专题02一元二次方程的概念与解法精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念与解法核心知识点，系统梳理标准形式、根的定义及参数求解方法，衔接直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，结合判别式应用，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料通过易错点精准归纳（如忽略二次项系数不为0）、15类分层题型设计及解题核心思路引导，培养学生抽象能力、运算能力与推理意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用与问题解决能力。

专题02一元二次方程的概念与解法暑假预习讲义 1. 一元二次方程标准形式：ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数），最高次数为2，只含一个未知数，整式方程。 2. 方程的根的定义：将数值代入方程左右两边相等，该数为方程的解（根）。 3. 根据方程定义求参数：二次项系数不为0，未知数最高次数为2，两个条件联立求值。 4. 直接开平方法：适配(x+m)2=n(n≥0)形式，直接开平方求解，n<0时方程无实数根。 5. 配方法：移项→二次项系数化为1→两边加一次项系数一半的平方→写成完全平方式→开方求解，可用于公式推导、最值求解。 6. 公式法：求根公式x=，先算判别式=b2-4ac判断根的情况，再代入计算。 7. 因式分解法：方程右侧化为0，左侧因式分解为两个一次式乘积，令每个因式为0快速得根，是计算最快的常规解法。 8. 判别式=b2-4ac用途：>0两个不等实数根；=0两个相等实数根；<0无实数根。 1. 判断一元二次方程、求参数时，忽略a≠0，只看次数为2，漏掉二次项系数不为0的限制条件，导致参数取值错误。 2. 直接开平方法：忘记正负双解，只取正根；n<0仍强行开方计算实数根。 3. 配方法：二次项系数不为1时，常数项只在一侧配方，没有同乘同除，配方变形出错。 4. 公式法：代入a、b、c时符号出错，b为负数时，-b容易算错；未先整理成标准式直接套公式。 5. 因式分解法：方程没有全部移到左侧、右侧不为0就分解因式解方程，造成丢根、错根。 6. 检验方程的根：分式型一元二次方程，求出根后忽略检验分母不为0，产生增根。 7. 判别式使用场景：含参数方程有实数根时，既要满足≥0，同时保证二次项系数a≠0。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的定义 ★ 题型二 化成一元二次方程一般式 ★ 题型三 由一元二次方程定义求参数 ★★ 题型四 一元二次方程解的判定 ★ 题型五 由一元二次方程的解求参数 ★★ 题型六 一元二次方程解的估算 ★★ 题型七 直接开平方法 ★ 题型八 配方法 ★★ 题型九 配方法的应用 ★★★ 题型十 因式分解法 ★★ 题型十一 公式法解一元二次方程 ★★ 题型十二 换元法解一元二次方程 ★★★ 题型十三 由判别式判断方程根的情况 ★★ 题型十四 由方程根的情况求参数 ★★★ 题型十五 解分式方程 ★★★ 拔高练 5题 ★★★ 题型一 一元二次方程的定义 解题核心思路：同时满足三点：整式方程、仅有一个未知数、未知数最高次数为2，且二次项系数a≠0，三者缺一不可。 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 方程含两个未知数，不是一元二次方程． B. 方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程． C. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程． D. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 2．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、方程含分式，不是整式方程，不符合题意； B、展开左边得，整理得，符合一元二次方程定义； C、当时，方程不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； D、展开左边得，整理得，是一元一次方程，不符合题意． 3．若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义：是解题的关键． 先将方程整理为，再根据一元二次方程定义列不等式解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵是关于x的一元二次方程， ∴，则． 故选：D． 题型二：化成一元二次方程一般式 解题核心思路：依次去括号、移项（全部项移至等式左侧，右侧化为0）、合并同类项，整理为标准形式ax2+bx+c=0(a≠0)。 4．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，先将原方程整理为一般式，再确定对应系数即可. 【详解】解：∵方程化成一般式为， ∴一次项系数为，常数项为. 5．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开方程左边，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵ 展开左边得 移项得 合并同类项得． 6．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 题型三：由一元二次方程定义求参数 解题核心思路：列双重限制条件：①未知数次数等于2；②二次项系数不为0，联立方程与不等式，算出参数取值。 7．若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 【答案】C 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴． 8．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【答案】5 【分析】根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，据此列式方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且，解得：且， ∴m的值为5． 9．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以为（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】一元二次方程有实数根需满足两个条件：一是二次项系数不为0，二是方程有实数根时判别式，据此求出的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴ ，即， 又∵ 方程有实数根， ∴ 判别式， ∵， ∴ ，解得， 综上，的取值范围是且， 选项A：，故该选项不符合题意； 选项B：，故该选项不符合题意； 选项C：，满足条件，故该选项符合题意； 选项D：，不满足，故该选项不符合题意． 题型四：一元二次方程解的判定 解题核心思路：将给定数值代入方程左右两侧计算，左右计算结果相等即为方程的根，不等则不是方程的解。 10．若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的解，由可知令即成立，则可求出答案． 【详解】解：当时，方程为， 方程必有一个根是， 故选：C． 11．关于x的一元二次方程根的情况是（   ） A．有一个实数根是 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．根据一元二次方程的解和根的判别式计算判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故方程有两个不相等的实数根， 当时，， ∴不是方程的实数根， 故选：C． 12．关于x的方程，当时，下列关于根的情况说法错误的是（    ） A．1是方程的一个根 B．方程的一个根大于1 C．方程有两个不相等实数根 D．方程的一个根小于1，一个根大于1 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 通过计算判别式确定方程有两个不相等实数根，并验证是方程的一个根，从而求得另一个根为，结合判断各选项即可． 【详解】解：∵ 方程 的判别式 ， ∵， ∴， ∴ 方程有两个不相等实数根， 故选项C不符合题意； 当时，代入方程：， ∴是方程的一个根， 故选项A不符合题意； 设另一个根为，由因式分解得，展开得， 与原方程比较系数得：，， ∴， ∵， ∴， ∴ 方程的一个根大于1， 故选项B不符合题意； ∵方程的两个根为1和，均不小于1， ∴ 没有根小于1， 故选项D符合题意． 故答案为：D． 题型五：由一元二次方程的解求参数 解题核心思路：把已知根代入原方程，得到含参数的一元一次方程，直接求解得到参数数值。 13．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，方程的根满足原方程，将代入原方程变形即可得到所求代数式的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 移项得， ∴代数式的值为． 14．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________． 【答案】 【分析】把代入方程得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：根据题意，把代入方程得， ， 整理得，， ． 15．若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．关于x的方程变形为，此方程可看作关于的一元二次方程，根据题意得到，从而得到． 【详解】解：关于x的方程变形为，此方程可看作关于的一元二次方程， 是关于x的方程的一个根， ， 解得， 关于x的方程必有一个根为． 故选：D． 题型六：一元二次方程解的估算 解题核心思路：代入不同自变量取值，计算代数式结果，根据函数值由正变负/由负变正，锁定根的取值区间。 16．小颖在探索一元二次方程的近似解时做了下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是（   ） 0 1 2 5 A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围． 【详解】解：当时，； 当时，， ∵更接近于0， ∴方程的一个解得整数部分是1， 故选：C． 17．已知为一元二次方程的一个根，那么的值为（   ） A．2025 B． C．0 D．4050 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数是一元二次方程的解. 利用一元二次方程解的定义得到．移项得到的值，将整体代入表达式中计算即可． 【详解】解：已知是方程的根，代入得： 将代入所求表达式中： 故答案为：A． 18．根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是方程解与对应数值变化的关系，利用“数值由负变正必经过”的逻辑是解题的关键．根据表格可知， 时函数值为（负）、时函数值为（正），进而确定方程的一个解的范围． 【详解】当时，； 当时，， 方程的一个解满足． 故选：． 题型七：直接开平方法 解题核心思路：整理方程为(x+m)2=n形式，n>0取正负两个根；n=0仅有一个相等实数根；n<0无实数根。 19．一元二次方程的根为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 解得． 故选：C． 20．一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，先把方程化为，然后利用直接开平方法解方程即可，掌握解一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 解得：，， 故选：C． 21．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 题型八：配方法 解题核心思路：移项→二次项系数化为1→等式两边加上一次项系数一半的平方→改写为完全平方式→直接开平方求解。 22．将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先将常数项移到等号右侧，再对左侧配方得到要求的形式，对比即可得到，的值． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，． 23．实数满足，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B（如图所示），若，当时，的长度为___________    【答案】/ 【分析】根据数轴得出之间的关系，设未知数列方程求解． 【详解】解：由数轴得：， 设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数和数轴，方程思想是解题的关键． 24．方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解： 故选D． 题型九：配方法的应用 解题核心思路：配方将二次三项式转为顶点式a(x-h)2+k，用于求代数式最值、比较式子大小、证明恒正/恒负。 25．将式子化为的形式，其结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解： 故选C 26．新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是_________． 【答案】 【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值． 【详解】∵与是“同类方程”， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴当时，取得最大值为2023． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． 27．如图，，，是三边上的点，且四边形为矩形，，．则矩形的面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，得出，根据矩形的性质得到，，然后利用勾股定理表示出；利用矩形的面积公式列出式子，再进行配方，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ； ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， 当时，矩形的面积最大，最大值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是列代数式，矩形的性质，含度角的直角三角形，勾股定理的有关知识，正确列出代数式是解决本题的关键． 题型十：因式分解法 解题核心思路：先将方程右侧化为0，左侧因式分解为两个一次因式乘积，分别令因式等于0，快速得出两个方程根。 28．关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B． C． D．， 【答案】B 【分析】将方程整理后，通过提取公因式因式分解，得到方程的根． 【详解】解：， 移项得：， 提取公因式得：， 化简得：， ∴ ． 29．方程的解为_____． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ，， ，． 30．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原一元二次方程变形因式分解，得到方程的两个根，再结合题目给出的根的大小关系和倍数关系列方程，求解得到的值． 【详解】解：∵ 原方程可变形为， 由平方差公式因式分解得 ， ∴ 方程的两个根为和， ∵ ，， ∴ ，，代入关系式得 ， 展开整理得 ， 因此的值为． 题型十一：公式法解一元二次方程 解题核心思路：先整理为一般式，确定a、b、c符号，计算判别式=b2-4ac，≥0时代入求根公式x=计算。 31．用公式法解方程：，其中的值是（    ） A．56 B．16 C．4 D．8 【答案】A 【分析】利用公式法解答，即可求解． 【详解】解：， ∴ ∵， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法、公式法、配方法是解题的关键． 32．已知． （1）当x为__________值时，y的值为0； （2）当x为__________值时，y的值为5． 【答案】 或 【详解】解：（1）当时， 或， 解得：或； （2）当时，整理，得， ， ∴， ∴. 33．定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此；按照这个规定，若，则x的值是（    ） A．1 B． C．或 D．1或 【答案】C 【分析】根据新运算定义，分和两种情况列一元二次方程，求解后舍去不符合前提的解，即可得到的值，选出正确选项． 【详解】解：当，即时，， ∵ ∴， ∴， 解得或（舍去）； 当，即时，， ∵ ∴， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，x的值为或． 题型十二：换元法解一元二次方程 解题核心思路：设重复出现的整体为新未知数，简化高次、复合型方程，求解后回代求出原未知数的值。 34．已知关于x的一元二次方程（a≠0）的一个根为，则关于x的方程（a≠0）的两个根为_________． 【答案】1或2023/2023或1 【分析】先移项，合并同类项得出，再分别讨论和的情况． 【详解】解：∵， ∴， 即时方程有根， ∵一元二次方程（a≠0）的一个根为， ∴， 此时， 故答案为1或2023． 【点睛】本题考查了换元法，解题时注意不要忘记的情况． 35．已知关于x的一元二次方程（都是常数，且）的解为，则方程（都是常数，且）的解为_______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意，可得：或，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（都是常数，且）的解为， ∴方程，即：的解为：或， ∴； 故答案为：． 36．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】对一元二次方程变形，设得到，利用的一个根是可得，从而求出x即可． 【详解】解：对于一元二次方程即， 设，则可得， 而关于x的一元二次方程的一个根是， 所以有一个根为， 所以， 解得， 所以一元二次方程必有一根为． 题型十三：由判别式判断方程根的情况 解题核心思路：计算=b2-4ac；>0两个不等实数根，=0两个相等实数根，<0无实数根。 37．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据判别式与0的大小关系判断根的情况，一元二次方程中，判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 38．小刚在解关于x的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，他核对时发现所抄的比原方程的值小2，则原方程的根的情况是______． 【答案】没有实数根 【分析】依题意可知，是方程的一个根，代入可求出的值，再根据根的判别式得到原方程的根的情况． 【详解】解：依题意可知，是方程的一个根， ， ， 原方程为， ， 故原方程没有实数根． 故答案为：没有实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 39．定义新运算：☆，例如：☆，则关于的方程☆（k是任意实数）的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】解：由题意，可知☆， 整理得． ， 关于的方程☆（是任意实数）有两个不相等的实数根． 题型十四：由方程根的情况求参数 解题核心思路：根据根的情况列出的不等式，同时保证二次项系数a≠0，综合约束条件求解参数范围。 40．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A．2 B．8 C．4 D．16 【答案】C 【分析】一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 41．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，求出，再根据判别式与根的关系进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，且， 即且， ∴． ∴原一元二次方程可化为， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． ∴． 42．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程有实数根需满足两个条件：一元二次方程二次项系数不为0，方程有实数根时根的判别式大于或等于0，求解两个条件后取交集即可得到结果． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为0，即， 解得； ∵原方程有实数根 ∴， 展开化简得， 解得， 综上，的取值范围是且． 题型十五：解分式方程 解题核心思路：两边同乘最简公分母化为整式方程求解，求出根后代入公分母检验，舍去使分母为0的增根。 43．分式方程 的正数解为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 方程两边同乘得：， 整理得：． 因式分解得：． 解得或， 检验：当时，， 当时，， ∴原方程的正数解为或． 44．方程的解为________． 【答案】 【分析】把分式方程转化为一元二次方程进行求解，需要对根进行检验． 【详解】， ， ， ， ， ， 解得：， 检验：当时，，是增根，舍去， 当时，，是原分式方程的根， 方程的解为． 45．对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【答案】 或 【分析】根据新定义运算得到关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值，进行解答，即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解． 解答题 1．解方程： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； 【详解】（1）解： ， ， 即或， 解得，； （2）解：， ， 或， ∴，； （3）解：， ， ， ， ， 即或， ∴，； （4）解： ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，； 2．解分式方程：． 【答案】 【详解】解：方程两边同时乘最简公分母得：， 整理得， 解得，， 检验：把代入最简公分母得：， ∴是原方程的增根， 把代入最简公分母得：， ∴是原方程的解． 3．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 【答案】(1)证明：∵， ∴一元二次方程有实数根． (2) 【分析】（1）计算出即可证明； （2）求出方程的解，代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 解得． 4．在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：，． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：，，，． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则原方程可化为，解方程求出m的值，再仿照题意求出x的值即可； （2）设，则原方程可化为，把方程化为整式方程求出n的值，进而得到关于x的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ∴， 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴原方程的解为； （2）解：设，则原方程可化为， ∴， ∴， 解得， 经检验，都是方程的解， 当时，则， ∴， 此时，方程无实数根； 当时，则， ∴， ∴， 解得或， 经检验，和都是原方程的解； 综上所述，原方程的解为． 5．已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由； (3)若的值为负整数，求实数的整数值． 【答案】(1)且 (2)不存在，理由见解析 (3)实数的整数值为或或或 【分析】（1）先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为，再由方程有两个实数根得出判别式大于等于，联立两个条件求出的取值范围； （2）利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，再对已知等式进行移项变形，将两根之和与两根之积代入求解，最后结合（1）的范围判断该是否符合题意，从而确定是否存在； （3）先将代数式展开并代入两根之和与两根之积化简得到关于的分式，再根据结果为负整数的条件，分析得出分母为的正约数，进而求出对应的整数． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：且， ∴的取值范围为且； （2）解：不存在，理由如下： ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 又∵且， ∴不符合题意，舍去， ∴不存在实数，使成立； （3）解：， ∵的值为负整数，且为整数， ∴或或或， 解得：或或或， ∴实数的整数值为或或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02一元二次方程的概念与解法暑假预习讲义 1. 一元二次方程标准形式：ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数），最高次数为2，只含一个未知数，整式方程。 2. 方程的根的定义：将数值代入方程左右两边相等，该数为方程的解（根）。 3. 根据方程定义求参数：二次项系数不为0，未知数最高次数为2，两个条件联立求值。 4. 直接开平方法：适配(x+m)2=n(n≥0)形式，直接开平方求解，n<0时方程无实数根。 5. 配方法：移项→二次项系数化为1→两边加一次项系数一半的平方→写成完全平方式→开方求解，可用于公式推导、最值求解。 6. 公式法：求根公式x=，先算判别式=b2-4ac判断根的情况，再代入计算。 7. 因式分解法：方程右侧化为0，左侧因式分解为两个一次式乘积，令每个因式为0快速得根，是计算最快的常规解法。 8. 判别式=b2-4ac用途：>0两个不等实数根；=0两个相等实数根；<0无实数根。 1. 判断一元二次方程、求参数时，忽略a≠0，只看次数为2，漏掉二次项系数不为0的限制条件，导致参数取值错误。 2. 直接开平方法：忘记正负双解，只取正根；n<0仍强行开方计算实数根。 3. 配方法：二次项系数不为1时，常数项只在一侧配方，没有同乘同除，配方变形出错。 4. 公式法：代入a、b、c时符号出错，b为负数时，-b容易算错；未先整理成标准式直接套公式。 5. 因式分解法：方程没有全部移到左侧、右侧不为0就分解因式解方程，造成丢根、错根。 6. 检验方程的根：分式型一元二次方程，求出根后忽略检验分母不为0，产生增根。 7. 判别式使用场景：含参数方程有实数根时，既要满足≥0，同时保证二次项系数a≠0。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的定义 ★ 题型二 化成一元二次方程一般式 ★ 题型三 由一元二次方程定义求参数 ★★ 题型四 一元二次方程解的判定 ★ 题型五 由一元二次方程的解求参数 ★★ 题型六 一元二次方程解的估算 ★★ 题型七 直接开平方法 ★ 题型八 配方法 ★★ 题型九 配方法的应用 ★★★ 题型十 因式分解法 ★★ 题型十一 公式法解一元二次方程 ★★ 题型十二 换元法解一元二次方程 ★★★ 题型十三 由判别式判断方程根的情况 ★★ 题型十四 由方程根的情况求参数 ★★★ 题型十五 解分式方程 ★★★ 拔高练 5题 ★★★ 题型一 一元二次方程的定义 解题核心思路：同时满足三点：整式方程、仅有一个未知数、未知数最高次数为2，且二次项系数a≠0，三者缺一不可。 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：化成一元二次方程一般式 解题核心思路：依次去括号、移项（全部项移至等式左侧，右侧化为0）、合并同类项，整理为标准形式ax2+bx+c=0(a≠0)。 4．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 5．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 6．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 题型三：由一元二次方程定义求参数 解题核心思路：列双重限制条件：①未知数次数等于2；②二次项系数不为0，联立方程与不等式，算出参数取值。 7．若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 8．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 9．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以为（     ） A． B． C．2 D．3 题型四：一元二次方程解的判定 解题核心思路：将给定数值代入方程左右两侧计算，左右计算结果相等即为方程的根，不等则不是方程的解。 10．若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 11．关于x的一元二次方程根的情况是（   ） A．有一个实数根是 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 12．关于x的方程，当时，下列关于根的情况说法错误的是（    ） A．1是方程的一个根 B．方程的一个根大于1 C．方程有两个不相等实数根 D．方程的一个根小于1，一个根大于1 题型五：由一元二次方程的解求参数 解题核心思路：把已知根代入原方程，得到含参数的一元一次方程，直接求解得到参数数值。 13．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 14．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________． 15．若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 题型六：一元二次方程解的估算 解题核心思路：代入不同自变量取值，计算代数式结果，根据函数值由正变负/由负变正，锁定根的取值区间。 16．小颖在探索一元二次方程的近似解时做了下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是（   ） 0 1 2 5 A． B．0 C．1 D．2 17．已知为一元二次方程的一个根，那么的值为（   ） A．2025 B． C．0 D．4050 18．根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 题型七：直接开平方法 解题核心思路：整理方程为(x+m)2=n形式，n>0取正负两个根；n=0仅有一个相等实数根；n<0无实数根。 19．一元二次方程的根为（   ） A． B． C． D． 20．一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 21．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 题型八：配方法 解题核心思路：移项→二次项系数化为1→等式两边加上一次项系数一半的平方→改写为完全平方式→直接开平方求解。 22．将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 23．实数满足，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B（如图所示），若，当时，的长度为___________    24．方程的解是（    ） A． B． C． D． 题型九：配方法的应用 解题核心思路：配方将二次三项式转为顶点式a(x-h)2+k，用于求代数式最值、比较式子大小、证明恒正/恒负。 25．将式子化为的形式，其结果为（    ） A． B． C． D． 26．新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是_________． 27．如图，，，是三边上的点，且四边形为矩形，，．则矩形的面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 题型十：因式分解法 解题核心思路：先将方程右侧化为0，左侧因式分解为两个一次因式乘积，分别令因式等于0，快速得出两个方程根。 28．关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B． C． D．， 29．方程的解为_____． 30．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型十一：公式法解一元二次方程 解题核心思路：先整理为一般式，确定a、b、c符号，计算判别式=b2-4ac，≥0时代入求根公式x=计算。 31．用公式法解方程：，其中的值是（    ） A．56 B．16 C．4 D．8 32．已知． （1）当x为__________值时，y的值为0； （2）当x为__________值时，y的值为5． 33．定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此；按照这个规定，若，则x的值是（    ） A．1 B． C．或 D．1或 题型十二：换元法解一元二次方程 解题核心思路：设重复出现的整体为新未知数，简化高次、复合型方程，求解后回代求出原未知数的值。 34．已知关于x的一元二次方程（a≠0）的一个根为，则关于x的方程（a≠0）的两个根为_________． 35．已知关于x的一元二次方程（都是常数，且）的解为，则方程（都是常数，且）的解为_______． 36．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 题型十三：由判别式判断方程根的情况 解题核心思路：计算=b2-4ac；>0两个不等实数根，=0两个相等实数根，<0无实数根。 37．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 38．小刚在解关于x的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，他核对时发现所抄的比原方程的值小2，则原方程的根的情况是______． 39．定义新运算：☆，例如：☆，则关于的方程☆（k是任意实数）的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 题型十四：由方程根的情况求参数 解题核心思路：根据根的情况列出的不等式，同时保证二次项系数a≠0，综合约束条件求解参数范围。 40．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A．2 B．8 C．4 D．16 41．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 42．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 题型十五：解分式方程 解题核心思路：两边同乘最简公分母化为整式方程求解，求出根后代入公分母检验，舍去使分母为0的增根。 43．分式方程 的正数解为 （    ） A． B． C． D． 44．方程的解为________． 45．对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 解答题 1．解方程： (1) (2) (3) (4)． 2．解分式方程：． 3．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 4．在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：，． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：，，，． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 5．已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由； (3)若的值为负整数，求实数的整数值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $