吉林省长春市2026-2027学年高一上学期开学考数学自编练习试卷一

**基本信息** 2026年长春高一开学模拟数学卷，以集合、函数、几何等基础内容为核心，通过文化情境（如古桂认养活动）和分层问题设计，衔接初高中知识，检测数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|集合运算、充要条件、统计|结合矩形折叠（第8题）考查空间观念| |填空题|6/18|二次函数、不等式、相似三角形|古桂认养活动（第11题）体现数据意识| |解答题|10/78|圆的切线证明、二次函数综合、旋转几何|圆与内心综合题（第20题）考查推理能力，旋转动态问题（第24题）突出创新应用|

2026年吉林省长春市高一开学模拟预测数学试卷一 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（本题3分）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）设集合，集合，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）已知集合，，.则的子集共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（本题3分）若集合 ，则（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 7.（本题3分）一家鞋店在一段时间内销售某种品牌的女鞋双，各种尺码的销量如下表： 尺码（） 销售（双） 如果鞋店要购进双这种品牌的女鞋，那么其中，，三种尺码的鞋进货数量最合适的是（   ）． A．双 B．双 C．双 D．双 8．（本题3分）如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点将沿折叠，点恰好落在上点处，延长、交于点，有下列四个结论：①垂直平分；②平分；③；④．其中，将正确结论的序号全部选对的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（共18分） 9．（本题3分）已知实数，满足，则的最大值为_____. 10．（本题3分）不等式的解集为__________. 11．（本题3分）国内某地为进一步提高城市市花一桂花知名度和美誉度，促进城市品牌的建设提速强效，相关部门于近期组织开展“蟾宫折桂，大学生认养古桂花树”系列活动，以活动为载体，带动桂花产业、文化、旅游、经济发展．着力打造以桂花为主题的城市公共品牌和城市标识，力争通过活动和同步的媒体宣传，实现从“中国桂花之乡”到“中国桂花城”的转变．会上，来自该市的部分重点高中共计100名优秀高中应届毕业生现场认养了古桂花树，希望他们牢记家乡养育之恩，不忘桂乡桑梓之情，积极对外宣传推介家乡，传播桂花文化．这100名学生在高三的一次语数外三科竞赛中，参加语文竞赛的有39人，参加数学竞赛的有49人，参加外语竞赛的有41人，既参加语文竞赛又参加数学竞赛的有15人，既参加数学竞赛又参加外语竞赛的有13人，既参加语文竞赛又参加外语竞赛的有9人，1人三项都没有参加，则三项都参加的有__________． 12.（本题3分）二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n 2 n … 若，且点，在该二次函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 13．（本题3分）若ABC的各边长分别为AB＝25cm，BC＝20cm，AC＝15cm，DEF的两边长分别为DE＝5cm，EF＝4cm，则当DF＝________cm时，ABC与DEF相似． 14．（本题3分）在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数有______个． 三、解答题（共78分） 15．（本题3分）已知集合，. （1）化简集合A，B； （2）已知集合，若集合，求实数m的取值范围. 16．（本题6分）已知一元二次函数，若. (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，设与轴交于、两点，求线段长度的取值范围. 17．（本题7分）解不等式． 18．（本题8分）已知，设集合，． （1）当时，求集合． （2）问：是的什么条件．（充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？并证明你的结论． 19．（本题8分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD//OC，直线CD交BA的延长线于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线． （2）若DE＝，⊙O的半径为2，求线段EA的长． 20．（本题9分）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 21．（本题9分）如图，是的内接三角形． (1)尺规作图：在图①中，求作的中点．（保留作图痕迹） (2)用无刻度的直尺：在图②中，画一个与互补的圆周角； (3)用无刻度的直尺：在图③中，画一个与互余的圆周角．并说明理由． 22．（本题9分）如图1，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上（点A与点B不重合）我们把这样的两抛物线L1、L2互称为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条． （1）如图2，已知抛物线L3：y=2x2-8x+4与y轴交于点C，试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标； （2）请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，并指出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围； （3）若抛物y=a1（x-m）2+n的任意一条“友好”抛物线的解析式为y=a2（x-h）2+k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由． 23．（本题9分）如图，是等边的外接圆． 【问题原型】如图①，连结，延长交弦于点M，交于点P，连结、．求证：； 【问题解决】小明给出了自己的证明方法如下． ∵三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形， ∴，， ∴，则为等边三角形， 同理可得：也为等边三角形， ∴． 【方法应用】如图2，若P为上任意一点，连结，，，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【拓展提升】如图③，若的半径为2，且P为上一点，且，则四边形的面积的是 ． 24．（本题10分）已知，为等腰直角三角形，，点D为中点，点E为上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点F作，交延长线于点N，交延长线于点M． (1)如图1，当点E与点D重合时，求证：； (2)如图2，连接， ①用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若，取中点O，连接，补全图形，并直接写出在旋转过程中的最小值． 第1页 共7页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2026年吉林省长春市高一模拟预测数学试卷一》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B D B A B D 1．B 【分析】根据条件间的推出关系判断充分、必要性. 【详解】由不能推出，但由必有， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．B 【分析】根据集合的补集运算法则计算即可. 【详解】因为全集，集合， 所以. 故选：B 3．B 【分析】利用集合的交集求解即可． 【详解】因为集合， 所以． 故选：B 4．D 【分析】根据题意表示集合，然后写出其所有子集即可得到答案. 【详解】因为集合，， 所以， 所以集合的子集为，共四个. 故选：D 5．B 【分析】先化简集合，再根据集合交集与并集的定义求解即可. 【详解】因为， ， 所以，，故ACD错误，B正确. 故选：B. 6．A 【分析】先求得，进而依据交集定义求得. 【详解】，，则， 则. 故选：A 7．B 【详解】解：由表格可知，，，三种尺码的鞋的占比为， （双）， 结合选项可知，最适合的是双． 8．D 【分析】由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF＝FM＝DF；易求得∠BFE＝∠BFN，则可得BF⊥EN；证明∠EFM＝∠EBF即可证明；易求得BM＝2EM＝2DE，即可得EB＝3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可证明． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠BCD＝90°，DF＝MF， 由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°， 即FM⊥BE，CF⊥BC， ∵BF平分∠EBC， ∴CF＝MF， ∴DF＝CF，在△DEF与△CFN中， ∴△DFE≌△CFN， ∴EF＝FN， ∵∠BFM＝90°−∠EBF，∠BFC＝90°−∠CBF， ∴∠BFM＝∠BFC， ∴BF平分∠MFC；故②正确； ∵∠MFE＝∠DFE＝∠CFN， ∴∠BFE＝∠BFN， ∵∠BFE＋∠BFN＝180°， ∴∠BFE＝90°， 即BF⊥EN， ∴BF垂直平分EN，故①正确； ∵∠BFE＝∠D＝∠FME＝90°， ∴∠EFM＋∠FEM＝∠FEM＋∠FBE＝90°， ∴∠EFM＝∠EBF， ∵∠DFE＝∠EFM， ∴∠DFE＝∠FBE， ∴；故③正确； ∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF， ∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM， ∴BE＝3EM， ∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF； 故④正确． 综上所述：①②③④都正确， 故答案选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判断．此题难度适中，证得△DFE≌△CFN是解题的关键． 9． 【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值. 【详解】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 10． 【分析】将分式不等式转化成整式不等式求解即可得出答案. 【详解】根据不等式整理可得， 即，等价于， 解得； 所以不等式的解集为 故答案为： 11．7 【分析】根据集合的交与并的元素个数之间的关系列式计算即可. 【详解】设参加语文竞赛的学生组成的集合为，参加数学竞赛的学生组成的集合为，参加外语竞赛的学生组成的集合为，则表示参加语文和数学竞赛的同学组成的集合，表示参加数学和外语竞赛的同学组成的集合，表示参加语文和外语竞赛的同学组成的集合，由已知集合中有39个元素，集合中有49个元素，集合中有41个元素，集合中有15个元素，集合中有13个元素，集合中有9个元素， 因为1人三项都没有参加，且共100名学生，所以中含有99个元素， 设三项都参加的有x人，结合图象可得集合，，的元素个数和减去集合，，的元素个数和再加上的元素的个数可得99，所以 ，解得 故答案为：7. 12． 【分析】先根据表格中与的函数值相等求出二次函数的对称轴，再结合判断开口方向，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可判断与的大小关系． 【详解】解：由表格可知，当和时，y值相等， 因此二次函数的对称轴直线为． 因为， 所以抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小． 点到对称轴直线的距离为，点到对称轴直线的距离为． 因为， 所以． 当时，，则，即． 当时，，则，即． 因此点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，可得． 13．3 【分析】根据相似三角形的对应边成比例解题即可． 【详解】解：当， 则 ， 故答案为3． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，是常见考点，难度一般，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 14． 【分析】根据最简二次根式的定义，最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断所给二次根式即可． 【详解】解：满足两个条件，是最简二次根式； 中被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 中被开方数含分母，不是最简二次根式； 中，被开方数可开得尽方，不是最简二次根式； 中，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 因此符合条件的最简二次根式共个． 15．（1），；（2） 【分析】（1）根据一元二次不等式、绝对值不等式的解法即可解不等式求得结果； （2）由交集定义求得，根据可分为和两种情况构造出不等式求得结果. 【详解】（1）， （2）由（1）知： 当时，，解得：；当时，，解得： 综上所述： 【点睛】本题考查一元二次不等式和绝对值不等式的求解、根据集合的包含关系求解参数范围的问题；易错点是忽略子集为空集的情况，造成求解错误. 16．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）结合，对判别式进行适当的变形即可证明； （2）首先由条件得到，然后再变成为，解关于的一元二次不等式即可得出答案； （3）利用韦达定理表示出，结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】（1）∵，， ∴所给方程有两个不相同的实根. （2）∵，∴，又， ∴，即，显然， 不等式变形为，解得，∴. （3）∵， ∵，结合二次函数的性质，∴， ∴. 17．(1)； (2)   ． 【分析】（1）由，列方程求出，可得函数的解析式； （2）由二次函数的图象特征，作出函数图象，根据图象求值域． 【详解】（1）二次函数满足， 则有，解得， 所以. （2）函数的定义域为，函数图象如图所示，    由函数图象可知，函数的值域为 18．答案见解析 【分析】设，，应用分类讨论及二次函数性质，数形结合求解集. 【详解】设，，函数图象如下， 由，得，， 由，得，， 综上： 当时，， 当时，， 当时，. 19．(1) 证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （2）在中，勾股定理求得,证明，设的半径为r，则，，在中，，解方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ∵， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， 解得， ∴半径的长为3 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 20．(1) (2)， 证明：连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； (3)30 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （3）过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到，，，利用解直角三角形求得， ，进而可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴，又， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴； （2）略 （3）解：过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P， ∵点I为的内心，即为的内切圆的圆心． ∴Q、F、P分别为该内切圆与三边的切点， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长为 ． 【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 21．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析，理由见解析 【分析】（1）过点作的垂直平分线交于点，则点即为所求； （2）在劣弧上任取一点，连接，则即为所求； （3）连接并延长交于点，则即为所求． 【详解】（1）如图所示，点即为所求， （2）解：如图所示，即为所求 ∵四边形是圆内接四边形， ∴ （3）解：如图所示，连接并延长交于点，则即为所求， 理由如下， ∵是的内接三角形． ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴，有，则即为所求． 【点睛】本题考查了作垂直平分线，三角形的外心的性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22．（1）（4，4）；（2）2≤x≤4；（3）a1=-a2，理由如下：见解析 【分析】（1）设x＝0，求出y的值，即可得到C的坐标，把抛物线L3：y＝2x2−8x＋4配方即可得到抛物线的对称轴，由此可求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标； （2）由（1）可知点D的坐标为（4，4），再由条件以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，可求出L4的解析式，进而可求出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围； （3）根据：抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上，可以列出两个方程，相加可得：（a1＋a2）（m−h）2＝0，可得a1＝−a2. 【详解】解：（1）∵抛物线L3：y=2x2-8x+4， ∴y=2（x-2）2-4， ∴顶点为（2，4），对称轴为x=2， 设x=0，则y=4， ∴C（0，4）， ∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：（4，4）； （2）∵以点D（4，4）为顶点的抛物线L4过点（2，-4）， 设L4的解析式， 将点（2，-4）代入L4可得，a=-2， ∴L4的解析式为y=-2（x-4）2+4， L3与L4的两个交点分别为（4，4）和（2，-4） ∴L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围是：2≤x≤4时； （3）a1=-a2， 理由如下： ∵抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上， ∴可以列出两个方程， ①+②得：（a1+a2）（m-h）2=0， ∴a1=-a2． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的关键是数形结合，特别是（3）问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度． 23．方法应用：结论成立. 延长到， 使， 如图②， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 即. 拓展提升： 【分析】本题考查了圆的综合应用，三角形全等和勾股定理的应用及准确的计算是本题的解题关键． 方法应用：延长到，使证明得出为等边三角形， 即可解答； 拓展提升：如图③， 连接， 由②得且四边形的面积等于以为边长的等边三角形的面积.作于， 连接， 作的延长线于，求出，利用勾股定理求出和，即可求出再利用等边面积公式求出以为边长的等边三角形的面积，即可解答此题． 【详解】方法应用：略． 拓展提升：如图③， 连接， 由②得且四边形的面积等于以为边长的等边三角形的面积. 作于， ， 连接， 作的延长线于， ∵为等边三角形的中心点， ，且， ， ， ， ∵四边形为圆内接四边形， ， ，且 ， ， ， ， ， ∴以为边的等边三角形的面积为：， ∴四边形的面积为： ． 24．(1)证明见解析 (2)①，证明见解析；②见解析，旋转过程中的最小值为1 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）证明得出，又，等量代换即可求解； （2）①证明，根据相似三角形的性质，即可求解； ②根据题意补全图形，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，当重合时，最小，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，，点为中点， ∴， ， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①． 证明：如图所示，连接， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵点为中点， ∴ ∴是等腰三角形，则， ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴即 ②如图所示，取中点，连接， ∵，则 又， ∴当取得最小值时最小 ∴当与点重合时，在上，此时点与点重合， ∴ 又 ∴ ∴旋转过程中的最小值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $