课时规范练53　椭圆-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 高中数学一轮复习椭圆同步作业，通过“典例对点练”与“素能综合练”分层设计，实现从单一知识点巩固到综合能力提升的知识路径，培养数学抽象、逻辑推理与几何直观素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |典例对点练|椭圆定义及应用、标准方程、离心率基础计算|以选择为主，聚焦核心概念，如用基本不等式求焦半径乘积最值（题1），夯实运算能力| |素能综合练|轨迹判断、综合几何性质、新高考真题应用|含填空压轴题（题13）及新高考真题（题8、9），通过等差中项与椭圆定义结合（题7）等深化逻辑推理与几何直观|

课时规范练53　椭圆 典例对点练 考点一　椭圆的定义及应用 1.(2021·新高考 Ⅰ,5)已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A.13 B.12 C.9 D.6 2.已知椭圆=1(a>)的两焦点分别为F1,F2.若椭圆上有一点P,使∠F1PF2=120°,则△PF1F2的面积为(　　) A. B. C. D.2 考点二　椭圆的标准方程 3.过点(,-),且与椭圆=1有相同焦点的椭圆的标准方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 考点三　椭圆的离心率 4.(2025·福建龙岩模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点.若椭圆C上的点M满足|OM|=|MF1|,|F1F2|=|MF2|,则椭圆C的离心率为(　　) A.2- B. C.2- D.-1 5.过椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线,交C于A,B两点,直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点,则C的离心率的取值范围是　.  素能综合练 6.已知F1,F2是定点,|F1F2|=8.若动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹是(　　) A.直线 B.线段 C.圆 D.椭圆 7.已知两定点F1(-1,0),F2(1,0)和一动点P,若|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 8.(2024·新高考Ⅱ,5)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为(　　) A.=1(y>0) B.=1(y>0) C.=1(y>0) D.=1(y>0) 9.(2023·新高考Ⅰ,5)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a=(　　) A. B. C. D. 10.(2025·江西新余模拟)已知椭圆C:=1(0<a<b)的左、右焦点分别为F1,F2,经过点F1且倾斜角为的直线l与椭圆C交于A,B两点(点A在点B上方),点F2在l上的射影恰为AF1的中点,则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 11.已知椭圆长轴、短轴的一个端点分别为A,B,F为椭圆的一个焦点.若△ABF为直角三角形,则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 12.(2025·湖北武汉模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,离心率为,过点F1作直线l(与y轴不重合)交椭圆C于M,N两点,△MNF2的周长为12,则椭圆C的标准方程是(　　) A.+y2=1 B.+x2=1 C.=1 D.=1 13.(2025·四川凉山州模拟)点M在椭圆=1上,F是椭圆的一个焦点,N为MF的中点,O为坐标原点,|ON|=4,则|OM|=　　　　.  参考答案 课时规范练53　椭圆 1.C　解析 由题意知|MF1|+|MF2|=2a=6,则=3,则|MF1|·|MF2|≤9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立.故|MF1|·|MF2|的最大值为9.故选C. 2.D　解析 设|PF1|=m,|PF2|=n,由点P在椭圆上可得m+n=2a. ① 由余弦定理可得m2+n2-2mncos 120°=4c2,化简得m2+n2+mn=4c2. ② 由①式两边平方再减去②式,得mn=4a2-4c2=4b2=8. 于是△PF1F2的面积为mnsin 120°=×8×=2.故选D. 3.C　解析 设所求椭圆方程为=1(k<9),将点(,-)代入,可得=1,解得k=5(k=21舍去),故所求椭圆的标准方程为=1.故选C. 4.A　解析 如图,过点M作MN⊥OF1,垂足为N, 由|MF1|=|OM|,知|NF1|=|ON|=,所以|NF2|=c,而|F1F2|=|MF2|=2c, 所以|MN|=,则|MF1|=c. 由椭圆的定义知,|MF1|+|MF2|=2a,即c+2c=2a,所以椭圆的离心率为e==2-.故选A. 5.(0,]　解析 由题设知,直线l:=1,即bx-cy+bc=0. 以AB为直径的圆的圆心为(c,0),根据题意,将x=c代入椭圆C的方程, 得y=±,即圆的半径r=.又圆与直线l有公共点,所以,化简得2c≤b,平方整理得a2≥5c2,所以e=.又0<e<1,所以0<e≤. 6.B　解析 动点M到F1,F2两点的距离之和等于8,而8正好等于两定点F1,F2之间的距离,则动点M的轨迹是以F1,F2为端点的线段. 7.B　解析 ∵F1(-1,0),F2(1,0),∴|F1F2|=2.∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,即|PF1|+|PF2|=4,∴点P在以F1,F2为焦点的椭圆上,且该椭圆的长轴长2a=4,a=2,半焦距c=1,∴短半轴长b=,因此,椭圆的方程是=1.故选B. 8.A　解析 设P(x0,y0)(y0>0), 则P'(x0,0),设M(x,y),则x=x0,y=,又=16,所以x2+4y2=16,即=1(y>0).故选A. 9.A　解析 由题意,在C1:+y2=1中,a>1,b=1,c=,∴e1=.在C2:+y2=1中,a=2,b=1,c=,∴e2=.∵e2=e1,∴,解得a=.故选A. 10.C　解析 连接F2A,则由中垂线的性质|AF2|=|F1F2|. 又∠AF1F2=,所以△AF1F2为等边三角形. 由椭圆的对称性,A为其上顶点,所以a=2c⇒e=.故选C. 11.C　解析 如图,|AF|=a+c,|BF|=a,|AB|=, 由已知得2a2+b2=(a+c)2,且b2=a2-c2,e=>0,得c2+ac-a2=0,e2+e-1=0,解得e=. 12.D　解析 如图,依题意,△MNF2的周长为4a=12,a=3.设椭圆C的半焦距为c,因为椭圆C的离心率为,所以e=,解得c=2.所以b=.故椭圆C的标准方程为=1.故选D. 13.5　解析 对于椭圆=1,a=7,b=2,c=5,设左焦点为F1,右焦点为F,连接ON,MF1. 因为N为MF的中点,O为F1F的中点,|ON|=4,所以|F1M|=8,|MF|=2a-8=14-8=6,|F1F|=10,所以∠F1MF=90°,所以|OM|=|F1F|=5. 1 学科网（北京）股份有限公司 $