暑假预习：子集与真子集问题、根据集合相等求参数、根据集合包含关系求参数专项训练-2026年初升高衔接数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦集合核心关系，从子集概念到参数求解，构建初升高衔接知识逻辑链 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |子集与真子集问题|3例+3变式|考查子集/真子集个数计算、特定条件集合构造|从集合元素确定性出发，强化2ⁿ计数原理应用| |根据集合相等求参数|3例+3变式|元素对应关系分析、互异性检验|基于集合相等定义，训练分类讨论与推理能力| |根据集合包含关系求参数|3例+3变式|子集/真子集关系下参数范围确定，含空集讨论|深化集合间关系理解，培养数学抽象与逻辑推理素养|

暑假预习：子集与真子集问题、根据集合相等求参数、根据集合包含关系求参数专项训练 暑假预习：子集与真子集问题、根据集合相等求参数、根据集合包含关系求参数专项训练 考点目录 子集与真子集问题 根据集合相等求参数 根据集合包含关系求参数 考点一 子集与真子集问题 例1．（25-26高二下·河南商丘·期末）集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，集合有个元素，故集合的真子集个数为. 例2．（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）满足条件Ü的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【答案】D 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2，3，4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为； 当集合中含有四个元素时，可为； 综上所述满足条件的集合的个数为7个． 例3．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 【答案】63 【详解】问题等价于求集合的真子集个数，故所求为． 变式1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】解绝对值不等式后结合子集公式即可求解. 【详解】解不等式，得，因为， 则集合，所以集合共有个子集. 变式2．（25-26高一下·江西赣州·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：由题意得，其元素个数为3，子集个数为． 变式3．（2026·陕西榆林·三模）集合的真子集的个数为______. 【答案】3 【分析】求解方程，确定集合中元素个数，再结合真子集个数公式即可求解. 【详解】方程可化为，解得或1， 则，故集合的真子集的个数为. 考点二 根据集合相等求参数 例1．（2026·甘肃·模拟预测）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【分析】根据集合相等的关系求解． 【详解】∵集合，，若， ∴，得. 例2．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知集合，，若，则实数的值为______. 【答案】1 【分析】利用相等集合的意义，结合集合元素的互异性求解. 【详解】因为集合，， ， 所以或，解得. 所以实数的值为1. 故答案为：1 例3．（25-26高一上·广东惠州·期中）已知集合，且，则_____. 【答案】 【分析】根据题意结合集合相等列式求解即可. 【详解】因为集合，且， 则，解得. 故答案为： 变式1．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 【答案】C 【分析】利用集合相等条件求解，并检验集合中元素的互异性即可得到判断. 【详解】由可得：，解得或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去， 即满足题意， 故选：C 变式2．（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）已知实数，集合，则__________． 【答案】2 【分析】通过集合的互异性以及集合相等的概念推导即可得到答案． 【详解】因集合中有，故，则，即，， 此时两集合分别为=， 即可得，所以，． 故答案为：2． 变式3．（2026·河南信阳·模拟预测）设集合，若，则__________. 【答案】 【分析】利用两个集合相等的定义结合集合的互异性求解. 【详解】，，且且且， 或， 当时，且，，. 当时，解得，且，不成立. 综上可得，. 故答案为：. 考点三 根据集合包含关系求参数 例1．（25-26高一上·广东·期末）已知集合，． (1)若，求A； (2)若，且，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次方程即可求解； （2）由可得，解得，进而得到，再根据包含关系求解即可. 【详解】（1）当时，得，解得或， 所以． （2）因为，所以，解得， 所以． 因为，所以，解得， 所以b的取值范围是． 例2．（19-20高一上·山西太原·阶段检测）已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）先求出集合，再由分析出，由一元二次方程根与系数的关系即可求出的值； （2）若，分析出集合有四种情况，即或或或，结合一元二次方程的判别式及根与系数的关系，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，解得或，所以. 因为，所以， 所以-4和0是方程的两个根， 由韦达定理可得，解得， 所以实数的值是1； （2）若，则或或或. 当时， ，解得； 当时，，即， 此方程组无解，值不存在； 当时，，即，解得； 当时，由（1）知. 综上，可知实数的取值范围或. 例3．（25-26高一上·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次方程以及二次方程的判别式即可求解， （2）对进行讨论，即可结合（1）的结论以及韦达定理求解. 【详解】（1）对于， 当，即时，方程为，则，集合中只有一个元素，满足题意； 当时，方程为关于的一元二次方程， 由题意知，该方程有两个相等的实根， 所以， 解得或. 所以实数的取值构成的集合为. （2）由题意可知，，若，则分以下几种情况讨论： ①当时，，即. ②当集合中只有一个元素时，由（1）知， 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，，. ③当集合中有两个元素时， 因为，所以，即， 即关于的方程的两根分别为1，2， 所以，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 变式1．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)1536 (2)或 【分析】（1）由题知，进而根据集合中的每个元素包含它的子集个数为计算求解即可； （2）分与两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时，， 对于集合中的每个元素，除该元素外还有个元素， 每个元素有选或不选两种可能，包含它的子集个数为， 故的所有子集中的元素之和为． （2）解：当，即时，满足． 当，即时，要使成立，需，可得， 综上，的取值范围是或． 变式2．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）设集合，已知． (1)求集合； (2)写出集合的所有子集： (3)设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)，，，. (3) 【分析】（1）由，可求得，即可求解； （2）由，即可求出相应的子集； （3）由，结合（2）分别对进行讨论，从而求解. 【详解】（1）由，所以，得， 则，解得或， 所以. （2）由， 所以集合的子集为：，，，. （3）由，由集合的子集为：，，，. 当时，即，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上：实数的取值范围为. 变式3．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据，代入即可求得a值. （2）由题意，分别讨论、、和四种情况，分别求得a值，分析即可得答案. 【详解】（1）由，代入可得，解得. （2）由，解得或4，即集合， 因为， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得，不成立； 当时，，解得. 综上，实数a的取值为范围为或， 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：子集与真子集问题、根据集合相等求参数、根据集合包含关系求参数专项训练 暑假预习：子集与真子集问题、根据集合相等求参数、根据集合包含关系求参数专项训练 考点目录 子集与真子集问题 根据集合相等求参数 根据集合包含关系求参数 考点一 子集与真子集问题 例1．（25-26高二下·河南商丘·期末）集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）满足条件Ü的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 例3．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 变式1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 变式2．（25-26高一下·江西赣州·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 变式3．（2026·陕西榆林·三模）集合的真子集的个数为______. 考点二 根据集合相等求参数 例1．（2026·甘肃·模拟预测）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 例2．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知集合，，若，则实数的值为______. 例3．（25-26高一上·广东惠州·期中）已知集合，且，则_____. 变式1．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 变式2．（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）已知实数，集合，则__________． 变式3．（2026·河南信阳·模拟预测）设集合，若，则__________. 考点三 根据集合包含关系求参数 例1．（25-26高一上·广东·期末）已知集合，． (1)若，求A； (2)若，且，求实数b的取值范围． 例2．（19-20高一上·山西太原·阶段检测）已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 例3．（25-26高一上·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 变式1．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． 变式2．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）设集合，已知． (1)求集合； (2)写出集合的所有子集： (3)设集合，若，求实数的取值范围． 变式3．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $