三角函数：正弦函数的最值和值域3种高频考点讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数中正弦函数的最值和值域，覆盖求含sinx(型)函数的值域、二次式最值及由值域求参数三大高频考点，按“基础形式—转化方法—综合应用”逻辑递进。通过知识点解析梳理核心方法，真题例题示范解题思路，变式训练强化应用，构建系统复习闭环。 资料以“问题转化”为核心策略，如考点二将含sinx二次式换元为闭区间二次函数，培养学生数学思维中的推理能力与运算能力。分层设计例题与变式，适配不同学情，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生在限定条件下解决函数最值问题的应考能力。

2027届高三数学一轮复习讲义 三角函数：正弦函数的最值和值域3种高频考点复习讲义 考点目录 求含sinx(型)函数的值域和最值 求含sinx（型）的二次式的最值 由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 考点一 求含sinx(型)函数的值域和最值 【知识点解析】 一、核心知识点 常见基础形式： 1. （正弦型函数） 2. （分式型） 3. （可辅助角变形） 约束： 二、解题原理 1. 形式1： 换元 · ： 取最大值， 取最小值； · ： 取最小值， 取最大值。 1. 形式2：分式 · 方法①：分离常数，转化为反比例结构，利用 求范围； · 方法②：反解出 ，利用 建立不等式求解值域（万能法）。 1. 形式3： 辅助角公式：，值域 。 三、通用步骤 ① 换元 ，写出定义域 ； ② 将函数转化为关于 的初等函数； ③ 在闭区间 求函数值域。 ⚠️ 易错：题目若限定 范围，则 不再是 ，需要重新算出 的区间！ 【例题分析】 例1．（2026·四川绵阳·模拟预测）函数的最小正周期为，且. (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据周期公式得，进而由得，再根据即可求得答案； （2）根据函数图象平移得，再根据三角函数的性质求值域即可. 【详解】（1）解：因为函数的最小正周期为， 所以，解得， 因为， 所以，即， 因为，所以， 所以， （2）解：因为函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象 所以， 因为，所以， 所以，当，即时，有最大值； 当，即时，有最小值； 所以，函数在区间上的值域为 例2．（2025·广东清远·一模）已知函数的最小正周期为． (1)求及； (2)若的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数式，结合三角函数的周期性可计算参数并求值； （2）根据三角函数图像变换先得解析式，再利用正弦函数的性质计算值域即可. 【详解】（1）易知， 又最小正周期为，所以， 即，则 （2）的图象向右平移个单位长度得到， 因为时，， 根据正弦函数的单调性可知即时，， 时即，，即，则. 例3．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数（，）的最小正周期是，且满足． (1)求函数的解析式； (2)设函数．求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为2，最小值为 【分析】（1）先利用函数的最小正周期求出，再根据给定的值及求出即可； （2）先结合的解析式化简，再利用正弦函数的性质求出在区间内的最大值和最小值． 【详解】（1）的最小正周期是， ，解得， ， ， ， ， 或，， ，时，或（舍去）， ． （2），， ， ，则， 又在上单调递增，在上单调递减． 当，即时，，取得最大值，最大值为2， 当时，即，，， 当时，即，，， 在上的最大值为2，最小值为． 【变式训练】 变式1．（2026·山西太原·二模）已知函数的周期为，且. (1)求的单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据周期，可得，结合求出，再利用整体法求正弦型函数单调区间即可； （2）由平移变换得到，再利用恒等变形化简求出值域即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， 由得， 的单调递增区间为； （2）由题意得， 的值域为. 变式2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角公式化简函数解析式为，利用周期公式计算即得； （2）利用三角恒等变换将函数解析式化为，结合与正弦函数的性质即可求得其最小值. 【详解】（1）函数， 所以， 所以函数， 所以函数的最小正周期为． （2）函数 ， 当时，， 故当时，即时，函数取得最小值为． 变式3．（2026·广东江门·模拟预测）已知函数的最小正周期与函数的最小正周期相等，的图象与函数的图象重合． (1)求； (2)求函数在上的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由正切函数的最小正周期求得，然后由利用诱导公式求得； （2）代入（1）中结论，利用辅助角公式化简函数解析式，然后求得值域. 【详解】（1）函数的最小正周期为， ∴函数的最小正周期，即， 又因为的图象与函数的图象重合， 所以，又， 所以，又， 所以. （2） ， 当时，， ∴ 考点二 求含sinx（型）的二次式的最值 【知识点解析】 一、核心知识点 标准形式： 换元： 转化为限定区间上的二次函数： 本质：闭区间二次函数最值问题（轴动区间定） 二、解题原理 1. 换元 ，注明 ； 1. 写出二次函数 ，找到对称轴 ； 1. 判断对称轴相对于区间 的位置，分三类讨论： · ① 对称轴在区间左侧 ； · ② 对称轴落在区间内 ； · ③ 对称轴在区间右侧 ； 1. 根据开口方向，确定最大值、最小值对应的自变量； 1. 求出最值。 三、重要模型拓展 若为 ，利用 统一化为只含 的二次式。 【例题分析】 例1．（2026·河北张家口·模拟预测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合三角函数平方关系可得，运用换元法将问题转化为求在上的值域即可. 【详解】因为， 令， 则，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，， 所以， 即的值域为. 故选：D. 例2．（2026·甘肃张掖·模拟预测）函数的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简，换元成二次函数易得函数最小值. 【详解】由题意，函数， 令，可得， 当，即时，函数取得最小值，最小值为． 故选：D． 例3．（25-26高三上·福建福州·期中）已知函数． (1)若点是角终边上一点，求的值； (2)若，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据任意角三角函数值的定义求，代入运算求解即可； （2）根据题意结合诱导公式整理可得，根据正弦函数的有界性结合二次函数性质运算求解. 【详解】（1）若点在角的终边上，则， 可得，， 所以． （2）因为， 则， 又因为，则， 当时，取到最小值为1；当时，取到最大值为， 所以函数的值域为． 【变式训练】 变式1．（2026·甘肃临夏·模拟预测）已知函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用二倍角余弦公式化简，再换元，应用给定范围求二次函数最值即可. 【详解】, ,对称轴为,应用二次函数的对称性可知， 当时, 则的最大值为. 故选：C. 变式2．（2026·福建厦门·模拟预测）函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将化简成关于的一元二次函数，利用函数性质求得最小值. 【详解】 ， 因此，当且仅当是，取最小值， 故选：A 变式3．（2026·北京昌平·模拟预测）已知函数． (1)化简； (2)求的值； (3)求函数的值域． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用诱导公式及同角公式化简函数. （2）由（1）的结论，结合诱导公式及特殊角的三角函数值求解. （3）由（1）的结论，求出含正弦的二次函数值域. 【详解】（1）依题意，，而且有意义， 则且，即， 所以. （2）由（1）得. （3）由（1）得函数的定义域为， ，而或， 当时，；当时，， 所以函数的值域是. 考点三 由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【知识点解析】 一、核心知识点 题型分类： 1. 已知 在给定区间上的最值，求参数 ； 2. 已知 的最值，求式子中参数； 3. 已知函数最大值/最小值等于某个常数，求解参数取值。 核心逻辑：最值由 的取值范围与函数共同决定。 二、解题原理 类型1： 1. 换元 ，结合 范围，求出 范围； 1. 能取得哪些值，结合 正负写出函数最大、最小值表达式； 1. 与题干给出最值联立方程，解参数； 1. 多解时结合 范围等条件取舍。 类型2：含 二次式最值求参数 ，已知最值，反向求 。 思路：二次函数在区间 的最值只可能出现在：区间端点、对称轴处；分类讨论对称轴位置，建立方程求解参数，解完检验条件。 三、通用解题步骤 1. 换元 ； 1. 把条件“函数最大值/最小值=M”翻译成等式； 1. 分类讨论（对称轴位置、振幅正负）； 1. 求解参数，并带回验证是否满足全部条件。 【例题分析】 例1．（2026·山东青岛·三模）若函数（）在上的值域为，则可以为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】通过换元转化为正弦函数的区间值域问题，采用选项代入验证法，直接检验各选项对应的区间内正弦函数的取值范围，快速筛选出符合条件的值. 【详解】设，由且，得， 此时的值域为等价于. 将选项依次代入验证： 当时，，存在使，，不符合，故A错误； 当时，，的最大值为（时），最小值为（时）， 故，符合条件，故B正确； 当时，，的最大值为，，不满足值域条件，故C错误； 当时，，的最大值，则，不符合值域条件，故D错误.. 例2．（2026·安徽合肥·三模）将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的3倍，纵坐标不变，再将图象向左平移的单位长度，得到函数的图象；若函数在上有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数平移变换得的解析式，再根据正弦函数性质列不等式计算求解； 【详解】函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的3倍，纵坐标不变，得， 再将图象向左平移的单位长度，得到函数的图象，所以， 当时，， 要使函数在上有最小值，没有最大值， 则，解得， 所以的取值范围是. 例3．（2026·河北石家庄·模拟预测）已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】当时，，当时，，在结合正弦函数图像可得到，求出即可. 【详解】当时，，当时，. 因为函数在区间上的值域均为， 而，，所以. 又因为，, 所以，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 例4．（2026·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】由三角恒等变换化简为：，再由三角函数的图象与性质求解． 【详解】解：， 因为函数的值域为， 所以在一个周期内，最小区间为：，得， 得的最小值为：， 最大区间为：，得， 得的最大值为：， 则的取值范围为：， 故答案为： 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知定义在上的函数 有最小值，但无最大值，则ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 因为，，则， 又有最小值，但无最大值，所以，解得 变式2．（2026·广东佛山·模拟预测）已知函数的图象满足以下特征：图象经过点，并且在y轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，函数在上的值域为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正弦函数的性质得，进而，，再结合函数的对称性得，最后根据题意即可得m的取值范围. 【详解】因为函数图象经过点，并且在y轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为， 所以，，， 所以，，解得，（） 所以故， 因为，令，则，解得；当时，； 所以，根据对称性可知，当时，， 因为函数在上的值域为， 所以，，即m的取值范围为. 变式3．（25-26高三上·广东·期末）已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再借助正弦函数的图象与性质求解即得. 【详解】由题可得 ， 当时，，又，， 函数在上单调递增，在上单调递减，而的值域为， 所以，得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 变式4．（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知函数在区间上的值域为，且，则的值为______. 【答案】 【分析】利用整体代入法，结合正弦函数的图像求解即可. 【详解】，故， 因为在区间上的值域为， 且，故必有 ， 如图所示，则故 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 三角函数：正弦函数的最值和值域3种高频考点复习讲义 考点目录 求含sinx(型)函数的值域和最值 求含sinx（型）的二次式的最值 由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 考点一 求含sinx(型)函数的值域和最值 【知识点解析】 一、核心知识点 常见基础形式： 1. （正弦型函数） 2. （分式型） 3. （可辅助角变形） 约束： 二、解题原理 1. 形式1： 换元 · ： 取最大值， 取最小值； · ： 取最小值， 取最大值。 1. 形式2：分式 · 方法①：分离常数，转化为反比例结构，利用 求范围； · 方法②：反解出 ，利用 建立不等式求解值域（万能法）。 1. 形式3： 辅助角公式：，值域 。 三、通用步骤 ① 换元 ，写出定义域 ； ② 将函数转化为关于 的初等函数； ③ 在闭区间 求函数值域。 ⚠️ 易错：题目若限定 范围，则 不再是 ，需要重新算出 的区间！ 【例题分析】 例1．（2026·四川绵阳·模拟预测）函数的最小正周期为，且. (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 例2．（2025·广东清远·一模）已知函数的最小正周期为． (1)求及； (2)若的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域． 例3．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数（，）的最小正周期是，且满足． (1)求函数的解析式； (2)设函数．求在区间上的最大值和最小值． 【变式训练】 变式1．（2026·山西太原·二模）已知函数的周期为，且. (1)求的单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的值域. 变式2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的最小值． 变式3．（2026·广东江门·模拟预测）已知函数的最小正周期与函数的最小正周期相等，的图象与函数的图象重合． (1)求； (2)求函数在上的值域． 考点二 求含sinx（型）的二次式的最值 【知识点解析】 一、核心知识点 标准形式： 换元： 转化为限定区间上的二次函数： 本质：闭区间二次函数最值问题（轴动区间定） 二、解题原理 1. 换元 ，注明 ； 1. 写出二次函数 ，找到对称轴 ； 1. 判断对称轴相对于区间 的位置，分三类讨论： · ① 对称轴在区间左侧 ； · ② 对称轴落在区间内 ； · ③ 对称轴在区间右侧 ； 1. 根据开口方向，确定最大值、最小值对应的自变量； 1. 求出最值。 三、重要模型拓展 若为 ，利用 统一化为只含 的二次式。 【例题分析】 例1．（2026·河北张家口·模拟预测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·甘肃张掖·模拟预测）函数的最小值是（    ）． A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·福建福州·期中）已知函数． (1)若点是角终边上一点，求的值； (2)若，求函数的值域． 【变式训练】 变式1．（2026·甘肃临夏·模拟预测）已知函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·福建厦门·模拟预测）函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·北京昌平·模拟预测）已知函数． (1)化简； (2)求的值； (3)求函数的值域． 考点三 由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【知识点解析】 一、核心知识点 题型分类： 1. 已知 在给定区间上的最值，求参数 ； 2. 已知 的最值，求式子中参数； 3. 已知函数最大值/最小值等于某个常数，求解参数取值。 核心逻辑：最值由 的取值范围与函数共同决定。 二、解题原理 类型1： 1. 换元 ，结合 范围，求出 范围； 1. 能取得哪些值，结合 正负写出函数最大、最小值表达式； 1. 与题干给出最值联立方程，解参数； 1. 多解时结合 范围等条件取舍。 类型2：含 二次式最值求参数 ，已知最值，反向求 。 思路：二次函数在区间 的最值只可能出现在：区间端点、对称轴处；分类讨论对称轴位置，建立方程求解参数，解完检验条件。 三、通用解题步骤 1. 换元 ； 1. 把条件“函数最大值/最小值=M”翻译成等式； 1. 分类讨论（对称轴位置、振幅正负）； 1. 求解参数，并带回验证是否满足全部条件。 【例题分析】 例1．（2026·山东青岛·三模）若函数（）在上的值域为，则可以为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 例2．（2026·安徽合肥·三模）将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的3倍，纵坐标不变，再将图象向左平移的单位长度，得到函数的图象；若函数在上有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·河北石家庄·模拟预测）已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是________． 例4．（2026·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为________. 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知定义在上的函数 有最小值，但无最大值，则ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·广东佛山·模拟预测）已知函数的图象满足以下特征：图象经过点，并且在y轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，函数在上的值域为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·广东·期末）已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是__________. 变式4．（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知函数在区间上的值域为，且，则的值为______. 2 学科网（北京）股份有限公司 $