专题 1.4 全等三角形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（浙教版）

本讲义聚焦全等三角形核心知识点，从全等图形定义切入，梳理全等三角形的对应顶点、边、角概念及对应边相等、对应角相等的性质，通过知识梳理与判断、求值、证明、动点分类讨论等题型精析搭建学习支架。 资料特色为知识点与题型紧密结合，例题及变式选自多地考试真题，培养数学思维中的推理意识与分类讨论能力，同步检测覆盖选择、填空、解答题，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

专题 1.4 全等三角形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】全等图形 1 【题型 1】全等图形的判断 1 【知识点二】全等三角形 3 【题型 2】全等三角形及相关概念 4 【知识点三】全等三角形的性质 5 【题型 3】利用全等三角形的性质求值 6 【题型 4】利用全等三角形的性质证明 8 【题型 5】全等三角形的性质与动点问题（分类讨论） 11 二.同步检测 16 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 16 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 21 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 24 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】全等图形 能够重合的两个图形称为全等图形。 【题型 1】全等图形的判断 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）在如图所示的方格图中作出两个全等的四边形． 解：如图四边形，四边形即为所求（答案不唯一）． 【变式1】（23-24七年级下·江苏盐城·开学考试）在下列各组图形中，是全等图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个完全重合的图形称为全等图形，根据定义逐项判定即可得到答案． 解： 解：A、两个图形大小不同，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形形状不同，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； D、两个图形的形状和大小都不相同，不是全等图形，不符合题意． 【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）下列5个说法： ①两个形状相同的图形称为全等图形； ②两个圆是全等图形； ③两个正方形是全等图形； ④全等图形的形状和大小都相同； ④面积相等的两个三角形是全等图形． 其中，说法正确的是___________． 【答案】④ 【分析】此题主要考查了全等形．根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可． 解：①两个形状相同的图形大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ②两个圆形状相同，大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ③两个正方形形状相同，大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ④全等图形的形状和大小都相同，说法正确； ⑤面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等图形，原说法错误； 正确的说法只有④， 故答案为：④． 【变式3】（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）如图，将图形分成大小、形状相同的三块，并且每块带一个☆．    【答案】见分析 【分析】根据图形可知本题分割的难点在于五角星的分割，所以先观察每个五角星所在的位置，在寻找三个五角星共同的位置特征，因为图中一共有12个正方形，所以每个图形拥有四个正方形，结合五角星所在位置的共同特征去分割图形即可． 解：如下图所示，将图形分成大小、形状相同的三块，并且每块带一个☆，     【点拨】本题考查对图形的观察和分析能力，能够找到三个特殊点共同的位置特征是解决本题的关键． 【知识点二】全等三角形 能够重合的两个三角形叫作全等三角形。两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫作全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫作全等三角形的对应边,互相重合的角叫作全等三角形的对应角。“全等”用符号“≌”表示。 【题型 2】全等三角形及相关概念 【例题2】（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，已知，指出它们的对应顶点、对应边和对应角． 解：对应顶点：点A与点C，点B与点D，点C与点A； 对应边：与，与，与； 对应角：与，与，与． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 解：∵， ∴，则的对应角为． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，若沿直线对折，与重合，则________，的对应边是________，的对应边是________，的对应角是________，的对应角是________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换及全等三角形的相关概念，解题的关键是掌握翻折的性质及找全等三角形对应边、角的方法． 根据翻折的性质解答即可． 解：若沿直线对折，与重合，则，的对应边是，的对应边是，的对应角是，的对应角是， 故答案为：，，，，． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，已知，指出这两对全等三角形中所有的对应边和对应角． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形的对应角、对应边相等． 根据全等三角形的性质，判断各全等三角形的对应边、角即可． 解：和的对应角是与与与； 对应边是与与与． 和的对应角是与与与； 对应边是与与、与． 【知识点三】全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 【题型 3】利用全等三角形的性质求值 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，求的长，以及的度数． 【答案】；； 【分析】根据全等三角形的对应边相等和对应角相等进行求解即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·山西运城·阶段检测）如图，已知，若，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先令与交于点，根据三角形内角和性质结合题意求出的值，再根据全等的性质，求出的值，最后根据是的外角，得，即可求解． 解：如图，与交于点， ∵的内角和为，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵是的外角， ∴． 【变式2】（23-24七年级下·上海·阶段检测）如图，若，B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是______． 【答案】3 【分析】根据全等三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案． 解：∵，， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·全国·期末）如图．，点在边上，与相交于点． （1）若，，求线段的长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）4；（2） 【分析】（）根据全等三角形对应边相等求解即可； （）根据全等三角形对应角相等得，则可求，进而根据求解即可． 解：（1）解：， ， ； （2）解：， ， 又， ， ． 【题型 4】利用全等三角形的性质证明 【例题4】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，，，，延长交于点，交于点．试说明． 【答案】见分析 【分析】根据全等三角形的性质可知，进而得到，根据三角形内角和定理可得，即可证明． 解：， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（25-26七年级下·上海·期中）如图，如果，顶点、、分别与顶点、、对应，且点在上，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的对应角相等、对应边相等，结合等腰三角形的性质和三角形的外角性质逐项判断即可． 解： ，，， 选项A、C正确，不符合题意； （三角形的外角性质） 又 选项D正确，不符合题意； 现有条件无法证明，故选项B错误，符合题意． 【变式2】（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，点，分别在的边，上，点在的延长线上，连接，若．则下列结论①；②；③；④点是的中点．其中不一定正确的是______（填写序号）． 【答案】③ 【分析】由全等三角形的性质可得∠A=∠ECF，AE=EC， AD=CF，∠AED=∠CEF，从而判断①正确，又由中点定义及平行线的性质可判断② ④正确，因为不一定等于90°，所以AC与DF不一定垂直，从而判断③不一定正确． 解：∵， ∴∠A=∠ECF，AE=EC， AD=CF，∠AED=∠CEF，故①正确， ∴，点是的中点，故② ④正确， ∵不一定等于90°， ∴    AC与DF不一定垂直，故③不一定正确， 故答案为：③． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质，中点定义，垂直定义，平行线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，的顶点E落在的边上，且． （1）求证：平分； （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形中对应角相等，对应边相等是关键． （1）根据全等三角形的性质得到，由等边对等角得到，等量代换即可求解； （2）根据全等三角形的性质，三角形的外角的性质进行计算即可求解． 解：（1）证明：， ， ， ， ， 即平分． （2）证明：， ， ， 即， 是的外角， ， ， ， ． 【题型 5】全等三角形的性质与动点问题（分类讨论） 【例题5】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知正方形边长为，动点M从点C出发，沿着射线的方向运动，动点P从点B出发，沿着射线的方向运动，连结， （1）若动点M和P都以每秒的速度运动，问t为何值时和全等？ （2）若动点P的速度是每秒，动点M的速度是每秒问t为何值时和全等？ 【答案】（1）t=1；（2）t=或t= 【分析】（1）根据△DCP与△BCM全等，列出关于t的方程，解之即可； （2）分当点P在点C左侧和当点P在点C右侧，两种情况，根据PC=CM，列方程求解即可． 解：（1）要使△DCP与△BCM全等， 则PC=CM， 由题意得：2t=4-2t， 解得：t=1； （2）当点P在点C左侧时， 则△DCP≌△BCM， ∴PC=CM， ∴4-3t=1.5t， 解得：t=； 当点P在点C右侧时， 则△DCP≌△BCM， ∴CP=CM， ∴3t-4=1.5t， 解得：t=， 综上：当t=或t=时，△DCP与△BCM全等． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是抓住全等三角形的条件，得到相等线段，列出方程，注意分类讨论． 【变式1】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，，垂足为点，厘米，厘米，射线，垂足为点，一动点从点出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动秒时，与全等，的值可能为（   ） A．2 B．2或6 C．6或8 D．2或6或8 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的性质．首先根据题意可知，本题要分两种情况讨论：①当E在线段上时，②当E在射线上时；再分别分成两种情况，，结合已知，运用即可得出 与全等，然后分别计算的长度即可． 解：①当E在线段上，时，， ，， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； ③当E在线段上，时，， 这时E在B点未动，不合题意舍去； ④当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分当在线段上时，，当在线段上时，，当在线段延长线上时，，当在线段延长线上时，四种情况，然后根据全等三角形的性质即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ，平分， ∴， ∴当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， ∴若与全等，则的值为或， 故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连结．点P到达点A时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． （1）在点P从A运动到C的过程中，线段的长为__________；（用含t的代数式表示） （2）当点P与点C重合时，求线段的长； （3）当为轴对称图形时，求t的值； （4）分别过点P、Q作于点D，于点E．当时，直接写出t的值． 【答案】（1）；（2）；（3）2或4；（4）或5 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用等；能用分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）由动点P从点A出发，沿A—C—A以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，即可求解； （2）当点P与点C重合时求得，由即可求解； （3）分类讨论：①当时，由为轴对称图形得，即可求解；②当时，同理可求； （4）①当时，由全等三角形的性质得，即可求解；②当时，同理可求． 解：（1）解：由的运动得， ， 故答案为：； （2）解：当点P与点C重合时， ， ， ； （3）解：①当时， ，， 为轴对称图形， ， ， 解得； ②当时， ，， 为轴对称图形， ， ， 解得； 故当为轴对称图形时，为t的值或； （4）解：①当时， ，， ， ， 解得； ②当时， ，， ， ， 解得； 故t的值为或5． 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25八年级上·黑龙江·单元测试）下列图标中，不是由全等形组合成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等图形的概念分析即可． 本题考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形是全等图形是解题的关键． 解：A、该图像是由四个全等的图形构成，故该选项不符合题意； B、该图像是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意； C、该图像不是由全等图形构成，故该选项符合题意； D、该图像是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 【答案】C 【分析】能够完全重合的两个图形是全等图形，根据概念逐一判断各选项即可得到正确答案． 解：A、形状相同的两个图形大小不一定相同，不一定能完全重合，因此不一定全等，本选项错误． B、两个长方形的长和宽不一定对应相等，不一定能完全重合，因此不一定是全等图形，本选项错误． C、两个全等图形能够完全重合，因此面积一定相等，本选项正确． D、两个正方形的边长不一定相等，不一定能完全重合，因此不一定是全等图形，本选项错误． 3．（25-26八年级下·广西崇左·开学考试）如图，七巧板中有个等腰直角三角形（），其中与三角形全等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 解：与三角形全等的是． 4．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据全等三角形的性质，得到，再根据三角形的外角的性质得出． 解：∵， ∴． ∵，， ∴． 5．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由全等三角形的性质得到，，然后利用三角形内角和定理求解． 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴． 6．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知的延长线交于点F，且经过点E，若，，则的角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据邻补角定义求得的度数，再根据全等三角形的性质求解的度数，然后根据三角形外角的性质可得出，即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 7．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，，且点共线，若的面积为，则________． A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质、完全平方公式、算术平方根等知识，数形结合是解题的关键． 设，且，根据得，，则，由的面积为，得，再进一步得到，即可得到答案． 解：设，且， ∵， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（   ） A． B．5或10 C．10 D．或10 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意，分类讨论：当时，，；当时，，；由全等三角形性质计算的值是否符合题意，即可求解． 解：点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后， ∴米，米， ∴（米）， 当时，，， ∴， 解得，， 此时，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴， 解得，， 此时，符合题意； 综上所述，与全等，的值为， 故选：A ． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：______ ． 【答案】 解：在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：． 10．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形四边形，则的度数是 ______ 【答案】 【分析】本题考查了全等图形的性质，根据全等图形的对应角相等求出的度数，进而根据四边形的内角和即可求解，掌握全等图形的性质是解题的关键． 解：∵四边形四边形， ， 故答案为：． 11．（25-26七年级下·上海·期中）如图，两个三角形全等，则的度数是______ 【答案】/度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．利用三角形内角和定理求得边与边的夹角，再利用全等三角形的性质求解即可． 解：在左侧三角形中，边与边的夹角为 两个三角形全等， 对应角相等． 由图可知，是边与边的夹角， 的度数是． 12．（25-26七年级上·山东烟台·期中）若，和分别是对应边和的高，且的面积是6，，则_______________． 【答案】 【分析】根据全等三角形对应边上的高相等，可得，再根据三角形面积公式即可求解． 解：，和分别是对应边和的高， ， ， ． 13．（25-26七年级下·甘肃兰州·阶段检测）如图，，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】根据全等三角形对应角相等可得，然后结合图形利用角的和差关系得出． 解： ， ． 14．（25-26七年级下·江西抚州·期中）如图，且，，，则______． 【答案】7 【分析】由全等三角形的性质可得，推出，结合与的长度求出的长，最后利用线段的和差关系求解即可． 解：， ， ，即， ，， ， ． 15．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，的两条高，相交于点F，若，，，则的面积为_________． 【答案】24 【分析】利用全等三角形的性质求出和的长可得结论． 解：， ，， ， ， ． 16．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，，，点在上，的延长线交于点，那么_________． 【答案】120 【分析】根据全等三角形的性质得到的度数，对顶角得到的度数，再根据三角形的外角的性质，即可得出结果． 解：∵，， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，已知，，，三点共线，如果，，求的长． 【答案】7 【分析】先利用线段和差求出，再利用全等三角形的性质求解． 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 18．（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，已知，且点F，B，E，C在同一条直线上． （1）连接．若，求的度数； （2）若，求长度的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形三边关系，三角形的外角性质，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等． （1）由全等三角形的性质推出，由三角形的外角性质得到； （2）由全等三角形的性质推出，由三角形三边关系定理得到答案． 解：（1）解：∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴ ∴． 19．（25-26七年级下·河北张家口·期中）如图，已知． （1）若，，求的度数； （2）若，，求AB的长． 【答案】（1）；（2）7 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，再利用三角形外角的性质进行解答即可； （2）根据全等三角形的性质得到，利用线段的差得到，再求出，即可求出答案． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且，试说明： （1）； （2）满足什么条件时， 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等、对应角相等． （1）利用全等三角形的性质可得，，然后再等量代换即可； （2）利用平行线的判定方法和全等三角形的性质进行推理即可． 解：（1）证明：∵， ∴，， ∵A，D，E三点在同一直线上， ∴， ∴； （2）解：当时，， ∵， ∴， ∴ ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.4 全等三角形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】全等图形 1 【题型 1】全等图形的判断 1 【知识点二】全等三角形 2 【题型 2】全等三角形及相关概念 2 【知识点三】全等三角形的性质 3 【题型 3】利用全等三角形的性质求值 3 【题型 4】利用全等三角形的性质证明 4 【题型 5】全等三角形的性质与动点问题（分类讨论） 5 二.同步检测 7 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 10 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】全等图形 能够重合的两个图形称为全等图形。 【题型 1】全等图形的判断 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）在如图所示的方格图中作出两个全等的四边形． 【变式1】（23-24七年级下·江苏盐城·开学考试）在下列各组图形中，是全等图形的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）下列5个说法： ①两个形状相同的图形称为全等图形； ②两个圆是全等图形； ③两个正方形是全等图形； ④全等图形的形状和大小都相同； ④面积相等的两个三角形是全等图形． 其中，说法正确的是___________． 【变式3】（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）如图，将图形分成大小、形状相同的三块，并且每块带一个☆．    【知识点二】全等三角形 能够重合的两个三角形叫作全等三角形。两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫作全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫作全等三角形的对应边,互相重合的角叫作全等三角形的对应角。“全等”用符号“≌”表示。 【题型 2】全等三角形及相关概念 【例题2】（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，已知，指出它们的对应顶点、对应边和对应角． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，若沿直线对折，与重合，则________，的对应边是________，的对应边是________，的对应角是________，的对应角是________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，已知，指出这两对全等三角形中所有的对应边和对应角． 【知识点三】全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 【题型 3】利用全等三角形的性质求值 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，求的长，以及的度数． 【变式1】（25-26七年级下·山西运城·阶段检测）如图，已知，若，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·上海·阶段检测）如图，若，B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是______． 【变式3】（25-26七年级下·全国·期末）如图．，点在边上，与相交于点． （1）若，，求线段的长； （2）若，，求的度数． 【题型 4】利用全等三角形的性质证明 【例题4】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，，，，延长交于点，交于点．试说明． 【变式1】（25-26七年级下·上海·期中）如图，如果，顶点、、分别与顶点、、对应，且点在上，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，点，分别在的边，上，点在的延长线上，连接，若．则下列结论①；②；③；④点是的中点．其中不一定正确的是______（填写序号）． 【变式3】（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，的顶点E落在的边上，且． （1）求证：平分； （2）求证：． 【题型 5】全等三角形的性质与动点问题（分类讨论） 【例题5】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知正方形边长为，动点M从点C出发，沿着射线的方向运动，动点P从点B出发，沿着射线的方向运动，连结， （1）若动点M和P都以每秒的速度运动，问t为何值时和全等？ （2）若动点P的速度是每秒，动点M的速度是每秒问t为何值时和全等？ 【变式1】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，，垂足为点，厘米，厘米，射线，垂足为点，一动点从点出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动秒时，与全等，的值可能为（   ） A．2 B．2或6 C．6或8 D．2或6或8 【变式2】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为______． 【变式3】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连结．点P到达点A时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． （1）在点P从A运动到C的过程中，线段的长为__________；（用含t的代数式表示） （2）当点P与点C重合时，求线段的长； （3）当为轴对称图形时，求t的值； （4）分别过点P、Q作于点D，于点E．当时，直接写出t的值． 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25八年级上·黑龙江·单元测试）下列图标中，不是由全等形组合成的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 3．（25-26八年级下·广西崇左·开学考试）如图，七巧板中有个等腰直角三角形（），其中与三角形全等的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知的延长线交于点F，且经过点E，若，，则的角度为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，，且点共线，若的面积为，则________． A． B． C．2 D． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（   ） A． B．5或10 C．10 D．或10 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：______ ． 10．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形四边形，则的度数是 ______ 11．（25-26七年级下·上海·期中）如图，两个三角形全等，则的度数是______ 12．（25-26七年级上·山东烟台·期中）若，和分别是对应边和的高，且的面积是6，，则_______________． 13．（25-26七年级下·甘肃兰州·阶段检测）如图，，则的度数为__________． 14．（25-26七年级下·江西抚州·期中）如图，且，，，则______． 15．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，的两条高，相交于点F，若，，，则的面积为_________． 16．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，，，点在上，的延长线交于点，那么_________． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，已知，，，三点共线，如果，，求的长． 18．（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，已知，且点F，B，E，C在同一条直线上． （1）连接．若，求的度数； （2）若，求长度的取值范围． 19．（25-26七年级下·河北张家口·期中）如图，已知． （1）若，，求的度数； （2）若，，求AB的长． 20．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且，试说明： （1）； （2）满足什么条件时， 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $