暑假预习：常见数集的关系、利用集合的互异性求参数、已知集合相等求参数专项训练-2026年初升高暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦集合基础三模块，以题载知构建从概念理解到性质应用的逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常见数集的关系|8题（4例+4变式）|数集符号辨析与关系判断|从具体数集到集合间关系，夯实概念基础| |利用集合的互异性求参数|8题（4例+4变式）|含参数集合中元素互异性检验|性质应用，强化参数取值范围推理| |已知集合相等求参数|8题（4例+4变式）|集合元素对应关系建立与参数求解|关系深化，提升逻辑推理与分类讨论能力|

暑假预习：常见数集的关系、利用集合的互异性求参数、已知集合相等求参数专项训练 暑假预习：常见数集的关系、利用集合的互异性求参数、已知集合相等求参数专项训练 考点目录 常见数集的关系 利用集合的互异性求参数 已知集合相等求参数 考点一 常见数集的关系 例1．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据常用数集的概念进行判断即可. 【详解】对于①，是有理数，但不是整数，故①错误； 对于②，是无理数，不是有理数，故②正确； 对于③，0是自然数，所以不成立，故③错误； 对于④，是无理数，也是实数，故④正确； 故正确的个数为2. 故选：B. 例2．（25-26高一上·安徽合肥·期中）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据常见数集的表示方式，逐一判断，即可得答案. 【详解】对于①，为实数，而表示实数集，所以，所以①正确； 对于②，为整数，而表示整数集合，所以，所以②错误； 对于③，为正整数，而表示正整数集，所以，所以③错误； 对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，所以④正确． 故选：C 例3．（25-26高一上·河南省直辖县级单位·阶段检测）已知集合，则集合为__________. 【答案】 【分析】根据分式为正数，得出为15的因数，即可计算得出答案. 【详解】，且， 为15的因数， 或3或5或15，解得或12或10或0， 集合为. 故答案为：. 例4．（25-26高一上·西藏拉萨·期中）已知①；②；③④，其中正确的为______（填序号）. 【答案】①③ 【分析】由元素与集合的关系直接判断即可. 【详解】；；；，故①③正确. 故答案为：①③ 变式1．（25-26高一上·广东清远·期中）下列关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数集字母表示可得答案. 【详解】表示正整数集，表示有理数集，表示非负整数集，表示整数集. 对于A，因为不是正整数，所以，故A错误； 对于B，因为是无理数，所以，故B错误； 对于C，因为2是自然数，所以，故C正确； 对于D，因为不是整数，所以，故D错误. 故选：C. 变式2．（25-26高一上·浙江台州·期中）下列关系中正确的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用常用数集的意义逐一判断即可. 【详解】依题意，，①正确；，②错误；，③错误；，④错误， 因此正确命题的个数是1. 故选：A 变式3．（24-25高一上·四川南充·期中）把集合用列举法表示为________________. 【答案】 【分析】当取时，对应的值为，再根据列举法即可求解. 【详解】当取时，对应的值为， 所以. 故答案为：. 变式4．（24-25高一上·河北沧州·阶段检测）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为______ 【答案】2 【分析】根据给定条件，结合常用数集的意义判断元素与集合的关系即可. 【详解】依题意，，，，，，， 因此①④正确，②③⑤⑥错误， 所以正确命题的个数是2. 故答案为：2 考点二 利用集合的互异性求参数 例1．（25-26高一上·浙江温州·期末）已知，则（   ） A．0或1 B．或1 C．或0 D．1 【答案】B 【分析】根据集合的互异性可得，再结合属于关系分析求解即可. 【详解】因为，显然，即， 若，则，符合题意； 若，解得，则，符合题意； 综上所述：或1. 故选：B. 例2．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系及元素的互异性求解即可. 【详解】由题意， 是集合 的元素，则 或 ，解得 或 . 根据集合元素的互异性检验：当 时， 且 ，集合 中出现重复元素，故舍去； 当 时，，，集合 ，符合题意. 综上，. 故选：. 例3．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知，则___________ 【答案】或 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的互异性求解. 【详解】当时，，，与集合元素的互异性矛盾； 当时，，，此时集合为，符合题意； 当时，显然，则，，，此时集合为，符合题意， 所以或. 故答案为：或. 例4．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 变式1．（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）若，则（    ） A． B．1 C．或1 D．或2 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系，结合互异性即可求解. 【详解】若，则，，不符合题意； 若，则（舍去）或，则，符合题意． 故选：A 变式2．（2026·上海嘉定·二模）已知集合，且，则___________． 【答案】 【详解】由题意可知，或，即或， 当时，集合，不满足集合元素互异性，舍去； 当时，集合，符合题意，所以. 变式3．（25-26高二下·上海奉贤·阶段检测）集合中，实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】根据集合的互异性可知，，解得. 变式4．（25-26高一上·新疆·阶段检测）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)且且且且； (2)或或. 【分析】（1）根据集合元素的互异性列出不等式组，解不等式组即可； （2）若，则或，进而求解即可得答案. 【详解】（1）据集合中元素的互异性，可知， 即且且且且； （2）若，则或，解得：或或， 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 故或或. 考点三 已知集合相等求参数 例1．（25-26高一上·重庆·阶段检测）含有三个实数的集合表示为，也可表示为，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据集合相等以及集合元素的互异性列出等式得出的值，再计算即可. 【详解】由， 则，且，即， 此时，结合集合中的元素互异可得，即， 此时集合为，也可表示为，满足题意， 所以. 故选：B 例2．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 【答案】C 【详解】因为，， 且，所以，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，符合题意. 例3．（24-25高一上·江西南昌·阶段检测）已知集合，则______ 【答案】 【分析】根据集合中元素的互异性和集合相等求解. 【详解】由可知，，解得或. 又根据集合中元素的互异性，可知，故. 故答案为：. 例4．（24-25高一上·青海西宁·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）转化条件或，验证元素的互异性即可求解； （2）按照，讨论，验证即可求解. 【详解】（1）∵， 当，即时，此时，不成立， 当，即，此时，成立， ∴； （2）由题意可得，， 若，则，不符合题意， 若，则，不符合题意， 故不存在实数a和x的值，使得. 变式1．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合相等可得一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系可得，进而可得所求值. 【详解】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和. 设一元二次方程的两根为​，则： ，， 所以，即，因此 变式2．（24-25高一上·安徽·期中）若，则_____. 【答案】2 【分析】由集合相等，求出a，b的值，即可得答案. 【详解】由题意，则，解得， 则，解得（不满足互异性，舍去）， 所以， 故答案为：2 变式3．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知集合，若 ，则实数的值为_____. 【答案】或 【分析】根据题意，利用集合相等的定义，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由集合， 因为，则或，解得或， 当时，集合，满足； 当时，集合，满足， 综上可得，实数的值为或. 故答案为：或. 变式4．（25-26高一上·福建龙岩·月考）已知集合，，且，则集合A=________. 【答案】 【分析】先由集合相等得出等量关系式，求解未知量并结合集合中元素的互异性进行检验即可得解. 【详解】因为集合，，且， 所以或，解得或， 当时，，与集合中元素的互异性相矛盾，不符合， 当、时，，符合题意， 所以集合. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：常见数集的关系、利用集合的互异性求参数、已知集合相等求参数专项训练 暑假预习：常见数集的关系、利用集合的互异性求参数、已知集合相等求参数专项训练 考点目录 常见数集的关系 利用集合的互异性求参数 已知集合相等求参数 考点一 常见数集的关系 例1．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2．（25-26高一上·安徽合肥·期中）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 例3．（25-26高一上·河南省直辖县级单位·阶段检测）已知集合，则集合为__________. 例4．（25-26高一上·西藏拉萨·期中）已知①；②；③④，其中正确的为______（填序号）. 变式1．（25-26高一上·广东清远·期中）下列关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·浙江台州·期中）下列关系中正确的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ A．1 B．2 C．3 D．4 变式3．（24-25高一上·四川南充·期中）把集合用列举法表示为________________. 变式4．（24-25高一上·河北沧州·阶段检测）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为______ 考点二 利用集合的互异性求参数 例1．（25-26高一上·浙江温州·期末）已知，则（   ） A．0或1 B．或1 C．或0 D．1 例2．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 例3．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知，则___________ 例4．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 变式1．（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）若，则（    ） A． B．1 C．或1 D．或2 变式2．（2026·上海嘉定·二模）已知集合，且，则___________． 变式3．（25-26高二下·上海奉贤·阶段检测）集合中，实数的取值范围为______. 变式4．（25-26高一上·新疆·阶段检测）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 考点三 已知集合相等求参数 例1．（25-26高一上·重庆·阶段检测）含有三个实数的集合表示为，也可表示为，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 例2．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 例3．（24-25高一上·江西南昌·阶段检测）已知集合，则______ 例4．（24-25高一上·青海西宁·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 变式1．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一上·安徽·期中）若，则_____. 变式3．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知集合，若 ，则实数的值为_____. 变式4．（25-26高一上·福建龙岩·月考）已知集合，，且，则集合A=________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $