暑假预习：空间向量的基本定理3种高频考点-2026年新高二数学人教A版暑假预习讲义

暑假预习：空间向量的基本定理3种高频考点讲义 暑假预习：空间向量的基本定理3种高频考点讲义 考点目录 空间向量基底概念 用空间基底表示向量 空间向量基本定理及其应用 考点一 空间向量基底概念 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 共面向量：若三个向量能平移到同一平面，称三向量共面；共面向量不能作为基底。 1. 基底定义 如果三个向量 不共面，则称 为空间的一组基底； 其中 都叫做基向量。 1. 关键限制条件（缺一不可） ① 三个向量互不共面； ② 基向量 不能为零向量（零向量与任意两向量共面）。 1. 特殊基底：单位正交基底 ，两两垂直、模长为 1，对应空间直角坐标系。 二、解题原理 1. 判断一组向量能否作基底：只需验证三向量不共面； 1. 快速排除：含零向量直接淘汰；三向量可平移至同一平面则不能作基底； 1. 几何判断：从同一点出发的三条不共面棱对应的向量，一定可构成基底。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】 变式1．（2026·浙江·三模）已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 变式2．（25-26高二下·江苏徐州·期末·多选）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 考点二 用空间基底表示向量 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 目标：把空间任意向量 拆解为一组基底 的线性组合： · 为唯一实数，称为向量 在该基底下的坐标。 1. 常用化简工具 向量加法、减法、数乘运算法则； 平行四边形法则、三角形法则； 中点、分点向量公式。 1. 适用场景：几何体无两两垂直棱，无法建系，选用从同顶点出发三条棱为基底。 二、解题原理 1. 选定一组不共面基向量； 1. 利用图形中线的等量关系，将目标向量逐步拆分、转化为基底向量； 1. 反复合并同类基底向量，整理成 标准形式； 1. 线段中点、比例分点结合数乘运算化简系数。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·广东·期中）四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·广西南宁·期中）在三棱柱中，是的中点，，则用向量，，表示向量应为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·辽宁朝阳·阶段检测）如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则时，则___________ 例4．（25-26高二上·四川宜宾·月考）如图所示，在正方体中，取，，． (1)用、、表示； (2)若、分别为、的中点，用、、表示． 【变式训练】 变式1．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在长方体中，，，分别是线段，，上靠近点的三等分点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·江苏苏州·期中）点是四面体的棱的中点，点在线段上且，点在线段上且，若，则（   ） A． B． C． D．1 变式3．（25-26高二下·上海杨浦·期末）正方体中，为正方形的中心，若，则的值为_________． 变式4．（25-26高二上·福建龙岩·开学考试）在平行六面体中，，，，为的中点，为与的交点． (1)用基底表示下列向量：，，； (2)在图中画出化简后的向量． 考点三 空间向量基本定理及其应用 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 空间向量基本定理 如果 是空间一组基底，那么对空间 任意一个向量 ，存在唯一一组有序实数 ，使得： 1. 推论 ① 三向量共面充要条件：存在不全为 0 实数 ，使 ； ② 若 ，则 （基底系数唯一）。 1. 常见应用 证明线线平行、线线垂直、求向量夹角、求线段长度（数量积）、四点共面判定。 二、解题原理 1. 无垂直棱、不便建系时，选取从同一点出发三条不共面棱作基底； 1. 把所有相关向量统一用基底表示； 1. 平行判定：一向量等于另一向量数乘； 1. 垂直判定：两向量数量积为 0，展开基底数量积计算； 1. 长度/夹角：展开数量积，利用基底模长、基底间夹角计算； 1. 四点共面：将四点对应向量化为基底形式，证明存在实数 满足线性关系。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·浙江台州·期中）平面四边形中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，在棱上，若，，，四点共面，则______. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·江苏·期末）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·北京·期中）已知为空间的一组基底，且，，若，则实数______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：空间向量的基本定理3种高频考点讲义 暑假预习：空间向量的基本定理3种高频考点讲义 考点目录 空间向量基底概念 用空间基底表示向量 空间向量基本定理及其应用 考点一 空间向量基底概念 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 共面向量：若三个向量能平移到同一平面，称三向量共面；共面向量不能作为基底。 1. 基底定义 如果三个向量 不共面，则称 为空间的一组基底； 其中 都叫做基向量。 1. 关键限制条件（缺一不可） ① 三个向量互不共面； ② 基向量 不能为零向量（零向量与任意两向量共面）。 1. 特殊基底：单位正交基底 ，两两垂直、模长为 1，对应空间直角坐标系。 二、解题原理 1. 判断一组向量能否作基底：只需验证三向量不共面； 1. 快速排除：含零向量直接淘汰；三向量可平移至同一平面则不能作基底； 1. 几何判断：从同一点出发的三条不共面棱对应的向量，一定可构成基底。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基底的概念判断即可. 【详解】对于A，，共面，不可为基底； 对于B，，共面，不可为基底； 对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量， 这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底， 对于D，，共面，不可为基底. 例2．（25-26高一下·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】三向量可作为基底等价于不共面，待定系数后方程组有解则共面. 【详解】对于A，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于B，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底. 对于D，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 【变式训练】 变式1．（2026·浙江·三模）已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据空间向量的基底向量的定义，及共面向量的定义逐项分析判断即可． 【详解】对于选项A，假设存在实数，，使得， 则，方程无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底，故A正确； 对于选项B，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故B错误； 对于选项C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故C错误； 对于选项D，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故D错误． 变式2．（25-26高二下·江苏徐州·期末·多选）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】以为原点，设，，，则，，即为不共面的基底，将所有向量用，，表示后，判断三个目标向量的线性相关性即可. 【详解】选项A：，. 设，整理得， 因，，不共面，则系数全为0，所以， 故三个向量线性无关，可构成基底，A正确. 选项B：，， 三个向量都仅含，分量，都在平面内，故共面，不能构成基底，B错误. 选项C：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，C正确. 选项D：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，D正确. 考点二 用空间基底表示向量 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 目标：把空间任意向量 拆解为一组基底 的线性组合： · 为唯一实数，称为向量 在该基底下的坐标。 1. 常用化简工具 向量加法、减法、数乘运算法则； 平行四边形法则、三角形法则； 中点、分点向量公式。 1. 适用场景：几何体无两两垂直棱，无法建系，选用从同顶点出发三条棱为基底。 二、解题原理 1. 选定一组不共面基向量； 1. 利用图形中线的等量关系，将目标向量逐步拆分、转化为基底向量； 1. 反复合并同类基底向量，整理成 标准形式； 1. 线段中点、比例分点结合数乘运算化简系数。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·广东·期中）四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，由，得， 由，得， 所以. 例2．（25-26高二下·广西南宁·期中）在三棱柱中，是的中点，，则用向量，，表示向量应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在三棱柱中，由，得，由点是的中点，得， 所以 . 例3．（25-26高二下·辽宁朝阳·阶段检测）如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则时，则___________ 【答案】/ 【详解】由，为中点，可得， 所以 ， 所以，因此. 例4．（25-26高二上·四川宜宾·月考）如图所示，在正方体中，取，，． (1)用、、表示； (2)若、分别为、的中点，用、、表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量基本定理可得出关于、、的表达式； （2）利用空间向量基本定理可得出关于、、的表达式. 【详解】（1）. （2）. 【变式训练】 变式1．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在长方体中，，，分别是线段，，上靠近点的三等分点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量基本定理求解即可. 【详解】由题意可知，， ， 则， 又因为，所以. 变式2．（25-26高二下·江苏苏州·期中）点是四面体的棱的中点，点在线段上且，点在线段上且，若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求，进而可得，即可得结果. 【详解】在四面体中，，，， 则， 可得 ， 因为，则，所以. 变式3．（25-26高二下·上海杨浦·期末）正方体中，为正方形的中心，若，则的值为_________． 【答案】1 【分析】由正方体的结构特征，应用空间向量加减、数乘的几何意义得、，进而得到与的线性关系式，即可得. 【详解】因为点是底面的中心， 所以, 因为 , 所以， 由，则，，， 所以. 变式4．（25-26高二上·福建龙岩·开学考试）在平行六面体中，，，，为的中点，为与的交点． (1)用基底表示下列向量：，，； (2)在图中画出化简后的向量． 【答案】(1)，， (2)答案见解析 【分析】（1）根据几何体的性质，以及空间向量基本定理，用基底表示向量即可； （2）根据向量加法，求出向量即可. 【详解】（1）， ， ． （2），连接， 由于，且，所以或即为所求． 考点三 空间向量基本定理及其应用 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 空间向量基本定理 如果 是空间一组基底，那么对空间 任意一个向量 ，存在唯一一组有序实数 ，使得： 1. 推论 ① 三向量共面充要条件：存在不全为 0 实数 ，使 ； ② 若 ，则 （基底系数唯一）。 1. 常见应用 证明线线平行、线线垂直、求向量夹角、求线段长度（数量积）、四点共面判定。 二、解题原理 1. 无垂直棱、不便建系时，选取从同一点出发三条不共面棱作基底； 1. 把所有相关向量统一用基底表示； 1. 平行判定：一向量等于另一向量数乘； 1. 垂直判定：两向量数量积为 0，展开基底数量积计算； 1. 长度/夹角：展开数量积，利用基底模长、基底间夹角计算； 1. 四点共面：将四点对应向量化为基底形式，证明存在实数 满足线性关系。 【例题分析】 例1．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，而以为基底，则设，然后根据空间向量基本定理列出关于的方程组，可求得答案. 【详解】因为向量以为基底时的坐标为， 所以， 设， 由空间向量基本定理得，解得， 所以以为基底时的坐标为. 故选：B 例2．（25-26高二上·浙江台州·期中）平面四边形中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间四点共面的性质逐项判断可得. 【详解】由四点共面，且它们构成平面四边形，由共面向量定理的推论得， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：A. 例3．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，在棱上，若，，，四点共面，则______. 【答案】 【分析】设，以为基底表示出，利用，，，四点共面，得到，再由，得到，代入上式，即可得到方程组，进而求出结果. 【详解】由题知，设， 则， 又， 且 ， 因为，，，四点共面， 所以， 即， 又因为，则， 即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以. 故答案为： 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用空间向量的基本定理可求出的值. 【详解】因为、、三点不共线，点在平面外，点满足， 设， 由题意可知、、不共面，所以，故. 故选：A. 变式2．（25-26高二上·江苏·期末）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合向量坐标的意义求解即可. 【详解】由向量在基底下的坐标为， 得， 所以在基底下的坐标为. 故选：B 变式3．（25-26高二上·北京·期中）已知为空间的一组基底，且，，若，则实数______． 【答案】1 【分析】利用共线向量基本定理得存在实数，使得，进而求解. 【详解】由题意有：存在实数，使得，所以， 所以， 故答案为：1. 2 学科网（北京）股份有限公司 $