专题01反比例函数精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦反比例函数核心知识，系统梳理定义（含三种等价写法）、图像性质（双曲线及象限分布）、增减性（同一象限限定）、对称性（中心对称与轴对称）、k几何意义（矩形和三角形面积）、解析式求解及与一次函数综合应用，构建完整学习支架。 资料通过22类分层题型（含解题思路与例题）培养数学思维，常见误区提示强化抽象能力与推理意识，实际应用题（如压强、密度问题）发展模型意识。课中辅助教学，课后助学生查漏补缺，提升学习效果。

专题01反比例函数精讲学案 概念核心 1.反比例函数定义：形如y=（k为常数，k≠0），自变量x≠0，函数值y≠0。 2.三种等价写法：y=kx-1、xy=k，用于快速判定反比例函数。 图像与象限规律 1.图像名称为双曲线，分为两支，永不与x轴、y轴相交。 2.k>0：双曲线分布在第一、三象限； k<0：双曲线分布在第二、四象限。 增减性性质 1.k>0：在每一个象限内，y随x增大而减小； 2.k<0：在每一个象限内，y随x增大而增大； ⚠️关键：不能直接说全体定义域单调，必须限定同一象限。 对称性 1.中心对称：双曲线关于坐标原点中心对称； 2.轴对称：关于直线y=x、y=-x轴对称。 k几何意义（本章计算核心考点） 过双曲线上任意一点，作x轴、y轴垂线，围成矩形面积S=|k|； 直角三角形面积S=|k|；已知面积求解析式，结合象限确定k正负。 解析式求解 待定系数法：带入图像上一个点的坐标，直接求出k，写出函数式。 函数综合应用 1.反比例函数与一次函数交点求解，联立方程计算； 2.利用函数图像比较函数值大小； 3.结合实际问题列反比例函数关系式解决应用题。 1.忽略增减性“同一象限”前提，跨象限使用单调性比较大小； 2.由面积求k只算绝对值，忘记根据图像象限判断正负； 3.画图用直线连接描点，双曲线需要平滑曲线绘制； 4.忽视k≠0、x≠0限制条件。 题型 考察方向 难度 题型一 用反比例函数描述数量关系 ★ 题型二 由定义判断反比例函数 ★ 题型三 由反比例函数的定义求参数 ★★ 题型四 求反比例函数值 ★ 题型五 由反比例函数函数值求自变量 ★ 题型六 判断反比例函数图象 ★★ 题型七 反比例函数图象判断解析式 ★★ 题型八 反比例函数对称性求点坐标 ★★★ 题型九 双曲线分布象限求参数范围. ★★★ 题型十 判断反比例函数的增减性 ★★ 题型十一 判断反比例图象所在象限 ★★ 题型十二 由反比例函数增减性求参数 ★★★ 题型十三 比较反比例函数值/自变量大小 ★★★ 题型十四 由比例系数求特殊图形面积 ★★★ 题型十五 求反比例函数解析式 ★★ 题型十六 反比例函数与几何综合 ★★★★ 题型十七 由图形面积求比例系数 ★★★★ 题型十八 一次与反比例函数图象综合判断 ★★★ 题型十九 一次与反比例函数交点问题 ★★★★ 题型二十 实际问题与反比例函数 ★★★ 题型二十一 一次与反比例函数其他综合应用 ★★★★ 题型二十二 一次与反比例函数实际应用 ★★★★ 拔高练 8题 题型一用反比例函数描述数量关系 解题核心思路：先找到两个变量的乘积为定值，整理成y=形式；实际问题要补充自变量x>0。 1．下列关系中，成反比例关系的是（    ） A．长方形的周长一定时，相邻两边的长 B．三角形面积一定时，它的底和高 C．机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间 D．一个人的跑步速度与他的体重 2．下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 3．如图的电路图中，用电器的电阻是可调节的，其范围为，已知电压，下列描述中错误的是（    ） A．与成反比例： B．与成反比例： C．电阻越大，功率越小 D．用电器的功率的范围为 题型二 由定义判断反比例函数 解题核心思路：对照3种形式：y=、y=kx-1、xy=k（k≠0）；变量乘积是非零常数，自变量次数为-1。 4．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 5．下列函数不是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 6．在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型三：由反比例函数的定义求参数 解题核心思路：满足两个条件：①自变量次数=-1；②系数k≠0；联立方程+不等式求解。 7．若函数为y关于x的反比例函数，则m的值为（   ） A． B．0 C．2 D．或2 8．已知点，都在反比例函数的图象上，则的值是______． 9．已知，两点都在反比例函数的图象上，若，则的值为__________． 题型四：求反比例函数值 解题核心思路：把已知x的值代入解析式，直接计算出对应的y。 10．反比例函数的图象一定经过下列哪个点（     ） A． B． C． D． 11．函数，当时，函数值y为（   ） A．3 B． C．12 D． 12．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和，若，则的值为________． 题型五：由反比例函数函数值求自变量 解题核心思路：把已知y的值代入解析式，解方程求出对应的x。 13．若反比例函数的图象经过点，则a的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 14．考察函数的图象，当时，_______；当时，y的取值范围是_______；当时，x的取值范围是_______． 15．小明同学利用计算机软件绘制函数（为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数的值满足（    ） A． B． C． D． 题型六：判断反比例函数图象 解题核心思路：图象是双曲线；k>0在一、三象限，k<0在二、四象限；图象永远不与坐标轴相交。 16．某公司计划新建一个容积一定的长方体污水处理池，池的底面积与深度之间的函数表达式为．这个函数的图象大致是（   ）． A．B．C． D． 17．函数的大致图像为（     ） A． B． C． D． 18．定义新运算：a⊕b＝，例如：3⊕4＝，3⊕（﹣4）＝，则函数y＝5⊕x（x≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 题型七：反比例函数图象判断解析式 解题核心思路：先由图象象限判断k正负；再把图象上已知点坐标代入，求出k，写出解析式。 19．如图所示的图象，对应的函数解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 20．如图，点P在反比例函数的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 21．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可以为（   ） A． B． C． D．2 题型八：反比例函数对称性求点坐标 解题核心思路：双曲线关于原点中心对称，若(x,y)在图象上，则对称点为(-x,-y)；也可利用y=x、y=-x轴对称解题。 22．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 23．实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．上调为表示镭的放射规律的函数图像，据此可计算32mg镭缩减为1mg所有的时间大约是_______年． 24．反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　） ①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上． A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 题型九：双曲线分布象限求参数范围. 解题核心思路：一、三象限 k>0；二、四象限<0，列出不等式解出参数范围。 25．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 26．已知点在反比例函数的图象上，若，则a的取值范围是__________． 27．已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 题型十：判断反比例函数的增减性 解题核心思路：必须限定同一象限内；k>0，y随x增大而减小；k<0，y随x增大而增大。 28．下列函数中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 29．下列函数：①；②；③；④；⑤中，y随x的增大而减小的有________个． 30．已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 题型十一：判断反比例图象所在象限 解题核心思路：看比例系数k；k>0，图象在一、三象限；k<0，图象在二、四象限。 31．反比例函数的图象位于（    ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 32．如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上，根据图中四点的位置，其中不在反比例函数图象上的点是（   ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 33．反比例函数的图象经过点，且，则下列说法错误的是（     ） A． B．图象位于二、四象限 C．当时，y随x增大而增大 D．点也在该图象上 题型十二：由反比例函数增减性求参数 解题核心思路：根据增减性锁定k的正负，列出不等式，解出参数取值范围。 34．已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，的值随值的增大而增大．那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．已知反比例函数，当时，y随x的增大而减小．则k的值可以为_____________．（写出一个即可） 36．已知反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值可能为（   ） A． B． C． D． 题型十三：比较反比例函数值/自变量大小 解题核心思路：①同象限：用增减性比较；②跨象限：根据横坐标正负，直接判断y的正负再比较。 37．已知反比例函数点，在图象上，则、大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 38．已知点，在反比例函数的图象上．若，则点A的坐标可以是________（写出一种可能的情况即可）． 39．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 题型十四：由比例系数求特殊图形面积 解题核心思路：过双曲线上一点向坐标轴作垂线，矩形面积S=|k|，直角三角形面积S=|k|。 40．双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接，，则的面积为（     ） A．1 B．2 C．1.5 D．0.5 41．如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点A，点B，连接．若轴，则的面积是______． 42．如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 题型十五：求反比例函数解析式 解题核心思路：待定系数法，把图象上一个已知点坐标代入y=，求出k即可。 43．点在反比例函数的图象上，则下列各点中，在此函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 44．如图，已知点，，函数的图象经过点A，与交于点C．若C为的中点，则________． 45．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，轴与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点D，若，则k的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 题型十六：反比例函数与几何综合 解题核心思路：结合k的几何意义，把线段长度转化为坐标，再利用面积、勾股定理建立等式求k。 46．如图，面积为6的四边形中，对角线，已知长为，长为，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 47．如图，点A与点B分别在函数与的图象上，线段的中点M在y轴上．若的面积为3，则的值是________． 48．如图，点在双曲线上，过点A作轴，垂足为C，线段的垂直平分线交于点B，，则周长的值是（     ） A．4 B． C． D． 题型十七：由图形面积求比例系数 解题核心思路：先由面积算出|k|，再根据双曲线所在象限，确定k的正负 49．点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 50．反比例函数在第一象限的图象如图所示，点在函数的图象上，点为轴正半轴上一点，连接，，且，若，那么____________． 51．如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 题型十八：一次与反比例函数图象综合判断 解题核心思路：分别观察一次函数截距、斜率和反比例函数k的正负，保证两个函数系数符号统一。 52．函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（   ） A． B． C． D． 53．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A．B． C． D． 54．二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． B． C． D． 题型十九：一次与反比例函数交点问题 解题核心思路：联立两个函数解析式，得到一元二次方程，解方程求交点横坐标，再求纵坐标。 55．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 56．如图，反比例函数与直线交于A、B两点，，，则_________． 57．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（     ） A．1 B．2 C． D． 题型二十：实际问题与反比例函数 解题核心思路：先找到两个变量的乘积不变，建立y=模型，再结合实际限定自变量取值范围。 58．面积为2的，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（    ） A．B．C． D． 59．某物体对地面的压强与物体和地面的接触面积成反比例函数关系，其图象如图，当压强小于等于时，的取值范围是________． 60．【科学知识】①同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系．②两种液体混合后密度满足：（其中，为两种液体的密度，，为两种液体的体积，为方便计算，假定）． 【问题解决】图1中的液体由的水与的溶液甲混合而成，为测算溶液甲的密度，小明将一正方体木块置于图1液体中，测得漂浮的正方体木块浸入液体的深度为；小明又将该木块置于图2的水中，测得漂浮的正方体木块浸入水的深度为．已知水的密度为，则溶液甲的密度为（     ）． A． B． C． D． 题型二十一：一次与反比例函数其他综合应用 解题核心思路：联立方程组求交点，结合图象位置，分区间比较两个函数值的大小。 61．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为________． 62．如图，直线与双曲线相交于，两点，则关于x的不等式的解集为________．    63．如图，直线与轴、轴分别交于点、，点是线段上一动点，过点作轴，轴，垂足分别是点、，，若双曲线经过点，则的值为（    ）      A． B． C． D． 题型二十二：一次与反比例函数实际应用 解题核心思路：先根据实际条件分别列出一次函数、反比例函数关系式，再联立求解，结合实际取舍解。 64．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 65．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 66．如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______． 解答题 1．分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． (1)当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． (2)玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 2．已知反比例函数的图象经过，两点． (1)求，的值； (2)这个函数图象位于哪些象限？当时，直接写出的取值范围． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求m、n的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)已知点是轴上一点，连接、，若的面积为，求出点的坐标． 5．如图，已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点A和点B，点A的横坐标为1，过点A作x轴的垂线，垂足为M，连接．    (1)这个反比例函数的解析式； (2)的面积． 6．如下图，A是反比例函数图象上一点，轴于点C，且与反比例函数的图象交于点，连接．若的面积为6，求的值． 7．在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个电路给一个小灯泡供电，在实验中，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，当时，． (1)写出关于的函数解析式； (2)完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … … (3)当电流超过10A时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器的阻值应控制在什么范围内？ 8．如图①，在中，于点D，，，，点E是上一动点（不与点A，D重合），在内作矩形，点F在上，点G，H在上，设，连接． (1)当矩形是正方形时，直接写出 ， ； (2)设的面积为，矩形的面积为，令，求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）； (3)如图②，点是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求面积的最小值，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01反比例函数精讲学案 概念核心 1.反比例函数定义：形如y=（k为常数，k≠0），自变量x≠0，函数值y≠0。 2.三种等价写法：y=kx-1、xy=k，用于快速判定反比例函数。 图像与象限规律 1.图像名称为双曲线，分为两支，永不与x轴、y轴相交。 2.k>0：双曲线分布在第一、三象限； k<0：双曲线分布在第二、四象限。 增减性性质 1.k>0：在每一个象限内，y随x增大而减小； 2.k<0：在每一个象限内，y随x增大而增大； ⚠️关键：不能直接说全体定义域单调，必须限定同一象限。 对称性 1.中心对称：双曲线关于坐标原点中心对称； 2.轴对称：关于直线y=x、y=-x轴对称。 k几何意义（本章计算核心考点） 过双曲线上任意一点，作x轴、y轴垂线，围成矩形面积S=|k|； 直角三角形面积S=|k|；已知面积求解析式，结合象限确定k正负。 解析式求解 待定系数法：带入图像上一个点的坐标，直接求出k，写出函数式。 函数综合应用 1.反比例函数与一次函数交点求解，联立方程计算； 2.利用函数图像比较函数值大小； 3.结合实际问题列反比例函数关系式解决应用题。 1.忽略增减性“同一象限”前提，跨象限使用单调性比较大小； 2.由面积求k只算绝对值，忘记根据图像象限判断正负； 3.画图用直线连接描点，双曲线需要平滑曲线绘制； 4.忽视k≠0、x≠0限制条件。 题型 考察方向 难度 题型一 用反比例函数描述数量关系 ★ 题型二 由定义判断反比例函数 ★ 题型三 由反比例函数的定义求参数 ★★ 题型四 求反比例函数值 ★ 题型五 由反比例函数函数值求自变量 ★ 题型六 判断反比例函数图象 ★★ 题型七 反比例函数图象判断解析式 ★★ 题型八 反比例函数对称性求点坐标 ★★★ 题型九 双曲线分布象限求参数范围. ★★★ 题型十 判断反比例函数的增减性 ★★ 题型十一 判断反比例图象所在象限 ★★ 题型十二 由反比例函数增减性求参数 ★★★ 题型十三 比较反比例函数值/自变量大小 ★★★ 题型十四 由比例系数求特殊图形面积 ★★★ 题型十五 求反比例函数解析式 ★★ 题型十六 反比例函数与几何综合 ★★★★ 题型十七 由图形面积求比例系数 ★★★★ 题型十八 一次与反比例函数图象综合判断 ★★★ 题型十九 一次与反比例函数交点问题 ★★★★ 题型二十 实际问题与反比例函数 ★★★ 题型二十一 一次与反比例函数其他综合应用 ★★★★ 题型二十二 一次与反比例函数实际应用 ★★★★ 拔高练 8题 题型一用反比例函数描述数量关系 解题核心思路：先找到两个变量的乘积为定值，整理成y=形式；实际问题要补充自变量x>0。 1．下列关系中，成反比例关系的是（    ） A．长方形的周长一定时，相邻两边的长 B．三角形面积一定时，它的底和高 C．机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间 D．一个人的跑步速度与他的体重 【答案】B 【分析】本题考查了成反比例，理解成反比例关系的前提是两个变量乘积固定是解题的关键 根据成反比例的定义解答即可． 【详解】A、长方形的周长一定时，相邻两边的长不成反比例关系，故本选项不符合题意； B、三角形面积一定时，它的底和高成反比例关系，故本选项符合题意； C、机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间不成反比例关系，故本选项不符合题意； D、一个人跑步速度与它的体重，不成反比例关系，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．由，则当压力F一定时，压强P与受力面积S之间成反函数关系，即A选项不符合题意； B．由，则当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间成反函数关系，即B选项不符合题意； C．由，则当行驶的路程s一定时，时间t与速度v成反函数关系，即C选项不符合题意； D．由，则当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间成正比例函数，即选项D符合题意． 3．如图的电路图中，用电器的电阻是可调节的，其范围为，已知电压，下列描述中错误的是（    ） A．与成反比例： B．与成反比例： C．电阻越大，功率越小 D．用电器的功率的范围为 【答案】A 【分析】根据功率判断即可． 【详解】∵， ∴， ∴A选项错误 故选：A． 【点睛】本题考查物理的电功率公式，熟记物理公式是解题的关键． 题型二 由定义判断反比例函数 解题核心思路：对照3种形式：y=、y=kx-1、xy=k（k≠0）；变量乘积是非零常数，自变量次数为-1。 4．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，判断各选项的函数类型即可得到答案，反比例函数的定义为：形如（为常数且）的函数是关于的反比例函数． 【详解】解：∵选项A中是正比例函数，不符合反比例函数定义； 选项C中是一次函数，不符合反比例函数定义； 选项D中是二次函数，不符合反比例函数定义； 选项B中符合反比例函数的定义． 5．下列函数不是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键； 反比例函数的形式为，或，其中为常数且，根据反比例函数的定义分别进行分析即可． 【详解】A、，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意； B、，是反比例函数，故此选项不符合题意； C、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； D、，是反比例函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 6．在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：①，符合反比例函数定义，是反比例函数； ②，是正比例函数，不符合反比例函数定义，不是反比例函数； ③可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ④可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ⑤，分母为不是，不符合定义，不是反比例函数； ⑥，符合反比例函数定义，是反比例函数； ∴符合条件的反比例函数共有4个． 题型三：由反比例函数的定义求参数 解题核心思路：满足两个条件：①自变量次数=-1；②系数k≠0；联立方程+不等式求解。 7．若函数为y关于x的反比例函数，则m的值为（   ） A． B．0 C．2 D．或2 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数形式为且，因此指数需为，系数非零，由此计算即可得解，熟练掌握反比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数为y关于x的反比例函数， ∴，， 由得， 解得：，， ∵， ∴， 综上所述，的值为， 故选：A． 8．已知点，都在反比例函数的图象上，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征求解即可，熟知反比例函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．已知，两点都在反比例函数的图象上，若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，图像为双曲线，图像上点的横、纵坐标的积是定值．根据题意可得，，，，由可得，再将所求的式子展开即可求解． 【详解】解：，两点都在反比例函数的图象上， ，，，， ， ， ， 故答案为：． 题型四：求反比例函数值 解题核心思路：把已知x的值代入解析式，直接计算出对应的y。 10．反比例函数的图象一定经过下列哪个点（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】反比例函数图象上的点，满足横纵坐标的乘积等于，计算各选项点的横纵坐标乘积，即可判断正确选项． 【详解】解：∵ 反比例函数解析式为， ∴ 对图象上任意一点，都满足． A、，不满足，故此选项不符合题意； B、，不满足，故此选项不符合题意； C、，不满足，故此选项不符合题意； D、，满足条件，故此选项符合题意． 11．函数，当时，函数值y为（   ） A．3 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】本题考查已知函数解析式求函数值，将给定的自变量的值代入解析式计算即可． 【详解】∵ 函数解析式为， ∴ 将代入解析式得， 因此函数值为3， 故选：A． 12．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和，若，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，先将点和代入函数解析式得出，，结合题意可得，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和， ∴，， 又∵， ∴， 即； 即的值为． 故答案为：． 题型五：由反比例函数函数值求自变量 解题核心思路：把已知y的值代入解析式，解方程求出对应的x。 13．若反比例函数的图象经过点，则a的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把点代入反比例函数解析式即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， 故选：C． 14．考察函数的图象，当时，_______；当时，y的取值范围是_______；当时，x的取值范围是_______． 【答案】 或 【分析】把代入反比例函数解析式求解即可；根据得到，再根据求解即可；（3）根据得到，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴把代入反比例函数解析式得： ∵， ∴， ∵， ∴， 解得y＞-1 ∴， ∵， ∴， x＞-2，即，解得x≤-2 ∵当x＞0时，y＞0 ∴当y＞-1时，或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质、求反比例函数函数值的范围等知识点，熟练掌握并运用相关知识成为解答本题的关键． 15．小明同学利用计算机软件绘制函数（为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数的值满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数与图象．由图象可知，当时，，即可判断；当时，函数值不存在，即可判断． 【详解】解：由图象可知，当时，， ∵，， ∴ ∴； 当时，函数值不存在， ∵函数图象在第二象限不连续， ∴， 故选：D 题型六：判断反比例函数图象 解题核心思路：图象是双曲线；k>0在一、三象限，k<0在二、四象限；图象永远不与坐标轴相交。 16．某公司计划新建一个容积一定的长方体污水处理池，池的底面积与深度之间的函数表达式为．这个函数的图象大致是（   ）． A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的函数识别，根据方体污水处理池的容积等于底面积乘深度，且容积一定，故，，即可作答． 【详解】解：由题意可知： ， ∴中，当的值一定时，是h的反比例函数， ∴函数的图象：当时是“双曲线”在第一象限的分支． 故选：C． 17．函数的大致图像为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分母不为0得出，再结合函数的图像与y轴交点位置解答即可； 【详解】解：根据分式有意义得分母不为0，即，解得， 因此函数的图像无限接近直线，但不与直线相交，排除选项B、D； 判断y轴交点符号： 代入，得，说明函数与y轴交于正半轴，选项C中时，排除C； 当时，，因此，图像在x轴上方； 当时，，因此，图像在x轴下方，完全符合选项A的图像特征． 18．定义新运算：a⊕b＝，例如：3⊕4＝，3⊕（﹣4）＝，则函数y＝5⊕x（x≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得y＝5⊕x＝，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案． 【详解】解：由题意得：y＝5⊕x＝， 当x＞0时，反比例函数y＝在第一象限， 当x＜0时，反比例函数y＝在第二象限， 又因为反比例函数图象是双曲线，因此B选项符合． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的图象是双曲线． 题型七：反比例函数图象判断解析式 解题核心思路：先由图象象限判断k正负；再把图象上已知点坐标代入，求出k，写出解析式。 19．如图所示的图象，对应的函数解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数的图象是直线，反比例函数（）的图象分布：当时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，当时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，据此进行逐一判断即可求解． 【详解】解：A. 的图象是直线，故此项不符合题意； B. 的图象是直线，故此项不符合题意； C. 是反比函数， ， 双曲线的两支分别位于第一、三象限，故此项符合题意； D. 是反比函数， ， 双曲线的两支分别位于第二、四象限，故此项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象特征和反比例函数的图象分布，掌握反比例函数图象分布的规律是解题的关键． 20．如图，点P在反比例函数的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，可知的面积等于，结合图像所在象限确定的符号，即可求出函数表达式． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∵轴，垂足为， ∴，， 在中，， 解得， 由图像可知，反比例函数图像位于第一、三象限， ∴， ∴， 故这个反比例函数的表达式为． 21．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可以为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据函数图象确定k的取值范围． 【详解】解：如图所示， 反比例函数的图象位于第二、四象限，则． 又，即． 观察选项，只有选项合题意． 故选：． 【点睛】考查了反比例函数的图象，根据函数图象确定k的符号以及k的取值范围是解题的难点． 题型八：反比例函数对称性求点坐标 解题核心思路：双曲线关于原点中心对称，若(x,y)在图象上，则对称点为(-x,-y)；也可利用y=x、y=-x轴对称解题。 22．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 23．实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．上调为表示镭的放射规律的函数图像，据此可计算32mg镭缩减为1mg所有的时间大约是_______年． 【答案】8100 【分析】根据物质所剩的质量与时间的规律，即可求解． 【详解】解：由图象可知， 1620年时，镭质量缩减为原来的， 经过1620年，即3240年时，镭质量缩减为原来的， 经过年，即4860年时，镭质量缩减为原来的， 经过年，即6480年时，镭质量缩减为原来的， ∴经过年，即8100年时，镭质量缩减为原来的， 此时，， 故答案为：8100． 【点睛】本题考查函数图象，规律探索问题，解题的关键是找出物质所剩的质量与时间的规律． 24．反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　） ①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上． A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性，图象的中心对称性是解题的关键．根据反比例函数函数的图象和性质，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内， ∴， 解得，故①正确； 由反比例函数的图象可知，在每一象限内y随x的增大而减小，故②错误； 设点A的坐标为，点B的坐标为， 则，故③错误； ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴若在图象上，则也在图象上，故④正确． 综上，结论正确的是①④． 故选：D． 题型九：双曲线分布象限求参数范围. 解题核心思路：一、三象限 k>0；二、四象限<0，列出不等式解出参数范围。 25．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴比例系数， 解得． 26．已知点在反比例函数的图象上，若，则a的取值范围是__________． 【答案】/ 【分析】根据反比例函数的增减性和点的位置解答． 【详解】∵， ∴图象经过第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小， ∵， ∴异号， ∵点，在反比例函数（是常数）的图象上， ∴A点在第三象限，B点在第一象限， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，会根据函数值的大小确定点的位置是解题关键． 27．已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质，先由已知反比例函数的象限位置得到k的取值范围，再判断所求反比例函数比例系数的正负，即可确定其图象所在象限． 【详解】解：∵函数的图象位于第二､四象限， ∴， 解得， ∴， 根据反比例函数性质，当比例系数大于0时，反比例函数图象位于第一､三象限， ∴反比例函数的图象位于第一､三象限． 题型十：判断反比例函数的增减性 解题核心思路：必须限定同一象限内；k>0，y随x增大而减小；k<0，y随x增大而增大。 28．下列函数中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的增减性，根据函数性质逐一判断时随的变化趋势，即可选出符合要求的选项． 【详解】解：、由知， ∴图象位于第一、三象限， ∴当时，函数值随的增大而减小，符合题意； 、由知， ∴随的增大而增大，不符合题意； 、由知， ∴随的增大而增大，不符合题意； 、由知， ∴图象位于第二、四象限， ∴当时，函数值随的增大而增大，不符合题意． 29．下列函数：①；②；③；④；⑤中，y随x的增大而减小的有________个． 【答案】3 【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质，可以得到哪个函数的y随着x的增大而减小，从而可以解答本题． 【详解】解：①在中，一次项系数， ∴y随x的增大而减小，故①符合题意； ②在中，反比例函数系数， ∴y随着x的增大而增大，故②不符合题意； ③在中，一次项系数， ∴y随着x的增大而增大，故③不符合题意； ④在中，变形得函数，反比例函数系数， ∴y随着x的增大而减小，故④符合题意； ⑤在中，反比例函数系数， 当时，y随着x的增大而减小，故⑤符合题意； 综上，符合题意的有①④⑤，共有3个． 30．已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】先根据反比例函数系数判断图象位置和增减性，再结合m的范围确定三个点横坐标的范围，结合增减性比较y的大小即可得到结果． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， A、当时，可得，三点都在第二象限，根据增减性得，即，故该选项不符合题意； B、当时，可得，A、B在第二象限，C在第四象限，可得，且，，，即，故该选项符合题意； C、当时，可得，点A在第二象限，点B、C在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； D、当时，可得，三点都在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； 题型十一：判断反比例图象所在象限 解题核心思路：看比例系数k；k>0，图象在一、三象限；k<0，图象在二、四象限。 31．反比例函数的图象位于（    ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质．根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴函数图象位于第一、三象限． 故选：A 32．如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上，根据图中四点的位置，其中不在反比例函数图象上的点是（   ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象．由图知反比例函数的图象在一、三象限，故不在图象上． 【详解】解：∵恰有三点在反比例函数的图象上， ∴由图知反比例函数的图象必经过第一象限的P，Q两点， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 又∵在第二象限， ∴四个点中点不在函数的图象上． 故选：D． 33．反比例函数的图象经过点，且，则下列说法错误的是（     ） A． B．图象位于二、四象限 C．当时，y随x增大而增大 D．点也在该图象上 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质与点和反比例函数图象的关系，先根据已知条件求出的值，再结合反比例函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：∵ 反比例函数经过点， ∴ 将点代入得 ， 解得， ∵ ，∴ ，A选项说法正确，不符合要求； ∵ ，∴ 反比例函数图象位于第二、四象限，B选项说法正确，不符合要求； ∵ 时，反比例函数在每个象限内随增大而增大，当时，图象在第四象限，满足随增大而增大，∴ C选项说法正确，不符合要求； ∵ 对点，计算横纵坐标乘积得，不满足反比例函数的关系，点不在图象上，∴ D选项说法错误，符合要求． 题型十二：由反比例函数增减性求参数 解题核心思路：根据增减性锁定k的正负，列出不等式，解出参数取值范围。 34．已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，的值随值的增大而增大．那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，当时，反比例函数图象两支位于第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，当时，反比例函数图象两支位于第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，据此求解即可． 反比例函数的性质：当比例系数小于0时，函数图象在第二、四象限，y随x的增大而增大． 【详解】∵函数 在所在象限内y随x的增大而增大， ∴比例系数 ， ∴ ． 故k的取值范围是 ， 故选：C． 35．已知反比例函数，当时，y随x的增大而减小．则k的值可以为_____________．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵反比例函数，当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴k的值可以为1（答案不唯一）． 36．已知反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质可得，再解不等式即可．解题的关键是掌握反比例函数的性质：（1），反比例函数图象在一、三象限，在每一象限内随的增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内随的增大而增大． 【详解】解：∵当时，随的增大而增大， ∴， 解得：， ∴的取值可能为． 故选：A． 题型十三：比较反比例函数值/自变量大小 解题核心思路：①同象限：用增减性比较；②跨象限：根据横坐标正负，直接判断y的正负再比较。 37．已知反比例函数点，在图象上，则、大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题利用反比例函数的图像性质解题．先根据判断反比例函数图象所在象限，再根据两点横坐标判断点所在象限，通过和的正负比较大小． 【详解】解： 反比例函数 ， 该反比例函数的图象分布在第二、四象限． 点 的横坐标 ， 点 在第二象限，得 ． 点 的横坐标 ， 点 在第四象限，得 ． ． 38．已知点，在反比例函数的图象上．若，则点A的坐标可以是________（写出一种可能的情况即可）． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据反比例函数性质，结合已知条件判断的取值范围，在范围内取值计算即可得到符合条件的点坐标． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二，四象限，且在每个象限内随的增大而增大． ∵点，， ∴． 若，在同一象限，则可得，与已知矛盾， 因此，分别在两个不同象限． 因此可得， 解得． 在中任取一个值，如取， 将代入，得， 所以点的坐标可以是． 39．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，分别求出，，的值，再比较大小即可得到结果. 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得 ，解得 ， 代入点得 ，解得 ， 代入点得 ，解得 ， ∵， ∴. 题型十四：由比例系数求特殊图形面积 解题核心思路：过双曲线上一点向坐标轴作垂线，矩形面积S=|k|，直角三角形面积S=|k|。 40．双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接，，则的面积为（     ） A．1 B．2 C．1.5 D．0.5 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即． 如果设直线与x轴交于点C，那么的面积的面积的面积．根据反比例函数的比例系数k的几何意义，知的面积为2，的面积为1，从而求出结果． 【详解】解：设直线与轴交于点． ∵轴， ∴轴，轴． ∵点在双曲线的图象上， ∴的面积． 点在双曲线的图象上， ∴的面积． ∴的面积的面积的面积． 故选：A． 41．如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点A，点B，连接．若轴，则的面积是______． 【答案】3 【分析】连接，，设交y轴于D，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，，进而求解即可． 【详解】解：连接，，设交y轴于D， ∵，轴， ∴，轴， ∵点A，点B在函数，的图象上， ∴，， ∴， ∴． 42．如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】设点的坐标为，根据反比例函数系数的几何意义可得，即，再根据为中点可得，进而求出矩形面积． 【详解】解：设点的坐标为 ∵点在反比例函数的图象上 ∴ 由图可知， ∴ ∵是的中点 ∴ ∴． 题型十五：求反比例函数解析式 解题核心思路：待定系数法，把图象上一个已知点坐标代入y=，求出k即可。 43．点在反比例函数的图象上，则下列各点中，在此函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用已知点坐标求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数图象上点的坐标特征（横纵坐标乘积等于），逐一验证选项即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数图象上的点满足， A选项，，满足条件，该点在此函数图象上； B选项，，不满足条件； C选项，，不满足条件； D选项，，不满足条件． 44．如图，已知点，，函数的图象经过点A，与交于点C．若C为的中点，则________． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把A点的坐标代入，即可求得，由C为的中点，求得，然后根据中点坐标的求法，即可求得a的值． 【详解】解：∵函数的图象经过点A，， ∴， ∴． ∴； ∵C为的中点， ∴点C的纵坐标为2， 把代入得，， ∴， ∴， ∵C为的中点，，， ∴， ∴． 故答案为：3． 45．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，轴与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点D，若，则k的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】设点C的坐标为，可得，再由，可得，从而得到，从而得到点B的坐标为，即可求解． 【详解】解：设点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴． 题型十六：反比例函数与几何综合 解题核心思路：结合k的几何意义，把线段长度转化为坐标，再利用面积、勾股定理建立等式求k。 46．如图，面积为6的四边形中，对角线，已知长为，长为，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求反比例函数关系式，把四边形的面积写成两个三角形的面积的和表示出y与x的关系式是解题的关键．设的面积为，的面积为．由，可得，．得出．可得出，即，再求解即可． 【详解】解：设的面积为，的面积为． ， ，． ． ， ， 整理得． 故选C． 47．如图，点A与点B分别在函数与的图象上，线段的中点M在y轴上．若的面积为3，则的值是________． 【答案】6 【分析】设，，代入双曲线得到，，根据三角形的面积公式求出，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，作轴于C，轴于D， ∴轴， ∵M是AB的中点， ∴， 设，， 代入得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 48．如图，点在双曲线上，过点A作轴，垂足为C，线段的垂直平分线交于点B，，则周长的值是（     ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，进而求出，再说明，然后根据勾股定理得，即可求出，最后根据的周长为得出答案． 【详解】解：∵点A在双曲线上， ∴， ∴，则． ∵线段的垂直平分线交于点B， ∴． 在中，， ， 则， 即， 解得（负值舍去）， ∴的周长为． 题型十七：由图形面积求比例系数 解题核心思路：先由面积算出|k|，再根据双曲线所在象限，确定k的正负 49．点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积可得的值，题目未说明反比例函数图象所在象限，因此有两种可能． 【详解】解：∵ 过反比例函数图象上一点作x轴垂线，该点、垂足和原点围成的三角形面积为， 又∵ 的面积为， ∴ ， 解得，即， 本题未给出函数图象所在象限，因此的值为． 50．反比例函数在第一象限的图象如图所示，点在函数的图象上，点为轴正半轴上一点，连接，，且，若，那么____________． 【答案】6 【分析】作交于点D，根据等腰三角形三线合一得到，根据三角形面积公式求出，根据k的几何意义及反比例函数所在象限作答即可． 【详解】解：如图，作交于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， 即 ∴， ∴， ∵反比例函数经过第一象限， ∴， 即． 51．如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明四边形和四边形是矩形，且，，，则，据此即可求出答案． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵轴且交轴于点， ∴， ∴四边形和四边形是矩形，且， ∵矩形的顶点A，矩形的顶点B分别在反比例函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 题型十八：一次与反比例函数图象综合判断 解题核心思路：分别观察一次函数截距、斜率和反比例函数k的正负，保证两个函数系数符号统一。 52．函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，根据一次函数和反比例函数的特点，，所以分和两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，反比例函数的图象在第一三象限；D选项不符合； ②当时，与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，反比例函数的图象在第二四象限．B、C选项不符合；A选项符合． 故选：A． 53．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 54．二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象得到，再判断一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ； 一次函数经过第一、二、四象限， 反比例函数图象在第一、三象限； 只有C选项同时符合两个函数的位置特点． 题型十九：一次与反比例函数交点问题 解题核心思路：联立两个函数解析式，得到一元二次方程，解方程求交点横坐标，再求纵坐标。 55．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据函数图象得到当或时在上方，即可得到答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 根据函数图象可知当或时在上方， 关于的不等式解集是或． 56．如图，反比例函数与直线交于A、B两点，，，则_________． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象与正比例函数图象的对称性，可知交点与点关于原点对称，从而得出，，再结合反比例函数图象上点的坐标特征得到，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：反比例函数与直线的图象均关于原点对称 它们的交点与关于原点对称 ， 点在反比例函数的图象上 ． 57．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设点A坐标为，根据反比例函数图象的中心对称性质得点B坐标为，再根据计算即可． 【详解】解：设点A坐标为， ∵点A与点B关于原点对称， ∴点B坐标为， ∴， 即的面积为1． 题型二十：实际问题与反比例函数 解题核心思路：先找到两个变量的乘积不变，建立y=模型，再结合实际限定自变量取值范围。 58．面积为2的，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式列出与的函数关系式，再根据的取值范围确定图象所在的象限及形状． 【详解】解：的面积为，一边长为，这边上的高为， ， ， 表示三角形的边长， ， 该函数图象是位于第一象限的双曲线的一支， 观察选项，只有C选项符合． 59．某物体对地面的压强与物体和地面的接触面积成反比例函数关系，其图象如图，当压强小于等于时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据图象上的点坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据压强P的取值范围列出不等式，结合S的实际意义求解即可． 【详解】解：设P与S的反比例函数解析式为：， 把点代入得：， ∴， 即反比例函数解析式为：， 当时，则， 解得：． 60．【科学知识】①同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系．②两种液体混合后密度满足：（其中，为两种液体的密度，，为两种液体的体积，为方便计算，假定）． 【问题解决】图1中的液体由的水与的溶液甲混合而成，为测算溶液甲的密度，小明将一正方体木块置于图1液体中，测得漂浮的正方体木块浸入液体的深度为；小明又将该木块置于图2的水中，测得漂浮的正方体木块浸入水的深度为．已知水的密度为，则溶液甲的密度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方体木块底面积为S，混合液体密度为ρ ，先列方程求得，再根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设正方体木块底面积为S，混合液体密度为ρ ， ∵同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系， ∴，解得：， 由两种液体混合后密度公式可得： ， 解得：． 题型二十一：一次与反比例函数其他综合应用 解题核心思路：联立方程组求交点，结合图象位置，分区间比较两个函数值的大小。 61．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题是反比例函数与一次函数交点问题，线段最短问题，以及勾股定理，数形结合是解题的关键． 先求出，根据中点坐标公式求出，根据轴对称图形的性质确定点P位置，并求出点P的坐标，再求出的长即可． 【详解】解：∵一次函数与两坐标轴分别交于，两点， 当时，，当时， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴点， ∵直线是第一象限的角平分线，且， ∴直线垂直直线， ∵对于，当时，， ∴在直线上， ∴当时，线段最小，此时点P在直线上， ∵点P在反比例函数的图象上， 联立与得： ，解得：或， ∴点， ∴，， ∴的最小值为． 故答案为： 62．如图，直线与双曲线相交于，两点，则关于x的不等式的解集为________．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及根据交点情况求不等式解集，利用了数形结合的数学思想．先求得点B的坐标，然后根据图象即可求解． 【详解】解：直线与双曲线相交于，两点， ， ， ， 关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 63．如图，直线与轴、轴分别交于点、，点是线段上一动点，过点作轴，轴，垂足分别是点、，，若双曲线经过点，则的值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线求出，的长，设出，，由得出，的长，进而得出结论． 【详解】解：对于，当时，；当时，， ， ， 设， 轴，轴， ∴四边形是矩形， ， ， 解得： 经检验，是原方程的根， ∵点在反比例函数的图象上， ，即， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数综合及矩形的判定及性质，用到的知识点是待定系数法求函数的解析式等，难度适中，正确求得C的坐标是关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 题型二十二：一次与反比例函数实际应用 解题核心思路：先根据实际条件分别列出一次函数、反比例函数关系式，再联立求解，结合实际取舍解。 64．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 65．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． 首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，得到求解反比例函数的解析式；把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 直线过， ， ， 直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； 当时，， 从晚上经过9小时到第二天早上，即可以上班． 故选B． 66．如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出． 【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴与之间的反比例函数为， 当时，, ∵，， ∴， 把代入得， 解得． 故答案为： 解答题 1．分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． (1)当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． (2)玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 【答案】(1)，是反比例函数 (2)，是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义； （1）根据圆柱体的体积底面积高列函数关系式，再结合反比例函数的定义进行判断，即可得到结论； （2）根据单价数量，可得和的关系式，接下来根据反比例函数的定义判断. 【详解】（1）解：由题意，得，是反比例函数． （2）解：由题意，得，是反比例函数． 2．已知反比例函数的图象经过，两点． (1)求，的值； (2)这个函数图象位于哪些象限？当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)第一、三象限， 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． （1）根据反比例函数的性质可得，求解即可得出的值，从而得出点，，再将代入反比例函数计算即可得出结果； （2）由（1）可得反比例函数，则函数图象位于第一、三象限，从而可得在每个象限内，随着的增大而减小，再求出当和时，的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过，两点， ∴， 整理可得：， 解得：， ∴点，， 将代入反比例函数可得：， ∴； （2）解：由（1）可得：反比例函数， ∴函数图象位于第一、三象限， ∴在每个象限内，随着的增大而减小， ∴当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求m、n的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将代入，求出m的值，得到反比例函数的解析式，进而将B的坐标代入，求出n的值，即可解答； （2）结合函数图象即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵点也在反比例函数的图象上， ∴， 解得； （2）解：如图所示，当时，x的取值范围是或， ∴不等式的解集为或． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)已知点是轴上一点，连接、，若的面积为，求出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为y．一次函数的表达式为y (2)点坐标为或 【分析】（1）先把代入反比例函数求出，得到反比例解析式，再将代入反比例函数求出；最后把、两点坐标代入，解方程组求出． （2）先求出一次函数与轴交点，设为；设，以为公共底边，利用列式计算，解出． 【详解】（1）解：把代入反比例函数， ，解得， 反比例函数解析式：． 将代入： ， ． 把，代入得方程组： ， 解得， 一次函数解析式：． （2）解：设直线与轴交于点，如图所示， 令， 解得， ． 设点坐标，则． 的高为点纵坐标6，的高为点纵坐标的绝对值． ， 解得或， 点坐标为或． 5．如图，已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点A和点B，点A的横坐标为1，过点A作x轴的垂线，垂足为M，连接．    (1)这个反比例函数的解析式； (2)的面积． 【答案】(1)； (2)2 【分析】（1）根据题意将代入正比例函数，求出点A的坐标，再将点A代入反比例函数求出解析式即可； （2）根据反比例函数关于原点对称，从而得出，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵点A在正比例函数的图象上， ∴， ∴； 又∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及三角形面积的求法，注意反比例函数的对称性． 6．如下图，A是反比例函数图象上一点，轴于点C，且与反比例函数的图象交于点，连接．若的面积为6，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是正确解答的关键． 由的面积为6，可求出的面积为2，进而求出的面积为8，再根据反比例函数系数的几何意义可求出，进而得出答案． 【详解】解：， ， ． 又，且， ， ． 故的值为． 7．在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个电路给一个小灯泡供电，在实验中，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，当时，． (1)写出关于的函数解析式； (2)完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … … (3)当电流超过10A时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器的阻值应控制在什么范围内？ 【答案】(1) (2)完成表格如下： … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … 8 6 4.8 4 3 2.4 2 … 函数的图象为： (3)不低于 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先把表格中自变量的值分别代入（1）中的函数解析式，求出对应的函数值，然后描点连线可得函数的图象； （3）由题意可知电流的值满足小于等于10A，据此列不等式即可求解． 【详解】（1）解：∵电流是电阻的反比例函数， ∴设， ∵时，， ∴， 解得， ∴； （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴滑动变阻器的阻值应控制在不低于的范围内． 8．如图①，在中，于点D，，，，点E是上一动点（不与点A，D重合），在内作矩形，点F在上，点G，H在上，设，连接． (1)当矩形是正方形时，直接写出 ， ； (2)设的面积为，矩形的面积为，令，求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）； (3)如图②，点是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求面积的最小值，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 的面积的最小值为4， 证明：如图②中，连接， 由（2）可知点P在上， 设直线的解析式为， 把代入得到，， ∴， ∴， ∴），， ∴，， ∴的面积， ∴的面积的最小值为4． 【分析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考常考题型． （1）设．根据已知条件得到，求得，得到，根据正方形的性质设，根据等腰直角三角形的性质可得，根据勾股定理得到，，过点E作于M，根据三角形的面积公式得到，根据三角函数的定义得到； （2）根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，，求得，设，得到，再利用面积公式即可得到； （3）如图②中，由（2）可知点P在上，设直线的解析式为，把代入得到，进一步求得，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：设， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∴，． 如图， 过点E作于M， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴设，， ∴， ∴，， ∴， ∴． （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $