解三角形：最值与范围问题的4种高频考点复习讲义-2027届高三数学一轮复习讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形中最值与范围问题，覆盖利用三角函数值域、基本不等式、二次函数、导数四种高频考点，按“知识点解析—例题分析—变式训练”逻辑架构，系统梳理核心方法，帮助学生构建解题框架。 资料采用分层突破策略，如三角函数考点通过正弦定理边化角转化为单角函数，结合三角形内角约束求值域，培养数学思维与抽象能力。设置基础到综合的变式训练，确保复习实效，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

2027届高三数学一轮复习讲义 解三角形：最值与范围问题的4种高频考点复习讲义 考点目录 利用三角函数值域求解三角形中的最值与范围问题 利用基本不等式求解三角形中的最值与范围问题 利用二次函数求解三角形中的最值与范围问题 利用导数求解三角形中的最值与范围问题 考点一 利用三角函数值域求解三角形中的最值与范围问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心转化工具：正弦定理边化角 · 将全部化为单角三角函数。 1. 三角恒等变形：和差化积、降幂、辅助角公式。 1. 三角函数值域：，； 结合三角形内角约束：，限定自变量区间。 1. 面积转化：，代入三角表达式，转化正弦函数求值域。 二、解题原理 1. 定边定角条件下，全部边统一转化为角； 1. 消去，只保留单一变量； 1. 化简为标准形式； 1. 根据的实际取值范围，结合正弦函数图像确定最值； 1. 周长、面积、两边和均可由此求区间。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·广西南宁·期末）已知内角，，的对边分别为，，，若，. (1)求角； (2)若角的平分线交于点，且，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理及同角公式求解. （2）利用三角形面积公式及余弦定理列式求解. （3）利用正弦定理及和差角的正弦公式化简，再利用余弦函数的性质求出范围. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 因此，而，所以. （2）由（1）知，，由平分交于点，得， 即，而，整理得， 由余弦定理得， 而，解得，所以的周长为. （3）由（1）得，令， 由为锐角三角形，得，则， 由正弦定理得，则， ， 所以的取值范围是. 例2．（25-26高一下·广东韶关·期末）在锐角△中， 已知角的对边分别为，且. (1)求证： ； (2)求的最小值； (3)若，求△周长的取值范围. 【答案】(1)已知，由正弦定理，可得， 化简得，因为△为锐角三角形，所以，所以. (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将等式边化弦后化简，得到，由锐角三角形确定后得证; （2）利用三角恒等变换将化简为，再结合锐角三角形条件得，最后利用基本不等式得最小值； （3）利用正弦定理将用表示，把周长转化为关于的函数，最后利用的范围求周长的取值范围. 【详解】（1）略 （2）由题， 因为△是锐角三角形，，， 所以，则，所以； 因为， 当且仅当，即时等号成立， 综上所述，最小值为. （3）由（2）可知，即， 因为， 所以， 周长； 因为，所以， 则周长 例3．（25-26高二下·湖北武汉·期末）在中，，其中角的对边分别为． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换可得，进而利用正弦定理可得，进而利用余弦定理可求得角的大小； （2）根据三角形内角和以及为锐角三角形，从而可得出的取值范围，再将转化为关于的函数即可求解． 【详解】（1）由正弦定理，设． 原式可化为． 因为，所以． 所以由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 又因为，所以． （2）由，得． 又为锐角三角形，所以． 由，可得． 由正弦定理，． 当时，， 故． 例4．（25-26高一下·湖北孝感·期末）在中，角所对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若是线段的中点，且，，求； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角可求得，进而得到； （2）利用余弦定理和向量运算可构造方程组求得，代入三角形面积公式即可； （3）利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、二倍角和辅助角公式可将问题转化为正弦型函数值域问题的求解；根据的范围可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理得：，，即， ，. （2）由余弦定理得：…①； 为线段的中点，， ，即…②， ②①得：，解得：， . （3）由正弦定理得：，，， ； 为锐角三角形，，解得：， ，，， 又，，即的取值范围为. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，，ΔABC的面积为，若，且有. (1)求； (2)若的面积为=，求，； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）使用正弦定理角化边，再使用余弦定理求解即可； （2）利用三角形的面积公式和余弦定理求解即可； （3）利用三角形的内角和及得到，使用二倍角公式与两角差的余弦公式得到，利用锐角三角形的条件得到角的范围，转化为三角函数的范围求解. 【详解】（1）已知，由正弦定理得， 即，由余弦定理得， 因为，所以. （2）由三角形面积公式，得①， 由余弦定理知，即，得②， 由①②解得，. （3）因为，，所以，则，即， ， 又 ，所以， 因为为锐角三角形，， 所以，解得，则， 所以，所以， 即的取值范围是. 变式2．（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)若，，求角； (2)若为锐角三角形，设，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由内角和定理结合正弦定理得出，结合余弦定理得到，再由正弦定理解出； （2）由（1）知由正弦定理边化角可得，，角化边得，结合余弦定理得出，再由锐角三角形的定义得出，进而得出的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 因为， 所以，即， 由正弦定理得，，即①， 因为，所以②， 联立①②得，，即， 解得， 由正弦定理知，， 所以， 因为，所以． （2）由（1）得， 由正弦定理得，，即， 因为 ， 所以， 又，所以， 因为，，所以，即，所以， 由（1）得， 所以， 由余弦定理得，， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以， 所以，即， 故的取值范围为． 变式3．（25-26高二下·浙江·阶段检测）在中，角、、的对边分别为、、，且． (1)求的值； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值，即可得出的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，其中，，且为锐角，利用正弦型函数的有界性可求得的最大值. 【详解】（1）由及正弦定理，可得， 其中， 所以， 所以， 因为、，则， 所以，则，得. （2）若，由正弦定理，， 所以，， 由（1）知，，则， 所以， ，其中，，且为锐角， 因为，则，所以， 当时，即时，取得最大值. 变式4．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）在中，角的对边分别为，且满足. (1)求；. (2)已知，点在边上，且满足，求线段的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知边角关系式转化为边的关系，再结合余弦定理即可求得； （2）先根据三角形内角关系确定的范围，再由正弦定理得到关于的表达式，再根据余弦函数的单调性即可求得范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：，所以， 又因为，且，所以. （2）因为，所以， 又因为，所以， 因为，所以，又，所以. 在中，由正弦定理可得， 因为，所以，又，所以，所以， 因为，所以，所以，即，所以线段的取值范围是. 考点二 利用基本不等式求解三角形中的最值与范围问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 均值不等式：，，当且仅当取等。 1. 搭配余弦定理（定边定角核心组合） · 解出，得到最大值。 1. 面积，最大则面积最大； 周长，有最大值，周长同步最大。 1. 约束：仅能求最大值；下界由三角形三边关系给出。 二、解题原理 1. 已知一组对角对边，用余弦定理构造二次齐次式； 1. 用均值不等式放缩，求出或上限； 1. 验证取等条件（等腰三角形）符合三角形内角范围； 1. 下界不能用基本不等式，只能依靠三边关系确定； 1. 适用于求面积最大值、周长最大值。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·广西崇左·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求的面积； (3)若，求内切圆的半径的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用正弦边角关系、三角形内角性质及和角正弦公式，将条件化为，即可求； （2）应用向量数量积的定义可得，再应用三角形面积公式求面积； （3）由余弦定理、基本不等式得，再由三角形的面积，半周长，设三角形内切圆半径为，则有，结合基本不等式求半径最大值. 【详解】（1）由已知，根据正弦定理， 所以， 在三角形中， 所以， 得， 因为，所以，则， 因为，所以； （2）已知，即，也即， 所以，解得， 则的面积. （3）已知，，则 ， 由，代入上式得 ，当且仅当时等号成立， 三角形的面积，半周长， 设三角形内切圆半径为，则有，即， 因为，所以，则， 所以， 由，得，所以， 因此时，，此时三角形. 例2．（25-26高一下·广东东莞·期末）在中，角，，的对边分别为，，，且满足，，，为三条边所在的直线上的点，且满足，，． (1)求角； (2)证明：，，三点共线； (3)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)设，. 由，得，整理：， 由，得. 由，得. ， . 与共线，且有公共点D，故D，E，F三点共线. (3) 【分析】（1）先根据正弦定理边角互换，然后利用三角形内角和， 得到，展开化简即可. （2）令，，用这两个向量作为基底表示与，然后用向量的共线定理. （3）用余弦定理和基本不等式，解出的最大值，然后代入面积公式. 【详解】（1）已知， 由正弦定理， 可得： 因为，所以，代入上式： ， 整理得：， 因为，可得， 即，. 又，所以，故，得. （2）略 （3）已知，， 由余弦定理： 可得， 由基本不等式，得：， 所以， 当且仅当时取等号. 中，，，， ， 因为，所以：. 例3．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若，求的面积最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，利用两角和与差的正弦公式计算即可得； （2）利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式计算即可得. 【详解】（1）由，得， 所以， 即， 因为，所以， 因为，所以； （2）因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，即的面积最大值为. 【变式训练】 变式1．（2026·重庆江津·三模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 (1)求C； (2)若D在AB边上， 且AD=2DB， CD =2， 求△ABC面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理进行边化角，得到利用两角和的正弦公式求解即可得解. （2）由题意在边上一点，且，可得，将此式子两边平方，通过计算，结合基本不等式得到的最大值，从而得到的最大值. 【详解】（1）（1）由题意，根据正弦定理得， ∵，∴，∴， ∵，即：， ∵，∴. （2）（2）由题意在边上一点，且， 可得， ∴，∴， 故，， ∴当且仅当时取到等号，故， ∴的最大值为，当且仅当时取到等号. 变式2．（2026·甘肃张掖·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由正余弦定理转化为边的关系求解即可； （2）根据余弦定理及基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 由余弦定理及正弦定理可得，， 即，所以. （2）， 当且仅当时等号成立， 由知，，所以. 变式3．（2026·福建泉州·模拟预测）已知在中，角、、的对边分别为、、，且满足． (1)求的值； (2)已知平分且交于点，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理将等式中的边转化为角的正弦值，然后由诱导公式及和差角公式化简等式即可求得的值； （2）由三角形面积公式即可求得的关系，然后由基本不等式求得最小值.由余弦定理求得，借助基本不等式即可求得的最小值. 【详解】（1）由正弦定理可知：， 在中， ∴，又∵中， ∴，即，∴， ∵，∴，即. （2）由题意可知， ，∴， ∴，由基本不等式可得，即，∴， 当且仅当时取等号. ，∴，当且仅当时取等号. ∴, ∴的最小值为. 考点三 利用二次函数求解三角形中的最值与范围问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 适用场景：条件可整理为单一变量二次函数 。 1. 两种常见构造方式 ① 设某一条边长为，余弦定理把另一边长表示为的一次式，代入面积、周长得到二次函数； ② 由（定值），，构造关于的二次函数。 1. 二次函数性质：开口向上有最小值，开口向下有最大值； 自变量受三角形三边关系约束，有取值区间。 二、解题原理 1. 设边长为自变量，利用余弦定理、内角和把目标量（面积、周长、两边积）整理为二次函数； 1. 求出二次函数对称轴； 1. 结合的取值范围判断顶点是否可取； 1. 区间端点结合三角形限制求值域； 1. 多用于给定两边和、定角，求面积范围。 【例题分析】 例1．（2026·浙江·三模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． (1)若，求的面积； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将条件化简得到，由，求出及，即可根据三角形的面积公式求出的面积； （2）由可得或，在的条件下求出和的取值范围，将化为二次函数形式，再求出其值域即可. 【详解】（1）因为， 则， 即， 化简可得． 若，则，因为，所以， 所以， 所以是等腰直角三角形，所以， 所以； （2）由（1）知，所以或． ①若，由可得，与矛盾，故舍去； ②若，则， 若，则，解得，则． 则此时， 设，则， 可知当时，取到最小值；当时，； 当时，， 因为，所以， 即的取值范围为． 例2．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：. (2)已知C为钝角，记. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若BD为AC边上的中线，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）先由正弦定理将条件化为，然后利用余弦定理化简即可证明. （2）（ⅰ）根据三角形三边关系列不等式求解即可； （ⅱ）根据中线关系得，结合数量积的运算律及将化为，根据二次函数的性质求解范围即可. 【详解】（1）由，可得， 由余弦定理可知，所以. （2）（ⅰ）由，可得，． 根据三角形三边关系，知即 则解得， 所以的取值范围为． （ⅱ）因为BD为AC边上的中线，所以， 则， 所以． 令，则，因为在上单调递增， 所以，故的取值范围为． 【变式训练】 变式1．（24-25高三上·重庆渝中·阶段检测）设的三个内角的对边分别为，已知角为钝角，. (1)若，求的周长; (2)求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合诱导公式可得，再利用正弦定理求出，然后利用余弦定理求解即得. （2）由（1）的信息，利用三角恒等变换，结合正弦函数、二次函数性质求出范围. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，而， 则，即有，而为钝角，则为锐角，因此， 由，得，由，为锐角，得， 由正弦定理，得， ， 由余弦定理得， 于是，解得， 所以的周长为. （2）由（1）知， 则 ，又，即， 因此，所以的取值范围. 变式2．（25-26高一下·河南郑州·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)若，求的值； (2)求最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求得，根据正弦定理推得，然后即可根据得出，进而得出答案； （2）首先根据向量的运算得出.然后根据余弦定理，结合已知得出，即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，. 由余弦定理可得，， 所以. 由正弦定理可得，. 因为，所以， 所以，， 所以，. （2）因为， 由余弦定理可得，， 又，所以， 所以，， 当时，有最小值为. 所以，， 所以，最小值为. 考点四 利用导数求解三角形中的最值与范围问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 适用场景：三角函数、复杂分式型函数，无法用辅助角、均值快速求最值。 1. 操作逻辑：将周长、面积表示为单变量函数，求导； 1. 单调性判定：函数递增；函数递减； 导数零点为极值点。 1. 约束：自变量为角度或边长，有明确取值区间，极值点要检验是否在区间内。 二、解题原理 1. 统一变量，构造目标函数（为角或边长）； 1. 对函数求导，令导数等于0，求出极值点； 1. 判断极值点是否落在三角形允许的取值范围内； 1. 比较极值点与区间端点函数值，确定最大、最小值； 1. 多用于复杂多约束、非常规最值题型。 【例题分析】 例1．（2026·四川凉山·二模）在中，角的对边分别为，已知. (1)求证：； (2)若. ①求； ②证明：. 【答案】(1)证明：由正弦定理可得， 即有， 则或， 若，则； 若，则，舍去； 故； (2)①； ②证明：令，由，则，， 则 ， 令，则，令， 则，故在上单调递减， 又， ， 由零点存在性定理可得，即. 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角后，利用两角差的正弦公式计算即可得； （2）①借助同角三角函数基本关系与二倍角公式计算可得、、，再利用三角形内角和与两角和的正弦公式计算即可得；②令，利用三角恒等变换公式可得，构造函数，利用导数研究其单调性，最后由零点的存在性定理计算即可得. 【详解】（1）略 （2）①由，则， 由，则， 由，则，解得，， 故 ； ②略 例2．（25-26高三上·河北·阶段检测）记的内角A，B，C的对边分别为，且. (1)求； (2)若的角平分线交于点. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）应用正弦定理及三角恒等变换得，结合三角形内角的性质，求角的大小； （2）（i）由，应用三角形面积公式得，再应用基本不等式求最大值；（ii）设，则，应用正弦定理得、，进而得、，再由余弦定理得，从而得，令并应用导数研究最小值. 【详解】（1）由正弦定理知，， 所以，， 所以，，可得； （2）（i）由，， 则， 所以，而，则， 所以，当且仅当时取等号， 所以最大值为； （ii）设，则， 在中，则，同理， 所以， 由， 由，所以， 综上，，令， 令，则， 所以时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 综上，，则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【变式训练】 变式1．（2026·云南昭通·模拟预测）已知在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)证明：； (2)求的取值范围； (3)已知函数，求证：． 【答案】(1) 由正弦定理得，又因为， 所以，即． 因为，所以或（舍去），所以． (2) (3) 因为， 记，则， 易知在上单调递减，且，， ，，即， 所以，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 因为，， 所以时，，在上单调递增，所以． 又因为，所以． 由（2）知，所以，所以． 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用三角恒等变化简可得，结合正弦函数图象可证结论； （2）结合（1）可求得，利用正弦定理以及三角恒等变换化得，换元，利用导数可求得的取值范围； （3）求导，令，求导，可得，，可得的单调性，进而可得时，，进而可得在上单调递增，可证结论. 【详解】（1）略 （2）因为，所以， 所以． 令，则，，． 由，得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为． 又因为， 所以． （3）略 变式2．（2026·山西运城·模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，且满足． (1)证明：； (2)已知，求取得最小值时的值． 【答案】(1)证明：由， 由正弦定理可得， 所以， 所以， 所以， 因为、为三角形的内角，所以、不可能同时为直角， 若、中有一个直角，不妨令为直角，则，，显然， 则等式不成立， 所以、均不是直角， 所以； (2) 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由两角和的正弦公式化简，即可得解； （2）利用两角和的正切公式得到，再构造函数，利用导数求出函数的最小值，即可得解. 【详解】（1）略 （2）依题意不是直角， 所以， 故， 因为且，所以， 令， 设，， 有， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上所述，取得最小值时，， 即取得最小值时，为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 解三角形：最值与范围问题的4种高频考点复习讲义 考点目录 利用三角函数值域求解三角形中的最值与范围问题 利用基本不等式求解三角形中的最值与范围问题 利用二次函数求解三角形中的最值与范围问题 利用导数求解三角形中的最值与范围问题 【知识点解析】 考德知识点利用三角函数值域求解三角形中的最值与范围问题 1.核心转化工具：正弦定理边化角 b=2Rsin B,c=2Rsin C,C=n-A-B 将b+c、bc、S全部化为单角三角函数。 2.三角恒等变形：和差化积、降幂、辅助角公式 sinx+bcosx=Va2+b2sin(x+o) 3.三角函数值域：y=sinx,x∈(0，π)，sinx∈(0,1]： 结合三角形内角约束：B∈(0，π-A),限定自变量区间。 4面积转化：S=号besin A,.代入bc三角表达式，转化正弦函数求值域。 二、解题原理 1.定边定角条件下，全部边统一转化为角： 2.消去C,只保留单一变量B 3.化简为标准Asin(oB+p+k形式： 4.根据B的实际取值范围，结合正弦函数图像确定最值： 5.周长L=a+b+c、面积S、两边和b+c均可由此求区间。 2027届高三数学一轮复习讲义 2027届高三数学一轮复习讲义 【例题分析】 例1.(25-26高一下广西南宁期末)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2, 3bcosA=asinB (1)求角A; (②)若角A的平分线交BC于点D:且0=25， 3,求aABC的周长： (3)若△ABC为锐角三角形，求b+c的取值范围. 例2.(25-26高一下广东韶关期未)在锐角△ABC中，已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=c-2 acosB. (1)求证：B=2A: 11+6sinB的最小值： (2)求tan tan B5 (3)若c=2,求△ABC周长的取值范围. 2027届高三数学一轮复习讲义 例3.(25-26高二下~湖北武汉期末)在△ABC中，asinA+asinBcosC+csinBcosA=csinC+bsinA,其中角A,B,C 的对边分别为a,b,c. (I)求角C的大小： b (2)若。ABC为锐角三角形，求a的取值范围. cosA a 例4.(25-26高一下湖北孝感期末)在△ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,且满足sin B3b (1)求角A的大小： (@考D是线段BC的中点，且“=2，D=5,求5， b2-c2 (3)若△ABC为锐角三角形，a=2,求a2的取值范围. 2027届高三数学一轮复习讲义 【变式训练】 变式1.(25-26高三上江苏准安阶段检测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,ABC的面积为 a=2 csin C-asin A=sin B(c-b) ，若 ,且有 (1)求sin4; (2)若△AB 的面积为S-V 3,求b,c: (3)若△ABC为锐角三角形，求sinB+sin2C的取值范围. 变式2.(25-26高三上福建龙岩·阶段检测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 C-A bsin-=ccos- 2. 嘴4-，c=1,求角C: (2)若△ABC为锐角三角形，设C=b,求入的取值范围. 2027届高三数学一轮复习讲义 变式3.(25-26高二下浙江：阶段检测)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、C,且2b-c=2 acosC (1)求sinA的值： ②诺a=5,求2办+c的最大值。 变式4.(25-26高三下·贵州遵义阶段检测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足 sin C-sin A sin B-sin A b c+a (1)求C;· ②记知c=5,点M在边BC上，且满足∠MMC=2∠B,求线段4M的取值范围 6 2027届高三数学一轮复习讲义 考点二 利用基本不等式求解三角形中的最值与范围问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1.均值不等式：b2+c2≥2bc,b+c≥2Vbc,当且仅当b=c取等。 2.搭配余弦定理（定边定角核心组合) a2=b2+c2-2bc cos Az2bc-2bccos A 解出bc a 得到bc最大值。 2(1-cos A) 3面积S=)bcsinA,bc最大则面积最大 周长L=a+b+c,b+c有最大值，周长同步最大。 4.约束：仅能求最大值；下界由三角形三边关系b+C>a给出。 二、解题原理 1.已知一组对角对边，用余弦定理构造b、C二次齐次式： 2.用均值不等式放缩，求出bc或b+c上限； 3.验证取等条件b=C(等腰三角形)符合三角形内角范围： 4.下界不能用基本不等式，只能依靠三边关系b+c>a确定： 5.适用于求面积最大值、周长最大值。 【例题分析】 例1.(25-26高一下广西崇左期末)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 ccos+ -asinC=b 3 (1)求C: 2027届高三数学一轮复习讲义 CA:CB=6,求△4BC (2)若 的面积： (3)若C=2,求△ABC内切圆的半径的最大值. 2027届高三数学一轮复习讲义 例2.(25-26高一下广东东莞期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且满足 V5 BasinC+acosC=b+c,D,E,F为△MBC三条边所在的直线上的点，且满足 CD=3DB 2AE=3AB AF=FC (1)求角A: (2)证明：D,E,F三点共线： (3)若BC=2,求△AEF面积的最大值. 例3.(25-26高二下浙江宁波期末)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 bsin+ 3 a+V3 (1)求B: (②)若b=V3+1 求4ABC 的面积最大值. 2027届高三数学一轮复习讲义 【变式训练】 变式1.(2026重庆江津三模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为4，b,c,已知 csnB=-bsin C+写 (1)求C; (2)若D在AB边上，且AD-2DB,CD=2,求△ABC面积的最大值 变式2.(2026甘肃张掖二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinB=-2 sin AcosC c2-a2 (1)求b2的值： (2)求CosB的取值范围. o 2027届高三数学一轮复习讲义 变式3.(2026福建泉州模拟预测)已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、C,且满足 acosC+3asinC-b-c=0 (1)求A的值： (2)已知AD平分∠BAC且交BC于点D,AD=1,求BC的最小值. 11 2027届高三数学一轮复习讲义 考点三 利用二次函数求解三角形中的最值与范围问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1.适用场景：条件可整理为单一变量二次函数y=Ax+Bx+C。 2.两种常见构造方式 ①设某一条边长为X,余弦定理把另一边长表示为x的一次式，代入面积、周长得到二次函数： ②由b+c=m(定值)，bc=x(m-x),构造关于x的二次函数。 3.二次函数性质：开口向上有最小值，开口向下有最大值： 自变量受三角形三边关系约束，X有取值区间。 二、解题原理 1.设边长为自变量x,利用余弦定理、内角和把目标量（面积、周长、两边积）整理为二次函数： 2.求出二次函数对称轴： 3.结合x的取值范围判断顶点是否可取； 4.区间端点结合三角形限制求值域： 5.多用于给定两边和、定角，求面积范围。 【例题分析】 sinA 例1.(2026：浙江·三模)A4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足anB= 2cosB-cos2. )若B=子，求aABC的面积： (2)若A>B,求cosC-3cosB的取值范围. 12 2027届高三数学一轮复习讲义 例2，(242S高三上内蒙古赤峰期中)已知A4BC的内角4，B,C的对边分别为a,D,c,且。+。1+2cosB, (1)证明：b2=ac (②)已知C为钝角，记9=b （1）求的取值范国； BD2 (i)若BD为AC边上的中线，求a2的取值范围 【变式训练】 变式1.(24-25高三上重庆渝中·阶段检测)设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知角A为钝 角，asinB=bcosB】 ()若c=l,sinC=3 ,求AABC的周长： (2)求cosA+cosB+cosC的取值范围. 13 2027届高三数学一轮复习讲义 变式2.(2526高一下河南郑州期中)在。4BC中，角4，B,C的对边分别为a,b,c,已知C=3,a+2b=6· (1)若a=4,求tanB的值： (2)求4BAC-BA.C 最小值。 14 2027届高三数学一轮复习讲义 考点四 利用导数求解三角形中的最值与范围问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1.适用场景：三角函数、复杂分式型函数，无法用辅助角、均值快速求最值。 2. 操作逻辑：将周长、面积表示为单变量函数f(x求导f(x): 3. 单调性判定：f(X>0函数递增：fx)<0函数递减： 导数零点为极值点。 4.约束：自变量为角度或边长，有明确取值区间，极值点要检验是否在区间内。 二、解题原理 1.统一变量，构造目标函数ft)(t为角或边长)： 2.对函数求导，令导数等于0，求出极值点： 3.判断极值点是否落在三角形允许的取值范围内： 4.比较极值点与区间端点函数值，确定最大、最小值： 5.多用于复杂多约束、非常规最值题型。 【例题分析】 例1.(2026·四川凉山二模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosA=acos B+a. (1)求证：2A=B； 7 (2)若cosB=。 9 ①求sinC; ②证明：g<sn 1 138 15 2027届高三数学一轮复习讲义 例2.(25-26高三上·河北阶段检测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2b-a=2 ccos A. (1)求C; (2)若a+b=V5,∠A B的角平分线交AB于点D, (i)求CD的最大值； 1 (i)求AD+BD的最小值： 【变式训练】 变式1.(2026云南昭通模拟预测)已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 a-c+2acosB=0 (1)证明：B=2A: bcosA,a (2)求2√2a'b的取值范围： 尼知函数/)=如r-h(c+.求证（引0 16 2027届高三数学一轮复习讲义 变式2.(2026山西运城模拟预测)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足 acosB=C+bcosA (1)证明：tanA=2tanB; (2②)记知B≥T 二4，求tanAtan BtanC取得最小值时tanB的值. 17