2.2 直线的方程讲义--2026年暑假预习新高二数学人教A版选择性必修第一册

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【2.2 直线的方程】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．直线l的截距 （1）直线在y轴上的截距：直线与y轴的交点的___纵坐标b_______． （2）直线在x轴上的截距：直线与x轴的交点 ___横坐标a_________． 2．（1）若直线，直线，则的充要条件为______； （2）若直线，直线，则的充要条件为__，且或_____. 3．（1）若直线，直线，则的充要条件为________； （2）若直线，直线，则的充要条件为_____________. 4．直线的五种方程 名称 条件 方程 图形 适用范围 点斜式 直线过定点斜率为 y－y0＝k（x－x0）    不表示垂直于轴的直线 斜截式 直线的斜率为，且与轴的交点为（直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距） ____________    不表示垂直于轴的直线 两点式 和其中    不表示_垂直___于坐标轴的直线 截距式 在轴上截距，在轴上截距    不表示垂直于坐标轴的直线及过_原点____的直线 一般式 为系数 任何位置的直线 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：直线方程的概念辨析】 【练方法】 公式结论 1.直线方程定义：直线上所有点坐标都满足方程满足方程的点全部在直线上 2.五种直线方程适用范围 点斜式：不含垂直轴的竖直线 斜截式：不含垂直轴的竖直线 两点式：不含垂直坐标轴的直线 截距式：不经过原点不垂直坐标轴 一般式：适用于全部直线 3.特殊直线方程 竖直线水平线 方法技巧 1.审题先判断直线是否垂直坐标轴或过原点排除对应受限方程 2.区分“截距”与“距离”截距可正可负可为0距离恒非负 3.判定方程是否为直线方程检验A,B不同时为0 易错提醒 1.截距式误用于过原点、垂直坐标轴的直线 2.将截距直接等同于线段长度忽略负值截距 （25-26高二上·江苏南通·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（    ）经典例题1例题 A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 【答案】BC 【分析】根据函数的定义域可判断A：根据点斜式方程可判断B；根据倾斜角为的直线方程可判断C；根据直线方程的适用范围可判断D. 【详解】对于A：方程分母不为0，要求，对应的直线不包含点， 而包含点，二者不能表示同一直线，A错误； 对于B： 倾斜角为，斜率，代入点斜式方程得， 整理得，B正确； 对于C：斜率不存在的直线垂直于轴，直线上所有点的横坐标恒为，方程为，C正确； 对于D：点斜式要求斜率存在，斜率不存在的直线没有点斜式； 截距式要求横、纵截距都存在且不为0，过原点的直线没有截距式， 因此不是所有直线都有点斜式和截距式，D错误. （25-26高二上·河北石家庄·期末）（多选）下列说法正确的有（    ）小试牛刀1 A．直线的倾斜角为 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过、两点的所有直线的方程为 D．设直线的方程为，则直线倾斜角的取值范围是 【答案】AD 【分析】根据斜率和倾斜角的关系可以判断A；根据截距是否为0进行分类讨论求解直线方程可以判断B；根据两点式的使用条件可以判断C；根据斜率和倾斜角的关系，结合余弦函数的值域求解范围可以判断D. 【详解】对于A，直线可得，则斜率， 所以直线倾斜角满足，且，即，故正确； 对于B，当截距不为0时，由直线截距式可设直线方程为，代入 得，解得； 当截距为0时，可设直线方程为，代入得，即，故错误； 对于C，根据直线方程两点式可知，且，故错误； 对于D，由直线的方程为可得，斜率， 由得，设倾斜角为，则， 由，得,故正确， 故选：AD. （25-26高二上·青海西宁·阶段检测）（多选）以下四个命题是错误的是（   ）小试牛刀2 A．直线恒过定点 B．若直线与互相垂直，则 C．已知直线与平行，则 D．过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为 【答案】ACD 【分析】求出直线过定点，判断A；根据直线的垂直关系可求出m的值，判断B；根据直线的平行关系可求出a的值，判断C；讨论直线的截距是否为0，求出直线方程，判断D. 【详解】对于A, 直线，即， 由于，故，即直线恒过定点，A错误； 对于B，直线与互相垂直， 则，解得，B正确； 对于C，直线与平行， 则，解得或， 当时，直线与平行，符合题意； 当时，直线与平行，符合题意，C错误； 对于D，过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 当直线在两坐标轴上的截距均为0时，该直线方程为，即， 当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设方程为， 将点代入，即得，解得，此时直线方程为， 即，综合可知直线方程为或，D错误， 故选：ACD （25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）（多选）关于直线，下列说法正确的有（    ）小试牛刀3 A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线经过第一、三、四象限 D．直线与直线平行 【答案】AB 【分析】判断A，求得直线斜率可得倾斜角；判断B，由截距定义计算；判断C，作出图象，根据图象判断；判断D，由直线平行的条件判断. 【详解】直线可化为， 对于A，直线的斜率为1，所以倾斜角为，故A正确； 对于B，当时，，所以在轴上的截距为2，故B正确； 对于C，作出直线的图象如下：    由图象可知直线经过第一、二、三象限，故C错误； 对于D，直线的斜率为，与直线不平行，故D错误. 故选：AB. 【题型2：直线的点斜式方程】 【练方法】 公式结论 1.点斜式标准式 适用条件：直线斜率存在 2.斜截式（点斜式特殊形式）为纵截距 3.竖直线无点斜式统一写 方法技巧 1.已知一点与斜率直接代入点斜式整理可化为斜截、一般式 2.已知纵截距优先用斜截式设代入点坐标求 3.题干出现倾斜角先转化再写方程 易错提醒 1.竖直线强行套用点斜式出现无意义分式 2.点斜式展开移项时常数符号计算出错 （25-26高二下·广东河源·期末）经过点，且与直线平行的直线方程为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线可化为，斜率为. 所求直线与已知直线平行，故斜率也为. 又所求直线经过点，由点斜式得 ， 整理得，即. （24-25高二下·上海·期中）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________.小试牛刀1 【答案】或 【分析】先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程. 【详解】由题意得：直线的斜率为，所以其倾斜角为， 设直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以或， 又直线过点， 当时，直线的方程为：， 当时，斜率，所以直线的方程为：， 即. （25-26高二上·河南郑州·期末）已知两点，，则线段的垂直平分线的方程为______．小试牛刀2 【答案】 【分析】利用垂直平分线的性质求出直线的斜率和直线上的点，进而利用点斜式求解． 【详解】线段的垂直平分线，垂直于直线，且过直线的中点， 设的中点为，则， 设直线的斜率为，则，解得， 直线方程为，一般形式为． （25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出. 【详解】直线的斜率为， 又直线过点，，即. 故选：C. 【题型3：直线的两点式方程】 【练方法】 公式结论 1.两点式标准式 适用条件：且不垂直坐标轴 2.变形整式（交距两点式）无分母限制 方法技巧 1.两点横坐标相等直接写竖直线 两点纵坐标相等直接写水平线 2.有限制分式两点式仅用于非坐标轴垂直直线 3.整式变形适合含参数两点避免分母为0讨论 易错提醒 1.两点横坐标或纵坐标相等仍使用分式两点式分母为0无意义 2.分子分母坐标差顺序不统一斜率符号颠倒 （25-26高二上·江西景德镇·期中）在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求边上的中点坐标，再求边上的中线的斜率与方程. 【详解】∵， ∴边上的中点坐标为， ∴边上中线所在的直线的斜率为， ∴边上中线所在的直线方程为，即 故选：A （25-26高二上·河南南阳·期中）过点和的直线方程为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线的两点式方程可得答案. 【详解】由题意可知，直线的两点式方程为，即为. 故选：D. （24-25高二上·广东·期中）写出一个过和的直线的两点式方程______.小试牛刀2 【答案】（答案不唯一，四种形式写出一种即可）. 【分析】根据两点式方程的定义计算可得. 【详解】经过点和点直线两点式方程是：或. 故答案为：（答案不唯一，四种形式写出一种即可）. （24-25高二上·北京丰台·期中）设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定、两点的坐标，利用两点式可求直线PB的方程. 【详解】如图： 因为点在直线上，且横坐标为2，所以点坐标为， 点为直线与轴交点，所以， 又点在轴上，且， 则点是的中点，所以， 所以直线PB的方程为，即. 故选：C. 【题型4：直线的截距式方程】 【练方法】 公式结论 1.截距式标准式 适用条件：直线不过原点不垂直坐标轴 2.为轴截距直线交轴 为轴截距直线交轴 方法技巧 1.题干给出两轴交点优先使用截距式 2.直线过原点、单轴无交点时改用点斜或一般式 3.求与坐标轴围成面积直接用 易错提醒 1.直线过原点仍套用截距式或分母无意义 2.计算面积忘记加绝对值出现负面积 经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______.经典例题1例题 【答案】或 【详解】依题意，该直线的截距不能为0，则可设其方程为， 因为直线过点，所以， 整理得，解得或． 于是所求直线方程的截距式为或． （多选）过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据直线在坐标轴上的截距是否为零进行分类讨论，结合截距互为相反数求得正确答案. 【详解】若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为， 又直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即； 若直线在坐标轴上的截距不为0， 设直线方程为，又直线过点， 所以，解得，所以直线方程为，即． 综上可知，所求直线方程为或． （25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ）小试牛刀2 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C （25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则的方程为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设直线的方程为，将点代入，求得，即可求解. 【详解】因为直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 所以，设直线的方程为，可得，解得， 所以，即. 故选：C. 【题型5：直线的一般方程的平行与垂直】 【练方法】 公式结论 设 1.平行判定 2.垂直判定无斜率存在限制 3.平行直线通用形式：与平行直线设为 4.垂直直线通用形式：与垂直直线设为 方法技巧 1.求平行直线保留A、B不变更换常数项 2.求垂直直线交换A、B其中一项变号常数项重新设参 3.含参数直线优先用一般式平行垂直判定不用分类讨论斜率 易错提醒 1.平行判定只满足系数成比例未验证常数项不等直线重合误判平行 2.垂直直线参数式符号变换出错 （25-26高二上·河北石家庄·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可设垂直于直线的直线方程为，进而利用待定系数法求解. 【详解】设垂直于直线的直线方程为，代入， 得，解得，即， 故选：C. （25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线垂直于直线，则实数（   ）小试牛刀1 A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用两直线垂直可得出，解该方程即可. 【详解】因为直线垂直于直线， 所以，解得. 故选：A. 求满足下列条件的直线方程；小试牛刀2 (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解； （2）根据互相垂直的直线的斜率乘积为，从而求解直线方程. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入， 解得，可得， 所以所求的直线方程为； （2）设与直线垂直的直线方程为， 由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为. （25-26高二下·辽宁铁岭·阶段检测）已知直线，则过原点且与l平行的直线的方程为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知设所求直线方程为，根据直线过原点求得c，即得答案. 【详解】与平行的直线的方程可以设为， 又直线过原点，所以． 所以过原点且与l平行的直线的方程为． 【题型6：直线过定点问题】 【练方法】 公式结论 1.含单参数直线 定点为方程组的解 2.点斜式过定点：恒过定点不受取值影响 方法技巧 1.将含参直线整理为参数合并的式子分离参数与常数项 2.令参数系数、常数项同时等于0联立二元一次方程组求解定点坐标 3.代入参数特殊值（如）得到两条直线求交点即为定点 易错提醒 1.分离参数时移项符号出错方程组列写错误 2.求出交点后代回原直线验证遗漏检验步骤 （25-26高二上·湖南邵阳·期末）直线过定点________.经典例题1例题 【答案】 【分析】将直线方程整理成关于的方程，根据题意列方程组求解即得定点. 【详解】由整理得：， 因，则，解得，即直线经过定点. 故答案为：. （25-26高二上·广东梅州·期末）无论取何值，直线总经过点（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线化为即可求解． 【详解】由， 当，即时，，解得， 所以无论取何值，直线总经过点． 故选：C． （25-26高二上·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______小试牛刀2 【答案】 【分析】对等式进行变形，通过解方程组进行求解即可. 【详解】， 因为直线恒过定点， 所以有， 因此该直线恒过点. 故答案为： （25-26高二上·天津·期末）已知直线：总是经过定点，则定点坐标为_______.小试牛刀3 【答案】 【分析】将方程变形为，即可求解. 【详解】由可得， 令，解得， 故定点为， 故答案为： 【题型7：直线与坐标轴围成的面积问题】 【练方法】 公式结论 1.截距式直线围成三角形面积 2.斜截式横截距面积 3.一般式横截距纵截距 方法技巧 1.先求出直线两坐标轴截距再代入面积公式 2.已知面积反求参数时等式两边乘2去掉分式绝对值分正负两类解方程 3.直线过原点时无围成三角形面积为0 易错提醒 1.面积公式遗漏绝对值解出不符合实际的负截距参数 2.直线过原点仍套用三角形面积公式 （25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，可得出，利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出的最小值. 【详解】不妨设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程得， 由基本不等式可得，可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故，即面积的最小值为. 故选：B. （25-26高二上·江苏常州·期中）平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为.小试牛刀1 (1)若直线在轴上的截距为5，求的值； (2)若时，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可知直线过点，由此可得斜率，再由点斜式得解； （2）设直线在轴上的截距为，由此建立关于的方程，解出即可得直线的斜截式方程. 【详解】（1）依题意，直线过点， 则其斜率为，方程为， 令，可得， 则； （2）设直线在轴上的截距为， 则直线过点， 故其斜率为，方程为， 令，可得， 则，解得或， 则直线的斜截式方程为或． （25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和．小试牛刀2 (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分、两种情况讨论，设出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出参数的值，即可得出直线的方程； （2）由题意可知直线的截距式方程为，且，，将点的坐标代入直线的方程得出，可得，求得，可得出，将代入的面积公式，结合基本不等式可求得的最小值，利用等号成立的条件得出、的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）当时，直线过原点，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，此时直线的方程为； 当时，直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）由题意可知、，且，，则直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，可得， 由可得， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当的面积最小时，直线的方程为，即. （24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）在平面直角坐标系中，点，，直线．小试牛刀3 (1)当点A到直线l的距离最大时，求k的值： (2)在（1）的条件下，若过点的直线与直线和轴正半轴分别交于点M，N，其中M在第一象限，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当直线时，点到直线的距离最大，再用垂直直线斜率乘积结论即可； （2）分情况讨论，当直线轴时和当直线的斜率存在时，求出的面积，结合二次函数知识计算最小值即可. 【详解】（1）当直线时，点到直线的距离最大， 因为直线OA的斜率为，所以． （2）当直线轴时，易得，，此时的面积为． 当直线的斜率存在时，设，，，则， 联立解得，． 所以的面积； 当时，等号成立． 综上，的面积的最小值为24，此时直线． 【题型8：直线过定点与距离最值问题】 【练方法】 公式结论 1.定点到动直线距离 2.定点到动直线距离最大值：定点与直线系定点的两点距离 3.定点到动直线距离最小值：0（直线经过该定点时取得） 方法技巧 1.第一步先求出动直线恒过的定点 2.连接已知定点与线段PM长度为距离最大值 3.利用几何圆模型分析：所有动直线为过的直线距离为到直线垂线段长 易错提醒 1.混淆距离最值逻辑误将两点连线当作最小值 2.距离公式分子遗漏绝对值出现负距离 （25-26高二上·上海·期中）已知直线过定点，直线过定点与相交于点，当实数变化时，的最大值为___________．经典例题1例题 【答案】 【分析】求出定点的坐标，分析两直线垂直，然后利用勾股定理和基本不等式求的最大值. 【详解】易知点， ，令，则，所以， 当时，，，两直线垂直； 当时，直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以. ①当P点与A点或B点重合时，； ②当P点异于点A、B时， 为直角三角形，则， 所以（当且仅当时取等号）， 此时点P在线段AB的垂直平分线上， ，点， 所以，解得或. 所以当或时，取得最大值. 故答案为： （25-26高二上·贵州·阶段检测）已知A，B是直线上的两点，且，，则的面积的最大值为___________，此时，__________.小试牛刀1 【答案】 20 【分析】求出直线所过的定点，直线l与直线PC垂直时点P到直线l的距离最大，的面积取得最大值，求出即可求得. 【详解】由，得. 令，得，则直线l过定点， 从而点P到直线l的距离最大值为， 故的面积最大值为， 当的面积取得最大值时，直线l与直线PC垂直，即， 所以，解得. 故答案为：20， （25-26高二上·河北沧州·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线过定点，点在直线上，则的最大值为__________.小试牛刀2 【答案】 【分析】因为，所以，根据两角差的正切公式，结合各点坐标，可得的表达式，根据基本不等式，即可得答案. 【详解】直线可表示为，可知其过定点. 设，设，注意到， 则， 而， 故， 于是，当且仅当时，等号成立， 故答案为：. （25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知直线l方程为，当点到直线l的距离最大时，则 ______.小试牛刀3 【答案】 【分析】将直线l方程化为，联立方程组，求得直线过定点，结合点到直线l的距离最大时，则满足，利用，列出方程，即可求解. 【详解】将直线l方程化为， 联立方程组，解得，所以直线过定点， 当点到直线l的距离最大时，则满足，所以， 又由，可得，解得. 故答案为：. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二·全国·暑假作业）经过点，且一个法向量为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点法式方程求解即可. 【详解】由点法式方程得，即． 2．（25-26高二下·上海·期末）已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则线段的垂直平分线的方向向量为， 又线段中点为，则线段的垂直平分线为. 3．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知直线：和直线：，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知直线：，可变形为，其斜率为， 直线：，可变形为，其斜率为， 因为， 所以，解得． 4．（2026高三·全国·专题练习）过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】C 【分析】设直线方程为，根据过点及直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，列出方程组求解即可. 【详解】假设存在过点的直线，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8， 设直线的方程为，则，即， 直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积，即， 联立解得直线的方程为，即， 即这样的直线有且只有一条． 5．（22-23高二上·福建泉州·阶段检测）直线的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由两直线的解析式可得直线的斜率为a、纵截距为b，的斜率为，纵截距为a，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】选项A，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，A错误； 选项B，由的图象可知，，，由的图象可知，，，可能成立，B正确； 选项C，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，C错误； 选项D，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，D错误. 6．（2026高三·全国·专题练习）过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据直线的截距式方程，对截距分情况讨论计算即可. 【详解】当横、纵截距均为0时，直线过原点，满足条件，此时方程为. 当横、纵截距不为0时，直线的截距式方程为，由题意知. 当时，方程为，代入，得，解得，故方程为. 当时，方程为，代入，得，解得，故方程为. 故满足条件的直线共有3条. 二、多选题 7．（25-26高二上·安徽·阶段检测）设直线l的方程为，其中，若直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则m的取值可以为（    ） A．0 B．-3 C．3 D．2 【答案】ABD 【分析】根据直线l的方程，分和两类讨论，分别求出直线l的横截距和纵截距，根据题意列出方程即可求解. 【详解】当时，直线l的方程为，纵截距为，无横截距，不满足题意； 当时，令，得；令，得， 此时直线l的纵截距为，横截距为. 由题意得，所以或， 解得或或. 故选：ABD. 8．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 【答案】AC 【详解】直线，化为斜截式. A：斜率，倾斜角，正确. B：代入得轴截距为，非，错误. C：过原点直线斜率为，且直线与不重合，所以过且与直线平行的直线方程为，正确. D：直线斜率，所以与其垂直的直线斜率为，而直线方程斜率为，错误. 9．（25-26高二上·四川德阳·期中）下列说法正确的是 （    ） A．已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为. B．直线的倾斜角的取值范围是. C．，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件. D．若直线沿轴向左平移2个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为. 【答案】BCD 【分析】根据直线的截距式方程、两直线垂直的判定，结合直线的平移规律逐一分析即可. 【详解】A：已知直线过点，且在轴，轴上截距相等， 当直线在坐标轴上截距为时，直线方程为，此时满足题意； 当直线在轴，轴上截距为时，直线方程为， 直线过，所以，解得，所以直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或，故A选项不正确； B：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故B选项正确； C：若直线与直线垂直，则，解得或， 所以由直线与直线垂直不能得到；反之则一定成立. 所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，故C选项正确； D：设直线的方程为：，直线沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位后， 所以变换后的直线方程是： 经过两次平移变换后回到原来的位置，所以必有，解得，故D选项正确 故选：BCD 10．（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知直线：，：，则下列说法中正确的有（   ） A． B．存在，使得 C．直线过定点 D．直线过定点 【答案】AC 【分析】根据垂直及平行系数关系分，计算判断A，B，求解定点判断C，D. 【详解】若，：，：，显然成立， 若，的斜率为，的斜率为，，所以，所以无论为何值，，故A正确，B错误； 的方程可化为，即，所以过定点，故C正确， ，所以过定点，故D错误. 故选：AC. 11．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）下列结论正确的有（    ） A．倾斜角为的直线l的一个方向向量是 B．直线恒过定点 C．不论m为何实数，直线与直线互相垂直 D．在x，y轴上的截距为a，b的直线可表示为 【答案】AC 【分析】对于A，根据直线方向向量的概念求解即可；对于B，根据直线定点的求解方式求出直线定点即可；对于C，根据直线位置的判定判断即可；对于D，根据截距式不能表示截距为0的直线判断即可． 【详解】对于A，直线l的倾斜角为，斜率为，一个方向向量是，A正确； 对于B，直线，即，恒过定点，B错误； 对于C，当时，显然，当时，，所以，C正确； 对于D，截距式不能表示截距为0的直线，D错误． 12．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过点 B．存在m使得直线的倾斜角为 C．若，则 D．不存在实数m使得 【答案】AC 【详解】令，则，得，则直线恒过点，故A正确； ，则斜率为，故不存在m使得直线的倾斜角为，故B错误； 若，则，得， 若，则，此时两直线平行，故，故C正确； 若，则，则，故存在实数m使得，故D错误. 三、填空题 13．（25-26高二上·福建漳州·期末）已知的顶点坐标为，，，则边上的中线所在的直线方程为_____. 【答案】 【分析】求出中点坐标，利用两点式求直线方程. 【详解】设中点，则，即， 所以边上的中线所在的直线方程为， 整理得， 故答案为：. 14．（25-26高二上·重庆·期中）直线：恒过定点______． 【答案】 【分析】原方程整理为，解方程组得解. 【详解】由可得， 联立，解得， 故直线恒过点, 故答案为： 15．（25-26高二上·上海徐汇·期末）已知直线的方程为，若直线过点，且直线与直线的夹角为，则直线的方程为____________. 【答案】或 【分析】利用直线夹角公式，结合直线是否存在斜率分类讨论进行求解即可. 【详解】， 所以直线的斜率为，倾斜角为， 当直线不存在斜率时，方程为， 显然此时直线与直线的夹角为，符合题意； 当直线存在斜率时，设为， 因为直线与直线的夹角为， 所以， 此时方程为. 故答案为：或 16．（25-26高二下·上海·期末）过点且与直线垂直的直线方程为_______. 【答案】 【详解】直线的斜率为， 设待求直线斜率为，则由题意，得，解得. 所以待求直线方程为，即. 17．（2026高三·全国·专题练习）在中，已知，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则直线的方程为________． 【答案】 【详解】设，由，，的中点，的中点， 则，． 因为点在轴上，所以，所以． 因为点在轴上，所以， 所以，即， 所以，， 所以直线的方程为，即． 四、解答题 18．（25-26高二·全国·暑假作业）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或． (3)． 【分析】（1）根据直线过，列方程求得. （2）根据直线是否过原点进行分类讨论，结合截距相等求得直线的方程. （3）将直线方程化为斜截式，根据直线不经过第三象限列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，即方程为． （2）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，方程为； 当直线不过原点时，，由，得， 即方程为， 故所求的方程为或． （3）将的方程化为，要使不经过第三象限， 当且仅当且， 解得，故所求的取值范围为． 19．（25-26高一下·上海嘉定·期末）已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)当时，直线与重合；当时，直线与相交 (2)的最小值为，此时直线的方程为。 【分析】（1）先将两直线方程化为斜截式，再进行判断即可； （2）由题设易得，，，进而表示出，再根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）直线，即， 直线，即， 当时，直线即为，此时两直线重合； 当时，直线与直线斜率不相等，即两直线相交. （2）直线：， 当时，直线：，显然不满足题意，所以， 令，得，令，得，即，． 依题意得，解得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以，此时直线的方程为． 20．（25-26高一下·上海·期末）直线过点 且与轴、轴正半轴分别交于两点.    (1)若直线与的法向量平行，写出直线的方程； (2)求面积的最小值； (3)如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1) (2)12 (3)由题意，设，因为，点， 即， ∴，即，∴. 过点作平行于轴的直线交轴于点，则. 直角梯形的顶点为， 上底，下底，高为2， 梯形的面积， 设动点 ， ， 因为直线平分直角梯形的面积，所以四边形的面积为 6， 四边形是梯形，其上底为，下底为 ，高为 2， 所以，即， 因此点的坐标为， 直线经过点和，其斜率 ， 则直线的方程为：，化简得， 去分母整理得， 上式对任意恒成立，因此需满足，解得. 所以，直线必过定点，该定点坐标为. 【分析】（1）利用两直线垂直设出一般式，代入点即可求出直线方程； （2）设直线方程，代入点得到直线方程，然后得到交点坐标，由交点坐标计算三角形面积，然后利用基本不等式即可求出面积最小值； （3）设，利用得到.再设，根据四边形面积得到关系式，代回直线方程，求出定点得解． 【详解】（1）由题意可设直线， 所以，所以， 即. （2）当直线斜率不存在时，不存在点，舍去. 当直线斜率存在时，设，即， 由题意可知，∴， ∴， ∵时，∴，当且仅当，即时取等号， ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【2.2 直线的方程】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．直线l的截距 （1）直线在y轴上的截距：直线与y轴的交点的___纵坐标b_______． （2）直线在x轴上的截距：直线与x轴的交点 ___横坐标a_________． 2．（1）若直线，直线，则的充要条件为______； （2）若直线，直线，则的充要条件为__，且或_____. 3．（1）若直线，直线，则的充要条件为________； （2）若直线，直线，则的充要条件为_____________. 4．直线的五种方程 名称 条件 方程 图形 适用范围 点斜式 直线过定点斜率为 y－y0＝k（x－x0）    不表示垂直于轴的直线 斜截式 直线的斜率为，且与轴的交点为（直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距） ____________    不表示垂直于轴的直线 两点式 和其中    不表示_垂直___于坐标轴的直线 截距式 在轴上截距，在轴上截距    不表示垂直于坐标轴的直线及过_原点____的直线 一般式 为系数 任何位置的直线 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：直线方程的概念辨析】 【练方法】 公式结论 1.直线方程定义：直线上所有点坐标都满足方程满足方程的点全部在直线上 2.五种直线方程适用范围 点斜式：不含垂直轴的竖直线 斜截式：不含垂直轴的竖直线 两点式：不含垂直坐标轴的直线 截距式：不经过原点不垂直坐标轴 一般式：适用于全部直线 3.特殊直线方程 竖直线水平线 方法技巧 1.审题先判断直线是否垂直坐标轴或过原点排除对应受限方程 2.区分“截距”与“距离”截距可正可负可为0距离恒非负 3.判定方程是否为直线方程检验A,B不同时为0 易错提醒 1.截距式误用于过原点、垂直坐标轴的直线 2.将截距直接等同于线段长度忽略负值截距 （25-26高二上·江苏南通·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（    ）经典例题1例题 A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 （25-26高二上·河北石家庄·期末）（多选）下列说法正确的有（    ）小试牛刀1 A．直线的倾斜角为 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过、两点的所有直线的方程为 D．设直线的方程为，则直线倾斜角的取值范围是 （25-26高二上·青海西宁·阶段检测）（多选）以下四个命题是错误的是（   ）小试牛刀2 A．直线恒过定点 B．若直线与互相垂直，则 C．已知直线与平行，则 D．过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为 （25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）（多选）关于直线，下列说法正确的有（    ）小试牛刀3 A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线经过第一、三、四象限 D．直线与直线平行 【题型2：直线的点斜式方程】 【练方法】 公式结论 1.点斜式标准式 适用条件：直线斜率存在 2.斜截式（点斜式特殊形式）为纵截距 3.竖直线无点斜式统一写 方法技巧 1.已知一点与斜率直接代入点斜式整理可化为斜截、一般式 2.已知纵截距优先用斜截式设代入点坐标求 3.题干出现倾斜角先转化再写方程 易错提醒 1.竖直线强行套用点斜式出现无意义分式 2.点斜式展开移项时常数符号计算出错 （25-26高二下·广东河源·期末）经过点，且与直线平行的直线方程为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高二下·上海·期中）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________.小试牛刀1 （25-26高二上·河南郑州·期末）已知两点，，则线段的垂直平分线的方程为______．小试牛刀2 （25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：直线的两点式方程】 【练方法】 公式结论 1.两点式标准式 适用条件：且不垂直坐标轴 2.变形整式（交距两点式）无分母限制 方法技巧 1.两点横坐标相等直接写竖直线 两点纵坐标相等直接写水平线 2.有限制分式两点式仅用于非坐标轴垂直直线 3.整式变形适合含参数两点避免分母为0讨论 易错提醒 1.两点横坐标或纵坐标相等仍使用分式两点式分母为0无意义 2.分子分母坐标差顺序不统一斜率符号颠倒 （25-26高二上·江西景德镇·期中）在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·河南南阳·期中）过点和的直线方程为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二上·广东·期中）写出一个过和的直线的两点式方程______.小试牛刀2 （24-25高二上·北京丰台·期中）设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：直线的截距式方程】 【练方法】 公式结论 1.截距式标准式 适用条件：直线不过原点不垂直坐标轴 2.为轴截距直线交轴 为轴截距直线交轴 方法技巧 1.题干给出两轴交点优先使用截距式 2.直线过原点、单轴无交点时改用点斜或一般式 3.求与坐标轴围成面积直接用 易错提醒 1.直线过原点仍套用截距式或分母无意义 2.计算面积忘记加绝对值出现负面积 经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______.经典例题1例题 （多选）过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ）小试牛刀2 A． B． C．或 D．或 （25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则的方程为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：直线的一般方程的平行与垂直】 【练方法】 公式结论 设 1.平行判定 2.垂直判定无斜率存在限制 3.平行直线通用形式：与平行直线设为 4.垂直直线通用形式：与垂直直线设为 方法技巧 1.求平行直线保留A、B不变更换常数项 2.求垂直直线交换A、B其中一项变号常数项重新设参 3.含参数直线优先用一般式平行垂直判定不用分类讨论斜率 易错提醒 1.平行判定只满足系数成比例未验证常数项不等直线重合误判平行 2.垂直直线参数式符号变换出错 （25-26高二上·河北石家庄·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线垂直于直线，则实数（   ）小试牛刀1 A． B．2 C． D． 求满足下列条件的直线方程；小试牛刀2 (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程. （25-26高二下·辽宁铁岭·阶段检测）已知直线，则过原点且与l平行的直线的方程为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型6：直线过定点问题】 【练方法】 公式结论 1.含单参数直线 定点为方程组的解 2.点斜式过定点：恒过定点不受取值影响 方法技巧 1.将含参直线整理为参数合并的式子分离参数与常数项 2.令参数系数、常数项同时等于0联立二元一次方程组求解定点坐标 3.代入参数特殊值（如）得到两条直线求交点即为定点 易错提醒 1.分离参数时移项符号出错方程组列写错误 2.求出交点后代回原直线验证遗漏检验步骤 （25-26高二上·湖南邵阳·期末）直线过定点________.经典例题1例题 （25-26高二上·广东梅州·期末）无论取何值，直线总经过点（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______小试牛刀2 （25-26高二上·天津·期末）已知直线：总是经过定点，则定点坐标为_______.小试牛刀3 【题型7：直线与坐标轴围成的面积问题】 【练方法】 公式结论 1.截距式直线围成三角形面积 2.斜截式横截距面积 3.一般式横截距纵截距 方法技巧 1.先求出直线两坐标轴截距再代入面积公式 2.已知面积反求参数时等式两边乘2去掉分式绝对值分正负两类解方程 3.直线过原点时无围成三角形面积为0 易错提醒 1.面积公式遗漏绝对值解出不符合实际的负截距参数 2.直线过原点仍套用三角形面积公式 （25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·江苏常州·期中）平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为.小试牛刀1 (1)若直线在轴上的截距为5，求的值； (2)若时，求直线的斜截式方程. （25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和．小试牛刀2 (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． （24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）在平面直角坐标系中，点，，直线．小试牛刀3 (1)当点A到直线l的距离最大时，求k的值： (2)在（1）的条件下，若过点的直线与直线和轴正半轴分别交于点M，N，其中M在第一象限，当的面积最小时，求直线的方程． 【题型8：直线过定点与距离最值问题】 【练方法】 公式结论 1.定点到动直线距离 2.定点到动直线距离最大值：定点与直线系定点的两点距离 3.定点到动直线距离最小值：0（直线经过该定点时取得） 方法技巧 1.第一步先求出动直线恒过的定点 2.连接已知定点与线段PM长度为距离最大值 3.利用几何圆模型分析：所有动直线为过的直线距离为到直线垂线段长 易错提醒 1.混淆距离最值逻辑误将两点连线当作最小值 2.距离公式分子遗漏绝对值出现负距离 （25-26高二上·上海·期中）已知直线过定点，直线过定点与相交于点，当实数变化时，的最大值为___________．经典例题1例题 （25-26高二上·贵州·阶段检测）已知A，B是直线上的两点，且，，则的面积的最大值为___________，此时，__________.小试牛刀1 （25-26高二上·河北沧州·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线过定点，点在直线上，则的最大值为__________.小试牛刀2 （25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知直线l方程为，当点到直线l的距离最大时，则 ______.小试牛刀3 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二·全国·暑假作业）经过点，且一个法向量为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·上海·期末）已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知直线：和直线：，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 5．（22-23高二上·福建泉州·阶段检测）直线的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   6．（2026高三·全国·专题练习）过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 7．（25-26高二上·安徽·阶段检测）设直线l的方程为，其中，若直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则m的取值可以为（    ） A．0 B．-3 C．3 D．2 8．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 9．（25-26高二上·四川德阳·期中）下列说法正确的是 （    ） A．已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为. B．直线的倾斜角的取值范围是. C．，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件. D．若直线沿轴向左平移2个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为. 10．（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知直线：，：，则下列说法中正确的有（   ） A． B．存在，使得 C．直线过定点 D．直线过定点 11．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）下列结论正确的有（    ） A．倾斜角为的直线l的一个方向向量是 B．直线恒过定点 C．不论m为何实数，直线与直线互相垂直 D．在x，y轴上的截距为a，b的直线可表示为 12．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过点 B．存在m使得直线的倾斜角为 C．若，则 D．不存在实数m使得 三、填空题 13．（25-26高二上·福建漳州·期末）已知的顶点坐标为，，，则边上的中线所在的直线方程为_____. 14．（25-26高二上·重庆·期中）直线：恒过定点______． 15．（25-26高二上·上海徐汇·期末）已知直线的方程为，若直线过点，且直线与直线的夹角为，则直线的方程为____________. 16．（25-26高二下·上海·期末）过点且与直线垂直的直线方程为_______. 17．（2026高三·全国·专题练习）在中，已知，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则直线的方程为________． 四、解答题 18．（25-26高二·全国·暑假作业）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 19．（25-26高一下·上海嘉定·期末）已知直线． (1)讨论直线与直线的位置关系； (2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 20．（25-26高一下·上海·期末）直线过点 且与轴、轴正半轴分别交于两点.    (1)若直线与的法向量平行，写出直线的方程； (2)求面积的最小值； (3)如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 1 学科网（北京）股份有限公司 $