第32天 圆锥曲线的切线、光学性质 每日专项练习-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦圆锥曲线切线与光学性质，以题串联切线方程、极线、蒙日圆等核心概念，构建从几何性质到轨迹应用的逻辑链条，强化推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |光学性质应用|4题|结合椭圆/双曲线/抛物线反射性质求角度、距离|从焦点反射原理出发，关联曲线定义与几何关系推导| |切线方程与极线|5题|切线方程、极线轨迹、蒙日圆方程应用|以隐函数求导为工具，构建切点弦与极点极线的对应关系| |几何性质综合|5题|阿基米德三角形、面积最值、轨迹证明|整合导数几何意义与曲线性质，形成“方程-切线-几何量”推理链|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 答案与解析 第32天 圆锥曲线的切线、光学性质 1.答案　C 解析　曲线C的方程为x2+4y2=4, 即为+y2=1,则有a=2, 故有|PF1|+|PF2|=4, 又|PF1|=1, 所以|PF2|=3, 根据椭圆的光学性质,PM是∠F1PF2的平分线, 所以==. 2.答案　A 解析　设点P(x0,y0),当切线斜率存在且不为0时,x0≠±2,y0≠±1, 设切线方程为y-y0=k(x-x0), 联立 消去y得(4k2+1)x2+8(y0-kx0)kx+ 4(y0-kx0)2-4=0, 则Δ=64k2(y0-kx0)2- 4×(4k2+1)[4(y0-kx0)2-4]=0, 即(4-)k2+2x0y0k+1-=0,两切线垂直,故其斜率之积为-1,则由根与系数的关系知=-1,即+=5. 当切线斜率不存在或为0时,此时点P坐标为(2,1),(-2,1),(-2,-1),(2,-1),满足方程+=5,故所求轨迹方程为x2+y2=5. 3.答案　D 解析　因为e=,所以c=a,a=b, 不妨设双曲线的标准方程为x2-y2=1, 设|PF2|=m,则|PF1|=2+m(m>0). 所以m2+(m+2)2=(2)2, 解得m=-1(m=--1已舍去). 所以cos∠F1F2P==, 所以∠F1F2P=.故选D. 4.答案　B 解析　由抛物线的光学性质可知,直线AB过抛物线的焦点F(1,0), 设直线AB的方程为x=ty+1, 将直线AB的方程代入y2=4x中, 得y2-4ty-4=0, 所以y1+y2=4t,y1y2=-4, 直线l1与l2间的距离d=|y1-y2| ==≥4, 当t=0时,d取最小值4,故选B. 5.答案　D 解析　设M(x0,y0), 椭圆C1方程:+=1, 椭圆C2方程:+=1, 则有+=1, ① 由极线的定义得直线l的方程为 +=1, 原点O到直线l的距离d==1, 化简得+=1, ② 对比①②式得出=,=, 则有=1-=1- ==(2-), 所以-=(1-)≤ ==. 当且仅当=1-, 即e2=时取等号,此时e1=. 6.答案　A 解析　设P, 则MN的直线方程为 +=1, 整理得,x0(x-2y)+16y-16=0. 由定点T(2,1), 又∵=,则T为MN中点, kMN·kOT=-=-, ∴kMN=-, 则MN:y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.故选A. 7.答案　D 解析　由题意可知:直线AB一定存在斜率, 所以设直线AB的方程为:y=kx+m, 由题意可知:点A(x1,),B(x2,),不妨设x1<0<x2, 由y=x2⇒y'=2x,所以切线PA,PB的方程分别为: y-=2x1(x-x1),y-=2x2(x-x2), 两方程联立得: 解得: 所以P点坐标为, 直线AB的方程与抛物线方程联立得: ⇒x2-kx-m=0⇒x1+x2=k,x1x2=-m. 对于A:抛物线C:y=x2的焦点坐标为,准线方程为y=-, 因为AB过抛物线的焦点,所以m=,而x1x2=-m=-, 显然P点一定在抛物线的准线上,故A正确; 对于B:因为阿基米德三角形PAB为正三角形,所以有|PA|=|PB|, 则 =, 因为x1≠x2,所以化简得:x1=-x2, 此时A(x1,),B(-x1,), P点坐标为:(0,-), 因为阿基米德三角形PAB为正三角形,所以有|PA|=|AB|, 所以=-2x1⇒x1=-, 因此正三角形PAB的边长为, 所以正三角形PAB的面积为 ××·sin 60°=×××=,故B正确; 对于C:阿基米德三角形PAB为直角三角形,当PA⊥PB时, 所以kPA·kPB=-1, 即·=-1, 化简得x1x2=-, 直线AB的方程为:y=kx+, 所以P点坐标为,点P到直线AB的距离为: =, 又|AB|= = =, 因为x1+x2=k,x1x2=-, 所以|AB|==1+k2, 因此直角△PAB的面积为: ×··(k2+1) =≥, 当且仅当k=0时,取等号,所以其面积有最小值,故C正确; 对于D:因为x1+x2=k,x1x2=-m,所以 |AB|= = =|x1-x2|, 点P到直线AB的距离为: = =·, 所以阿基米德三角形PAB的面积为 S=·|x1-x2|···=,故D不正确. 8.答案　ABD 解析　双曲线C:-=1与直线l:y=kx+m(k≠±2)有唯一公共点M, 双曲线C:-=1的渐近线方程为y=±2x,而k≠±2,所以直线l与双曲线相切, 由消去y得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0, 由Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=0, 化简得m2+16=4k2,A选项正确; 解得点M的坐标为, 即,其中km≠0, 设直线l与双曲线的渐近线的交点分别为E,F, 则由解得E, 由解得F, 直线l与y轴的交点为(0,m), 故直线l与两渐近线所围成的面积: S=|m|(|xE|+|xF|)=|m||xE-xF| =|m| =|m|=, 由A选项知m2=4k2-16, 则S===8,故B正确; 过点M且与l垂直的直线为 y+=-, 可得A,B, P, 因为x0=-,y0=-, 则-=-==-+- =-≤-2=-=, 当且仅当=,即k2=2时等号成立, 由选项A知k2≠2,故取不到最大值,C选项错误; 由===100+=100+4, 即为-=1,其中y0≠0,故D正确.故选ABD. 9.答案　ACD 解析　对于A:l:y=kx-k+2化简为 k(x-1)+2-y=0, 无论k为何值时,令2-y=0,x-1=0,可得定点为(1,2),A选项正确; 对于B:C:x2=2y的焦点在y轴上且2p=2, 所以=,所以抛物线C的焦点为,B选项错误; 对于C:直线l:y=kx-k+2与抛物线方程联立消元得x2-2kx+2k-4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),有x1+x2=2k,x1x2=2k-4, 由y=⇒y'=x,所以PA,PB的斜率分别为x1,x2, 又因为y1=,y2=,则两切线PA:y=x1x-,PB:y=x2x-, 联立两直线方程解得x==k,y=,所以P(k,k-2), 点P到坐标原点的距离为==≥, 当k=1时点P到坐标原点的最小距离为,所以C正确; 对于D:P到l的距离为d=, |AB|=·|x1-x2| =· =2· 所以S△PAB=d|AB| =|k2-2k+4| =, 当k=1时,(k2-2k+4)min=3,此时S△PAB取最小值3,故D正确;故选ACD. 10.答案　 解析　设A(m2,2m)(m>0),则 |AF|=m2+1,|A'F|=1-m2, 所以m2+1=2(1-m2),解得m=, 设抛物线在A处切线的斜率是y',因为∠AFO=60°,所以m>0, 所以A(m2,2m)在函数y=2上,所以y'=2××,所以y'==. 11.答案　 解析　由题意可知m>2,圆x2+y2=m+2即为椭圆C:+=1的蒙日圆, 因为A,B为椭圆C上任意两点,动点P满足∠APB恒为锐角, 则点P在圆x2+y2=m+2外, 又因为动点P在直线x-y-8=0上, 则直线x-y-8=0与圆x2+y2=m+2相离, 所以>, 解得2<m<14, 则e2==1-=1-∈, 即e∈, 因此,椭圆C的离心率的取值范围是. 12.答案　2　 解析　由题意知,1=4a,所以a=, 所以抛物线C:x2=4y, 设M,N, 因为y=,则y'=, 故kTA=,kTB=, 直线TA:y=(x-x1)+=x-, 直线TB:y=x-, 令y=0,有A,B, 由 故T, 所以=-2, 即x1x2=2(x1+x2)-8. |AB|= = = =, 所以当x1+x2=4时,|AB|的最小值为2; 由题意可知C的焦点F(0,1), 故=,=, ·=-+=0, 同理·=0, 故TA⊥FA,TB⊥FB, 所以T,A,F,B四点共圆, 则△TAB的外接圆的直径为TF, |TF|min即为F到直线x-y-2=0的距离, 此距离为=, 即△TAB的外接圆的半径的最小值为. 13.(1)解　因为椭圆左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0), 所以c=1,又因为椭圆C的离心率为, 得a=2,故b2=3, 所以椭圆方程为+=1. (2)证明　由M0(1,4),F1(-1,0)得直线M0F1斜率为k=2,中点坐标为(0,2), 所以线段F1M0的垂直平分线方程为 y=-x+2, 联立垂直平分线方程和椭圆方程 得x2-2x+1=0,x=1,y=, 因为Δ=4-4=0,所以直线与椭圆相切, 所以线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点. (3)解　法一　设M(x0,y0), 当y0=0时,F1M的垂直平分线方程为 x=, 此时=±2,x0=5或-3; 当y0≠0时,F1M的垂直平分线方程为y=-+=-x+, 联立 得3x2+4=12, 即x2-x+-12=0, 因为线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点, 故Δ=- 4 =0, 即-36-=0, 则+(2-14)+-18-32x0-15=0, 即+(2-14)+(x0+3)(x0-5)=0, +(2-14)+(+2x0+1)(-2x0-15)=0, 即(++2x0+1)(+-2x0-15)=0, 因为++2x0+1=+>0, 所以+-2x0-15=0, 而(5,0),(-3,0)也满足该式, 故点M的轨迹是圆,该圆的方程为x2+y2-2x-15=0,即(x-1)2+y2=16. 法二　设线段F1M的垂直平分线l与C恰有一个公共点为P, 则当点P不在长轴时,线段F1M的垂直平分线l即为点P处的切线, 也为∠F1PM的角平分线, 作∠F1PF2的角平分线PH,根据椭圆的光学性质得PH⊥l, 所以∠F1PE+∠F1PH=90°,则∠F2PH+∠EPM=90°, 故∠F2PF1+∠F1PM=180°, 所以M,P,F2三点共线,所以|MF2|=|MP|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=4, 所以点M的轨迹是以F2为圆心,4为半径的圆, 当P在椭圆长轴上时,M点为(5,0)或(-3,0)也满足|MF2|=4, 故点M的轨迹是圆,该圆的方程为(x-1)2+y2=16. 14.(1)证明　因点M(x0,y0)在双曲线上, 可得-=1, 即b2-a2=a2b2. 对双曲线C的方程-=1两边求导得-=0,解得y'=, 则在点M(x0,y0)处的切线斜率为k=, 其切线方程为y-y0=(x-x0), 整理得b2x0x-a2y0y=b2-a2=a2b2, 即直线l的方程为-=1. (2)证明　如图,因直线l:-=1与直线x=交于点N. 故xN=, yN==, 则=(x0-c,y0), =, 所以·=(x0-c)·+y0·=(x0-c)=(x0-c)·=0, 所以FM⊥FN, 所以以MN为直径的圆过点F. (3)解　 由(1)知直线l的方程为-=1, 即3b2x-a2y=a2b2, 因为直线l:x-y=2,所以3b2=a2=, 即a2=6,b2=2. 如图,设A(x1,y1),B(x2,y2), 直线l:x-y=2和渐近线-=0联立消元得x2-6x+6=0, 故x1+x2=6,x1x2=6, |AB|=×=2, 又原点O到直线l的距离d=, 所以△AOB的面积S=×2×=2. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第32天 圆锥曲线的切线、光学性质 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 一、单选题(每小题5分,共35分) 1.如图所示,椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知曲线C:x2+4y2=4的左、右焦点分别为F1,F2,直线l与椭圆C相切于点P,且|PF1|=1,过点P且与直线l垂直的直线l'与椭圆的长轴交于点M,则|F1M|∶|F2M|=(　　) A.∶ B.1∶ C.1∶3 D.1∶ 2.已知椭圆M的方程为+y2=1,过椭圆M外的点P作椭圆M的两条互相垂直的切线,则点P的轨迹方程为(　　) A.x2+y2=5 B.x2+y2=4 C.x2+y2=3 D.x2+y2= 3.智慧的人们在进行工业设计时,巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质,比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线,探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如图,从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线,且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的离心率为,则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时(其中P为入射点),∠F1F2P的大小为(　　) A. B. C. D. 4.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经过抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,一束平行于x轴的光线l1从点P(m,n)(n2<4m)射入,经过抛物线上的点A(x1,y1)反射后,再经抛物线上另一点B(x2,y2)反射后,沿直线l2射出,则直线l1与l2间的距离最小值为(　　) A.2 B.4 C.8 D.16 5.从椭圆C:+=1(a>b>0)外一点P(x0,y0)向椭圆引两条切线,切点分别为A,B,则直线AB称作点P关于椭圆C的极线,其方程为+=1.现有如上图所示的两个椭圆C1,C2,离心率分别为e1,e2,C2内含于C1,椭圆C1上的任意一点M关于C2的极线为l,若原点O到直线l的距离为1,则-的最大值为(　　) A. B. C. D. 6.(2025·如皋模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0),称点P(x0,y0)和直线l:+=1是椭圆C的一对极点和极线,每一对极点与极线是一一对应关系,当P在圆外时,其极线l是椭圆从点P所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线).结合阅读材料回答下面的问题:已知P是直线y=-x+4上的一个动点,过点P向椭圆C:+=1引两条切线,切点分别为M,N,直线MN恒过定点T,当=时,直线MN的方程为(　　) A.x+2y-4=0 B.x+2y+4=0 C.2x-y-4=0 D.2x+y-4=0 7.(2025·河南五市联考改编)阿基米德(公元前287年—公元前212年)是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家,他曾经定义了抛物线阿基米德三角形:抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C:y=x2上两个不同点A,B横坐标分别为x1,x2,以A,B为切点的切线交于P点.关于阿基米德三角形PAB的说法不正确的是(　　) A.若AB过抛物线的焦点,则P点一定在抛物线的准线上 B.若△PAB为正三角形,则其面积为 C.若PA⊥PB,则△PAB的面积的最小值为 D.一般情况下,△PAB的面积S= 二、多选题(每小题6分,共12分) 8.(2025·新疆二模)已知双曲线C:-=1与直线l:y=kx+m(k≠±2)有唯一公共点M,过点M且与l垂直的直线分别交x轴,y轴于A(x0,0),B(0,y0)两点.当点M变化时,则(　　) A.m2+16=4k2 B.直线l与两渐近线所围成的面积为定值 C.记点P(x0,y0),-有最大值 D.点P的轨迹方程为-=1(y≠0) 9.(2025·聊城模拟)设动直线l:y=kx-k+2与抛物线C:x2=2y相交于A,B两点,分别过A,B作C的切线,设两切线相交于点P,则(　　) A.直线l经过一定点 B.抛物线C的焦点为 C.点P到坐标原点的距离不小于 D.△PAB的面积的最小值为3 三、填空题(每小题5分,共15分) 10.(2025·温州二模)已知A是抛物线y2=4x在第一象限上的点,F是抛物线的焦点,∠AFO=60°(O为坐标原点),则抛物线在A处切线的斜率是　　　　.  11.(2025·湖南九校二联)蒙日是法国著名的数学家,他首先发现椭圆+=1(a>b>0)的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆,这个圆被称为“蒙日圆”,且其方程为x2+y2=a2+b2.已知椭圆C:+=1的焦点在x轴上,A,B为椭圆C上任意两点,动点P在直线x-y-8=0上.若∠APB恒为锐角,根据蒙日圆的相关知识,则椭圆C离心率的取值范围为　　　　.  12.(2025·湖北十一校二联)已知点(2,1)在抛物线C:y=ax2上,T为直线y=x-2上的一动点,过点T作C的2条切线,切点分别为M,N,直线TM,TN分别交x轴于点A,B,则|AB|的最小值为　　　　,△TAB外接圆半径的最小值为　　　　.  四、解答题(13题13分,14题15分) 13.(2025·八省联考)已知椭圆C的离心率为,左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0) (1)求C的方程; (2)已知点M0(1,4),证明:线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点; (3)设M是坐标平面上的动点,且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点,证明M的轨迹为圆,并求该圆的方程. 14.(2025·河北模拟)求导是研究函数性质的一种方法,特别是利用导数的几何意义来研究切线的斜率,这种方法也适用于圆锥曲线,我们可以将圆锥曲线方程视为复合函数,仿照复合函数的求导法则来进行,例如:圆的方程x2+y2=r2,为了求y对x的导数,可将y2看作x的复合函数,将上式两边逐项对x求导,则有:2x+2yy'=0,于是得y'=-.已知直线l与双曲线C:-=1(a>0,b>0)相切于点M(x0,y0)(y0≠0),C的右焦点为F(c,0),直线l与直线x=交于点N. (1)证明:直线l的方程为-=1; (2)证明:以MN为直径的圆过点F; (3)若M(3,1),直线l:x-y=2与两条渐近线交于A,B两点,求△AOB的面积. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $