解三角形：周长问题与面积问题4种高频考点复习讲义-2027届高三数学一轮复习讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形的周长计算、周长最值与范围、面积计算、面积最值与范围四大高频考点，按考点分类构建“核心知识点-解题原理-例题分析-变式训练”的知识体系，通过考点梳理明确工具方法，例题精讲示范解题思路，变式训练强化应用能力，帮助学生系统突破解三角形的重点难点。 讲义突出数学思维的培养，如在周长与面积最值问题中，通过正弦定理角化边转化为三角函数求值域，或用余弦定理结合基本不等式构建模型，引导学生形成逻辑推理与运算求解能力。设置基础例题与变式训练分层递进，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生的解题效率与应考能力。

2027届高三数学一轮复习讲义 解三角形：周长问题与面积问题4种高频考点复习讲义 考点目录 解三角形中的周长问题 周长最值与范围问题 解三角形中的面积问题 面积最值与范围问题 考点一 解三角形中的周长问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 周长定义：，为三边。 1. 常用基础工具 ① 正弦定理：，统一转化为角； ② 余弦定理：已知一角及对边，建立边之间等量关系； ③ 内角和：，。 1. 常见题型 · 已知两角一边，直接求出三边，求和得周长； · 已知一角一对边 + 边角等式，求出另外两边再算周长； · 给定面积、外接/内切圆半径，结合面积公式反求边长，计算周长。 二、解题原理 1. 两角一边：先用内角和求第三角，正弦定理求剩余两边，三边相加； 1. 已知一组对角对边：利用正弦定理边化角，用单一角表示另外两边，代入周长； 1. 含面积条件：用建立边长方程，联立余弦定理解边长； 1. 涉及内切圆：，已知可直接求周长。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合余弦定理即可求解. 【详解】由题意及三角形的面积公式，得，即，解得， 根据余弦定理得，即， 所以的周长为． 例2．（25-26高一下·云南文山·阶段检测）在中，，，所对的边分别为，，，若，，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】，， 由正弦定理，得， 即， ，，. 的周长为． 例3．（25-26高一下·河北廊坊·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 的周长为 【详解】（1）由，得，即． 因为，所以，故，解得． （2）由正弦定理及得， 在中，，所以，， 得，又，故，从而． 已知，由正弦定理得，则， , 周长. 例4．（25-26高二下·云南楚雄·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角C的值 (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换求得以及的值； （2）由三角形的面积公式和余弦定理，即可求得的周长； 【详解】（1）已知等式利用正弦定理化简得：， 整理得：， ，， ，又，； （2）由余弦定理得，， ，，，， 的周长为 【变式训练】 变式1．（2026·江苏·模拟预测）在中，角所对的边分别为，若，，则当角取得最大值时，的周长为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理，将角化边，可得，再由余弦定理结合不等式，可求得角的最大值为，再根据已知条件和余弦定理，可分别求得三角形的三边长，进而得到三角形的周长. 【详解】由题意，， 根据余弦定理，可得，化简得，即， 所以， 根据基本不等式，可得， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 又，由余弦函数的性质，可知单调递减，所以， 所以角的最大值为，且， 又由余弦定理得，， 所以，又，所以，所以， 所以的周长为，所以B正确. 变式2．（2026·山东德州·三模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，三角形面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形面积公式和余弦定理即可求解. 【详解】根据三角形面积公式 ，代入已知，； ，解得：， 根据余弦定理 ，代入， ​， 对式子变形： ，代入， 得： ，即 ，所以， 三角形周长为. 变式3．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）的内角，，的对边分别为，，．已知，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 周长为 【分析】（1）利用余弦定理和三角恒等变换求内角； （2）使用三角形面积公式和正弦定理求三角形的边长，从而求得三角形的周长. 【详解】（1）， 根据余弦定理可得，即， 代入可得，化简可得， 根据三角形辅助角公式可得，即， 因为，所以， 因此解得，即， 因为，， 所以解得. （2）因为的面积为， 所以，解得， 因为，， 所以， 根据正弦定理可得，即，化简可得， 代入可得，解得， 所以， 根据正弦定理可得，即，解得， 所以的周长为. 变式4．（25-26高一下·广西河池·期中）在中，已知． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用正弦定理实现边角互化，结合三角形内角和性质与正弦和角公式化简求得角； (2)先由三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，进而计算得到三角形周长。 【详解】（1）已知，交叉相乘得 ; 在中，由正弦定理得； 由于 ，故， 可得， 即， 即 ， 化简得 ， 由，得， 又 ，故 （2）由的面积公式，将代入化简得； 由余弦定理， 得 ，即， 则， 由得。 故的周长为. 考点二 周长最值与范围问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 固定条件：通常定角、定对边（定边定角模型）。 2. 周长表达式：，定值，只需求范围。 3. 两种主流处理思路 （1）角化边：正弦定理 ，结合，和差化积化为单三角函数； （2）边化边：余弦定理 ，配凑，结合基本不等式求最值。 4. 隐含约束：三角形三边关系 ，角范围。 二、解题原理 1. 定边定角模型： 方法 1（三角函数）：将化为只含一个角的正弦型函数，结合角的取值范围求值域，得到最值，再加定值得周长范围； 方法 2（基本不等式）：利用余弦定理构造的基本不等式，求出最大值；再由两边之和大于第三边得下界； 2. 定周长求角范围：定值，结合余弦定理、基本不等式判断最大角范围； 3. 易错约束：角度不能取或，两边之和严格大于第三边，不取等号。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·四川乐山·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，求周长最大值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）结合诱导公式，利用正弦定理对已知式进行边角互化（边化角），即可求得；或结合诱导公式，利用余弦定理对已知式进行边角互化（角化边）即可求得； （2）根据余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，从而得到周长最大值；或根据正弦定理将求转化成求，利用两角差的正弦公式及辅助角公式，求得其最大值，从而得到周长最大值. 【详解】（1）解法1： ，且， ． 由正弦定理得． 又在中． 化简得：． 即， 因为，所以． 解法2： ，且， ． 由余弦定理得． 化简得． 又． ， 因为，所以． （2）解法1： ，， 由余弦定理，得：． ． 由得，，当且仅当时等号成立. 化简得． 又在中， ． 周长最大值为6． 解法2： ， 由正弦定理，得，． ． 又  ，． 当，即时，取得最大值， 此时取得最大值4． 周长最大值为6． 例2．（25-26高一下·广东惠州·期末）在中，角所对的边分别为，. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求三角形周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过正弦定理实现边角互化，结合两角和的正弦公式化简即可求得角A； （2）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦值，结合锐角三角形的约束确定角的范围，再通过三角恒等变换求周长的值域. 【详解】（1）已知，由正弦定理得， 由，得， 因为，所以，得，故. （2）由正弦定理得，因此，， 由得， 因为为锐角三角形，所以， 解得， 周长 ， 由得，因此， 代入得. 例3．（25-26高二下·四川成都·期末）在中，角所对的边分别为.已知 (1)若，，求的面积； (2)若，求的周长的取值范围； (3)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由正弦定理并结合条件可得，再由三角形的面积公式可得； （2）先由正弦定理将边化为，，进而可得，再由的范围可得周长的范围； （3）由（2）的分析得，再由锐角三角形得，进而可得三角形周长范围. 【详解】（1）根据正弦定理，将等式化为， 又，代入化简得， 因为，所以， 所以，，结合，所以. 又因为在中，，，​， 由三角形面积公式得. 因此的面积为. （2）由（1）分析知，且，由正弦定理​， 得，，且，. 所以 ， 由，得，故. 所以三角形的周长. 因此周长的取值范围为. （3）因为为锐角三角形，且，由（1）分析知， 由（2）分析得，，且， 因为为锐角三角形，. 所以 ， 由，得，故. 所以三角形的周长. 因此周长的取值范围为. 例4．（25-26高一下·天津静海·阶段检测）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合三角恒等变换求得. （2）利用正弦定理、三角恒等变换等知识求得周长的取值范围． 【详解】（1）由正弦定理，得， 代入原式，化简得， 交叉整理，变形为. 若，化简得，与三角形内角范围矛盾，舍去； 若，则，结合，得，即. （2）由，，，得. ，， ， ，则，所以， 所以. 周长，即. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·上海·阶段检测）在锐角中，角所对的边分别为，满足，且． (1)若为的外接圆，求的半径； (2)求锐角周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由正弦定理对已知条件角化边，再应用余弦定理求角，进而可求解； （2）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解． 【详解】（1）由正弦定理原式可化为：， 整理得：， 即， 由余弦定理，代入得， 因为是锐角三角形，故， 由正弦定理可得， 所以的半径为； （2）由（1）得，则， 即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为为锐角三角形，所以，， 则，， 则，即， 则， 故的周长的取值范围为． 变式2．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数 (1)讨论在区间上的单调性； (2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求周长的最大值． 【答案】(1)递增区间，递减区间 (2) 【分析】（1）先化简，再利用正弦函数的单调性即可求出； （2）先求出，再利用余弦定理和基本不等式即可求出. 【详解】（1）由题意得， 令，当时，， 当，即时，单调递增，单调递增； 当，即时，单调递减，单调递减； 当，即时，单调递增，单调递增. （2），，， ，，，即， ，， 由基本不等式得，解得， 当且仅当时等号成立， 此时为等边三角形，满足锐角三角形，周长的最大值为. 变式3．（25-26高一下·甘肃天水·期中）已知，，． (1)求函数的解析式； (2)求在上的最大值和最小值． (3)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 【答案】(1) (2)最大值，最小值 (3) 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算规则计算得到展开式，再利用二倍角公式、辅助角公式化简整理，即可得到的解析式； （2）由求出的取值范围，结合正弦函数的性质，即可计算出的最大、最小值； （3）先由结合B的范围求出角B，再利用余弦定理得到边的关系，结合基本不等式求最大值，进而得到周长最大值. 【详解】（1）由， 则. （2）当时，. 则当（即）时，取得的最大值为1； 当（即）时，取得的最小值为. 故的最大值为，最小值为. （3），即， 为的内角，. 故. . 则. 又，由余弦定理， 得，即. 由均值不等式得：， 即，从而， 当且仅当时取等号，此时为等边三角形． 周长最大值：. 变式4．（25-26高一下·山东淄博·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，并且． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求出，即可得的大小； （2）利用正弦定理，表示出的周长，利用三角函数求出最大值即可． 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得，即， ，因为，所以． （2）由（1）得，且， 由正弦定理得：， ∴， ， ∵，∴，∴， ∴当时，的最大值为， ∴周长的最大值是． 考点三 解三角形中的面积问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心面积公式（高频） 2. 拓展公式 ① 外接圆：； ② 内切圆：； ③ 海伦公式：。 3. 题型分类 · 已知两边夹角：直接套； · 已知三边：海伦公式； · 已知一角一对边：正弦定理表示两边，代入面积； · 给出周长、内切/外接半径，用对应拓展公式计算。 二、解题原理 1. 两边一角优先用夹角正弦面积公式； 2. 仅给三边可使用海伦公式或； 3. 有外接圆半径用；有内切圆半径用周长与的公式； 4. 边角混合条件先正弦/余弦定理统一边或角，再代入面积表达式求值。 【例题分析】 例1．（2026·海南海口·模拟预测）记的内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则的面积为________. 【答案】 【详解】由正弦定理得，. 则. ， 的面积是. 例2．（2026·河南开封·模拟预测）在中，，，，则____________，的面积为____________． 【答案】 【分析】先利用三角形内角和求出角，通过角度恒等变换关联，结合和差角公式得到正切乘积，再结合正弦定理与面积公式求解三角形面积. 【详解】由，，可得，即，故. 则，，所以， 因此. 又， 联立, 解得，， 则. 由，结合正弦定理与三角形面积公式， . 例3．（25-26高一下·天津·期末）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，． (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由条件并结合正弦定理可得，再用余弦定理可得； （2）由（1）可得，再由同角三角函数关系式及三角形面积公式可得. 【详解】（1）因为，由正弦定理得，，. 又因为，， 所以由余弦定理可得，即， ，解得． （2）由于，所以是锐角，所以. 由（1）可知，， 则． 例4．（2026·贵州遵义·模拟预测）记的内角，，的对边分别为 ，， ，已知 ． (1)求角 ； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理与正弦定理，将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和化简求解； （2）利用余弦定理与面积公式，通过“和平方”将转化为，即可计算面积. 【详解】（1）已知， 由余弦定理，则， 代入可得：. 由正弦定理（为外接圆半径）， 可得，，， 代入上式得：， 整理得：， 根据两角和的正弦公式，即， 因为，所以得，解得， 又因为，所以. （2）已知，，， 由余弦定理，代入得， 所以， 则面积为：. 【变式训练】 变式1．（2026·浙江·三模）在中，角，，所对的边分别是，，，且，，，则的面积为___________. 【答案】 【分析】首先根据正弦定理及二倍角公式求出的值，再求出，，的值，利用诱导公式及和角公式得到的值，最后根据的面积公式进行求解. 【详解】因为，，， 由正弦定理得， 即， 即， 因为， 所以， 即， 因为，所以， ， ， ， 所以的面积. 变式2．（2026·广东深圳·模拟预测）在中，，，，则的面积为________． 【答案】 【分析】先由和求出，再结合正弦定理求出，由求解. 【详解】中，且 （1），（2）， （2）-（1）得，． 由正弦定理， ． . 变式3．（25-26高一下·重庆·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且． (1)求的值； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换将化为，再利用正弦定理求解即可. （2）利用余弦定理求出的值，再利用面积公式即可. 【详解】（1）在中，， 所以. 因为， 所以 所以. 因为，所以. 所以 因为，所以，即. （2）由余弦定理得， 所以，所以. 所以. 所以. 变式4．（25-26高一下·江西抚州·期末）在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且. (1)求的值； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)先由向量数量积公式化简得到，再由同角三角函数关系求； (2)利用余弦定理求边，再代入面积公式计算. 【详解】（1）， 根据两角和的余弦公式，得. 已知，故. 因为，所以. 因此. （2）由余弦定理，代入， 得， 即，解得（负值舍去）. 面积. 考点四 面积最值与范围问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 经典模型：定边，对角固定，求最值；为定值，只需求范围。 2. 两个解题工具 ① 余弦定理 + 基本不等式：，解出最大值； ② 正弦定理：，三角恒等变换化为单角函数求值域。 3. 约束条件：，，。 二、解题原理 1. 定边定角求面积最大值： 由余弦定理结合基本不等式，求出最大值，代入面积公式得；当且仅当（等腰三角形）取到最大值； 2. 求面积取值范围： 用正弦定理转化为三角函数，根据角的区间求出范围，进而得到面积区间；下界无限趋近（但不能等于）； 3. 定周长求面积最值：由或余弦定理 + 均值不等式，等边三角形时面积最大； 4. 已知一角及其邻边和为定值：同理配凑求面积最值。 【例题分析】 例1．（2026·山西运城·模拟预测）已知锐角三角形的内角，，对应的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、同角三角函数关系式、两角和的正弦公式及诱导公式化简所给等式，即可求得，从而求得； （2）利用正弦定理及三角恒等变换，求出的取值范围，再由面积公式求得面积的取值范围. 【详解】（1）因为，且为锐角，所以， 所以， 即. 由正弦定理，得， 所以， 所以， 所以. 因为是锐角，所以， 所以，. （2）因为，所以， ，得. 由正弦定理可得，， 因为，所以， 由，可知，所以，所以. 所以，所以， 即的面积的取值范围为. 例2．（2026·四川德阳·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积． (1)求角B的大小； (2)若时，求△ABC面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式、余弦定理求解即得. （2）由（1）中信息，结合基本不等式求出的最大值即可得解. 【详解】（1）在中，，而，即， ，由余弦定理得， 所以. （2）由（1）知，，，而，于是， 即，当且仅当时取等号， 因此的面积， 所以当时，面积取得最大值. 例3．（24-25高三上·四川宜宾·阶段检测）在锐角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积定义可得，利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，结合角C的范围即可得以及面积的取值范围. 【详解】（1）因为，则， 整理可得， 利用正弦定理可得， 又因为，则，可得，即， 且，所以. （2）由正弦定理， 可得， 由题意可知：，解得， 则，可得，即， 又因为面积， 所以面积的取值范围为. 例4．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）在锐角中，角A，，的对边分别为a，b，c，S为的面积，且. (1)求的值； (2)已知，求的面积的最大值. 【答案】(1)2 (2)2 【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理可得，即可得结果； （2）根据同角关系求，利用余弦定理结合面积公式可得，即可面积最大值. 【详解】（1）因为，且， 可得， 即，所以. （2）因为， 又因为，即， 整理可得，解得或， 又因为，则，， 由余弦定理可得：，即， 整理可得， 又因为，即， 当且仅当时，等号成立， 且此时为为锐角三角形，符合题意， 所以的面积的最大值为. 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·安徽马鞍山·阶段检测）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理边化角可化简已知边角关系式得到，由此可得； （2）利用正弦定理边化角，将所求面积表示为，根据的范围可求得结果. 【详解】（1）， ，即， 由正弦定理得：， ， ，，，又，. （2）由正弦定理得：，， ， ，为锐角三角形，，， ，， 即面积的取值范围为. 变式2．（25-26高一下·广东阳江·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． (1)求； (2)若，且面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）根据正弦定理求解即可. （2）根据三角形面积公式及余弦定理求解即可. （3）根据三角形面积公式及正弦定理，结合两角差的正弦公式及同角的三角函数关系求解即可. 【详解】（1）由及正弦定理得，， 因为，所以，所以，即． 因为，所以. （2）因为，所以， 由余弦定理可得， 即，所以. 所以的周长为. （3）已知，面积， 由正弦定理得，则. 因为，，所以，则. 所以. 因为为锐角三角形， 所以，即，所以. 所以，故. 因此，即面积的取值范围为. 变式3．（25-26高一下·江西赣州·期中）已知中，角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)点是边上一点，且，，用表示，并求面积S的最大值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理求出的值，结合三角形内角范围即可求得角． （2）结合图形用表示，再利用向量数量积的运算律，结合基本不等式求出的最大值，最后代入三角形面积公式即得答案． 【详解】（1）由和正弦定理，得， 即，由余弦定理得， 因为，所以； （2）因为，所以， 即， 两边同时平方得， 即， 所以，当且仅当，即时，等号成立． 所以故S的最大值为． 变式4．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，，，分别是角，，的对边，已知是锐角，向量，，且． (1)若，求实数的值． (2)已知． （i）求面积的最大值； （ii）在（i）的条件下，判断的形状． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）等边三角形 【分析】（1）根据平面向量的数量积的坐标表示及平方关系可得，可得，再结合余弦定理及题设求解即可； （2）（i）由余弦定理及基本不等式可得，再结合三角形的面积公式求解即可； （ii）由（i）可得，再结合即可判断的形状． 【详解】（1）因为是锐角，且，， 所以， 解得或（舍去），所以， 由余弦定理得， 又，则，结合， 所以． （2）（i）由（1）知，， 由余弦定理得， 即，得， 当且仅当时，等号成立， 则， 即面积的最大值为. （ii）由（i）可知， 取得最大值时，， 又，所以为等边三角形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 解三角形：周长问题与面积问题4种高频考点复习讲义 考点目录 解三角形中的周长问题 周长最值与范围问题 解三角形中的面积问题 面积最值与范围问题 考点一 解三角形中的周长问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 周长定义：，为三边。 1. 常用基础工具 ① 正弦定理：，统一转化为角； ② 余弦定理：已知一角及对边，建立边之间等量关系； ③ 内角和：，。 1. 常见题型 · 已知两角一边，直接求出三边，求和得周长； · 已知一角一对边 + 边角等式，求出另外两边再算周长； · 给定面积、外接/内切圆半径，结合面积公式反求边长，计算周长。 二、解题原理 1. 两角一边：先用内角和求第三角，正弦定理求剩余两边，三边相加； 1. 已知一组对角对边：利用正弦定理边化角，用单一角表示另外两边，代入周长； 1. 含面积条件：用建立边长方程，联立余弦定理解边长； 1. 涉及内切圆：，已知可直接求周长。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·云南文山·阶段检测）在中，，，所对的边分别为，，，若，，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 例3．（25-26高一下·河北廊坊·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，且，求的周长． 例4．（25-26高二下·云南楚雄·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角C的值 (2)若，的面积为，求的周长． 【变式训练】 变式1．（2026·江苏·模拟预测）在中，角所对的边分别为，若，，则当角取得最大值时，的周长为（    ） A．6 B． C． D． 变式2．（2026·山东德州·三模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且，三角形面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）的内角，，的对边分别为，，．已知，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 变式4．（25-26高一下·广西河池·期中）在中，已知． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 考点二 周长最值与范围问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 固定条件：通常定角、定对边（定边定角模型）。 2. 周长表达式：，定值，只需求范围。 3. 两种主流处理思路 （1）角化边：正弦定理 ，结合，和差化积化为单三角函数； （2）边化边：余弦定理 ，配凑，结合基本不等式求最值。 4. 隐含约束：三角形三边关系 ，角范围。 二、解题原理 1. 定边定角模型： 方法 1（三角函数）：将化为只含一个角的正弦型函数，结合角的取值范围求值域，得到最值，再加定值得周长范围； 方法 2（基本不等式）：利用余弦定理构造的基本不等式，求出最大值；再由两边之和大于第三边得下界； 2. 定周长求角范围：定值，结合余弦定理、基本不等式判断最大角范围； 3. 易错约束：角度不能取或，两边之和严格大于第三边，不取等号。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·四川乐山·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，求周长最大值． 例2．（25-26高一下·广东惠州·期末）在中，角所对的边分别为，. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求三角形周长的取值范围. 例3．（25-26高二下·四川成都·期末）在中，角所对的边分别为.已知 (1)若，，求的面积； (2)若，求的周长的取值范围； (3)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围. 例4．（25-26高一下·天津静海·阶段检测）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知，求周长的取值范围． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·上海·阶段检测）在锐角中，角所对的边分别为，满足，且． (1)若为的外接圆，求的半径； (2)求锐角周长的取值范围． 变式2．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数 (1)讨论在区间上的单调性； (2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求周长的最大值． 变式3．（25-26高一下·甘肃天水·期中）已知，，． (1)求函数的解析式； (2)求在上的最大值和最小值． (3)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 变式4．（25-26高一下·山东淄博·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，并且． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值． 考点三 解三角形中的面积问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心面积公式（高频） 2. 拓展公式 ① 外接圆：； ② 内切圆：； ③ 海伦公式：。 3. 题型分类 · 已知两边夹角：直接套； · 已知三边：海伦公式； · 已知一角一对边：正弦定理表示两边，代入面积； · 给出周长、内切/外接半径，用对应拓展公式计算。 二、解题原理 1. 两边一角优先用夹角正弦面积公式； 2. 仅给三边可使用海伦公式或； 3. 有外接圆半径用；有内切圆半径用周长与的公式； 4. 边角混合条件先正弦/余弦定理统一边或角，再代入面积表达式求值。 【例题分析】 例1．（2026·海南海口·模拟预测）记的内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则的面积为________. 例2．（2026·河南开封·模拟预测）在中，，，，则____________，的面积为____________． 例3．（25-26高一下·天津·期末）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，． (1)求的值； (2)求的面积． 例4．（2026·贵州遵义·模拟预测）记的内角，，的对边分别为 ，， ，已知 ． (1)求角 ； (2)若，，求的面积． 【变式训练】 变式1．（2026·浙江·三模）在中，角，，所对的边分别是，，，且，，，则的面积为___________. 变式2．（2026·广东深圳·模拟预测）在中，，，，则的面积为________． 变式3．（25-26高一下·重庆·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且． (1)求的值； (2)若，，求的面积． 变式4．（25-26高一下·江西抚州·期末）在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且. (1)求的值； (2)若，，求的面积. 考点四 面积最值与范围问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 经典模型：定边，对角固定，求最值；为定值，只需求范围。 2. 两个解题工具 ① 余弦定理 + 基本不等式：，解出最大值； ② 正弦定理：，三角恒等变换化为单角函数求值域。 3. 约束条件：，，。 二、解题原理 1. 定边定角求面积最大值： 由余弦定理结合基本不等式，求出最大值，代入面积公式得；当且仅当（等腰三角形）取到最大值； 2. 求面积取值范围： 用正弦定理转化为三角函数，根据角的区间求出范围，进而得到面积区间；下界无限趋近（但不能等于）； 3. 定周长求面积最值：由或余弦定理 + 均值不等式，等边三角形时面积最大； 4. 已知一角及其邻边和为定值：同理配凑求面积最值。 【例题分析】 例1．（2026·山西运城·模拟预测）已知锐角三角形的内角，，对应的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； 例2．（2026·四川德阳·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积． (1)求角B的大小； (2)若时，求△ABC面积的最大值． 例3．（24-25高三上·四川宜宾·阶段检测）在锐角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的取值范围． 例4．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）在锐角中，角A，，的对边分别为a，b，c，S为的面积，且. (1)求的值； (2)已知，求的面积的最大值. 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·安徽马鞍山·阶段检测）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 变式2．（25-26高一下·广东阳江·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． (1)求； (2)若，且面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 变式3．（25-26高一下·江西赣州·期中）已知中，角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)点是边上一点，且，，用表示，并求面积S的最大值． 变式4．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，，，分别是角，，的对边，已知是锐角，向量，，且． (1)若，求实数的值． (2)已知． （i）求面积的最大值； （ii）在（i）的条件下，判断的形状． 2 学科网（北京）股份有限公司 $