月日，某校开展以“珍爱地球人与自然和谐共生”为主题的竞赛活动，竞赛成绩分为，，，四个等级，依次记为分，分，分，分，学校随机抽取了名学生的成绩进行整理，绘制如下统计图： （1）补全统计图； （2）求被抽查学生的平均成绩； （3）学校决定，给成绩在分及以上的同学授予“生态保护先锋”称号．根据上面的统计结果，估计该校名学生中将获得“生态保护先锋”称号的人数． 【变式1】（25-26八年级下·四川乐山·期末）已知一组数据：，，，，，这组数据的平均数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·福建厦门·期末）某校举行演讲比赛，总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占计算．若小海的初赛成绩为分，复赛成绩为分，则他的总成绩为________分． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）“消防安全，人人有责”．当火灾发生时，保持冷静，科学逃生，是保护生命健康的重要保证．某校为加强对消防安全知识的宣传，组织全校学生进行消防安全知识测试，测试结束后，随机抽取名学生的成绩，整理并绘制了成绩的频数分布表如下： 成绩x/分 频数 根据以上信息，回答下列问题： （1）求出这个数据的平均数； （2）若该校有名学生参加本次测试，请估计成绩不低于分的人数． 【题型 2】中位数与众数 【例题2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）为了解某校八年级学生立定跳远的情况，体育老师随机在八（1）班抽查了20名同学进行测试．然后根据获取的样本数据，制作了如图所示的条形统计图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次抽查中，分数为9分的学生有 人，这20个样本数据的中位数是 分，众数是 分； （2）若规定立定跳远得分9分及以上（含9分）为该项目“优秀”，根据样本数据，请估计八年级400名学生中该项目“优秀”的人数． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·期末）一组数据3，5，4，5，6的众数和中位数分别是（     ） A．5，4 B．5，5 C．4，5 D．3，5 【变式2】（2026·新疆和田·模拟预测）某市一周空气质量报告中平均浓度（单位：）分别为：20、35、31、50、30、42、31，这组数据的中位数是________，众数是________． 【变式3】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）某工艺品厂草编车间共有20名工人，调查每个工人的日均生产能力，获得数据如下表： 日均生产能力（件） 10 11 12 13 14 15 人数 1 3 5 4 4 3 （1）求这20名工人日均生产件数的平均数、众数、中位数． （2）为了提高工作效率和工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施．若要使占的工人都能完成任务，应选什么统计量（平均数、众数、中位数）作为日生产件数的定额？ 【题型 3】极差与方差基础计算及稳定性判断 【例题3】（2023·山东青岛·模拟预测）省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，成绩（单位：环）如表： 队员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 9 7 10 10 9 9 乙 10 8 9 8 10 9 （1）分别计算甲、乙六次测试成绩的平均数； （2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差，你认为推荐谁参加全国比赛更合适？请说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一组数据3，4，a，5的平均数为，若数据4与的离差为1，则a为（     ） A．0 B． C．3 D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）一组数据：，，，，．这组数据的极差是________． 【变式3】（23-24九年级上·江苏镇江·期末）九年级2班举办了主题为“庆元旦，迎新春”的演讲比赛．由学生1，学生2，老师、班长一起组成四人评委团，对演讲者现场打分，满分10分．下图是甲、乙二人的演讲得分的不完整折线图，已知二人得分的平均数都是8分． （1）班长给乙的打分是 分，补全折线图； （2）在参加演讲的同学中，如果某同学得分的四个数据的方差越小，则认为评委对该同学演讲的评价越一致．请通过计算推断评委对甲、乙两位同学中哪位同学的评价更一致． 【题型 4】四分位数与箱线图 【例题4】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某学校将举行运动会，802班准备从甲、乙、丙三名学生中选拔实心球参赛选手，现得到这三名学生最近20次的实心球成绩，并绘制了箱线图（如图）． 三名学生实心球成绩的箱线图（单位：米） （1）这三名学生中，成绩最稳定的是 ，成绩的中位数最大的是 ；（填：甲、乙、丙） （2）你会选择谁参加运动会？请说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·天津北辰·期末）如图，将某组数据绘制成箱线图，则该组数据的上四分位数为（   ）． A．140 B．150 C．163 D．180 【变式2】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）在一次数学学科单元模拟测试中，总分为100分，某校八年级1班学生成绩的箱线图如图所示，则该班学生成绩的下四分位数是______分． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示． （1）甲班成绩的中位数为___________，乙班成绩的上四分位数为___________． （2）图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ （3）由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？ 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 5】平均数、众数、中位数综合 【例题5】（25-26八年级下·河南周口·期末）某中学抽取20名八年级学生进行跳绳测试，成绩（单位：次/分钟）如下： 120，135，140，130，145，150，140，138，142，140，136，148，140，152，139，141，143，140，146，137． （1）整理数据：求这组数据的平均数、众数、中位数； （2）若该校八年级共300人，跳绳140次及以上为达标，估计达标人数． 【变式1】（25-26八年级下·河南商丘·期末）已知一组数据：13，17，10，8，x，2，若中位数是10，则平均数和众数分别是（     ） A．10，10 B．10，11 C．11，10 D．11，11 【变式2】（25-26八年级上·浙江宁波·开学考试）数据1，3，5，12，，其中整数是这组数据中的中位数和众数，则该组数据的平均数是__________． 【变式3】（25-26八年级下·天津北辰·期末）为了提高同学们的交通安全意识，某学校开展了交通安全知识竞赛．学校随机抽取名学生的知识竞赛成绩（满分10分）．根据统计结果，绘制成如下统计图1和图2． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为_____，图1中的值为_____； （2）求统计的这组学生成绩数据的平均数、众数和中位数； （3）该校共有800名学生参加了知识竞赛，请估计学生竞赛成绩高于8分的人数． 【题型 6】平均数、众数、中位数、方差综合 【例题6】（25-26八年级下·河南三门峡·期末）2026年，中国航天事业迎来70周年．回望来路，中国航天一步一跨越、一步一辉煌，在浩瀚宇宙镌刻下属于中华民族的壮丽史诗．为普及航天科普知识，丰富校园科技文化生活，我校举办了航天知识竞赛．全校学生积极组队参与，赛后，学校对各组的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，以下是甲、乙两组学生的成绩信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98． 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1）_____________，_____________； （2）补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【变式1】（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.7 8.6 8.4 0.27 如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表中数据一定不发生变化的是（     ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 【变式2】（25-26八年级下·福建厦门·期末）已知一组数据的方差为：，则________；这组数据的中位数是________． 【变式3】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）某校为了解学生在大课间的体育运动情况，从七年级和八年级各抽取一个班级进行体育测试，测试分为800米跑、1分钟跳绳、坐位体前屈3项，各项成绩分别按计算最终得分．现从每个班级随机抽测了10名学生，测试满分为100分，相关数据分析如下． （一）收集与整理 七年级10名学生的体育成绩（单位：分）：63，71，78，82，84，86，86，89，95，96． 八年级10名学生的体育成绩（单位：分）：66，73，77，81，83，85，85，90，94，96； （二）描述与分析 七年级和八年级的体育成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 83 85 93.8 八年级 83 85 77.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中，的值：________，________； （2）小华同学的800米跑、1分钟跳绳、坐位体前屈3项成绩分别为：85分、90分、80分，请计算小华同学的最终得分； （三）迁移与应用 （3）请结合以上统计量对该校七八年级体育成绩进行对比分析． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·浙江衢州·期末）甲，乙两个网站6月份的日均活跃人数分别为1万人和2万人（用户不重叠），日人均活跃时间分别为和．则6月份这两个网站所有用户的日人均活跃时间为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南周口·期末）一组数据： 3，5，4，5，6， 中位数和众数分别是（     ） A．4，5 B．5，5 C．5，4 D．4，4 3．（2025八年级上·全国·专题练习）小明想判断自己的体能测试成绩是否超过班级一半同学的成绩，应分析全班同学成绩的（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．以上均可以 4．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的下四分位数为（     ） A．160 B．143 C．130 D．120 5．（安徽芜湖市2025-2026学年度第二学期期末教学质量测评八年级数学试卷）现有甲、乙、丙、丁四种机器人在性能测试中的平均成绩都是128分，方差分别是，，，，这四种机器人测试成绩最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．（25-26八年级下·陕西榆林·阶段检测）已知一组数据2，4，6，8，则这组数据的离差平方和为（     ） A．20 B．19 C．18 D．17 7．（25-26八年级下·河南周口·期末）若一组数据的离差平方和，则这组数据的方差的值为（     ） A．5 B．6 C．5.5 D．10 8．（25-26八年级下·广西南宁·期末）把数据2，4，6，9，10分成两组，根据组内离差平方和最小的原则，最佳分组是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 9．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）2026年“五四”青年节到来之际，为传承五四精神，某校举办了演讲比赛，八（1）班派出6位同学参赛，成绩如下表所示，则下列选项中不正确的是（     ） 参赛选手 1号 2号 3号 4号 5号 6号 成绩/分 98 96 97 90 99 96 A．6位参赛同学成绩的众数是96分 B．6位参赛同学成绩的中位数是96.5分 C．6位参赛同学成绩的平均数是96分 D．6位参赛同学成绩的方差是10 10．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）小明将某市4月份每天的最高气温情况进行收集整理，通过分析绘制成箱线图，根据图中信息，下列说法正确的是（     ） A．这组数据的第一四分位数是15 B．这组数据的中位数是22.5 C．这组数据的第三四分位数是26 D．这组数据的最小值是23，最大值是26 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（湖南怀化市2025-2026学年下学期八年级期末数学教学质量监测试题）某校广播站在一次招聘中，分口语表达和写作能力两部分，口语表达和写作能力成绩按计算最终成绩，已知小丽的口语表达成绩为90分，写作能力成绩为85分，则小丽的最终成绩为_________分． 12．（25-26八年级上·河南周口·期末）若一组数据2， x， 4， 5， 6的中位数为4，则x的取值范围是______． 13．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知一组样本数据，，，，，的众数为8，则数的值为________． 14．（25-26八年级下·湖南娄底·期末）在某场女排决赛中，A队战胜B队获得冠军．下图反映了两队队员拦网高度情况，_____队拦网高度更高． 15．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）一组数据的最大值是183，最小值是145，将这组数据进行分组时，取组距为5，则组数是_________； 16．（25-26八年级下·新疆阿克苏·期末）两名射击运动员各打10发，平均环数均为环，甲的方差为，乙的方差为，则_____（填甲或乙）发挥更稳定． 17．（25-26八年级下·福建泉州·期末）数据组2，4，6，8，10，12的中位数是___________，上四分位数是___________． 18．（重庆市九龙坡区2025-2026学年八年级下学期期末学业质量测评数学试题）某教育单位招聘教师，金老师的笔试、试讲、面试成绩分别为94分、95分、90分．根据招聘规则，按笔试、试讲和面试三项得分的比例所得到的综合成绩为最后成绩，则金老师最后成绩为_____分． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·广东深圳·期末）小明家准备购置一辆电动小汽车，根据家庭需求决定在甲，乙两种型号中选择一款，他们查阅了某权威机构对这两台汽车的评分如下表（单项评分满分10分）： 型号 外观 配置 舒适性 安全性 甲 7 8 6 9 乙 9 8 7 7 （1）若通过平均分来确定最终评分，小明会选择___________型号的小汽车？（填“甲”或“乙”） （2）小明一家人认为各项都有不同的“重要程度”，大家商定外观、配置、舒适性和安全性按的比例来确定最终的选择．你认为小明家会选择哪个型号的小汽车？请通过计算说明． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·江苏无锡·期末）在一次演讲比赛中，评委对5位选手的“语言表达”与“演讲内容”两项成绩打分如图所示． （1）5位选手“语言表达”成绩的众数是___________分，“演讲内容”成绩的中位数是___________分： （2）求5位选手“演讲内容”成绩的平均分； （3）根据规定，“语言表达”与“演讲内容”成绩按一定比例计算最终成绩，若选手按比例计算后最终成绩为分，求“语言表达”所占比例为多少？（结果用百分数表示） 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·全国·课后作业）小明抽样调查了两个不同年龄段的人群晚上休息的时间，制作了如下统计图： （1）这两个年龄段的人群晚上休息的时间有什么特点？ （2）如果一组是青年组，另一组是老年组，那么你认为哪组有可能是青年组？ 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·广东深圳·期末）光明区某中学八（1）班在一次数学测试中，某题（满分为分）的得分情况如图所示，请据图回答： （1）这题得分的众数是 分，中位数是 分； （2）求这题得分的平均数； （3）八（1）班和八（2）班在该题中的平均得分相同，但八（1）班成绩的方差，八（2）班成绩的方差，且，那么该题成绩比较稳定的班级是八（ ）班．（填“”或“”） 23．（本小题满分10分）（湖南怀化市2025-2026学年下学期八年级期末数学教学质量监测试题）为了解学生对“防溺水知识”的掌握情况，某校组织全体学生进行了“防溺水”知识测试，测试后，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计分析，并将成绩由低到高，依次分为A、B、C、D、E五个组，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．已知B组同学的成绩如下（单位：分）：80、81、81、82、82、82、83、83、83、84、84、85根据所给信息，解答下列问题： （1）共抽取了_________名学生进行统计分析； （2）请补全频数分布直方图； （3）请求出扇形统计图中“C”所在扇形的圆心角的度数； （4）抽取的样本数据的中位数是多少？小明的成绩是84分，他估计自己的成绩在全校属于中等偏上，你同意他的观点吗？请说明理由． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100 乙：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 84.6 90 171.44 乙 86.3 92 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________； （2）求甲组学生竞赛成绩的下四分位数是_______，上四分位数是______，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据《信息2》和《信息3》，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $