三角函数：正弦函数的单调性4种高频考点讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数中正弦函数单调性的4种高频考点，按“求单调区间—利用单调性求参数—解不等式与比较大小—求函数值或值域”的逻辑架构梳理知识，通过核心知识点解析、解题步骤归纳、高频易错警示、真题例题分析及分层变式训练，帮助学生系统构建知识网络，突破学习难点。 讲义突出“数学思维”与“数学语言”的培养，如考点一运用“同增异减”法则结合诱导公式转化负系数，强化推理能力；考点二通过单调区间包含关系构建不等式组模型，提升应用意识。设置易错点专项提醒和梯度练习，确保高效复习，助力学生提升解题能力，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

2027届高三数学一轮复习讲义 三角函数：正弦函数的单调性4种高频考点复习讲义 考点目录 求sinx型三角函数的单调性 利用正弦型函数的单调性求参数 利用正弦函数的单调性解不等式或比较正弦值的大小 利用正弦型函数的单调性求函数值或值域 考点一 求sinx型三角函数的单调性 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 复合函数单调性法则：同增异减 · 外层 ；内层 · ⚠️ 关键易错： 时，内层函数单调递减，不等式两侧同时乘负数，不等号反向。 · 常规处理办法： 先用诱导公式变形，把 化为正数再求解。 二、解题原理（通用步骤） 1. 整理解析式，若 ，利用 转化，保证 ； 1. 设 ； 1. 列出 对应的递增/递减区间不等式； 1. 将 代入不等式； 1. 解关于 的不等式，写出单调区间（带上 ）。 三、高频易错 不处理负 ，直接套不等式，增减区间求反。 【例题分析】 例1．（2026·广西桂林·二模）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，得， 则函数在上单调递增， 当时，真包含于，因此是函数的单调区间，A是； 不存在整数，使得选项BCD为的子集，BCD不是. 例2．（2026·湖南湘潭·三模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列区间中，单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移变换得到解析式，结合正弦型函数性质求解判断即可. 【详解】由题意知，， 令，得， 则的单调递减区间为． 对于A：当时，，A正确. 对于BCD：无满足条件，故BCD错误. 例3．（2026·广东汕头·模拟预测）函数单调递增的区间是__________. 【答案】 【分析】把已知函数解析式变形，再由正弦型函数的单调性求解即可． 【详解】解：函数， 则函数在上的单增区间满足：，， 解得，． 函数单调递增的区间是． 故答案为：． 【变式训练】 变式1．（2026·河北保定·一模）下列区间中，函数单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作的图象，结合函数图象判断选项． 【详解】的部分图象如图所示， 结合图象可知，选项中的区间，只有在中单调递增. 变式2．（2026·浙江·二模）已知函数，，则函数的单调递增区间是______． 【答案】 【分析】利用辅助角公式求出，求出函数的单调递增区间，结合定义域求得结果. 【详解】因为， 函数的单调递增，即 解得， 又因为， 当，函数的单调递增区间 变式3．（2026·青海玉树·模拟预测）已知函数，求函数的单调增区间_______. 【答案】，， 【分析】借助三角恒等变换公式可将原函数化简，再结合函数定义域与正弦型函数单调性计算即可得. 【详解】由题意可得，则，， 即，， ， 令，， 解得，， 又，， 则的单调增区间为、，. 故答案为：，，. 考点二 利用正弦型函数的单调性求参数 【知识点解析】 一、核心知识点 常见题型： 1. 已知函数在某区间 单调递增/递减，求 、 范围； 2. 函数单调区间包含给定区间或被包含； 原理：若函数在区间 单调 区间 完全包含于函数某个单调区间内。 二、解题原理 1. 先求出 完整单调区间； 1. 令已知区间 某一个单调区间； 1. 转化为不等式组，对区间左右端点施加约束； 1. 结合 ，筛选满足条件的参数范围； 1. 题型居多，特别注意 隐含限制。 补充简化思路：对于 ，若在区间长度为 上单调，则区间长度满足 （半个周期），可以快速缩小参数范围。 【例题分析】 例1．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由正弦函数的周期性求出的大致范围，再根据正弦函数的递增区间求出的具体范围. 【详解】令，因为，所以 因为函数在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增，且，即． 因为， 所以函数在上单调递增，等价于或， 解不等式得或，所以的取值范围是． 例2．（2026·河南·三模）已知命题：函数在区间内单调递增，则的一个充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出命题成立时的取值范围，再判断哪个选项对应集合是该范围的子集，即为的充分条件. 【详解】由，可得. 因为且区间的长度为， 所以要使函数在区间内单调递增， 则，可得. 即命题：. 所以的一个充分条件为，故C正确. 例3．（2025·湖北武汉·模拟预测）若函数在区间上单调，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】在指定区间内求出相位的范围，再利用正弦函数单调性列式求解. 【详解】当时，，依题意，，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 【变式训练】 变式1．（2026·北京·三模）已知函数．若在区间上既不是增函数也不是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用辅助角公式化简三角函数，再结合内层函数的取值范围与正弦函数的单调性，判断给定区间内是否存在极值点，进而求解的取值范围. 【详解】， 当时，令，因，故随单调递增，。 正弦函数在上单调递增，在上单调递减， 若在上既不是增函数也不是减函数，则的取值区间需包含的极值点，即，解得，故的取值范围为. 变式2．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）函数恒有，且在上单调递增，则__________． 【答案】 【分析】利用函数最值得出，所以，已知在上单调递增，所以，解出.分和，根据在上单调性进行讨论，得出值. 【详解】已知恒有，根据正弦函数的性质可得：，即， 所以，所以 已知在上单调递增，所以，即，解得. 当时，因为，所以， 因为在上单调递增，所以， 解得，所以， 解得，故. 当时，因为，所以. 取，则，因为， 所以，故在上单调递减，不满足题意. 同理可得，时，也不满足题意. 综上可得：. 故答案为：. 变式3．（2025·湖南郴州·三模）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】求得的单调递增区间，根据题目要求求得的取值范围. 【详解】由解得，， 令，得， 依题意，在区间上单调递增， 则实数的取值范围为. 故答案为： 考点三 利用正弦函数的单调性解不等式或比较正弦值的大小 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 单调区间： · 增： · 减： 1. 比较 大小前提：把角化到同一个单调区间内； 1. 或 三角不等式，结合正弦图像求解解集。 二、解题原理 （1）比较大小步骤 1. 利用诱导公式，将角度化到 主区间； 1. 判断两角是否落在同一个单调区间； 1. 根据单调性：增区间角越大函数值越大；减区间角越大函数值越小。 （2）三角不等式解法 1. 画出 图像，先解出 解集； 1. 代回 ，解出 范围。 【例题分析】 例1．（2026·四川广元·三模）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，借助导数研究其单调性后可得，再利用三角函数性质合理放缩可得，即可得. 【详解】令，则，故在上单调递增， 又，故当时，， 则，即，故， ， ，故； 综上可得. 例2．（2026·河南郑州·二模）设是斜三角形的一个内角，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ，整理得. 或（舍），为三角形的内角， ，又是斜三角形的一个内角， . 综上，不等式的解集为. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）设，若，则α的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，. 又，， 因此，解得. 变式2．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）求函数的定义域________. 【答案】， 【详解】由题意，，所以，解不等式可得，， 所以函数的定义域为，. 考点四 利用正弦型函数的单调性求函数值或值域 【知识点解析】 一、核心知识点 正弦型函数闭区间值域核心逻辑： 确定内层 的取值范围，结合 在对应区间上的单调性，找到最大值、最小值。 值域 ，但是局部区间不一定能取到 。 二、解题原理（标准四步） 1. 根据 ，计算 的取值范围 ； 1. 判断区间 跨越 的单调区间情况； 1. 结合单调性，判断区间端点、极值点（ 或 ）是否落在 ； 1. 求出 最大、最小值，最终得到整个函数值域。 三、典型情形 ① 区间包含 ：能取得最大值 1； ② 区间包含 ：能取得最小值 -1； ③ 仅在单调区间内，则最值只在区间两端。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知． (1)求函数的单调增区间； (2)设，求函数在区间上的值域. 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）由三角恒等变换可得，结合正弦函数的性质求解即可； （2）先求得函数在上的值域，再利用换元法结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为 ． 令， 解得． 所以的单调增区间为． （2）当时，， 因此． 令，则， 该函数图象开口向上，对称轴为直线． 最小值：． 令， 则， 令，则． 则在区间上的值域为． 例2．（25-26高三上·甘肃天水·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求函数的值域； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用二倍角公式，辅助角公式化简，再用公式求周期；利用复合函数的单调性求单调增区间. （2）求出的范围，再结合正弦函数的图象即可求出该函数的值域. 【详解】（1），所以 ，解得， 所以的单调递增区间是 （2）若则当时取得最小值，当时取得最大值，所以，，故函数的值域为. 例3．（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）设函数. (1)求函数单调递增区间； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1)是单调递增区间 (2)最小值为，最大值是 【分析】(1)通过恒等变换将原函数变成单一的三角函数即可判断； (2)将原函数通过辅助角公式转化为单一的三角函数， 在指定区间判断其单调性即可求出其值域. 【详解】（1） ， 当 ，即时是单调递增区间； （2） ， 因为，所以， 所以当时单调递减，当时单调递增， ， 最大值在区间的两个端点中的一个， ， ， 故最小值为，大值是； 综上，的单调递增区间为， 的最大值为，最小值为. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·浙江湖州·阶段检测）已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）当时，求的单调区间及取值范围． 【答案】（1）;   （2）单调递增区间为，单调递减区间为，． 【分析】（1）利用三角恒等变换将函数解析式化为正余弦型函数的形式，根据函数的周期性，求得的解析式； （2）根据自变量的取值范围结合余弦函数的单调性求解． 【详解】解：（1） ． ∵最小正周期，∴．∴，∴． （2）当时，， ∴当时，即时，单调递减， ∴的单调递减区间为， 当，即时，单调递增， ∴的单调递增区间为， ∴． 变式2．（25-26高一上·山西阳泉·期末）函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及函数的单调递增区间； (2)若，且，求的值. (3)求函数在上的最值并求相应的的值. 【答案】(1)，递增区间为 (2)或或 (3)最大值为，此时；最小值为0，此时. 【分析】（1）根据题意结合图象，依次确定函数式中的，即得函数的解析式，再根据正弦函数的单调递增区间计算即得该函数的递增区间； （2）利用正弦函数的性质求解三角方程即得； （3）先利用三角恒等变换化简得，再根据给定区间，结合正弦函数的图象的单调性。对称性计算即得. 【详解】（1）由图可得， 函数的最小正周期为，则， ∴， 由，可得， ∵，∴，解得，∴. 由，，可得，， ∴的递增区间为 （2）由可得 ∴或， ∴或， ∵∴或或. （3） ∵，∴ 函数在上单调递增，在上单调递减， 故当，即时，函数取得最小值，值为， 此时，函数取得最大值，值为； 当，即时，函数取得最大值，值为1. 此时，函数取得最小值，值为0. 综上所述，函数的最大值为，此时. 函数的最小值为0，此时. 变式3．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知函数 (1)函数的单调增区间； (2)当时，若，求的值. 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简函数 ，根据复合函数即可求单调区间； （2）由可求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数的解. 【详解】（1）因为 所以要求函数的增区间，须有 ， 解之得，， 所以函数的单调增区间为， （2）因为，即， 所以或 解得或 又因为，所以或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 三角函数：正弦函数的单调性4种高频考点复习讲义 考点目录 求sinx型三角函数的单调性 利用正弦型函数的单调性求参数 利用正弦函数的单调性解不等式或比较正弦值的大小 利用正弦型函数的单调性求函数值或值域 考点一 求sinx型三角函数的单调性 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 复合函数单调性法则：同增异减 · 外层 ；内层 · ⚠️ 关键易错： 时，内层函数单调递减，不等式两侧同时乘负数，不等号反向。 · 常规处理办法： 先用诱导公式变形，把 化为正数再求解。 二、解题原理（通用步骤） 1. 整理解析式，若 ，利用 转化，保证 ； 1. 设 ； 1. 列出 对应的递增/递减区间不等式； 1. 将 代入不等式； 1. 解关于 的不等式，写出单调区间（带上 ）。 三、高频易错 不处理负 ，直接套不等式，增减区间求反。 【例题分析】 例1．（2026·广西桂林·二模）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·湖南湘潭·三模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列区间中，单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·广东汕头·模拟预测）函数单调递增的区间是__________. 【变式训练】 变式1．（2026·河北保定·一模）下列区间中，函数单调递增的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·浙江·二模）已知函数，，则函数的单调递增区间是______． 变式3．（2026·青海玉树·模拟预测）已知函数，求函数的单调增区间_______. 考点二 利用正弦型函数的单调性求参数 【知识点解析】 一、核心知识点 常见题型： 1. 已知函数在某区间 单调递增/递减，求 、 范围； 2. 函数单调区间包含给定区间或被包含； 原理：若函数在区间 单调 区间 完全包含于函数某个单调区间内。 二、解题原理 1. 先求出 完整单调区间； 1. 令已知区间 某一个单调区间； 1. 转化为不等式组，对区间左右端点施加约束； 1. 结合 ，筛选满足条件的参数范围； 1. 题型居多，特别注意 隐含限制。 补充简化思路：对于 ，若在区间长度为 上单调，则区间长度满足 （半个周期），可以快速缩小参数范围。 【例题分析】 例1．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·河南·三模）已知命题：函数在区间内单调递增，则的一个充分条件为（   ） A． B． C． D． 例3．（2025·湖北武汉·模拟预测）若函数在区间上单调，则的取值范围为______. 【变式训练】 变式1．（2026·北京·三模）已知函数．若在区间上既不是增函数也不是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）函数恒有，且在上单调递增，则__________． 变式3．（2025·湖南郴州·三模）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围为______. 考点三 利用正弦函数的单调性解不等式或比较正弦值的大小 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 单调区间： · 增： · 减： 1. 比较 大小前提：把角化到同一个单调区间内； 1. 或 三角不等式，结合正弦图像求解解集。 二、解题原理 （1）比较大小步骤 1. 利用诱导公式，将角度化到 主区间； 1. 判断两角是否落在同一个单调区间； 1. 根据单调性：增区间角越大函数值越大；减区间角越大函数值越小。 （2）三角不等式解法 1. 画出 图像，先解出 解集； 1. 代回 ，解出 范围。 【例题分析】 例1．（2026·四川广元·三模）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·河南郑州·二模）设是斜三角形的一个内角，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）设，若，则α的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）求函数的定义域________. 考点四 利用正弦型函数的单调性求函数值或值域 【知识点解析】 一、核心知识点 正弦型函数闭区间值域核心逻辑： 确定内层 的取值范围，结合 在对应区间上的单调性，找到最大值、最小值。 值域 ，但是局部区间不一定能取到 。 二、解题原理（标准四步） 1. 根据 ，计算 的取值范围 ； 1. 判断区间 跨越 的单调区间情况； 1. 结合单调性，判断区间端点、极值点（ 或 ）是否落在 ； 1. 求出 最大、最小值，最终得到整个函数值域。 三、典型情形 ① 区间包含 ：能取得最大值 1； ② 区间包含 ：能取得最小值 -1； ③ 仅在单调区间内，则最值只在区间两端。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知． (1)求函数的单调增区间； (2)设，求函数在区间上的值域. 例2．（25-26高三上·甘肃天水·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求函数的值域； 例3．（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）设函数. (1)求函数单调递增区间； (2)求函数在区间上的最值. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·浙江湖州·阶段检测）已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）当时，求的单调区间及取值范围． 变式2．（25-26高一上·山西阳泉·期末）函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及函数的单调递增区间； (2)若，且，求的值. (3)求函数在上的最值并求相应的的值. 变式3．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知函数 (1)函数的单调增区间； (2)当时，若，求的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $