第14讲 直线和圆锥曲线的位置关系（3大知识点+14大题型）（讲义）-2026年新高二数学暑假衔接进阶讲义（人教A版2019）

第14讲 直线和圆锥曲线的位置关系 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：直线与椭圆的位置关系 3 知识点二、直线与双曲线的位置关系 4 知识点三、直线与抛物线的位置关系 5 03 题型精讲举一反三 6 题型 1：直线与椭圆位置关系 6 题型 2：椭圆弦长问题 6 题型 3：椭圆综合问题 7 题型 4：直线与双曲线位置关系 8 题型 5：双曲线弦长问题 9 题型 6：双曲线综合问题 9 题型 7：直线与抛物线位置关系 11 题型 8：抛物线弦长问题 11 题型 9：抛物线综合问题 12 题型 10：定点问题 13 题型 11：定值问题 15 题型 12：面积问题 16 题型 13：向量问题 19 题型 14：中点弦问题 21 04 过关测试 24 知识点一：直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x，y）， 若点M（x，y）在椭圆上，则有； 若点M（x，y）在椭圆内，则有； 若点M（x，y）在椭圆外，则有. 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 知识点二、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若即， ①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦 设直线交双曲线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 双曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. 在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率； 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍. 解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 知识点三、直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的位置关系 将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若 ①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点． 直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 抛物线的焦点弦问题 已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： ① 焦点弦长 ② ③，其中|AF|叫做焦半径， ④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。 题型 1：直线与椭圆位置关系 例1．（2026·高二·河南·阶段检测）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 例2．（2026·高二·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 例3．直线与曲线（）的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．（2026·河北·模拟预测）已知椭圆C：与直线相切，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·高二·浙江温州·期末）已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型 2：椭圆弦长问题 例4．（2026·高二·江苏南京·期末）过椭圆的一个焦点作长轴的垂线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D．3 例5．（2026·高二·福建泉州·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 例6．（2026·高二·北京·期中）过椭圆焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A、B两点，则等于（   ） A．4 B． C．1 D． 变式3．（2026·高二·山东德州·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 题型 3：椭圆综合问题 例7．（2026·高二·云南昭通·阶段检测）已知点是圆上的动点，点在轴上的射影为，点满足，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若斜率为1的直线与轴交于点，与交于，两点，求的取值范围． 例8．（2026·高二·上海·期末）已知曲线上动点到两点，的距离之和为4，直线和曲线相交于两点，为坐标原点． (1)写出曲线的方程； (2)若以为直径的圆经过原点，求实数的值． 例9．（2026·高二·河北石家庄·期中）已知椭圆C的左、右焦点分别为，点A是C上位于第一象限的点，，点在C上． (1)求C的方程； (2)设，直线的斜率分别为，求的取值范围； (3)设直线与C交于P，Q两点，线段的中点为H，若，求k的值． 变式4．（2026·高二·江西宜春·期中）已知椭圆的右焦点为，右顶点为， (1)求椭圆的标准方程； (2)倾斜角为45°的直线交该椭圆于两点，且，求直线方程. 题型 4：直线与双曲线位置关系 例10．（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期末）直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例11．（2026·高二·河北石家庄·阶段检测）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例12．（2026·高三·辽宁鞍山·开学考试）已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式5．（2026·高二·全国·单元测试）直线与双曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 变式6．（2026·高二·广东湛江·期中）若双曲线的离心率为，右焦点为，点的坐标为，则直线（为坐标原点）与双曲线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 题型 5：双曲线弦长问题 例13．（2026·高二·河北唐山·期末）在双曲线的两支上各取一点，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C．14 D．18 例14．（2026·高二·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 例15．（2026·高二·重庆渝中·期中）已知双曲线，过左焦点的直线与双曲线交于两点.若存在4条直线满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式7．过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型 6：双曲线综合问题 例16．（2026·高二·湖北孝感·期末）已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于、两点，求的面积. 例17．（2026·高二·上海·期中）已知双曲线的方程为. (1)求的渐近线方程； (2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点， ①求的方程；②求. 例18．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知双曲线：（,）的左、右焦点分别为，，实轴长为，双曲线的一条渐近线为. (1)求双曲线的标准方程； (2)为坐标原点，点、、是双曲线上不同的三点，且、两点关于轴对称，的外接圆经过点. ①求证：直线与圆相切； ②直线与渐近线交于，两点,求的取值范围. 变式8．（2026·高二·安徽·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上，直线与交于两点． (1)求的方程； (2)若线段的中点坐标为，求直线的方程； (3)若为的左顶点，直线过的右焦点，，都在的右支上，的面积为，为坐标原点，求． 题型 7：直线与抛物线位置关系 例19．已知抛物线与斜率为的直线恰有一个公共点，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 例20．（2026·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例21．（2026·高二·上海·阶段检测）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 变式9．（2026·高二·江西·阶段检测）直线与抛物线：的图象相切，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 题型 8：抛物线弦长问题 例22．（2026·高二·福建厦门·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 例23．（2026·高二·天津·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点A在抛物线上，O是坐标原点，若的面积为，则长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 例24．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为（   ） A． B． C． D． 变式10．已知抛物线，直线经过抛物线的焦点，且与相交于，两点．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 变式11．（2026·高二·全国·单元测试）已知O为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，A，B是C上位于x轴异侧的两点，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 题型 9：抛物线综合问题 例25．（2026·高二·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线：右顶点与抛物线的焦点重合，且点在双曲线上. (1)求的标准方程； (2)设直线与双曲线的右支相交于，两点，点为的中点. ①设的斜率为，求的值； ②若的面积为，射线交于点，设，求的值. 例26．（2026·高二·湖北武汉·期末）设平面内动点到点、距离之差为. (1)若，过点且斜率为2的直线交点的轨迹于、两点，求线段的长. (2)若存在点到、轴的距离之比为，求的取值范围. 例27．（2026·高二·河南新乡·期末）已知双曲线（，）的右焦点为，一条渐近线的方程为. (1)求的方程. (2)过直线上一点作直线，与交于，两点. （i）证明：当时，必与原点重合； （ii）求的最小值. 变式12．（2026·上海·模拟预测）已知抛物线的焦点为． (1)求点到抛物线准线的距离； (2)若过点的直线交抛物线于、两点，求的最小值； (3)设直线与抛物线交于、两点，若，求线段中点到轴的距离的取值范围． 题型 10：定点问题 例28．（2026·高二·浙江杭州·期中）已知椭圆上的点到两焦点的距离之和为4，且右焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)设、分别为椭圆的左右顶点，点为椭圆上异于、的动点，直线、分别与直线交于点、．求证：以为直径的圆交轴于两定点． 例29．（2026·高二·云南保山·期末）已知直线与抛物线相交于异于原点的、两点． (1)若为正三角形，求的面积； (2)若以为直径的圆经过原点，求证：直线恒过定点． 例30．（2026·高二·陕西商洛·期末）已知椭圆（）的离心率为，且椭圆C过点. (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C的左、右顶点分别为A，B两点，直线l交椭圆C于M，N两点（点M，N异于点A，B），直线，的斜率分别为，，且.证明：直线l过定点. 变式13．（2026·高二·湖北荆州·期末）已知抛物线C:的准线与x轴的交点为H，直线过抛物线C的焦点F且与C交于A，B两点， (1)求的面积的最小值． (2)若过点的动直线l交C于M，N两点，试问抛物线C上是否存在定点E，使得对任意的直线l，都有，若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由． 变式14．（2026·高二·福建厦门·期末）已知动圆与直线相切且与圆：外切. (1)求圆心的轨迹的方程； (2)直线过点且与轨迹交于两点，若的倾斜角为，求弦长的值； (3)若是轨迹上两点，是坐标原点，直线，的斜率之积等于，求证：直线过定点. 题型 11：定值问题 例31．（2026·高二·四川宜宾·期末）已知双曲线：（，）的离心率为2，且经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点．试问：是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 例32．（2026·高二·广东深圳·期中）已知椭圆过，两点. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)设为第三象限内一点且在椭圆上. （i）若，为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于另一点，求线段的长度； （ii）直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值. 例33．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且C过点． (1)求C的方程． (2)设C的右焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点． （ⅰ）若l不与x轴重合且斜率存在，线段AB的中点为M，证明：直线OM与AB的斜率之积为定值． （ⅱ）是否存在这样的l，使得以OA，OB为邻边的平行四边形OAPB为矩形？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由． 变式15．（2026·高二·北京海淀·期中）已知椭圆的离心率，点在上，直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)当为何值时，为定值． 变式16．（2026·高二·浙江杭州·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，抛物线的焦点在双曲线上，过点的直线与双曲线交于，两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：直线与直线的斜率之积为定值． 题型 12：面积问题 例34．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆．过点的直线与椭圆交于两点，设为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)求面积的最大值，其中为坐标原点． 例35．（2026·高二·福建厦门·期中）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，离心率为，且点P在C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过左焦点且斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求内切圆的面积． 例36．（2026·高二·河南·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且的焦点与双曲线的焦点重合． (1)求的方程； (2)若过点且与的一条渐近线平行的直线与交于，两点，为坐标原点，求的面积． 变式17．（2026·高二·四川成都·期中）已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，是平面内一点，是椭圆上一点，若. (1)求椭圆的方程. (2)直线：与椭圆交于，，线段的中点为，若，，三点共线， ①求的值； ②试问：是否存在，使得的面积取到最大值，若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由. 变式18．（2026·高二·陕西汉中·期中）已知椭圆的离心率为，其左焦点为．点，过点的直线（不垂直于坐标轴）与交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：； (3)求面积的最大值． 变式19．（2026·高二·四川德阳·期末）已知有公共焦点的椭圆（）与抛物线（）交于点． (1)求椭圆与抛物线的标准方程； (2)过与抛物线相切的直线交椭圆于另一点，求的面积． 变式20．（2026·高二·上海闵行·期中）将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记作.斜率为且不经过点的直线与抛物线相交于、两点，设、的斜率分别为、. (1)求抛物线的方程； (2)判断是否为定值.如果是，求出的值.如果不是，请说明理由； (3)若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 变式21．（2026·高二·上海·期中）如图所示，椭圆，左右焦点分别记作、，过、分别作直线，交椭圆于、，且． (1)当直线的斜率时，求直线的斜率； (2)求四边形面积的最大值． 题型 13：向量问题 例37．（2026·高二·江苏盐城·期末）已知椭圆：（）经过，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为1的直线交椭圆于，两点． （i）若直线经过椭圆的右焦点，求的面积； （ii）求的最小值． 例38．（2026·重庆·模拟预测）已知椭圆的四个顶点围成的四边形面积为，离心率. (1)求出椭圆的标准方程； (2)过椭圆的上焦点作直线与椭圆交于，两点，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 例39．（2026·高二·湖南长沙·期中）已知椭圆经过点为椭圆的左、右两个焦点，． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过右焦点作直线与椭圆C交于两点（点A位于x轴上方），是否存在直线，使得？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 变式22．（2026·高二·湖南长沙·期末）已知双曲线的一条渐近线的斜率为左、右焦点分别为 (1)求C的方程; (2)设x轴上方的点A，B分别在C的左支与右支上，若求直线的方程． 变式23．（2026·高二·内蒙古呼和浩特·期末）已知双曲线与有相同的渐近线，且过点. (1)求的方程； (2)设为双曲线上任一点，为双曲线右焦点，到直线的距离为，求的值； (3)已知为坐标原点，直线与交于两点，且，求的值. 题型 14：中点弦问题 例40．（2026·高二·山东·期末）（1）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，若为的中点，求直线的方程； （2）设椭圆，弦过定点，且满足，若，求的取值范围. 例41．（2026·高二·天津武清·阶段检测）顺次连接椭圆的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形. (1)求椭圆的标准方程； (2)倾斜角为的直线过椭圆的右焦点，与椭圆交于点，求的面积； (3)过点的直线与椭圆交于M、N两点，若恰好是线段MN的中点，求直线的方程. 例42．（2026·高二·黑龙江大庆·期末）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于8， (1)求椭圆的标准方程 (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程 变式24．（2026·高二·北京·期末）已知椭圆. (1)求椭圆的短轴长和离心率； (2)过点的直线与椭圆交于两点，若弦的中点为，求直线的方程与弦的长. 变式25．（2026·高二·河南郑州·期末）设动点与定点的距离和到直线的距离的比是． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的直线与动点的轨迹相交于两点，且恰好是线段的中点，求直线的方程． 变式26．（2026·高二·河北邢台·期末）已知定点，定直线，过平面内一动点作直线的垂线，垂足为，使． (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线与动点的轨迹相交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求直线的方程． 变式27．（2026·高二·贵州安顺·期末）已知，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4． (1)求点的轨迹的方程． (2)过点能否作一条直线与轨迹交于，两点，且是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由． 变式28．（2026·高二·河南郑州·期末）已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 变式29．（2026·高二·河北邯郸·阶段检测）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知直线交曲线于两点，且的中点为，求直线的方程. 1．（2026·高二·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 3．（2026·高二·江苏扬州·期中）已知椭圆，直线与椭圆交于两点，则线段长为（    ） A． B． C． D． 4．已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高三·全国·三轮复习）过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于两点，若，则这样的直线有（    ）条． A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2026·高二·广东潮州·期末）已知双曲线的一条渐近线为，过双曲线的右焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，则弦的长度为（    ） A． B． C．2 D．1 7．（2026·高二·北京延庆·期末）已知直线和抛物线，那么“与相切”是“与只有一个公共点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2026·高二·陕西榆林·阶段检测）已知抛物线与直线无公共点，则实数可以为（   ） A． B． C． D．2 9．（2026·广东·模拟预测）若圆上点处的切线与抛物线有且仅有一个公共点，则（   ） A． B． C． D． 10．已知抛物线的焦点为F，过F作C的对称轴的垂线，与C交于A、B，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 11．（2026·高二·北京·期中）已知椭圆的离心率为，过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点.在轴是否存在定点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 12．（2026·高二·山东潍坊·期末）已知双曲线：的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点. (1)求的方程； (2)设是上的动点，直线和分别与直线交于点.若与的面积相等，求点的坐标. 13．（2026·高二·吉林长春·期中）已知曲线的焦点为且过点，是其上一点． (1)求的焦点坐标； (2)作曲线在点处的切线，由点作的垂线，垂足为，若，求点的坐标． 14．（2026·高二·重庆·阶段检测）已知抛物线的顶点为原点，焦点（）到直线：的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． （ⅰ）证明：直线的方程为； （ⅱ）求面积的最小值． 15．（2026·高二·上海·期末）已知抛物线，定点； (1)过点A且过抛物线C的焦点F的直线，交抛物线C于两点，求； (2)求过点A且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线方程； 16．（2026·高二·浙江杭州·期中）若抛物线E的顶点在原点，焦点在x轴上，开口向左，抛物线上一点M到其焦点的最小距离为，抛物线E与直线相交于A、B两点． (1)求抛物线E的方程； (2)求证：； (3)若，求实数k的值． 17．（2026·高二·河南驻马店·开学考试）已知O为坐标系原点，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于，两点． (1)求的值． (2)若，求的面积与的面积的比值． 18．（2026·高二·辽宁锦州·期末）已知双曲线C过点，且渐近线方程为，抛物线（）的焦点F与双曲线C的顶点重合，动直线l与抛物线D交于点M，N，与x轴交于点Q. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，若，试探究点Q是否为定点，如果是，求出点Q的坐标；如果不是，请说明理由. 19．（2026·高二·河北石家庄·期末）已知双曲线 C的渐近线方程为，且双曲线 C经过点 (1)求双曲线C的标准方程； (2)若点 A、B、D分别为双曲线C上不同的三个点，且 B、D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点 O，证明：原点 O到直线 AB的距离为定值. 20．（2026·河南周口·三模）已知椭圆：的左焦点为，短轴长是长轴长的． (1)求的方程． (2)过点的直线与交于，两点，点，从下列两个命题中选择一个正确的命题，并证明． ①直线与的斜率之和为定值； ②直线与的斜率之积为定值． 21．（2026·安徽阜阳·二模）已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 22．（2026·高二·贵州黔西南·阶段检测）已知双曲线的离心率是，焦距为6． (1)求的方程； (2)若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的方程． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 直线和圆锥曲线的位置关系 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：直线与椭圆的位置关系 3 知识点二、直线与双曲线的位置关系 4 知识点三、直线与抛物线的位置关系 5 03 题型精讲举一反三 6 题型 1：直线与椭圆位置关系 6 题型 2：椭圆弦长问题 8 题型 3：椭圆综合问题 9 题型 4：直线与双曲线位置关系 14 题型 5：双曲线弦长问题 16 题型 6：双曲线综合问题 18 题型 7：直线与抛物线位置关系 23 题型 8：抛物线弦长问题 24 题型 9：抛物线综合问题 27 题型 10：定点问题 32 题型 11：定值问题 38 题型 12：面积问题 44 题型 13：向量问题 54 题型 14：中点弦问题 59 04 过关测试 68 知识点一：直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x，y）， 若点M（x，y）在椭圆上，则有； 若点M（x，y）在椭圆内，则有； 若点M（x，y）在椭圆外，则有. 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 知识点二、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若即， ①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦 设直线交双曲线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 双曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. 在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率； 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍. 解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 知识点三、直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的位置关系 将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若 ①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点． 直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 抛物线的焦点弦问题 已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： ① 焦点弦长 ② ③，其中|AF|叫做焦半径， ④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。 题型 1：直线与椭圆位置关系 例1．（2026·高二·河南·阶段检测）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 【答案】D 【解析】设椭圆上的点为，则，， 而直线恒过定点，则该定点在椭圆的内部， 可得不论k为何值，直线与椭圆都相交，故D正确. 故选：D 例2．（2026·高二·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【解析】设，两点的坐标分别为，，则， 又两式作差得， 故，所以，解得． 此时椭圆方程为，联立直线方程有， ，则此时直线与椭圆有两个交点，符合题意. 故选：B． 例3．直线与曲线（）的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】取，原方程变为，两个椭圆与直线有4个公共点， 故选：D 变式1．（2026·河北·模拟预测）已知椭圆C：与直线相切，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立方程消去y后整理为， 有， 整理可得，由，有， 可得． 故选:B． 变式2．（2026·高二·浙江温州·期末）已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线过定点，曲线是椭圆的上半部分， 当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率 和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间，直线l与椭圆上半部分相切时的斜率为， 直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率为， 所以k的取值范围为. 故选：B 题型 2：椭圆弦长问题 例4．（2026·高二·江苏南京·期末）过椭圆的一个焦点作长轴的垂线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】由题意得，，则通径长为. 故选：D 例5．（2026·高二·福建泉州·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据椭圆方程可得，则，解得 不妨设l过右焦点，A点在第一象限，则， 代入椭圆方程可得， 所以 故选：D. 例6．（2026·高二·北京·期中）过椭圆焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A、B两点，则等于（   ） A．4 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】由椭圆，可得，则， 联立方程组，解得， 如图所示，可得，所以. 故选：C. 变式3．（2026·高二·山东德州·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得． 故选：B． 题型 3：椭圆综合问题 例7．（2026·高二·云南昭通·阶段检测）已知点是圆上的动点，点在轴上的射影为，点满足，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若斜率为1的直线与轴交于点，与交于，两点，求的取值范围． 【解析】（1）设，，因为为在轴上的射影，所以． ，得，即，即． 又因为在圆上，所以， 即，所以的方程为． （2）设直线的方程为，，设，， 则， ． 由，得． 所以，即. ，． 所以 ． 又， 所以，即. 所以的取值范围为． 例8．（2026·高二·上海·期末）已知曲线上动点到两点，的距离之和为4，直线和曲线相交于两点，为坐标原点． (1)写出曲线的方程； (2)若以为直径的圆经过原点，求实数的值． 【解析】（1）由题意知曲线是椭圆， 设椭圆的焦半距为，则由题设，得，， 所以， 故所求椭圆的方程为； （2）若以为直径的圆经过原点， 设点，，，， 将直线的方程代入， 并整理，得， 则，． 因为以线段为直径的圆恰好经过坐标原点， 所以，即． 又， 于是，解得， ， 当时，，符合条件， 所以以为直径的圆经过原点，． 例9．（2026·高二·河北石家庄·期中）已知椭圆C的左、右焦点分别为，点A是C上位于第一象限的点，，点在C上． (1)求C的方程； (2)设，直线的斜率分别为，求的取值范围； (3)设直线与C交于P，Q两点，线段的中点为H，若，求k的值． 【解析】（1）由题意得，即， 因为点在上，所以， 故的方程为； （2）设， 则， 所以， 因为，所以，则， 所以的取值范围是； （3）设，，则， 由，得， 所以， ，解得， 则， 因为，所以， 解得，满足，所以． 变式4．（2026·高二·江西宜春·期中）已知椭圆的右焦点为，右顶点为， (1)求椭圆的标准方程； (2)倾斜角为45°的直线交该椭圆于两点，且，求直线方程. 【解析】（1）由题可知，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）因为直线倾斜角为45°，所以直线的斜率为， 设直线的方程为，， 联立，消去并整理得：， 所以， 所以， 又，所以， 因为，所以， 所以， 所以， ， ， ，即， 解得或， 当时，直线的方程为，所以直线经过点， 此时或与点重合，不满足题意； 所以直线的方程为. 题型 4：直线与双曲线位置关系 例10．（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期末）直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将直线代入双曲线中，整理得， 因为直线与双曲线交于不同的两点， 所以,，解得， 所以斜率的取值范围是. 故选：C. 例11．（2026·高二·河北石家庄·阶段检测）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立方程，消去后整理为， 当时，或， 当时，，，，直线与双曲线只有1个交点， 当时，，，，直线与双曲线只有1个交点， 所以不满足条件； 当时，有，可得或. 故选：B 例12．（2026·高三·辽宁鞍山·开学考试）已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，可得， 当时，，此时方程为一次方程，有一个解，不符合题意， 当时，即时，， 即，解得. 故选：B. 变式5．（2026·高二·全国·单元测试）直线与双曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【解析】方法一：由 可得，， 所以直线与双曲线有2个交点． 方法二：双曲线的渐近线为， 易知直线过双曲线的左顶点，且斜率为， 所以直线与双曲线有2个交点． 故选：C 变式6．（2026·高二·广东湛江·期中）若双曲线的离心率为，右焦点为，点的坐标为，则直线（为坐标原点）与双曲线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【解析】因为双曲线的离心率为，且右焦点为， 所以，所以，， 所以的坐标为，且双曲线的渐近线方程为， 又因为，所以直线与双曲线的交点个数为2个． 故选：C 题型 5：双曲线弦长问题 例13．（2026·高二·河北唐山·期末）在双曲线的两支上各取一点，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C．14 D．18 【答案】A 【解析】由得，即， 所以. 故选：A. 例14．（2026·高二·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设双曲线上的点，线段的中点为，则， 则，且， 两式相减，得，即， 则直线斜率，直线的方程为：， 由，消去，得，解得， . 故选：B 例15．（2026·高二·重庆渝中·期中）已知双曲线，过左焦点的直线与双曲线交于两点.若存在4条直线满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意：若在同一支上，则；如果在两支上，则有； 因为存在4条直线满足，所以且，解得， 故选：C. 变式7．过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】依题意，得双曲线的左焦点F1的坐标为，直线AB的方程为. 由得 . 设  ， 则，，所以 ＝3. 故选：B. 题型 6：双曲线综合问题 例16．（2026·高二·湖北孝感·期末）已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于、两点，求的面积. 【解析】（1）由题意设所求双曲线的方程为， 代入点得，解得， 所以双曲线的方程为，即． （2）由（1）知，，， 由题意得直线的方程为，即． 设，， 联立，整理得， ， 则，， 则， 点到直线：的距离． 所以． 例17．（2026·高二·上海·期中）已知双曲线的方程为. (1)求的渐近线方程； (2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点， ①求的方程；②求. 【解析】（1）由题意得，则双曲线C的渐近线方程为. （2）①设，，直线l的斜率为k， 则，两式相减，得， 即，所以，即. 直线l的方程为，即. 联立得，则， 则直线与双曲线C有两个交点，满足条件， 所以，直线l的方程为. ②由①得， 则. 例18．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知双曲线：（,）的左、右焦点分别为，，实轴长为，双曲线的一条渐近线为. (1)求双曲线的标准方程； (2)为坐标原点，点、、是双曲线上不同的三点，且、两点关于轴对称，的外接圆经过点. ①求证：直线与圆相切； ②直线与渐近线交于，两点,求的取值范围. 【解析】（1）已知双曲线实轴长为，则，所以. 因为双曲线的一条渐近线为，即，所以，即. 所以双曲线的标准方程为. （2）①设，，则，均满足. 因为的外接圆经过点，所以可设的外接圆方程为. 所以，， 两式相减得，，故外接圆方程为. 则，，所以. 又，，代入中整理得，， 因为，所以，所以直线的斜率一定存在， 设直线的方程为，联立双曲线方程整理得， 当时，，，， 则， 所以，即. 原点到直线的距离为，等于圆的半径， 故直线与圆相切. ②直线与渐近线交于，与渐近线交于. 则. 直线与双曲线相交的弦长. 故. 由直线与双曲线相交可得，即且， 又点、、是双曲线上不同的三点，所以，故. 当时，，即； 当时，，即， 综上，的取值范围为. 变式8．（2026·高二·安徽·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上，直线与交于两点． (1)求的方程； (2)若线段的中点坐标为，求直线的方程； (3)若为的左顶点，直线过的右焦点，，都在的右支上，的面积为，为坐标原点，求． 【解析】（1）由题可得，所以的方程为； （2）设，则， 所以， 所以直线的方程为即； （3）由（1）得， 当直线斜率不存在时，直线，代入双曲线方程得， 此时的面积为，不符合， 所以直线斜率存在，设直线， 联立得， 则，所以， 所以， 又点M到直线的距离为， 所以（舍去）或， 则，， 所以． 题型 7：直线与抛物线位置关系 例19．已知抛物线与斜率为的直线恰有一个公共点，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设过点的直线方程为，与联立得 ， 由，解得， 故，所以，解得， 将代入中得，. 故选：B 例20．（2026·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 例21．（2026·高二·上海·阶段检测）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】因为点不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线斜率时，易知满足条件； 当直线斜率存在且时，设直线方程为， 由，整理得到， 由，解得. 综上所述：满足条件的直线有条. 故选：D 变式9．（2026·高二·江西·阶段检测）直线与抛物线：的图象相切，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，消去整理得， 由，解得或（舍去）， 所以抛物线：，则的准线方程为. 故选：A 题型 8：抛物线弦长问题 例22．（2026·高二·福建厦门·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线过焦点， 所以， 所以，所以抛物线方程为． 例23．（2026·高二·天津·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点A在抛物线上，O是坐标原点，若的面积为，则长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】抛物线的焦点为，则抛物线标准方程为， 不妨设点，则由，解得， 可知抛物线准线方程为，则长度即点到准线的距离，为. 故选：B. 例24．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，设直线的方程为， 由，得，所以， 所以，解得， 所以直线l的斜率为. 故选：B. 变式10．已知抛物线，直线经过抛物线的焦点，且与相交于，两点．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为直线经过点，则，由得， 则，故，所以． 故选：D． 变式11．（2026·高二·全国·单元测试）已知O为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，A，B是C上位于x轴异侧的两点，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，，不妨设点，，且点A在第一象限，如图， 则，， 则，，故， 所以直线的方程为， 令得，即A，B，F三点共线， 所以． 故选：C． 题型 9：抛物线综合问题 例25．（2026·高二·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线：右顶点与抛物线的焦点重合，且点在双曲线上. (1)求的标准方程； (2)设直线与双曲线的右支相交于，两点，点为的中点. ①设的斜率为，求的值； ②若的面积为，射线交于点，设，求的值. 【解析】（1）由题意得，双曲线右顶点为，所以， 因为点在上，所以，解得， 所以双曲线的标准方程为； （2）①设，， 联立，得， 得，得， 因为直线与的右支相交， 所以，，解得， 点为线段的中点，所以点的横坐标为， 代入直线，可得，所以， 所以的斜率，则； ②由①可得 ， 且到直线的距离， 所以， 即，解得或， 因为，所以， 所以，， 因为， 所以，， 因为点在上，所以，所以， 因为射线交于点，所以 例26．（2026·高二·湖北武汉·期末）设平面内动点到点、距离之差为. (1)若，过点且斜率为2的直线交点的轨迹于、两点，求线段的长. (2)若存在点到、轴的距离之比为，求的取值范围. 【解析】（1）当时，. ∵，∴点的轨迹是双曲线的一支. 由题意得；，所以，， ∴点的轨迹方程为. 直线方程为，即. 设，.由，化简可得. 且， . （2）设点的坐标为，依题设得，即，. 因此，点、、三点不共线，得， ∵，∴，解得. 因此点在以、为焦点，实轴长为的双曲线上，故. 将代入，并解得， 因为，，所以，解得， 即的取值范围为. 例27．（2026·高二·河南新乡·期末）已知双曲线（，）的右焦点为，一条渐近线的方程为. (1)求的方程. (2)过直线上一点作直线，与交于，两点. （i）证明：当时，必与原点重合； （ii）求的最小值. 【解析】（1）设E的半焦距为.由题知，， ，， ，， 的方程为. （2）（i）方法一：设，易知直线l的斜率一定存在，设. 由，得， 设，，则. ，，整理得， ，，，即点P与原点重合. 方法二：设，，. 由，，作差可得. ，，，， 又，. 由题意知，直线l的斜率一定存在，且斜率不能等于，即， ，，即点P与原点重合. （ii）设. 当l与x轴垂直时，，设点，则， ， 又点A在E上，，即，. 当的斜率存在时，由得， 设，，则， ，当时，等号成立. 综上，的最小值为1. 变式12．（2026·上海·模拟预测）已知抛物线的焦点为． (1)求点到抛物线准线的距离； (2)若过点的直线交抛物线于、两点，求的最小值； (3)设直线与抛物线交于、两点，若，求线段中点到轴的距离的取值范围． 【解析】（1）由题意得，准线方程为， 则点到抛物线准线的距离为. （2）当斜率不存在时，直线方程为， 设，，联立方程组， 解得，可得， 当斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，由焦半径公式得， 综上可得，的最小值为. （3）如图，作出符合题意的图形， 设直线方程为，设，， 联立方程组，可得， 可得，由韦达定理得， 设线段中点为，由中点坐标公式得， 由题意得线段中点到轴的距离为 ， 而，而， 得到，而， 可得，解得或， 当时，满足，此时， 当时，此时， 解得，此时， 综上可得，线段中点到轴的距离的取值范围为. 题型 10：定点问题 例28．（2026·高二·浙江杭州·期中）已知椭圆上的点到两焦点的距离之和为4，且右焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)设、分别为椭圆的左右顶点，点为椭圆上异于、的动点，直线、分别与直线交于点、．求证：以为直径的圆交轴于两定点． 【解析】（1）由题意可知，所以， 所以椭圆的方程为. （2） 如图所示，可知，设， 则，所以， 所以， 设以为直径的圆交轴于点， 可得， 因为为直径，所以，即，化简得， 而，所以，所以，所以， 解得或，即以为直径的圆交轴于点，即以为直径的圆交轴于两定点. 例29．（2026·高二·云南保山·期末）已知直线与抛物线相交于异于原点的、两点． (1)若为正三角形，求的面积； (2)若以为直径的圆经过原点，求证：直线恒过定点． 【解析】（1）设，由为正三角形，得， 则，即，整理得， 而，因此，，， 由，得，即，解得， 所以的面积. （2）显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 由，得，则，， 由以为直径的圆经过原点，得，， 又，解得，则直线恒过定点， 所以直线恒过定点. 例30．（2026·高二·陕西商洛·期末）已知椭圆（）的离心率为，且椭圆C过点. (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C的左、右顶点分别为A，B两点，直线l交椭圆C于M，N两点（点M，N异于点A，B），直线，的斜率分别为，，且.证明：直线l过定点. 【解析】（1）因为椭圆C过点  ， 又离心率为 ， 所以椭圆C的方程为； （2）由条件可得直线的斜率不为，故设直线l方程为，，， 由  消去x，得， 方程的判别式， ，， 又因为，， 点在椭圆C上，则， 由，得， 所以， 所以， 所以， 即  或（舍去）， 故直线l方程为，所以直线l过定点. 变式13．（2026·高二·湖北荆州·期末）已知抛物线C:的准线与x轴的交点为H，直线过抛物线C的焦点F且与C交于A，B两点， (1)求的面积的最小值． (2)若过点的动直线l交C于M，N两点，试问抛物线C上是否存在定点E，使得对任意的直线l，都有，若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由． 【解析】（1）显然直线斜率不为零，设直线的方程为，， 由消去得，则， 因此， 当且仅当时取等号，所以的面积的最小值为. （2）假设存在，使得对任意的直线l，都有，设， 则，而直线斜率不为零， 设直线的方程为，代入，得， 则，由，得， 即，整理得， 因此，即，则， 由，解得，所以存在定点满足题意. 变式14．（2026·高二·福建厦门·期末）已知动圆与直线相切且与圆：外切. (1)求圆心的轨迹的方程； (2)直线过点且与轨迹交于两点，若的倾斜角为，求弦长的值； (3)若是轨迹上两点，是坐标原点，直线，的斜率之积等于，求证：直线过定点. 【解析】（1）由定圆，可得圆心为，半径， 因为到直线的距离为，所以直线与圆相离，且在圆左侧， 如图所示，动圆必在直线右侧， 解法1：设圆心C的坐标为，动圆的半径为， 由动圆与直线相切，可得， 由圆与圆外切，可得，即， 整理得，所以圆心的轨迹的方程为. 解法2：设为动圆圆心到的距离，由题意得， 即动圆的圆心到的距离等于点到直线的距离， 所以动圆圆心的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线， 设动圆圆心的轨迹方程为，则，解得， 所以圆心的轨迹的方程为. （2）由题意得，直线的方程为，设，， 联立方程组，整理得，则，且， 由抛物线的定义，可得. （3）由题意知，直线的斜率不为0，设直线，且， 联立方程组，整理得， 则，且，， 因为直线与的斜率之积等于，所以， 即，所以， 又因为，，所以，可得， 因为，所以，所以，解得， 所以直线的方程为，所以直线过定点. 题型 11：定值问题 例31．（2026·高二·四川宜宾·期末）已知双曲线：（，）的离心率为2，且经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点．试问：是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【解析】（1）由题意可得，解得，，， 所以双曲线的标准方程：． （2）由（1）知右焦点，渐近线方程：， 设直线：，，， 联立可得：， ，， 联立得； 联立得， 所以， 所以为定值． 例32．（2026·高二·广东深圳·期中）已知椭圆过，两点. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)设为第三象限内一点且在椭圆上. （i）若，为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于另一点，求线段的长度； （ii）直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值. 【解析】（1）由条件可知，，， 所以椭圆的方程为，， 所以椭圆的离心率； （2）（i），， 直线的斜率为，所以直线的方程为， 与椭圆方程联立，得， ，即，，所以，即且， 所以 （ii）设，，，，， 直线，令，得，即 直线，令，得，即， ，， 所以四边形的面积为， 所以四边形的面积为定值. 例33．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且C过点． (1)求C的方程． (2)设C的右焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点． （ⅰ）若l不与x轴重合且斜率存在，线段AB的中点为M，证明：直线OM与AB的斜率之积为定值． （ⅱ）是否存在这样的l，使得以OA，OB为邻边的平行四边形OAPB为矩形？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）设的半焦距为． 由的离心率，得， 又，得， 因此的方程为， 由点在上，可得，解得． 因此，，故的方程为． （2）（ⅰ）（ⅰ）由（1）得的右焦点为，由题知的斜率存在且不为0，设的方程为，，． 联立方程得消去，可得， 则，． 设的中点为，则， 因为， 所以． 因为，， 所以， 即直线与的斜率之积为定值； （ⅱ）不存在. （ⅱ）因为以，为邻边的平行四边形为矩形的一个必要条件是， 所以，即． 又，， 所以， ， 所以， 令，得，该方程无实数解，不满足题意． 当的斜率不存在时，的方程为， 此时或与重合，构不成四边形，也不满足题意． 综上，不存在满足条件的． 变式15．（2026·高二·北京海淀·期中）已知椭圆的离心率，点在上，直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)当为何值时，为定值． 【解析】（1）依题意知， ，解得， 所以椭圆的方程为； （2） 联立，可得， 由，设． 则， 在上， ， ， 若为定值，则与无关， 故需使，解得，此时． 变式16．（2026·高二·浙江杭州·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，抛物线的焦点在双曲线上，过点的直线与双曲线交于，两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：直线与直线的斜率之积为定值． 【解析】（1）抛物线的焦点为， 由题意得， 所以双曲线的标准方程为； （2）∵过点，由题意可知的斜率不为0， 故可设直线的方程为，，， 则 ， ， ∴ ． 故直线与的斜率之积为定值． 题型 12：面积问题 例34．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆．过点的直线与椭圆交于两点，设为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)求面积的最大值，其中为坐标原点． 【解析】（1）设． 因为弦的中点为，所以， 又因为两点在椭圆上，所以， 两式相减得， 当时，，，即， 由于弦过点，，所以， 因此，整理得①， 又因为是弦的中点，所以必在椭圆内， 所以，再与①联立消去得：，即. 再由①得，解得，因此. 因此点M的轨迹方程为（）． （2）因为直线与椭圆交于两点，所以直线的斜率存在. 设过点的直线为． 代入椭圆方程，得． 整理为． ，得. ，， 所以由弦长公式得， 再由点到直线的距离， 所以， 令，．则． 记．求导可得． 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以当时，取得最大值． 所以． 因此，当，即时，面积的最大值为． 例35．（2026·高二·福建厦门·期中）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，离心率为，且点P在C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过左焦点且斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求内切圆的面积． 【解析】（1）由椭圆C离心率为，得＝，即， 所以，故椭圆C的方程为 代入点，得，故，， 所以椭圆C的标准方程为． （2）由题意得，直线l的方程为， 设，， 由，消去y，得， 所以 则， 又，直线l的方程为， 则点到直线AB的距离， 所以， 设内切圆的半径为r， 由，解得， 故内切圆的面积为. 例36．（2026·高二·河南·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且的焦点与双曲线的焦点重合． (1)求的方程； (2)若过点且与的一条渐近线平行的直线与交于，两点，为坐标原点，求的面积． 【解析】（1）双曲线的焦点坐标为，则椭圆的焦点为， 即有，由的离心率为，得，解得， 所以的方程为. （2）依题意，双曲线的渐近线的斜率为，设， 由对称性，不妨设直线的方程为，即， 由消去，得 ，则，， 因此， 所以的面积. 变式17．（2026·高二·四川成都·期中）已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，是平面内一点，是椭圆上一点，若. (1)求椭圆的方程. (2)直线：与椭圆交于，，线段的中点为，若，，三点共线， ①求的值； ②试问：是否存在，使得的面积取到最大值，若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由. 【解析】（1）由，得， 代入椭圆方程可得， 又椭圆离心率为，可知， 解得，， 故椭圆的方程为. （2）①设，，则中点， 由，，三点共线，知， 由，均在椭圆上，，得， 由，则，则. ②由，得， ，解得， 由，故， 则， 而到的距离， 令的面积为，则. 令函数，， 记的导函数为， ， 又根据以及的符号， 知在上单调递增，在和上单调递减， 故在处取得最大值， 所以当，取得最大值. 变式18．（2026·高二·陕西汉中·期中）已知椭圆的离心率为，其左焦点为．点，过点的直线（不垂直于坐标轴）与交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：； (3)求面积的最大值． 【解析】（1）由题意得，，．可知，， 所以椭圆的标准方程为． （2）证明：根据题意，设直线的方程为，，，， 由，可得， 则，， 所以， 而，所以， 所以成立． （3） ． 令，，则， 又，所以当，即时，取得最大值，为. 故面积的最大值为． 变式19．（2026·高二·四川德阳·期末）已知有公共焦点的椭圆（）与抛物线（）交于点． (1)求椭圆与抛物线的标准方程； (2)过与抛物线相切的直线交椭圆于另一点，求的面积． 【解析】（1）已知在抛物线上， 代入可得，解得， 故抛物线标准方程为，焦点为， 因为椭圆与抛物线共焦点，所以椭圆半焦距，即， 又在椭圆上，代入可得 ， 化简可得，联立，解得， 所以椭圆标准方程为. （2）， 设过点与抛物线相切的切线斜率为，则切线方程为， 即， 代入抛物线方程，可得 ， 化简可得 ， ，解得， 因此切线方程为，即， 切线方程与椭圆方程联立可得，消得， 化简可得 ，解得，， 将代入可得，即， 令切线方程，则， 所以. 变式20．（2026·高二·上海闵行·期中）将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记作.斜率为且不经过点的直线与抛物线相交于、两点，设、的斜率分别为、. (1)求抛物线的方程； (2)判断是否为定值.如果是，求出的值.如果不是，请说明理由； (3)若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 【解析】（1）依题意，设抛物线的方程为，由抛物线过点，得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）设点，由直线斜率为，得， 整理得，因此， 所以是定值，该定值为0. （3）依题意，直线的方程为，即， 由消去得，， ，，， 点到直线的距离， 则的面积， 令，则，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以面积的最大值为. 变式21．（2026·高二·上海·期中）如图所示，椭圆，左右焦点分别记作、，过、分别作直线，交椭圆于、，且． (1)当直线的斜率时，求直线的斜率； (2)求四边形面积的最大值． 【解析】（1）设，，根据对称性，有. 因为，都在椭圆上，所以，. 两式相减得，. 所以为定值. 所以时，. （2）当的倾斜角为时，与重合，舍去. 当的倾斜角不为0时，由对称性得四边形为平行四边形，. 设直线的方程为，代入. 得. 显然，，. 所以 设，所以，. 所以. 当且仅当即时等号成立，所以. 所以平行四边形面积的最大值为. 题型 13：向量问题 例37．（2026·高二·江苏盐城·期末）已知椭圆：（）经过，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为1的直线交椭圆于，两点． （i）若直线经过椭圆的右焦点，求的面积； （ii）求的最小值． 【解析】（1）因为椭圆：（）经过，所以，因为椭圆离心率为， 所以，因为，所以解得，所以椭圆：. （2）（i）由题意可得，，因为直线的斜率为，所以直线：，所以联立， 可得，化简可得，解得或， 所以，，故点到直线的距离为， 所以. （ii）设直线：，设，， 所以联立，可得， 可得，由韦达定理可得， 则，， 所以， 因为，， 所以， 即， 所以， 当时，取得最小值，即此时. 例38．（2026·重庆·模拟预测）已知椭圆的四个顶点围成的四边形面积为，离心率. (1)求出椭圆的标准方程； (2)过椭圆的上焦点作直线与椭圆交于，两点，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由，得， 由椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为， 可得，即， 再由，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）知，设点，， 当直线的斜率不存在时，，此时交点为和, 不满足，舍去； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，消去得到， 其中，且； ，，即； 因此，解得； 解得，即， 直线的方程为. 例39．（2026·高二·湖南长沙·期中）已知椭圆经过点为椭圆的左、右两个焦点，． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过右焦点作直线与椭圆C交于两点（点A位于x轴上方），是否存在直线，使得？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题意，可得，解得 故椭圆的标准方程为． （2）由题意，若存在这样的直线，则直线的斜率存在且不为0， 易知，设直线的方程为， 因为，所以有，其中， 联立可得， ， 故，， 因为，即， 代入到得，整理得， 代入到得，整理得， 因此有，整理得，解得． 又，故，所以， 所以存在直线满足条件且其方程为，即． 变式22．（2026·高二·湖南长沙·期末）已知双曲线的一条渐近线的斜率为左、右焦点分别为 (1)求C的方程; (2)设x轴上方的点A，B分别在C的左支与右支上，若求直线的方程． 【解析】（1）双曲线的渐近线方程为，依题意，，可得， 由焦点坐标可知，而，即， 解得，所以， 所以的方程为． （2）设，，，而，， 则 由，得，解得,即得， 依题意，解得即， 又，所以直线的方程为，整理得． 变式23．（2026·高二·内蒙古呼和浩特·期末）已知双曲线与有相同的渐近线，且过点. (1)求的方程； (2)设为双曲线上任一点，为双曲线右焦点，到直线的距离为，求的值； (3)已知为坐标原点，直线与交于两点，且，求的值. 【解析】（1） 的渐近线方程为，所以①， 因为双曲线过点，所以②， 联立①②得， 所以的方程为. （2）由（1）得，， 设，则，， ，， 所以. （3）联立得， ， 设，，则，， ， ， 解得. 题型 14：中点弦问题 例40．（2026·高二·山东·期末）（1）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，若为的中点，求直线的方程； （2）设椭圆，弦过定点，且满足，若，求的取值范围. 【解析】（1）如图，作出符合题意的图形， 设，均在椭圆上，故：①，②； 得，因式分解； 因为中点，故， 代入得，化简， 斜率；由点斜式得直线方程，整理. 所以直线的方程为 （2）如图，做符合题意的图形， 设，，， 所以 可得，即； 代入椭圆方程与，得：③，④； 得； 因为在椭圆上，，故， 设，解得，所以， 当，三点重合，不构成弦，故舍去； 所以，即的取值范围为 例41．（2026·高二·天津武清·阶段检测）顺次连接椭圆的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形. (1)求椭圆的标准方程； (2)倾斜角为的直线过椭圆的右焦点，与椭圆交于点，求的面积； (3)过点的直线与椭圆交于M、N两点，若恰好是线段MN的中点，求直线的方程. 【解析】（1）如图， 由椭圆的四个顶点构成了一个边长为且面积为的菱形， 知菱形的面积为，且， 解得，所以椭圆的标准方程为. （2）如图， 由（1）知，，则椭圆的右焦点为， 则直线的方程为，即， 所以点到直线的距离为； 由，得， 设，则， 所以， 得. （3）如图， 设，则，直线的斜率为， 且，两式相减得， 整理得，即， 所以直线的方程为，即. 例42．（2026·高二·黑龙江大庆·期末）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于8， (1)求椭圆的标准方程 (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程 【解析】（1）椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为， ， 椭圆的标准方程为； （2）设 ，。 因为是的中点，所以：， 即： 点和都在椭圆上： ， 将 (1) 和 (2) 相减： ， 即：， 代入和， ， 即：， 因此，直线的斜率：， 直线过点，斜率为， 其方程为：，即. 变式24．（2026·高二·北京·期末）已知椭圆. (1)求椭圆的短轴长和离心率； (2)过点的直线与椭圆交于两点，若弦的中点为，求直线的方程与弦的长. 【解析】（1）椭圆，即， ∴ ∴椭圆的短轴长， ∵，∴， ∴椭圆的离心率. （2）设， 则，即，∴， ∵点为弦的中点，则，即， ∴，即， ∵直线，即， ∴， 联立方程组，整理得， 则， ∴. 变式25．（2026·高二·河南郑州·期末）设动点与定点的距离和到直线的距离的比是． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的直线与动点的轨迹相交于两点，且恰好是线段的中点，求直线的方程． 【解析】（1）设动点，由题意可得 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程是 （2）设， 因为在动点的轨迹上，所以，， 两式相减得， 即 因为是线段的中点，所以， 所以，即直线的斜率， 所以直线的方程为，即 变式26．（2026·高二·河北邢台·期末）已知定点，定直线，过平面内一动点作直线的垂线，垂足为，使． (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线与动点的轨迹相交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求直线的方程． 【解析】（1）设，因为，所以， 整理得，即动点的轨迹方程为． （2）设，则， 两式相减得， 若，则直线的方程为，显然不可能是线段的中点， 不符合题意； 则． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即． 联立，得，则， 直线与动点的轨迹相交，所以直线的方程为． 变式27．（2026·高二·贵州安顺·期末）已知，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4． (1)求点的轨迹的方程． (2)过点能否作一条直线与轨迹交于，两点，且是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由． 【解析】（1）设点， 则直线的斜率，直线的斜率， 由题意知，即，化简整理得， 所以点的轨迹的方程为． （2）不能，理由： 假设存在符合题设的直线，设， 则，两式相减整理得． 又因为为线段的中点，所以，， 所以直线的斜率． 由点斜式方程可知，直线的方程为，即． 由消去，整理得，（*） 判别式， 所以方程（*）无解，故直线与轨迹无交点，因此假设不成立， 故过点不能作直线，使得与交于，两点，且是线段的中点． 变式28．（2026·高二·河南郑州·期末）已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【解析】（1）由题意知，动点到直线的距离与到点距离相等， 根据抛物线的定义，可得动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 可得，解得，所以曲线的方程为. （2）设，可得， 两式相减得， 线段的中点坐标为，可得在抛物线内部， 所以，可得， 又由，可得， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 变式29．（2026·高二·河北邯郸·阶段检测）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知直线交曲线于两点，且的中点为，求直线的方程. 【解析】（1）由题意知，动点到点的距离比它到直线的距离小2， 则动点到点的距离与它到直线的距离相等， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. （2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则，两式相减得，整理得， 因为的中点为，所以， 则， 所以直线的方程为，即. 又直线过点，故直线与抛物线相交，满足条件. 1．（2026·高二·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解析】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 2．直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【解析】表示椭圆，故可得，且； 又直线过点，根据题意，在椭圆内或椭圆上，故，又，故； 综上所述，，且. 故选：C. 3．（2026·高二·江苏扬州·期中）已知椭圆，直线与椭圆交于两点，则线段长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将代入椭圆方程， 得：或. 当时，；当时，. 所以点的坐标分别为和. 所以. 故选：A 4．已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线的方程为，由，得， 由，得， 则， 所以， 当时取到最大值，此时直线的方程为． 故选：B． 5．（2026·高三·全国·三轮复习）过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于两点，若，则这样的直线有（    ）条． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由，可得1 当直线l的斜率不存在时，，此时有1条直线符合要求； 当直线l的斜率存在时，若两点都在右支上，因，不符合要求； 若在左、右两支上时，因，根据双曲线的对称性知，有2条直线符合要求. 故这样的直线共有3条． 故选：D. 6．（2026·高二·广东潮州·期末）已知双曲线的一条渐近线为，过双曲线的右焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，则弦的长度为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【解析】由渐近线方程化简得，即， 同时平方得， 又双曲线中，故，解得或（舍去）， 所以双曲线， 所以双曲线C的右焦点为， 右焦点作轴的垂线，交双曲线于两点， 则， 故弦的长度为. 故选：A. 7．（2026·高二·北京延庆·期末）已知直线和抛物线，那么“与相切”是“与只有一个公共点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若直线与抛物线相切，则直线与只有一个公共点， 若直线与只有一个公共点，则直线与抛物线相切或直线与对称轴平行， 所以“与相切”是“与只有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 8．（2026·高二·陕西榆林·阶段检测）已知抛物线与直线无公共点，则实数可以为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】由题意有：， 所以，解得， 故选：C. 9．（2026·广东·模拟预测）若圆上点处的切线与抛物线有且仅有一个公共点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知圆心坐标为，故切点与圆心连线的斜率为， 故切线的斜率， 所以该切线方程为，即， 联立，则， 由公共点唯一可知：，解得（舍）或． 故选：D 10．已知抛物线的焦点为F，过F作C的对称轴的垂线，与C交于A、B，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【解析】由抛物线，则，对称轴为轴， 所以过F与y轴垂直的直线为， 不妨设，则. 故选：B. 11．（2026·高二·北京·期中）已知椭圆的离心率为，过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点.在轴是否存在定点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【解析】（1）因为， 令，得， 由已知， 又，， 解得，， 所以椭圆的方程为. （2）设，由题知直线存在斜率设为， 则， 于是， 消得 则，得， 于是， 令，则， 设，则，. ， 所以，得. 所以存在点满足题意. 12．（2026·高二·山东潍坊·期末）已知双曲线：的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点. (1)求的方程； (2)设是上的动点，直线和分别与直线交于点.若与的面积相等，求点的坐标. 【解析】（1）由题意得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）设点，则，已知，，则. 直线的方程为，令，可得， 直线的方程为，令，得， 则. 因为，即，所以 点到直线的距离. 因为与的面积相等， 所以，即. 代入可得： 因为，所以，即. 由可得：. 当时，展开化简得，解得. 将代入，解得. 当时，展开化简得， 此方程的判别式，方程无解. 所以点的坐标为或. 13．（2026·高二·吉林长春·期中）已知曲线的焦点为且过点，是其上一点． (1)求的焦点坐标； (2)作曲线在点处的切线，由点作的垂线，垂足为，若，求点的坐标． 【解析】（1）曲线过点，代入得，解得. 则曲线的方程为，属于标准抛物线型. 对比得，即，焦点坐标为. （2）设点，满足， 由题可知切线斜率一定存在. 所以设切线的方程为，即. 联立抛物线与切线方程， 消去得. 因为直线与抛物线相切，所以判别式， 即， 整理得 将代入得，即，解得. 因此切线方程为， 整理得. 由向切线作垂线，垂足为， 因为切线斜率为，所以垂线斜率为， 垂线方程为，联立切线与垂线方程求交点: 代入解得. 三点坐标：，，. 因为，所以是直角三角形，. 所以面积. . 所以面积 由，得 ， 即. 不妨先设，则， . 两边同乘可得， 即. 可知时，. 所以， 二次方程的判别式，方程无实根， 故，. 同理可得，.如图所示: 综上，点的坐标为或. 14．（2026·高二·重庆·阶段检测）已知抛物线的顶点为原点，焦点（）到直线：的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． （ⅰ）证明：直线的方程为； （ⅱ）求面积的最小值． 【解析】（1）由已知可知抛物线开口向上，标准形式设为， 焦点到直线的距离为，解得， 因此抛物线的方程为. （2）（i） (i)设切点，由得 ，. 则抛物线在点处的切线斜率为，切线方程为且， 整理得， 因为在切线上，代入切线方程得， 同理，对切点可得. 说明两点都满足方程，由两点确定一条直线得，直线的方程就是得证. (ii) （ii）联立直线与抛物线的方程， 消去得，判别式， 由韦达定理得， 弦长， 点到直线的距离，   因此的面积. 因为，当即时，取得最小值， 因此面积的最小值为. 15．（2026·高二·上海·期末）已知抛物线，定点； (1)过点A且过抛物线C的焦点F的直线，交抛物线C于两点，求； (2)求过点A且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线方程； 【解析】（1）对于抛物线，得，即，焦点. 已知，直线的斜率，直线方程为. 联立直线与抛物线方程：， 整理得， 设，由韦达定理得， 由弦长公式. （2）若所求直线斜率不存在，则方程为，代入抛物线得，仅有一个公共点，符合条件； 若所求直线斜率存在，设为，则直线为，由，得， 若，方程化为，仅有一个解，对应直线，符合条件； 若，令判别式，得，对应直线，符合条件。 综上，过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线方程为或或. 16．（2026·高二·浙江杭州·期中）若抛物线E的顶点在原点，焦点在x轴上，开口向左，抛物线上一点M到其焦点的最小距离为，抛物线E与直线相交于A、B两点． (1)求抛物线E的方程； (2)求证：； (3)若，求实数k的值． 【解析】（1）由题意，设抛物线的方程为 ，准线是， 根据抛物线定义：抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离， 又抛物线上点到准线的距离最小值为顶点到准线距离， 故最小距离即为顶点到焦点的距离，即， 由条件得​，解得 ​， 因此抛物线E的方程为 ； （2） 当时，易知直线与抛物线仅一个交点，不符合题意，舍去； 当时，设，， 联立直线与抛物线方程， 将代入， 整理得： ， 由韦达定理得：，， ， 又，，所以， 因此， 故，得证； （3）的面积， 其中直线过点，故， 因此：， 所以​， 平方得： ， 又 ​，， 得：，解得， 即. 17．（2026·高二·河南驻马店·开学考试）已知O为坐标系原点，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于，两点． (1)求的值． (2)若，求的面积与的面积的比值． 【解析】（1）由抛物线，可得，即，焦点， 设过的直线方程为，联立抛物线方程， 得， 由韦达定理得：，. 因为，且， 故， 所以代入得. （2）根据题意得抛物线准线为，因此，解得， 代入抛物线方程得，即. 由（1）的韦达定理，得， 与共底，则. 18．（2026·高二·辽宁锦州·期末）已知双曲线C过点，且渐近线方程为，抛物线（）的焦点F与双曲线C的顶点重合，动直线l与抛物线D交于点M，N，与x轴交于点Q. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，若，试探究点Q是否为定点，如果是，求出点Q的坐标；如果不是，请说明理由. 【解析】（1）渐近线方程为， 设双曲线的方程为， 将点代入得：，解得， 故双曲线C的方程为，即. （2） 双曲线的顶点为，抛物线的焦点为， 由题意得，解得，故抛物线的方程为. 设点坐标为，动直线的直线方程为， 代入抛物线方程得， 整理得到， 设，由韦达定理得， 由，，知直线与的斜率互为相反数， 即：，将代入 得到，整理得到， 即， 即，代入， 得到，解得， 因为为任意实数，所以，解得， 即点为定点. 19．（2026·高二·河北石家庄·期末）已知双曲线 C的渐近线方程为，且双曲线 C经过点 (1)求双曲线C的标准方程； (2)若点 A、B、D分别为双曲线C上不同的三个点，且 B、D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点 O，证明：原点 O到直线 AB的距离为定值. 【解析】（1）由双曲线C的渐近线方程为，可设双曲线C的方程为. 代入点的坐标，有，可得. 则双曲线C的方程为，即. （2）设A，B两点的坐标分别为，可得点D的坐标为， 依题意，可设的外接圆的圆心坐标为 ，则该圆的方程为. 联立方程消去x后整理为， 则，解得或，且. 因直线AB的斜率不为0，可设其直线方程为， 联立，消去x后整理为， 则，且. 则有，可得. 则原点O到直线AB的距离为， 故原点O到直线AB的距离为定值. 20．（2026·河南周口·三模）已知椭圆：的左焦点为，短轴长是长轴长的． (1)求的方程． (2)过点的直线与交于，两点，点，从下列两个命题中选择一个正确的命题，并证明． ①直线与的斜率之和为定值； ②直线与的斜率之积为定值． 【解析】（1）由题意可知：解得因此椭圆的方程为 （2）命题①正确， 证明如下：当斜率不存在或斜率不为时， 设过的直线方程为，， 将直线方程代入椭圆方程得： ， 整理得， 由韦达定理得： ， ， 化简得, 当斜率为时，设，显然，故命题①成立. 21．（2026·安徽阜阳·二模）已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【解析】（1）由题意知，则，所以， 因为点在双曲线的一条渐近线上， 所以点在双曲线的渐近线上，所以， 综上可得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线的左焦点为， 由题意设直线的方程为， 由直线，得， 设，则，又， 所以 ， 由，得，其中， 则，，，所以. 因为，所以， 所以 . 即为定值. 22．（2026·高二·贵州黔西南·阶段检测）已知双曲线的离心率是，焦距为6． (1)求的方程； (2)若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的方程． 【解析】（1）因为双曲线的离心率是，焦距为6， 所以，，其中，解得，，所以． 因此，的方程为． （2）设，， 联立方程消去，得， 因为直线与相交于两点， 所以即且， 由韦达定理，得，， 又，， 所以， 即，所以， 将韦达定理代入上式，得，即， 解得，满足且， 因此，的方程为或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $