集合与常用逻辑用语同步训练----2026年新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦初升高衔接，以“概念巩固-运算提升-综合应用”为路径，通过基础选择、综合多选及解答题梯度设计，强化集合与逻辑用语核心素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|集合概念/表示、逻辑量词|单选考查元素特性（如互异性）、量词否定（如第29题）| |提升|集合关系/运算、充要条件|多选结合Venn图（如第13题）、参数问题（如第14题）| |综合|含参集合、逻辑证明|解答题验证充要条件（第41题）、集合运算推理（第27题）|

2026 年新高一 集合与常用逻辑用语预备知识优化提升训练 知识点提炼 一、集合 1.集合的概念与表示 集合的含义 把一些确定、不同的对象汇集在一起，就构成一个集合。这些对象叫做元素。 元素的三个特性 确定性：任何一个对象，要么属于这个集合，要么不属于，不能模棱两可。 互异性：同一个集合里不能重复出现相同的元素。 无序性：元素之间没有顺序，{1,2,3}与{3,1,2}是同一个集合。 常用数集及其符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N₊ Z Q R 元素与集合的关系 属于：a∈A 不属于：a∉A 集合的表示方法 列举法：{1,2,3,4} 描述法：{x|x满足的性质}，如{x∈R|x²－3x＋2＝0} 图示法（Venn图）：用封闭曲线内部表示集合。 集合的分类 有限集：元素个数有限 无限集：元素个数无限 空集：不含任何元素，记作∅。 ⚠注意区分∅与{∅}：前者是空集，后者是含有一个元素（空集）的集合。 2.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 如果集合的每个元素都是集合的元素，就说包含于，或者说包含，若A包含于B，则称是的一个子集 （或） 或 真子集 如果但，就说是的真子集 （或） 集合相等 如果并且，就说两个集合相等 A=B 重要结论 空集是任何集合的子集：∅⊆A 任何集合都是它自身的子集：A⊆A 若A⊆B，B⊆C，则A⊆C（传递性） 含n个元素的集合，其子集有2ⁿ个，真子集有2ⁿ－1个，非空真子集有2ⁿ－2个。 3.集合的基本运算 三种基本运算 交集：A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 并集：A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 补集：通常相对于全集U而言，∁ᵤA＝{x|x∈U且x∉A} 基本运算 并集 交集 补集 符号表示 若全集为，则集合的补集为 图形表示 数学语言 运算性质 ； ； ； ； ； ； ; 运算法则 交换律：A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A 结合律：(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)，(A∪B)∪C＝A∪(B∪C) 分配律：A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) 德摩根律：∁ᵤ(A∪B)＝(∁ᵤA)∩(∁ᵤB)；∁ᵤ(A∩B)＝(∁ᵤA)∪(∁ᵤB) 补充：区间 当集合的元素是连续实数时，常用区间表示，如[a,b]、(a,b)、[a,+∞)等。交、并、补运算可借助数轴完成。 集合元素的计数（有限集） 用card(A)表示集合A中元素的个数，则有 容斥原理：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B) （类似可推广到三个集合） 二、常用逻辑用语 1.命题 可以判断真假的陈述句叫做命题。常见形式：“若p，则q”，其中p是条件，q是结论。 四种命题及其关系（拓展了解） 原命题：若p则q；逆命题：若q则p； 否命题：若¬p则¬q；逆否命题：若¬q则¬p。 原命题与逆否命题同真同假。 2.充分条件与必要条件 定义 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。 若p⇒q且q⇒p，则记为p⇔q，称p与q互为充要条件（等价）。 理解要点 充分：有之必然（p成立足以保证q成立） 必要：无之必不然（若没有q，p一定不成立） 判断方法 1. 定义法：直接推导p能否推出q，再反推。 2. 集合法：用集合语言重述条件 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p、q互为充要条件。 小范围⇒大范围 3. 等价法：利用逆否命题等价性判断。 应用： 在求参数范围问题时，常将条件转化为集合包含关系，再列不等式（注意端点能否取到）。 3.全称量词与存在量词 量词 全称量词：“所有”“任意”“每一个”等，记作∀ 全称量词命题：∀x∈M，p(x) 存在量词：“存在”“至少有一个”“有些”等，记作∃ 存在量词命题：∃x∈M，p(x) 含有一个量词的命题的否定 否定全称量词命题（∀x∈M，p(x)）： ∃x∈M，¬p(x) 否定存在量词命题（∃x∈M，p(x)）： ∀x∈M，¬p(x) 否定规则口诀： 量词互换（∀↔∃），结论否定。 常考否定形式 原命题 否定 都是 不都是（不是全都是） 至少有一个 一个也没有 至多有一个 至少有两个 所有x满足p(x) 存在x不满足p(x) ⚠注意：“都是”的否定是“不都是”，不能写成“都不是”。对不等式“a＞b”的否定是“a≤b”。 三、易错点与解题提示 1. 互异性检验 求出参数值后必须代回原集合，检查元素是否重复。若造成重复需要舍去。 2. 空集的特殊性 讨论子集关系时，不要忘记空集是任何集合的子集。 当A∩B＝∅时，要分A是否为空集讨论。 3. 集合运算中的端点 利用数轴求参数范围时，特别注意端点能否取到（不等式等号是否成立），可通过代入检验。 4. 充分必要条件的方向 口诀：“充分”即“推出地”，p推出q，则p是q的充分；q被推出，所以q是p的必要。 可画箭头辅助：p→q(p是充分，q是必要) 5. 命题否定 否定全称量词命题时，切勿只否定结论而不改量词。 “∀x∈R，x²≥0”的否定是“∃x∈R，x²＜0”，而非“∀x∈R，x²＜0”。 6. 等价转化 充要条件问题常与集合包含、方程根的情况、不等式解集等结合，学会用集合表述逻辑关系是突破关键。 习题训练 一、集合 1．已知集合，，则（     ） A．R B． C． D． 2．设集合，，若集合且，则满足条件的集合的个数是（    ） A． B．8 C．16 D． 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．集合且的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．满足条件Ü的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 7．（多选）下列说法不正确的是（    ） A．10以内质数集合： B． C．的解集： D．与是同一个概念 8．（多选）下列描述法表示集合正确的是（    ） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 9．（多选）下列说法错误的是（    ） A． B．实数集可写为{所有实数} C．被4除余3的自然数集合： D．与是同一集合 10．（多选）定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）若集合中仅有两个不同元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 12．（多选）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 13．（多选）已知为全集，集合，是的子集，若，则（     ） A． B． C． D． 14．（多选）已知集合，，若，则a的取值可以是（   ） A． B．0 C．2 D． 15．（多选）已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． 16．设，集合，若，则______. 17．设集合，，若，则______． 18．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为__________． 19．满足条件的集合的个数是____ 20．某年级先后举办了数学、物理讲座，其中有100人听了数学讲座，80人听了物理讲座，20人同时听了数学和物理讲座，则听讲座人数为_____________. 21．若集合，或，则________， ____________. 22．已知集合，，则__________． 23．用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 24．用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 25．把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 26．设是小于9的正整数，．求： (1) (2) (3) (4) (5) 27．已知集合 ，或，， ． (1)求 ， (2)若 ，求实数的取值范围． 28．尝试借助Venn图证明以下两个等式 (1)； (2) 二、常用逻辑用语 29．命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 30．已知命题p：，，命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 31．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 32．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 33．已知，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 34．已知条件：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 35．已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 36．命题：的否定为（    ） A．， B． C． D． 37．（多选）以下四个命题中，是真命题的有（    ） A．若命题，则的否定为： B．若，则 C． D．“”是“”的必要不充分条件 38．若命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围是_____. 39．已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的充要条件，那么p是q的____________条件． 40．已知：，：，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____ 41．证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 42．设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； 试卷第2页，共9页 第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 2026 年新高一 集合与常用逻辑用语预备知识优化提升训练 参考答案 1．D 【解析】由题，，则 2．B 【解析】因为且，故集合中的元素必然包含3，根据可知，集合中的元素可能包含，故满足条件的集合等价于的子集，则集合的个数是个． 3．D 【解析】 4．A 【解析】因为且，所以有5个元素. 5．B 【解析】因,， 则. 6．D 【解析】由题意得，集合中的元素可能为2，3，4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为； 当集合中含有四个元素时，可为； 综上所述满足条件的集合的个数为7个． 7．CD 【解析】10以内的质数有2，3，5，7，所以A正确； 集合中的元素具有无序性的性质，所以B正确； 集合中元素具有互异性的性质，正确解集为，所以C选项错误； 是元素，是集合，概念不同，所以D选项错误. 8．ACD 【解析】对A：可表示奇数集，故A正确； 对B：可表示小于8的非负整数，不含负整数，故B错误； 对C：可表示大于2的实数，故C正确； 对D：不等式的解集为，故D正确. 9．BD 【解析】B选项花括号自带“全部”含义，表述冗余错误；D选项前者为数集，后者为点集，不是同一集合；A、C表述正确. 10．BCD 【解析】对于A，注意到不在集合中，故不是伙伴关系集合，A错误； 对于B，均在集合中，故是伙伴关系集合，B正确； 对于C，在集合中，故为伙伴关系集合，C正确； 对于D，均在集合中，故为伙伴关系集合，D正确. 11．ABD 【解析】集合有两个不同元素，对应一元二次方程有两个不相等实数根， 即解得.ABD选项取值均满足不等式，C选项不满足. 12．ACD 【解析】选项A：根据并集定义，合并两个集合的所有元素并去重，可得，A正确; 选项B：根据交集定义，取两个集合的公共元素，可得，因此，B错误 选项C：先得，再求其在全集中的补集，即中去掉的剩余元素，得，C正确 选项D：先求在中的补集，得，再和求交集，公共元素只有，因此，D正确. 13．CD 【解析】已知为全集，，，由集合运算性质：， 因为，所以. A：可以是空集，此时，满足，错误. B：已推出，错误. C：，，，正确. D：，相等集合互相包含，成立，正确. 14．BC 【解析】因为，又，， 所以或，解得或或， 当时，，，满足要求， 当时，，，满足要求， 当时，，与元素互异性矛盾，不满足要求,所以或2. 15．BC 【解析】全集为，集合M，N，P均为非空集合，由作出如图所示的韦恩图： 由，得，而， 结合韦恩图，得不是的子集，，，不是的子集 16．2或或 【解析】因为，所以或，解得或. 当时，，满足；当时，，满足； 当时，，满足；故或或. 17．1 【解析】因为 ，且 ，所以 ．又 ，其中 ，，所以只能有 ，解得 ．当 时，，，此时 ，符合题意． 18． 【解析】由韦恩图可知，如图所示的阴影部分表示的集合为， 又，，则 ，所以． 19．7 【解析】由题意，是集合的真子集，且集合为集合的子集， 所以集合至少有3个元素，最多有5个元素， 如果集合有3个元素：，，； 如果集合有4个元素：，，； 如果集合有5个元素：；所以满足条件的集合共有7个. 20．160 【解析】听讲座的人数为. 21． R 或或 【解析】借助数轴如图1， 所以，如图2，所以或， 或或． 22． 【解析】由题意得，解得，经验证此时集合满足题意. 23．(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【解析】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. 24．(1) (2) (3) (4) 【解析】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． 25．(1)且 (2) (3) (4) (5)用列举法：， 用描述法： 【解析】（1）集合为列举法，改为描述法为且， 表示小于等于的正偶数． （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数， 由列举法可得： 一位自然数：； 两位无重复：； 三位无重复：； 故集合为：． （3）集合用描述法表示，改为列举法为：． （4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离， 距离恒等于5，即为圆周上的点，故集合． （5）由方程的所有整数解组构成的集合， 改为列举法：， 用描述法为：． 26．(1) (2) (3) (4) (5) 【解析】（1）由题设，，则； （2）由，则； （3）由， 所以； （4）由， 所以； （5）由题设， 所以. 27．(1) 或 ，(2) 【解析】（1） ，或， 或； 又，则 . （2） ，则需， 解得，故实数的取值范围为. 28．(1)证明：、用Venn图都可表示为 (2)证明：、用Venn图都可表示为 29．C 【解析】命题“，”的否定形式为：“，”. 30．A 【解析】先判断命题的真假：分式不等式等价于且，解得或，恰好对应命题给出的取值范围， ∴ ，恒成立，故为真命题，为假命题. 再判断命题的真假： 不等式化简得，即， ∵ ，∴ 不等式等价于，解得， 即当时，成立，例如取，，满足条件， ∴ ，成立，故为真命题，为假命题. 综上，和都是真命题，A选项正确. 31．B 【解析】由基本不等式得，，当且仅当时，等号成立， 所以当时，，此时成立； 若，此时，而， 所以“”是“”的必要不充分条件． 32．D 【解析】对于充分性，当时，满足，不满足，则充分性不成立， 对于必要性，当时，满足，不满足，则必要性不成立， 可得“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确. 33．A 【解析】因为解得，所以， 又因是的真子集，故是的充分不必要条件. 34．A 【解析】，解得或，所以条件：或， 又条件：，因为条件的范围是条件的范围的一部分，所以是的充分不必要条件. 35．B 【解析】满足“”成立，“且”不成立， 又因为“且”可以得出“”，所以“”是“且”的必要不充分条件. 36．B 【解析】由全称量词命题的否定可知，命题的否定为. 37．ACD 【解析】对于A，若命题，则的否定为：，故A正确； 对于B，若，则，即，故B错误； 对于C，因为， 所以为真命题，故C正确； 对于D，因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 38． 【分析】根据存在性问题为真，可推得，利用函数单调性即可求出的取值范围. 【解析】，使得，等价于在上有解,即， 又因为在上单调递增，则可得. 39．充分不必要 【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析可得结果. 【解析】由已知得，．但由于r推不出p，所以q推不出p，故p是q的充分不必要条件． 40． 【解析】由，得或. 由题意得．所以，或，即或． 41．①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 42．(1) (2) 【解析】（1）若是真命题，则 ，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则 ， 是真命题， 由 解得，即实数的取值范围是. 答案第12页，共12页 答案 第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $