专题 3.4 圆周角（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学圆周角核心知识点，系统梳理圆周角定义（顶点在圆上且两边与圆相交）、圆周角定理（同圆或等圆中等于圆心角一半）及推论（同弧等弧圆周角相等、直径对直角），构建从概念到定理再到应用的递进学习支架。 资料以8类题型（基础概念辨析到实际应用、垂径定理综合）分层设计，结合例题与变式题培养抽象能力（区分圆心角与圆周角）、推理意识（同弧圆周角等量代换证明），课中辅助教师梯度教学，课后通过同步检测（选择、填空、解答题）助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题 3.4 圆周角（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】圆周角的定义 1 【知识点二】圆周角定理 2 【知识点三】圆周角定理推论1（同弧、等弧圆周角性质） 2 【知识点四】圆周角定理推论2（直径与直角圆周角） 3 二.题型精析 3 【题型1】基础概念辨析与直接计算（入门基础） 3 【题型2】圆周角定理求值证明（基础必会） 6 【题型3】同弧或等弧所对的圆周角求值证明（基础必会） 9 【题型4】直径推论直角应用（基础必会） 11 【题型5】同弧圆周角等量代换证明（能力提升） 14 【题型6】圆周角与平行线综合证明（难点突破） 17 【题型7】圆周角实际应用（拓展压轴） 21 【题型8】圆周角与垂径定理综合（拓展压轴） 24 三.同步检测 29 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 29 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 35 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 41 一.知识梳理与解读 【知识点一】圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。 定义 图示 几何语言 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角 在☉o中，是圆周角. 【要点提示】 1. 圆周角必须同时满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两条边均与圆相交，缺一不可； 2. 与圆心角区分：圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上； 3. 同一条弧可以对应无数个圆周角，但只对应一个圆心角。 【知识点二】圆周角定理 在同圆或等圆中，圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半，也等于它所对弧度数的一半。 数学符号：若圆周角与圆心角同对弧，则。 定义 图示 几何语言 在同圆或等圆中，圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半，也等于它所对弧度数的一半。 所对的圆周角有，所对的圆心角为， 【要点提示】 1. 定理核心前提：同弧或等弧，不同弧对应的圆心角与圆周角无此数量关系； 2. 定理证明分三类位置：圆心在圆周角边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部，均通过作直径转化证明； 3. 可实现：弧度数、圆心角度数、圆周角度数三者相互转化计算。 【知识点三】圆周角定理推论1（同弧、等弧圆周角性质） 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧也相等。 【要点提示】 1. 无需角度计算，可直接判定圆中角相等，是圆中角度等量代换的核心依据； 2. 前提必须为同圆或等圆，不同圆中相等圆周角对应的弧不一定相等； 3. 常用于证明三角形全等、等腰三角形、角度等量推导。 【知识点四】圆周角定理推论2（直径与直角圆周角） 半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）；90°的圆周角所对的弦是直径。 定理推论 图示 几何语言 半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）；90°的圆周角所对的弦是直径 ，; 在中，AB为的直径. 【要点提示】 1. 本推论是圆中构造直角、运用勾股定理的高频工具； 2. 看到直径优先联想直角圆周角，看到圆内直角优先判定对应弦为直径； 3. 半圆对应的弧度数为180°，对应圆周角为90°，符合圆周角定理度数关系。 二.题型精析 【题型1】基础概念辨析与直接计算（入门基础） 【例题1】（25-26九年级上·北京·课堂例题）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？ 【答案】特征见分析，（c）图中∠3、∠4、∠BAD是圆周角 解：（a）∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角； （b）∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角； （c）图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角． （d）∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角； （e）∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角. 【点拨】本题主要考查了圆周角的定义，熟练掌握顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·山西朔州·期中）如图，在中，．小明以点为圆心，的长为半径作圆，所作圆恰好经过的中点，则的半径为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合圆的性质解答即可． 本题考查了圆的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 解：连接，由．小明以点为圆心，的长为半径作圆，所作圆恰好经过的中点， 得, 故的半径为2． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解决问题的关键．由圆周角定理可得，结合为的直径，弦于点，，可得，，推出，最后根据勾股定理即可求解． 解：， ， 为的直径，弦于点，， ，， ， 在中，由勾股定理得，即， ，即的半径是， 故答案为：． 【变式3】（2025九年级下·江西南昌·学业考试）如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作弦AB的圆心角． （2）在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】此题考查了圆心角和圆周角，熟练掌握圆心角和圆周角的定义并准确作图是关键． （1）连接即可； （2）根据圆周角的定义和圆周角的顶点在格点上进行作图即可． 解：（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求， 【题型2】圆周角定理求值证明（基础必会） 【例题2】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，过点，的与，分别相交于，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 连接，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查弧、弦和圆心角的关系、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握弧、弦和圆心角的关系是解答的关键． 连接，，，，根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到，则，进而可得，根据等弧对等弦可求解． 解：略 【变式1】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，是的直径，C是上一点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 解：， ， 又， 【变式2】（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，A、B、C点在圆O上，若，则______． 【答案】36 【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，由此可求出的度数． 解：与是同弧所对的圆心角与圆周角， ， ， ． 【变式3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点D，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了直径对的圆周角是直角，弧、弦、圆周角间的关系，勾股定理等知识；连接，由直径对的圆周角是直角，得；由角平分线的定义及弧、弦、圆周角间的关系，得，从而在中，由勾股定理即可求解． 解：如图，连接， 是的直径， ， ∵ ∴ 的平分线交于点， ， ， ， 在中，，， ， ． 【题型3】同弧或等弧所对的圆周角求值证明（基础必会） 【例题3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，于于E，求证：． 【答案】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相等的弧对的圆心角相等，全等三角形的判定与性质；由相等的弧对的圆心角相等，得，进而可证明，即可证明结论． 解：略 【变式1】（2026·重庆·模拟预测）如图，是的直径，，是上的两点，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】DD 解：∵，， ∴． 又∵是的直径 ∴， ∴ 【变式2】（2026·湖南·三模）如图，，均在圆上，，则______． 【答案】/30度 【分析】根据同弧所对的圆周角相等，即可得出结果. 解：∵和是同弧所对的圆周角，， ∴. 【变式3】（24-25九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，中的弦，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，弧与弦之间的关系，全等三角形的性质与判定，可证明，，则可证明，得到． 解：证明：如图所示，连接， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 【题型4】直径推论直角应用（基础必会） 【例题4】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，连接．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，圆周角定理，掌握相关知识点是解题的关键． 根据圆周角定理，得出，再由等腰三角形三线合一即可证出． 解：证明:∵是的直径， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 根据等腰三角形三线合一，是边上的中线 ∴． 【变式1】（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图：是的直径，C、D是上的两点，连接、、，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，先利用同弧所对的圆周角相等，求出的度数；再根据直径的性质得到是直角三角形，最后通过直角三角形两锐角互余计算出的度数． 解：如图，连接． ∵和都是中弧所对的圆周角， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴在中，． 【变式2】（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）直角三角形两直角边长分别为2和3，那么它的外接圆的直径是________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，知道直角三角形外接圆的直径是斜边的长是关键；外心是三边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等． 直角三角形外接圆的直径是斜边的长． 解：如图，中，, 由勾股定理得：， ∵， ∴是的直径， ∴这个三角形的外接圆直径是； 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，四边形内接于，． 求证： （1）； （2）是的直径． 【答案】（1）证明：连接，如图， ， 而， ， ， ， ；    （2）证明：，， ， 为的直径． 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，再由可计算出，则，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到； （2）根据三角形内角和定理可计算出，则根据圆周角的推理即可得到为的直径． 解：（1）略 （2）略 【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 【题型5】同弧圆周角等量代换证明（能力提升） 【例题5】（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，直径与弦相交于点P，，． （1）求的大小； （2）已知圆心O到的距离为4，求的长． 【答案】（1）；（2）8 【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得，根据三角形外角性质求解即可； （2）过点O作于点E，则，根据垂径定理以及三角形中位线定理即可求解． 解：（1）解：根据同弧所对的圆周角相等可得到， ∵，， ∴； （2）解：过点O作于点E，则圆心O到的距离，， ∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【变式1】（2026·江苏南通·模拟预测）如图，，，是的直径，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和求出，再根据直径得到，求出，根据圆周角定理得到，最后根据三角形内角和求即可． 解：∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2026·江苏常州·二模）如图，是的直径，，则的度数为______． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角为直角可得的度数，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再由直角三角形两锐角互余即可得解． 解：是的直径， ， ， ， ． 【变式3】（2026·山东济宁·二模）如图，四边形内接于，，，垂足为，点在的延长线上，且，连接、． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见分析；（2）6 【分析】（1）先证明，然后由三角形内角和定理得到，再由互余关系得到，即可证明； （2）先证明，继而得到是线段的中垂线，．设，即可由勾股定理求解． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又 ∴， ∴， 又， ∴， ∴是线段的中垂线， ∵， ∴， 又， 设， 由，得， 解得， ∴． 【题型6】圆周角与平行线综合证明（难点突破） 【例题6】（2026·河南·二模）如图，是半圆的直径，点是半圆上的一点．在半圆上存在一点使得与平行． （1）请你用圆规和不带刻度的直尺作出点，连接，（保留作图痕迹，不需要写作法）； （2）若，求的长． 【答案】（1）如图所示，点即为所求． （2） 【分析】（1）作即可． （2）如图，连接，与交于点，连接，求解，进一步利用勾股定理求解即可． 解：（1）略 （2）解：如图，连接，与交于点，连接， 为直径， ． ∵， ， ， 点是的中点． 又点是的中点， ． ， ． 在中，． 在中，． 【变式1】（2026·河南三门峡·三模）如图，与以为直径的相切于点，连接交于点，点在上，连接，，若，则与的位置关系为（     ） A．平行 B．垂直 C．相交且不垂直 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题解题关键是连接，根据同弧所对圆周角是圆心角，得进而得到两段弧长相等，根据垂径定理判断出，最后再根据切线性质得出. 解：如图，连接，则． 为的直径， 与以为直径的相切于点 ． 【变式2】（2024·山东临沂·二模）如图，是半圆的直径，为半圆上一点，连接，，为弧上一点．连接，交于点，连接，若四边形为平行四边形，，则的长为 __． 【答案】6 【分析】如图，连接OC，证明AC=DE=2OE，利用勾股定理构建关系式，可得结论． 解：如图，连接． 是直径， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 故答案为：6． 【点拨】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式3】（24-25九年级上·江西赣州·期末）锐角是的内接三角形，于点D．请仅用无刻度的直尺按要求画图（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图1中，画出中的平分线． （2）在图2中，若，点E是的中点，画出过E点平行的直线． 【答案】（1）如图，射线即为所求； （2）如图，直线即为所求． 【分析】本题主要考查了垂径定理． （1）延长交于F，依据垂径定理即可得到F为的中点，连接，则平分； （2）连接，则直线平行，由，点E是的中点，点F是的中点，得，由圆周角定理得，再由内错角相等两直线平行得． 解：（1）略 （2）略 【题型7】圆周角实际应用（拓展压轴） 【例题7】（2026·吉林·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为，，，三个格点均在上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按下列要求画图．（画图过程用虚线表示） （1）在图①中，画出的圆心，并直接写出直径的长________． （2）在图②中，画出圆周角，使得． 【答案】（1）如图，图中点即为所求的圆心， ， （2）如图，图中即为所求（答案不唯一）， 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，以及，得到是的直径，根据矩形的对角线相等且相互平分，作矩形的对角线交于点，点即为所求；根据勾股定理即可求得的直径的长度． （2）根据格点的性质作等腰直角三角形，即可得，则与的交点即为所求，连接，根据同弧所对的圆周角相等，即可得到． 解：（1）解：根据作图可知，，，是的直径， ∴在中，， 故答案为：； （2）略． 【变式1】（2026·福建莆田·模拟预测）如图，A，B，C是上的点，且．现给出下列度数的圆周角，仅用一把无刻度的直尺无法画出的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 解：如图，作直径，连接、，在弧上取一点E，连接、， ∵A、B、C是上的点，且， ， ∵四边形内接于， ， ， ∵为的直径， ， ， ∴仅用无刻度的直尺能画出的圆周角有，，和． 【变式2】（2026·江苏南通·二模）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，的直径为寸，矩形内接于，若寸，则______寸． 【答案】 【分析】连接，由矩形的性质得，即得是的直径，再利用勾股定理解答即可求解． 解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是的直径， ∴寸， ∵寸， ∴（寸）． 【变式3】（2026·甘肃平凉·二模）某校的数学兴趣活动课上，老师正在开展以“用尺规作图法作特殊角”为主题的探究．如图，已知为外一点，请用尺规作图法在上求作一个点，使． 作法说明：①先作线段的垂直平分线，交于点． ②再以点为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，． ③点，均满足题意，点，为所求作的点． 按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹． 【答案】 【分析】根据作图步骤可得为直径，由直径所对的圆周角为直角可得，，进而即可得解． 解：略 【题型8】圆周角与垂径定理综合（拓展压轴） 【例题8】（2026·广西·中考真题）如图1，是锐角三角形的外接圆，，，于点． （1）求证：平分； （2）如图2，若以为圆心，为半径的圆与相切于点，求的长及的度数． 【答案】（1）证明：连接，， ，， ， ， ，，， ， ， 平分； （2）， 【分析】（1）连接，，证明即可； （2）连接，，，过点作于点，根据圆周角定理先确定为等腰直角三角形，，然后解求出，再由圆的切线的性质求解，再解求出，解求出，最后根据垂径定理以及角度和差计算即可． 解：（1）略 （2）解：连接，，，过点作于点， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， 以为圆心，为半径的圆与相切于点， ， ，均为等腰直角三角形， ， ， ，平分， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 【变式1】（2026·广东茂名·二模）如图，是的内接三角形，，，连接，，则的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，由垂径定理求出，根据圆周角求出圆心角，然后算出，设短直角边为，则斜边即圆的半径为，用勾股定理列方程求解半径． 解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， ， 故的半径是． 【变式2】（2026·广东广州·二模）如图，已知是的直径，是弦，且，，．则__________． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出，利用勾股定理求出的长，再根据垂径定理得出，从而得出，最后在中利用正切定义求解． 解：是的直径， ， 在中，，， 由勾股定理得， 是直径，， ， ， 在中，， ∴． 【变式3】（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E，连接，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （2）40 【分析】（1）先由等边对等角得，，则，根据同位角相等两直线平行得，再根据直径所对应的圆周角为得，然后根据两直线平行，同位角相等得，即可证明； （2）先根据垂径定理得，设，在中，由勾股定理列方程求出，即可求解． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积为：． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级下·河北张家口·开学考试）判断下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 解：根据圆周角的定义可知，选项D中的角是圆周角． 2．（2026·云南·中考真题）如图，是的弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆周角定理，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍求解． 解：． 3．（2026·福建福州·模拟预测）如图，是的直径，点，在上，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是的直径得出，根据直角三角形两锐角互余得出，根据圆周角定理即可得出答案． 解：∵是的直径，点，在上， ∴， ∵， ∴， ∵与都是所对的圆周角， ∴． 4．（25-26九年级上·北京顺义·期末）如图，是的直径，，是上的两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据是直径得出，然后利用圆周角定理的推论得出，最后利用直角三角形两锐角互余即可得出答案． 解：∵是的直径， ． ∵和都是所对的圆周角， ∴， ． 5．（2026·重庆·二模）如图，在中，是直径，点、在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧或等弧所对的圆周角相等求出，再结合直径所对的圆周角是直角求出． 解：和所对的弧都是弧， ， 所对的是直径， ， ． 6．（2026·吉林·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角为直角，求出，根据，求出，得出，再进行判断即可． 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点为边上不与点，重合的任意一点， ∴， ∵ ∴四个选项中只有A选项符合题意． 7．（2026·湖北恩施·二模）如图，是的半径，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，直线交于B，C两点，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得，结合半径相等证明为等边三角形，求出的度数，再利用圆周角定理求解即可． 解：连接，， 由作图可知直线是线段的垂直平分线， ， ， ， 为等边三角形， ， 与分别是弧所对的圆周角和圆心角， . 8．（2026·全国·二模）如图，是的外接圆，连接，．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆周角定理得到的度数，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 解：， ， ， ， ． 9．（2026·河南平顶山·三模）将以点O为中心点的量角器与直角三角板（其中）按如图所示方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点D为斜边上一点，作射线交于点E，若点E所对应的读数为，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据直角三角形斜边上的中线的性质推出点C在上，结合圆周角定理计算即可． 解：如图，连接、， 由题意，可知，，， ∴， ∴点C在上， ∴， ∴， ∴． 10．（2026·安徽芜湖·三模）如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在线段上，且，则线段的长不可能为（     ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意可得，从而得到点F在以为直径的半圆上运动，设的中点为O，以为直径画圆，连接， 设与圆O交于点，则圆O的半径为，则当点F与点重合时，线段最小，最小值为，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可求解． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上运动， 如图，设的中点为O，以为直径画圆，连接， 设与圆O交于点，则圆O的半径为， ∴当点F与点重合时，线段最小，最小值为， 在中，，， ∴， 即的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值大于，故A选项符合题意． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·江苏徐州·一模）如图，是的弦，点C是的中点，连接，若，则_______． 【答案】56 【分析】根据，利用等弧所对的圆周角相等，得到，再根据圆周角定理，得出，即可作答． 解：是的中点， ， ， ． 12．（2026·广东佛山·一模）如图，为的直径，，则______． 【答案】 【分析】连接，由为的直径，可得，由圆周角定理可得，结合三角形的内角和定理计算出． 解：如图， 连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（2026·安徽合肥·一模）如图，C，D是上直径两侧的点，若，则______°． 【答案】 【分析】连接，由题意得，，根据计算即可． 解：连接， ∵是的直径，， ∴，， ∴． 14．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，为直径，，，则________．    【答案】 【分析】本题考查的是圆周角定理，解题的关键是先根据三角形内角和定理求出的度数，再由圆周角定理即可得出结论． 解：，， ， ， 故答案为：． 15．（2026·海南三亚·模拟预测）以为中心点的量角器与直角三角板按如图的方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么__________度． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理及平角的定义. 根据量角器读数确定圆心角的度数，利用互补关系求出，再根据圆周角定理计算的度数，即可求解． 解：如图，连接 ，为的直径 点在上 由题意得： 与分别是所对的圆周角和圆心角 ． 16．（2026·河南·中考真题）如图，为的直径，，为上两点，，则的度数为_________． 【答案】 【分析】由圆周角定理得到，再根据三角形内角和定理计算即可． 解：∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 17．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，为的直径，上的点C，D在直径的两侧，E为直径上一点，且，已知，则的度数为______． 【答案】65 【分析】连接，首先根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，结合求得，再根据“直径所对的圆周角为直角”可得，然后由求解即可． 解：如下图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 18．（2026·河南平顶山·三模）如图，都是的半径，．若，，则的长为________． 【答案】5 【分析】过点O作于点D，延长OD交 于点E，根据等腰三角形的性质得到，证明．得到．由勾股定理得到．设，则．由勾股定理得到，即可求出的长． 解：过点O作于点D，延长OD交 于点E， ∵， ∴，． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 设，则． ∵， ∴， 解得． ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（第3章圆的基本性质知识归纳与题型训练（9类题型清单）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记�巧练（浙教版））如图，在中，，于点D，于点E． （1）求证：． （2）若，求长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）连接，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，根据角平分线的性质定理证明结论； （2）求出，根据勾股定理即可求出． 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理，全等三角形的判定与性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 解：（1）证明：连接， ， ， 又∵，， ； ∵， ， ∴， ∵， ∴； （2）解：，， ， ， ． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级下·辽宁阜新·阶段检测）如图，中，，以为直径作，交于点D，交的延长线于点E，连接、． （1）求证：D是的中点； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据圆周角定理、等腰三角形的三线合一的性质即可证得结论； （2）根据题意证明，得到，求出，即可求出半径． 解：（1）证明：是的直径， ， ， ， 是等腰三角形， ， D是的中点； （2）解：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 21．（本小题满分10分）（2026·安徽六安·模拟预测）如图，内接于，连接． （1）若，求的度数． （2）若，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据圆周角定理，先由 求出对应的圆心角，再用 减去，直接算出． （2）延长构造直径，连接，得到直角三角形；由 和半径相等，推出，进而得；最后在 中，用勾股定理算出． 解：（1）解： ， ． ， ． （2）解：如图，延长交于点，连接． 是的直径， ． ， ． ， ， ， ， ， ， ． 22．（本小题满分10分）（2026·广西柳州·二模）如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若所对圆心角的度数为，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）连接，根据为的直径，得出，根据，得出，则，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而可得，即可证明； （2）连接，依题意，根据圆周角定理可得，根据三角形的外角的性质以及（1）的结论，即可求解． 解：（1）证明：如图，连接． ∵是直径， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，连接 ∵， ∴． ∵， ∴． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，以的一边为直径的半圆与边，分别交于点，，且平分． （1）求证：； （2）设，用含的代数式表示； （3）若，求弦的长． 【答案】（1）证明：是直径， ， 平分， ， ，， ， ； （2） （3） 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，面积法求线段长，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为是直径，则，根据平分，可得，则可证明题目； （2）由题意可得，在中利用三角形内角和定理解决问题即可； （3）利用勾股定理可求得，根据求出即可． 解：（1）略 （2）解：是直径， ， ， ， ， ， 即； （3）解：，且平分， ，，， ， ，， ， ． 24．（本小题满分12分）（2025·湖南·模拟预测）【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系． 小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是； 【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； 【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ． 【答案】【探究】成立，见分析；【应用】 【分析】探究：过点作的垂线交延长线于点，连接，证出，可得到，，即可判定出，得到，即可求解； 应用：过点作的垂线交延长线于点，证出，利用全等的性质证出四边形是正方形，再利用正方形的性质求解即可． 解：【探究】成立，证明：过点作的垂线交延长线于点，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【应用】过点作的垂线交延长线于点，如图所示： ∵是直径，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵点为的三等分点，点与点位于线段两侧， ∴， 设，则， ∴，， ∴． 【点拨】本题为圆综合题型，涉及到了圆的性质，圆周角定理，全等三角的判定即性质，正方形的判定及性质，勾股定理等知识点，理解题意合理作出辅助线是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.4 圆周角（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】圆周角的定义 1 【知识点二】圆周角定理 2 【知识点三】圆周角定理推论1（同弧、等弧圆周角性质） 2 【知识点四】圆周角定理推论2（直径与直角圆周角） 3 二.题型精析 3 【题型1】基础概念辨析与直接计算（入门基础） 3 【题型2】圆周角定理求值证明（基础必会） 4 【题型3】同弧或等弧所对的圆周角求值证明（基础必会） 5 【题型4】直径推论直角应用（基础必会） 6 【题型5】同弧圆周角等量代换证明（能力提升） 7 【题型6】圆周角与平行线综合证明（难点突破） 8 【题型7】圆周角实际应用（拓展压轴） 9 【题型8】圆周角与垂径定理综合（拓展压轴） 10 三.同步检测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 16 一.知识梳理与解读 【知识点一】圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。 定义 图示 几何语言 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角 在☉o中，是圆周角. 【要点提示】 1. 圆周角必须同时满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两条边均与圆相交，缺一不可； 2. 与圆心角区分：圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上； 3. 同一条弧可以对应无数个圆周角，但只对应一个圆心角。 【知识点二】圆周角定理 在同圆或等圆中，圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半，也等于它所对弧度数的一半。 数学符号：若圆周角与圆心角同对弧，则。 定义 图示 几何语言 在同圆或等圆中，圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半，也等于它所对弧度数的一半。 所对的圆周角有，所对的圆心角为， 【要点提示】 1. 定理核心前提：同弧或等弧，不同弧对应的圆心角与圆周角无此数量关系； 2. 定理证明分三类位置：圆心在圆周角边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部，均通过作直径转化证明； 3. 可实现：弧度数、圆心角度数、圆周角度数三者相互转化计算。 【知识点三】圆周角定理推论1（同弧、等弧圆周角性质） 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧也相等。 【要点提示】 1. 无需角度计算，可直接判定圆中角相等，是圆中角度等量代换的核心依据； 2. 前提必须为同圆或等圆，不同圆中相等圆周角对应的弧不一定相等； 3. 常用于证明三角形全等、等腰三角形、角度等量推导。 【知识点四】圆周角定理推论2（直径与直角圆周角） 半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）；90°的圆周角所对的弦是直径。 定理推论 图示 几何语言 半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）；90°的圆周角所对的弦是直径 ，; 在中，AB为的直径. 【要点提示】 1. 本推论是圆中构造直角、运用勾股定理的高频工具； 2. 看到直径优先联想直角圆周角，看到圆内直角优先判定对应弦为直径； 3. 半圆对应的弧度数为180°，对应圆周角为90°，符合圆周角定理度数关系。 二.题型精析 【题型1】基础概念辨析与直接计算（入门基础） 【例题1】（25-26九年级上·北京·课堂例题）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？ 【变式1】（24-25九年级上·山西朔州·期中）如图，在中，．小明以点为圆心，的长为半径作圆，所作圆恰好经过的中点，则的半径为（    ） A． B．3 C． D．2 【变式2】（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是______． 【变式3】（2025九年级下·江西南昌·学业考试）如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作弦AB的圆心角． （2）在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 【题型2】圆周角定理求值证明（基础必会） 【例题2】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，过点，的与，分别相交于，．求证：． 【变式1】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，是的直径，C是上一点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，A、B、C点在圆O上，若，则______． 【变式3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点D，若，求的长． 【题型3】同弧或等弧所对的圆周角求值证明（基础必会） 【例题3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，于于E，求证：． 【变式1】（2026·重庆·模拟预测）如图，是的直径，，是上的两点，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖南·三模）如图，，均在圆上，，则______． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，中的弦，求证：． 【题型4】直径推论直角应用（基础必会） 【例题4】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，连接．求证：． 【变式1】（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图：是的直径，C、D是上的两点，连接、、，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）直角三角形两直角边长分别为2和3，那么它的外接圆的直径是________． 【变式3】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，四边形内接于，． 求证： （1）； （2）是的直径． 【题型5】同弧圆周角等量代换证明（能力提升） 【例题5】（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，直径与弦相交于点P，，． （1）求的大小； （2）已知圆心O到的距离为4，求的长． 【变式1】（2026·江苏南通·模拟预测）如图，，，是的直径，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏常州·二模）如图，是的直径，，则的度数为______． 【变式3】（2026·山东济宁·二模）如图，四边形内接于，，，垂足为，点在的延长线上，且，连接、． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【题型6】圆周角与平行线综合证明（难点突破） 【例题6】（2026·河南·二模）如图，是半圆的直径，点是半圆上的一点．在半圆上存在一点使得与平行． （1）请你用圆规和不带刻度的直尺作出点，连接，（保留作图痕迹，不需要写作法）； （2）若，求的长． 【变式1】（2026·河南三门峡·三模）如图，与以为直径的相切于点，连接交于点，点在上，连接，，若，则与的位置关系为（     ） A．平行 B．垂直 C．相交且不垂直 D．无法确定 【变式2】（2024·山东临沂·二模）如图，是半圆的直径，为半圆上一点，连接，，为弧上一点．连接，交于点，连接，若四边形为平行四边形，，则的长为 __． 【变式3】（24-25九年级上·江西赣州·期末）锐角是的内接三角形，于点D．请仅用无刻度的直尺按要求画图（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图1中，画出中的平分线． （2）在图2中，若，点E是的中点，画出过E点平行的直线． 【题型7】圆周角实际应用（拓展压轴） 【例题7】（2026·吉林·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为，，，三个格点均在上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按下列要求画图．（画图过程用虚线表示） （1）在图①中，画出的圆心，并直接写出直径的长________． （2）在图②中，画出圆周角，使得． 【变式1】（2026·福建莆田·模拟预测）如图，A，B，C是上的点，且．现给出下列度数的圆周角，仅用一把无刻度的直尺无法画出的是（     ）    A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏南通·二模）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，的直径为寸，矩形内接于，若寸，则______寸． 【变式3】（2026·甘肃平凉·二模）某校的数学兴趣活动课上，老师正在开展以“用尺规作图法作特殊角”为主题的探究．如图，已知为外一点，请用尺规作图法在上求作一个点，使． 作法说明：①先作线段的垂直平分线，交于点． ②再以点为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，． ③点，均满足题意，点，为所求作的点． 按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹． 【题型8】圆周角与垂径定理综合（拓展压轴） 【例题8】（2026·广西·中考真题）如图1，是锐角三角形的外接圆，，，于点． （1）求证：平分； （2）如图2，若以为圆心，为半径的圆与相切于点，求的长及的度数． 【变式1】（2026·广东茂名·二模）如图，是的内接三角形，，，连接，，则的半径是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·广东广州·二模）如图，已知是的直径，是弦，且，，．则__________． 【变式3】（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E，连接，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级下·河北张家口·开学考试）判断下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·云南·中考真题）如图，是的弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 3．（2026·福建福州·模拟预测）如图，是的直径，点，在上，，则（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·北京顺义·期末）如图，是的直径，，是上的两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·重庆·二模）如图，在中，是直径，点、在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·吉林·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·湖北恩施·二模）如图，是的半径，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，直线交于B，C两点，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·全国·二模）如图，是的外接圆，连接，．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 9．（2026·河南平顶山·三模）将以点O为中心点的量角器与直角三角板（其中）按如图所示方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点D为斜边上一点，作射线交于点E，若点E所对应的读数为，则的大小为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·安徽芜湖·三模）如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在线段上，且，则线段的长不可能为（     ） A． B． C．5 D．6 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·江苏徐州·一模）如图，是的弦，点C是的中点，连接，若，则_______． 12．（2026·广东佛山·一模）如图，为的直径，，则______． 13．（2026·安徽合肥·一模）如图，C，D是上直径两侧的点，若，则______°． 14．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，为直径，，，则________．    15．（2026·海南三亚·模拟预测）以为中心点的量角器与直角三角板按如图的方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么__________度． 16．（2026·河南·中考真题）如图，为的直径，，为上两点，，则的度数为_________． 17．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，为的直径，上的点C，D在直径的两侧，E为直径上一点，且，已知，则的度数为______． 18．（2026·河南平顶山·三模）如图，都是的半径，．若，，则的长为________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（第3章圆的基本性质知识归纳与题型训练（9类题型清单）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记�巧练（浙教版））如图，在中，，于点D，于点E． （1）求证：． （2）若，求长． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级下·辽宁阜新·阶段检测）如图，中，，以为直径作，交于点D，交的延长线于点E，连接、． （1）求证：D是的中点； （2）若，，求的半径． 21．（本小题满分10分）（2026·安徽六安·模拟预测）如图，内接于，连接． （1）若，求的度数． （2）若，求的长． 22．（本小题满分10分）（2026·广西柳州·二模）如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若所对圆心角的度数为，求的度数． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，以的一边为直径的半圆与边，分别交于点，，且平分． （1）求证：； （2）设，用含的代数式表示； （3）若，求弦的长． 24．（本小题满分12分）（2025·湖南·模拟预测）【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系． 小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是； 【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； 【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $