专题 3.3 垂径定理（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学垂径定理核心知识点，从圆的轴对称性、弦心距等基础概念出发，系统梳理定理及推论内容，提炼直角三角形计算模型、平行弦性质等核心规律，构建从概念到应用的递进式学习支架。 该资料以分层题型设计为特色，通过“月洞门半径计算”等实际情境培养数学眼光，借助平行弦距离分类讨论发展数学思维，同步检测的解答题强化数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升综合应用能力。

专题 3.3 垂径定理（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】基础概念梳理 1 【知识点二】垂径定理 2 【知识点三】垂径定理推论 2 【知识点四】垂径定理核心模型与拓展规律 3 二.题型精析 3 【题型 1】基础作图：利用垂径定理平分弧（入门基础） 3 【题型 2】基础计算：弦长、半径、弦心距互求（基础必会） 4 【题型3】定理推论综合证明（能力提升） 5 【题型4】实际应用：拱桥、隧道半径计算（中档拔高） 7 【题型5】分类讨论：平行弦距离问题（难点突破） 8 【题型6】最值综合：圆内最短弦证明（拓展压轴） 8 三.同步检测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 14 一.知识梳理与解读 【知识点一】基础概念梳理 1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。沿对称轴对折，圆的两部分完全重合，是垂径定理的推导依据。 2. 弧的中点：能够将一条弧分成两条相等弧的点，叫做这条弧的中点。 3. 弦的中点：能够将一条弦分成两条相等线段的点，叫做这条弦的中点。 4. 弦心距：圆心到圆中弦的垂线段的长度，是圆常用几何计算量。 【要点提示】 圆的对称轴必须是经过圆心的直线，直径是线段，不能称作对称轴；圆的轴对称性是垂径定理及推论的核心理论基础，所有弦、弧的平分关系均由此推导。 【知识点二】垂径定理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 符号语言：若是直径，于点，则，，。 定理及推论 图示 几何语言 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 在☉o中 ， 【要点提示】模型：半径、弦心距、半弦长构成直角三角形，满足勾股定理：； 【知识点三】垂径定理推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 定理及推论 图示 几何语言 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 【要点提示】 （1）推论限定“弦不是直径”：任意两条直径互相平分，但不一定垂直，不满足垂直关系； （2）五条件知二推三：过圆心、垂直弦、平分弦、平分劣弧、平分优弧，满足任意两个可推出其余三个（直径平分直径除外）。 【知识点四】垂径定理核心模型与拓展规律 1. 直角三角形计算模型：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，满足勾股定理：（r为圆半径，d为弦心距，l为弦长）。 2. 平行弦性质：圆内两条平行弦所夹的弧相等；求解两条平行弦距离需分圆心在两弦同侧、异侧两种情况讨论。 3. 圆内弦最值规律：过圆内一点的所有弦中，直径最长，与该点和圆心连线垂直的弦最短。 【要点提示】所有弦长、半径、弦心距的计算，优先构造垂径直角三角形；平行弦题型必须分类讨论，极易漏解；最值问题可直接套用结论快速解题。 二.题型精析 【题型 1】基础作图：利用垂径定理平分弧（入门基础） 【例题1】（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，是的直径，射线交交于点C． （1）尺规作图：求作弧的中点D．（保留作图痕迹） （2）过点D画垂足为E．若，，求的面积． 【变式1】（25-26九年级上·天津南开·期中）如图1，为⊙的直径，，如图2所示，按以下步骤作图： ①在直径上顺次截取线段，，使； ②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两条弧交于点，； ③作直线，与⊙相交于，两点，连接． 下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，已知． （1）作的直径； （2）以点A为圆心，长为半径画弧，交于C，D两点； （3）连接交于点E，连接． 根据以上作图过程及所作图形，有下面三个结论： ①；②；③；④． 其中正确结论的序号是______． 【变式3】（24-25九年级上·宁夏固原·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． （1）请仅用无刻度直尺按要求作图，画出过，，三点的圆的圆心，保留作图痕迹，不写作法． （2）过，，三点的圆的圆心坐标为__________． 【题型 2】基础计算：弦长、半径、弦心距互求（基础必会） 【例题2】（2026·安徽安庆·三模）如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【变式1】（2026·新疆喀什·一模）如图，为的直径，弦，连接，若，的半径为6，则的长为（     ） A．6 B． C．3 D． 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，为直径，弦于点H，若，则的半径长为______． 【变式3】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，是的直径，弦于点E，连接，若，，求的长． 【题型3】定理推论综合证明（能力提升） 【例题3】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C，其中点B坐标为． （1）请写出该圆弧所在的圆的圆心D的坐标______． （2）的半径为______． （3）点在______（填“上”、“内”或“外”）；______． 【变式1】（2025·山西长治·三模）如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·山东聊城·阶段检测）如图， 的直径，C是圆O上一点，点D平分，，则弦______________ 【变式3】（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，点在以为直径的上，，交于点，垂足，，． （1）连接，证明为等腰直角三角形； （2）连接，若点，在上，且，求证：． 【题型4】实际应用：拱桥、隧道半径计算（中档拔高） 【例题4】（安徽省淮南市田家庵区多校联考2025～2026学年九年级上学期期末数学试题）如图所示的是某景区“咏月碑林”景点入口处的门洞，这类圆形门洞因形如满月而得名“月洞门”，是中国古典建筑中常见的过径门．某数学兴趣小组利用周末时间实地勘测，测得该门洞地面入口宽为4米，拱高为4米，求该门洞所在圆（）的半径． 【变式1】（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为时，水面下盛水筒的最大深度为．（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）则该圆的半径为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·江西宜春·期末）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图（1），其数学模型如图（2）所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径，D为圆上一点，于点C，且，则门洞的半径为________m． 【变式3】（25-26九年级上·云南昆明·期末）文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸．图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，半径于D，连接．已知，，求盆口半径的长度． 【题型5】分类讨论：平行弦距离问题（难点突破） 【例题5】（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）一下水管道的截面如图所示．已知排水管的直径为100cm，下雨前水面宽为60cm．一场大雨过后，水面宽为80cm，求水面上升多少？ 【变式1】（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式2】（23-24九年级上·山东菏泽·期中）在中，弦，，的直径为20，则弦之间的距离为 ____________． 【变式3】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知的半径为，弦，，，求与间的距离． 【题型6】最值综合：圆内最短弦证明（拓展压轴） 【例题6】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，已知圆O的直径是10，点P是圆O内一点． （1）过点P作弦，使P为弦的中点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中的弦，点Q为圆O上一动点，则的最小值是__________． 【变式1】（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，是劣弧上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）如图，中，，，D是边BC上（不与端点重合）的一个动点，以AD为直径画分别交AB，AC于E，F，连接EF，若线段AD长度的最小值为，则线段EF长度的最小值为__________． 【变式3】（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图所示，是的直径，，是的两条弦，于点M，于点N，． （1）求的长； （2）若点P为上的动点，请确定点 P 的位置，使得的值最小，并求出最小值 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的弦，于H，连接、，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·广东珠海·期中）如图，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（    ） A．AB＝DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC 4．（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如图，是的直径，点C是的中点，点D为上的一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米，则该拱门模型的半径为（   ） A．米 B．4米 C．米 D．5米 6．（2026·河北邯郸·二模）如图，一种装饰盘由圆盘和支架组成，已知支架高，且、，垂足分别为点C、D．已知圆盘的半径为10，要使圆盘离桌面（所在直线）的最近距离为1，则支架和的距离为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 7．（2026·四川南充·中考真题）如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 8．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图1是盐城博物馆展出的战国时期的青铜剑，青铜剑被放置在一个弧形剑架上．如图2所示，剑架的弧形部分可看作一段圆弧，所在圆的圆心为点，弦的长为，过点作，垂足为点，且，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．（2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷）在中，为一条弦（不是直径），过作交于点，交于点，．若的半径为5，则的长为（     ） A．10 B．5 C． D． 10．（2026·河南开封·二模）崇宁通宝是北宋时期的钱币如图①，其形状可抽象为一个带正方形孔的圆形几何模型，部分尺寸（单位：mm）如图②所示，这枚古钱币实体部分的面积（单位：）为（   ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·北京东城·期中）如图，已知为的半径，且，弦于．若．则长为__________． 12．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，是的弦，长为8，是上一个动点（不与、重合），过点作于点，于点，则的长为________． 13．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 14．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，所在圆的圆心坐标是______ ． 15．（2026·河北廊坊·一模）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”．图2是月洞门的示意图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．已知，，则月洞门所在圆的半径为______． 16．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，拱桥可以近似的看作直径为260的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________． 17．（2026·湖南长沙·三模）如图，是的直径，弦于点，若，，则的直径为_________． 18．（2026·广东广州·二模）如图，在足球比赛中，球员甲带球奔向对方球门，在不考虑其他因素的情况下，一般射门角度越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球路线与球门垂直，为垂足，点在上，过的与相切于点．球员甲带球到点_______（填“”或“”）射门，进球的可能性更大；若，，则的长为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，内接于，是的直径，过点作交于点，交于点． （1）求证：．（2）若，，求的长． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． （1）求证：； （2）若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级下·北京·开学考试）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，，求的半径．      22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． （1）若，求线段的长． （2）若点在弦上运动，则的最大值________． 23．（本小题满分10分）（2026·内蒙古通辽·三模）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·北京通州·阶段检测）如图，在弧和弦所组成的图形中，P是弦上一动点，过点P作弦的垂线，交弧于点C，连接．已知，设A，P两点间的距离为，P，C两点间的距离为，A，C两点间的距离为． 小宇根据学习函数的经验，分别对函数随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小宇的探究过程，请补充完整： （1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了与x的几组对应值： x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 0 2.24 2.83 3.00 2.83 2.24 0 y2/cm 0 2.45 3.46 4.24 　 　 5.48 6 （2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当有一个角是时，的长度约为　 　 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.3 垂径定理（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】基础概念梳理 1 【知识点二】垂径定理 2 【知识点三】垂径定理推论 2 【知识点四】垂径定理核心模型与拓展规律 3 二.题型精析 3 【题型 1】基础作图：利用垂径定理平分弧（入门基础） 3 【题型 2】基础计算：弦长、半径、弦心距互求（基础必会） 8 【题型3】定理推论综合证明（能力提升） 11 【题型4】实际应用：拱桥、隧道半径计算（中档拔高） 15 【题型5】分类讨论：平行弦距离问题（难点突破） 19 【题型6】最值综合：圆内最短弦证明（拓展压轴） 22 三.同步检测 27 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 27 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 35 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 41 一.知识梳理与解读 【知识点一】基础概念梳理 1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。沿对称轴对折，圆的两部分完全重合，是垂径定理的推导依据。 2. 弧的中点：能够将一条弧分成两条相等弧的点，叫做这条弧的中点。 3. 弦的中点：能够将一条弦分成两条相等线段的点，叫做这条弦的中点。 4. 弦心距：圆心到圆中弦的垂线段的长度，是圆常用几何计算量。 【要点提示】 圆的对称轴必须是经过圆心的直线，直径是线段，不能称作对称轴；圆的轴对称性是垂径定理及推论的核心理论基础，所有弦、弧的平分关系均由此推导。 【知识点二】垂径定理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 符号语言：若是直径，于点，则，，。 定理及推论 图示 几何语言 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 在☉o中 ， 【要点提示】模型：半径、弦心距、半弦长构成直角三角形，满足勾股定理：； 【知识点三】垂径定理推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 定理及推论 图示 几何语言 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 【要点提示】 （1）推论限定“弦不是直径”：任意两条直径互相平分，但不一定垂直，不满足垂直关系； （2）五条件知二推三：过圆心、垂直弦、平分弦、平分劣弧、平分优弧，满足任意两个可推出其余三个（直径平分直径除外）。 【知识点四】垂径定理核心模型与拓展规律 1. 直角三角形计算模型：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，满足勾股定理：（r为圆半径，d为弦心距，l为弦长）。 2. 平行弦性质：圆内两条平行弦所夹的弧相等；求解两条平行弦距离需分圆心在两弦同侧、异侧两种情况讨论。 3. 圆内弦最值规律：过圆内一点的所有弦中，直径最长，与该点和圆心连线垂直的弦最短。 【要点提示】所有弦长、半径、弦心距的计算，优先构造垂径直角三角形；平行弦题型必须分类讨论，极易漏解；最值问题可直接套用结论快速解题。 二.题型精析 【题型 1】基础作图：利用垂径定理平分弧（入门基础） 【例题1】（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，是的直径，射线交交于点C． （1）尺规作图：求作弧的中点D．（保留作图痕迹） （2）过点D画垂足为E．若，，求的面积． 【答案】（1）图形见分析；（2）的面积 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理， 矩形的性质与判定，圆周角定理，熟知垂径定理是解题的关键． （1）作的垂直平分线交于D，点D即为所求； （2）设交于F，由是的直径，得到，由垂径定理可得，证明四边形为矩形，得到，则，由勾股定理得，则的面积． 解：（1）解：如图，点D即为所求； 作的垂直平分线交于D，点D即为所求； （2）解：设交于F， 是的直径， ， 由（1）得， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，由勾股定理得， 的面积． 【变式1】（25-26九年级上·天津南开·期中）如图1，为⊙的直径，，如图2所示，按以下步骤作图： ①在直径上顺次截取线段，，使； ②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两条弧交于点，； ③作直线，与⊙相交于，两点，连接． 下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查垂直平分线的作法，垂径定理的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据题意得出，确定，连接，利用垂径定理及勾股定理求解即可． 解：根据题意得：，故A选项正确，不符合题意； ∴，故B选项正确，不符合题意； ∴， 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴，选项C正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，已知． （1）作的直径； （2）以点A为圆心，长为半径画弧，交于C，D两点； （3）连接交于点E，连接． 根据以上作图过程及所作图形，有下面三个结论： ①；②；③；④． 其中正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【分析】①如图，连接，根据作图过程可得，再根据垂径定理即可判断；②根据作图过程可得，即是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可判断；③可以根据直角三角形角所对直角边等于斜边的一半． 解：如图，连接， ①∵是的直径 ∴ ∵以点A为圆心，长为半径画弧，交于C，D两点 ∴ 由垂径定理得，则推断①正确； ②∵ ∴是等边三角形 ∵ ∴ ∴，则推断②正确； ③由等边三角形的性质得 ∴，则推断③正确； ， ，则推断④错误； 综上，正确推断的序号是①②③ 故答案为：①②③． 【点拨】本题考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各定理与性质是解题关键． 【变式3】（24-25九年级上·宁夏固原·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． （1）请仅用无刻度直尺按要求作图，画出过，，三点的圆的圆心，保留作图痕迹，不写作法． （2）过，，三点的圆的圆心坐标为__________． 【答案】（1）画图见分析；（2） 【分析】（）利用正方形的性质画出线段的垂直平分线，与线段的垂直平分线的交点即为圆心； （）根据（）图写出点的坐标即可； 本题考查了垂径定理，坐标与图形，掌握垂径定理是解题的关键． 解：（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：由（）图可知，圆心坐标为， 故答案为：． 【题型 2】基础计算：弦长、半径、弦心距互求（基础必会） 【例题2】（2026·安徽安庆·三模）如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）∵是的直径， ∴． 又∵， ∴， 即． ∴． ∴． （2）10 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角与，得垂直于，根据垂径定理可得平分弧，进而可证对应圆心角． （2）设圆O半径为r，则长度可表示为；由垂径定理可知E为中点，得长度为的一半；在中，根据勾股定理列关于r的方程，求解即可得到半径． 解：（1）略 （2）解：设的半径为， ∵， ∴． ∵， 由（1）知，， ∴． 在中，由勾股定理， 代入得 ， 解得． 因此，的半径为． 【变式1】（2026·新疆喀什·一模）如图，为的直径，弦，连接，若，的半径为6，则的长为（     ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】连接，利用垂径定理的性质求得，再利用等边三角形的判定求出答案． 解：如图所示，连接， ∵为的直径，弦， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵的半径为6， ∴． 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，为直径，弦于点H，若，则的半径长为______． 【答案】// 【分析】连接，设圆的半径为，根据垂径定理可得，在中由勾股定理建立方程求解即可． 解：如图，连接， 设圆的半径为， ∵， ∴， 在中，，， ∴ 解得， ∴半径为． 【变式3】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，是的直径，弦于点E，连接，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理． 连接，先利用垂径定理得，再利用勾股定理计算出，所以，然后利用勾股定理计算出的长． 解：连接， ∵，且是直径， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， 在中，． 【题型3】定理推论综合证明（能力提升） 【例题3】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C，其中点B坐标为． （1）请写出该圆弧所在的圆的圆心D的坐标______． （2）的半径为______． （3）点在______（填“上”、“内”或“外”）；______． 【答案】（1）；（2）；（3）外；90 【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心； （2）根据勾股定理即可得到圆的半径； （3）根据圆D的半径为，即可判断点与圆的位置关系；连接，，，根据勾股定理求出，利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，即可得 本题是圆的综合题，考查了垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理及其逆定理等知识，熟知“弦的垂直平分线必过圆心”是解答此题的关键． 解：（1）解：作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，如图所示， 则圆心D的坐标为； 故答案为：； （2）解：由平面直角坐标系得， 的半径为； 故答案为：； （3）解：∵点到圆心的距离为， 点在圆D外； 连接，，，由平面直角坐标系得，， ， 圆D的半径为， ， ， 是直角三角形， 故答案为：外； 【变式1】（2025·山西长治·三模）如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查垂径定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选D． 【变式2】（23-24九年级上·山东聊城·阶段检测）如图， 的直径，C是圆O上一点，点D平分，，则弦______________ 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，三角形中位线定理．由题意可知点D平分， 为的中位线，根据直径求出半径，进而求出的长度，再根据中位线原理即可解答． 解：∵点D平分， ∴平分， ∴为的中位线， ∴， 又∵ 的直径， ∴， ∵， ∴， ∴弦， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，点在以为直径的上，，交于点，垂足，，． （1）连接，证明为等腰直角三角形； （2）连接，若点，在上，且，求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析． 【分析】（）根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出，得出，再根据，即可得出为等腰直角三角形； （）连接，根据，得出，再根据为等腰直角三角形得出，从而得出． 解：（1）证明：∵为直径，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形； （2）证明：连接，交于， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了垂径定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【题型4】实际应用：拱桥、隧道半径计算（中档拔高） 【例题4】（安徽省淮南市田家庵区多校联考2025～2026学年九年级上学期期末数学试题）如图所示的是某景区“咏月碑林”景点入口处的门洞，这类圆形门洞因形如满月而得名“月洞门”，是中国古典建筑中常见的过径门．某数学兴趣小组利用周末时间实地勘测，测得该门洞地面入口宽为4米，拱高为4米，求该门洞所在圆（）的半径． 【答案】米 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，设半径为r，连接，利用勾股定理列出即可解答． 解：如图，连接， 由题意可得， 米， 设半径为r，则， 由勾股定理得，即， 解得， 所以该门洞所在圆（）的半径为米． 【变式1】（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为时，水面下盛水筒的最大深度为．（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）则该圆的半径为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作直径，垂足为，设圆的半径为，由垂径定理可得，根据题意，则，在直角中，利用勾股定理构造方程求解出的值即可． 解：如图，作直径，垂足为，设圆的半径为， ∵直径， ∴， 由题意可知，， ∴， 在直角中，， ∴， 解得， ∴圆的半径为． 【变式2】（25-26九年级上·江西宜春·期末）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图（1），其数学模型如图（2）所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径，D为圆上一点，于点C，且，则门洞的半径为________m． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，矩形的判定与性质，以及二元二次方程组的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 过作于，过作于，由垂径定理得，再证四边形是矩形，则，，设该圆的半径长为米，然后由题意列出方程组，解方程组即可. 解：过作于，过作于，如下图所示： 则米，， ∵， ∴, ∴四边形是矩形, ∴，，， 设该圆的半径长为米， 根据题意得 解得 即门洞的半径长为米， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·云南昆明·期末）文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸．图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，半径于D，连接．已知，，求盆口半径的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，由垂径定理得出，设这个盆口半径的长为，则，再利用勾股定理即可得出r． 解：由题意得：，， ∴， 设这个盆口的半径的长为，则， 在中， 由勾股定理得：， 解得：， 答：这个盆口半径的长为． 【题型5】分类讨论：平行弦距离问题（难点突破） 【例题5】（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）一下水管道的截面如图所示．已知排水管的直径为100cm，下雨前水面宽为60cm．一场大雨过后，水面宽为80cm，求水面上升多少？ 【答案】水面上升的高度为10cm或70cm． 【分析】分两种情形分别求解即可解决问题． 解：作半径OD⊥AB于C，连接OB 由垂径定理得：BC＝AB＝30cm， 在Rt△OBC中，OC＝＝40cm， 当水位上升到圆心以下时  水面宽80cm时， 则OC′＝＝30cm， 水面上升的高度为：40﹣30＝10cm； 当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30＝70cm， 综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm． 【点拨】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 【变式2】（23-24九年级上·山东菏泽·期中）在中，弦，，的直径为20，则弦之间的距离为 ____________． 【答案】2或14 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．根据题意画出图形是解题的关键． 由于弦和平行，且它们与圆心的相对位置不确定，需分同侧和异侧两种情况，分别根据垂径定理和勾股定理求解即可． 解：①当在圆心的同侧，如图（一）所示时，过O作交于F，连接， 由垂径定理可知， 在中，； 在中，， 所以； ②当在圆心的异侧，如图（二）所示时，过O作交于F，连接， 同（一）可知：， 所以． 故答案为：2或14． 【变式3】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知的半径为，弦，，，求与间的距离． 【答案】或 【分析】有两种情况，即AB，CD在圆心O的同侧或两侧两种情况，需分类讨论． 解：如图①，过作于交于，连接，， ， ； 由垂径定理得，， ，， ； 如图②，过作于，于，连接，， 同理可得，， 当，在圆心的两侧时， ， 与的距离为或． 【点拨】此题主要考查的是勾股定理及垂径定理的应用，需注意AB、CD的位置关系有两种，不要漏解． 【题型6】最值综合：圆内最短弦证明（拓展压轴） 【例题6】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，已知圆O的直径是10，点P是圆O内一点． （1）过点P作弦，使P为弦的中点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中的弦，点Q为圆O上一动点，则的最小值是__________． 【答案】（1）见分析；（2）7 【分析】本题考查了点和圆的位置关系、垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． （1）利用垂径定理以及尺规作图即可； （2）由于是定值，当最小时的值最小，再利用垂线段最短，求出的延长线与的交点即为Q点． 解：（1）解：如图，连接，过点P作，则弦即为所求． （2）解：当延长，交于点Q，此时，的值最小， ∵， ∴， ∵的直径是10， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值是7． 故答案为7． 【变式1】（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，是劣弧上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先过点O作，运用垂径定理，勾股定理进行列式计算，得，再结合是上的一动点，与交于点，进行分析，即可作答． 解：依题意，过点O作，交于一点，连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵是上的一个动点，与交于点． ∴当时，即点与点重合时，则有最小值，且为3， 故选：B 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）如图，中，，，D是边BC上（不与端点重合）的一个动点，以AD为直径画分别交AB，AC于E，F，连接EF，若线段AD长度的最小值为，则线段EF长度的最小值为__________． 【答案】． 【分析】连接OE，OF，过O点作，垂足为H，由题意可知：当时，线段AD长度取得最小值为 ，根据，得到为等腰直角三角形，可得 ，即直径为，根据，得到 ，，可求得 ，，即有，则，根据勾股定理可求得，则有． 解：连接OE，OF，过O点作，垂足为H， 由题意可知：当时，线段AD长度取得最小值为， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即直径为， ∵， ∴，， ∴， ， 即， ∴． 又中，， ∴， ∴． 故线段EF长度最小值为． 【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 【变式3】（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图所示，是的直径，，是的两条弦，于点M，于点N，． （1）求的长； （2）若点P为上的动点，请确定点 P 的位置，使得的值最小，并求出最小值 【答案】（1）；（2）点P位置建详解； 【分析】（1）连接，分别求出和的长，进而即可求解； （2）连接交于点P，连接，作于点G，的长即为的最小值． 解：（1）连接， ∵，，是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）连接交于点P，连接，作于点G，则四边形是矩形， ∴， ∴． ∵，是的直径， ∴， ∴． ∴，即的值最小值为． 【点拨】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的弦，于H，连接、，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据垂径定理及等腰三角形三线合一逐项判断即可． 解：A：，， ∴，正确，故该选项不合题意； B：根据题目条件无法推出，错误，故该选项符合题意； C：由及可知，垂直平分， ∴， D：，， ∴平分， ∴，正确，故该选项不合题意． 故选：B ． 2．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由圆周角定理得到，再由垂径定理得到，即可根据等弧所对圆心角相等求解． 解：连接， ∵， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴． 3．（20-21九年级上·广东珠海·期中）如图，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（    ） A．AB＝DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC 【答案】C 【分析】过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，可得∠AOE＝∠BOE＝∠AOB，根据∠COD＝∠AOB，知∠AOE＝∠BOE＝∠COD，即CD＝AE＝BE，在△ABE中，由AE＋BE＞AB可得2CD＞AB． 解：如图，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE， ∴∠AOE＝∠BOE＝∠AOB， 又∵∠COD＝∠AOB， ∴∠AOE＝∠BOE＝∠COD， ∴CD＝AE＝BE， ∵在△ABE中，AE＋BE＞AB， ∴2CD＞AB， 故选：C． 【点拨】本题主要考查垂径定理和圆心角定理，根据∠AOB＝2∠COD利用垂径定理将角平分，从而根据圆心角定理得出答案是解题的关键． 4．（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如图，是的直径，点C是的中点，点D为上的一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，圆周角定理，由垂径定理的推理可得，则由圆周角定理可得答案． 解：如图所示，连接， ∵是的直径，点C是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米，则该拱门模型的半径为（   ） A．米 B．4米 C．米 D．5米 【答案】A 【分析】设拱门的圆心为O，连接，设拱门的半径为r，由垂径定理可得米，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出拱门的半径r． 解：如图，设拱门的圆心为O，连接， 设拱门的半径为r， 由题意可得：米，米，点O，D，C三点共线， 米， ， ， ， ． 6．（2026·河北邯郸·二模）如图，一种装饰盘由圆盘和支架组成，已知支架高，且、，垂足分别为点C、D．已知圆盘的半径为10，要使圆盘离桌面（所在直线）的最近距离为1，则支架和的距离为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】连接，，作于点，交于点，交于点，证明四边形是矩形，得出，，由垂径定理可得，由勾股定理可得，进而可求出的长． 解：如图，连接，，作于点，交于点，交于点， ， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 由题意得，， ∴． ∵圆盘的半径为10， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·四川南充·中考真题）如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 解：为直径，，， ， 在中，． 8．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图1是盐城博物馆展出的战国时期的青铜剑，青铜剑被放置在一个弧形剑架上．如图2所示，剑架的弧形部分可看作一段圆弧，所在圆的圆心为点，弦的长为，过点作，垂足为点，且，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理得到，结合题意得到是等腰直角三角形，则，再根据弧长公式计算即可． 解：弦的长为，过点作，垂足为点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴ ． 9．（2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷）在中，为一条弦（不是直径），过作交于点，交于点，．若的半径为5，则的长为（     ） A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出的长度，再结合勾股定理求出半弦长，最后根据垂径定理得到弦的长度． 解：如图， 的半径为， ， ， ， ， 由垂径定理得，且， 在中，由勾股定理得：， ． 10．（2026·河南开封·二模）崇宁通宝是北宋时期的钱币如图①，其形状可抽象为一个带正方形孔的圆形几何模型，部分尺寸（单位：mm）如图②所示，这枚古钱币实体部分的面积（单位：）为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，取圆心，过点作垂直正方形的边长于点，连接，可得，即得，再利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图，取圆心，过点作垂直于正方形的边长于点，连接， 则， ∴， ∴， 圆的面积为， 正方形的面积为， 古钱币实体部分的面积等于圆的面积减去正方形的面积，即． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·北京东城·期中）如图，已知为的半径，且，弦于．若．则长为__________． 【答案】12 【分析】根据，，可求得的长，再根据垂径定理和勾股定理可计算出答案． 解：∵弦于M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，是的弦，长为8，是上一个动点（不与、重合），过点作于点，于点，则的长为________． 【答案】4 【分析】先利用垂径定理可得，，再根据三角形中位线定理，即可求解． 解：∵，， ∴，， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：4． 【点拨】本题主要考查了垂径定理，三角形形的中位线定理，得到是的中位线是解题的关键． 13．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 14．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，所在圆的圆心坐标是______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，熟练掌握垂径定理的推论是解题关键．连接，根据垂径定理的推论可得的线段垂直平分线的交点即为所求，结合网格写出坐标即可得． 解：连接，结合网格作的线段垂直平分线，交点即为所在圆的圆心． 故答案为：． 15．（2026·河北廊坊·一模）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”．图2是月洞门的示意图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．已知，，则月洞门所在圆的半径为______． 【答案】 【分析】设月洞门所在圆的半径为，则，，由垂径定理得到，再由勾股定理建立方程求解即可． 解：如图所示，连接， 设月洞门所在圆的半径为，则， ∴， 由题意得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴月洞门所在圆的半径为． 16．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，拱桥可以近似的看作直径为260的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________． 【答案】10 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可． 解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接， 则，， ∴， ∴， 即这些钢索中最长的一根为， 故答案为：10． 17．（2026·湖南长沙·三模）如图，是的直径，弦于点，若，，则的直径为_________． 【答案】20 【分析】连接，在中，利用勾股定理进行求解即可. 解：连接，设的半径为，则， ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴，解得， ∴的直径为. 18．（2026·广东广州·二模）如图，在足球比赛中，球员甲带球奔向对方球门，在不考虑其他因素的情况下，一般射门角度越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球路线与球门垂直，为垂足，点在上，过的与相切于点．球员甲带球到点_______（填“”或“”）射门，进球的可能性更大；若，，则的长为______． 【答案】 【分析】令与的交点为，连接，过点作于点，连接，推导出，得到，则球员甲带球到点射门，进球的可能性更大，进而推导出四边形是矩形，得到，，根据勾股定理求出，则，即可解答． 解：解∶令与的交点为，连接，过点作于点，连接，如图， ，都为弧所对的圆周角， ， ， ， 球员甲带球到点射门，进球的可能性更大； ，点为圆心， ，， ，切于点， ， 四边形是矩形， ，，即， ， ． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，内接于，是的直径，过点作交于点，交于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：因为是的直径， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． （2） 【分析】本题考查了垂径定理，直径所对的圆周角是直角，三角形中位线定理等知识，掌握这些知识点是关键； （1）由直径所对的圆周角是直角及平行线的性质得，由垂径定理即可证明； （2）由三角形中位线定理即可求解． 解：（1）略 （2）解：由（1）得， 所以点是的中点， 因为点是的中点， 所以是的中位线， 因为，所以， 因为，所以， 所以． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． （1）求证：； （2）若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【答案】（1）证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； （2）大圆的半径为 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 解：（1）略 （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级下·北京·开学考试）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，，求的半径．      【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，连接，由垂径定理的推论得，，设的半径长为m，则，，在中，由勾股定理得，解方程即可求解，掌握垂径定理的推论是解题的关键． 解：如图，连接， ∵是弦的中点，， ∴，， 设的半径长为m，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径长为． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． （1）若，求线段的长． （2）若点在弦上运动，则的最大值________． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）过点作于点，作于点，连接，，用垂径定理得到，算出长，在中利用勾股定理求出，由三个直角判定四边形为矩形，得到、长度，再在利用勾股定理求出，最后由求得； （2）沿用（1）的辅助线与矩形结论，设，，将整理为，由勾股定理得到，利用完全平方公式推出的最大值，即可得出的最大值． 解：（1）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， 同（1）得，，四边形是矩形， 设，，则， ∴， 故求的最大值，只需求的最大值， 在中，，即， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴当且仅当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为． 23．（本小题满分10分）（2026·内蒙古通辽·三模）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：∵， ∴． 又∵于点， ∴． ∵是的半径，， ∴， ∴， ∴； （2）的半径是． 【分析】（1）根据等角对等边得到，根据三线合一得到，根据垂径定理得到，可知； （2）连接，根据垂径定理得到，，设的半径是，根据勾股定理求解即可． 解：（1）略； （2）解：如图，连接， ∵，为的弦， ∴，， ∴， 设的半径是， ∴， 解得． ∴的半径是． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·北京通州·阶段检测）如图，在弧和弦所组成的图形中，P是弦上一动点，过点P作弦的垂线，交弧于点C，连接．已知，设A，P两点间的距离为，P，C两点间的距离为，A，C两点间的距离为． 小宇根据学习函数的经验，分别对函数随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小宇的探究过程，请补充完整： （1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了与x的几组对应值： x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 0 2.24 2.83 3.00 2.83 2.24 0 y2/cm 0 2.45 3.46 4.24 　 　 5.48 6 （2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当有一个角是时，的长度约为　 　 【答案】（1）4.90；（2）见分析；（3）1.50或4.50 【分析】（1）利用测量法解决问题即可． （2）利用描点画出函数图象即可． （3）利用图象法求出函数与直线,直线的交点的横坐标即可解决问题． 解：（1）利用测量法可知：当时，． 故答案为4.90． （2）函数图象如图所示： （3）函数与直线的交点的横坐标为1.50， 函数与直线的交点的横坐标为4.50， 故当有一个角是时，的长度约为1.50或4.50． 故答案为1.50或4.50． 【点拨】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，勾股定理，一次函数的性质，函数的图象与性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $