专题14.2 三角形全等的判定 同步讲义 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦初中数学“三角形全等的判定”核心知识点，系统梳理SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定方法的文字语言与几何表达，通过思维导图构建知识脉络，形成从基础定义到证明步骤的学习支架。 资料特色在于18个题型分层设计，涵盖性质综合、辅助线模型（如倍长中线、旋转）及尺规作图等，结合中考真题与难度分层练，培养学生推理能力与几何直观，课中辅助教学高效，课后助力学生查漏补缺，提升用数学语言解决问题的能力。

专题14.2 三角形全等的判定「重点难点同步培优讲义」 （知识梳理+18个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题） 【人教版数学新教材•八年级上册（第14章 全等三角形）解析版】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 “边边角”判定方法 2 知识点二 “边角边”判定方法 3 知识点三 “角边角”判定方法 3 知识点四 “角角边”判定方法 3 题型讲练 4 题型一 全等的性质和SAS综合(SAS) 4 题型二 全等的性质和ASA(AAS）综合(ASA或者AAS) 5 题型三 全等的性质和SSS综合(SSS) 7 题型四 全等的性质和HL综合(HL) 9 题型五 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 11 题型六 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 13 题型七 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 15 题型八 连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题） 17 题型九 倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 21 题型十 旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 24 题型十一 垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 26 题型十二 其他模型（全等三角形的辅助线问题） 28 题型十三 全等三角形综合问题 31 题型十四 尺规作一个角等于已知角 34 题型十五 过直线外一点作已知直线的平行线 36 题型十六 尺规作图—作三角形 37 题型十七 利用全等图形求正方形 39 题型十八 网格中角度之和（全等图形） 40 中考真题演练 42 难度分层训练 45 【基础夯实】 45 【培优拔高】 52 知识点一 “边边角”判定方法 文字语言：三边对应相等的两个三角形全等.（简写为“边边边”或“SSS”） 几何语言： 在△ABC和△ DEF中， ∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） 证明的书写步骤： ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②指明范围：写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来 ④写出结论：写出全等结论. 知识点二 “边角边”判定方法 文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 几何语言： 在△ABC和△ DEF中， ∴ △ABC ≌△ DEF（SAS） 注意：角必须是两边“夹角” 证明的书写步骤： ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②指明范围：写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来 ④写出结论：写出全等结论. 知识点三 “角边角”判定方法 文字语言：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”） 几何语言： 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△ A′B′C′（ASA） 知识点四 “角角边”判定方法 文字语言：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（简写成“角角边”或“AAS” ） 几何语言： 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△ A′B′C′（AAS） 知识点五 “斜边、直角边”判定方法 文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 几何语言： 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′中 ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). 方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 题型一 全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例精讲】（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图所示，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）证明出，即可得到； （2）由全等三角形对应角相等求解． 【规范解答】（1）解：， ，即， 又∵，， ； （2）解：，， ． 【变式训练】如图，点E在BC上，，． (1)说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据平行线的性质得出相等的角，利用证明三角形全等； （2）利用全等三角形的性质得出相等的角，然后利用三角形的外角的性质即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 题型二 全等的性质和ASA(AAS）综合(ASA或者AAS) 【典例精讲】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知相交于点O，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【思路引导】证明即可． 【规范解答】略 【变式训练】（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，，垂足分别是，，，． (1)请说明和的数量关系，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)，见解析 (2) 【思路引导】（1）根据条件可以得出，进而得出，即可解答； （2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题； 【规范解答】（1）解：，理由如下； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴； （2）解：由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型三 全等的性质和SSS综合(SSS) 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，是的中点，连接，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)若，求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据中点的性质可得，根据证明，即可得出； （2）根据平行线的性质可得，进而根据证明，得出，根据，即可求解． 【规范解答】（1）解：证明：是的中点， 在和中， ． （2）， 是的中点， 在和中， ． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，为上一点，为上一点，为延长线上的一点，，，． (1)请猜想与有什么关系，并说明理由； (2)若，，求． 【答案】(1)，见解析 (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定定理证明三角形全等． （1）通过证明，得出对应边相等，从而证明； （2）先证明，结合三角形内角和等知识求出的度数． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ∵， ， 在与中，， ∴ ； （2）解：在与中， ∴， ，， ， ． 题型四 全等的性质和HL综合(HL) 【典例精讲】（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，已知：中，于A，点F在上，连接，交于点D，， (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）根据“斜边直角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）根据，再结合可得，进而得出答案． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴． 【变式训练】已知：如图，在中，，是过点A的直线，于点D，于点E，且． (1)若在的同侧（如图①）求证：． (2)若在的两侧（如图②），问与仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【思路引导】（1）根据直角三角形全等的判定方法HL易证得，可得，再根据三角形内角和定理即可证得结论； （2）与（1）同理结论仍成立，即根据直角三角形全等的判定方法HL易证得，可得，再根据三角形内角和定理即可证得结论． 【规范解答】（1）证明：于D，于E， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 即； （2）解：， 于D，于E， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 即． 题型五 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，与相交于点O，，，_____________，请从①；②；③；中选取一个作为条件，填在横线上（只填序号），再解决下列问题： (1)求证：；（选取一种情况） (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查添加条件证明三角形全等，全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）选择①或②，利用或证明三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：①或②；                         选①证明：， ， 即， ，， ； 选②证明：， ，即， ， ， ， ； （2）由（1）得， ，， ． 【变式训练】．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AD两侧,,. (1)在不添加辅助线的前提下,以下条件能利用“”证明的是 . ①；②；③. (2)根据（1）中添加的条件,若,,求的度数. 【答案】(1)②，理由见解析 (2) 【思路引导】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质定理； （1）根据全等三角形的判定定理进行判断即可； （2）由得出，再由即可求解． 【规范解答】（1）解：①作为条件，再结合已知条件：,， 能利用“”证明，故①不符合题意； ②作为条件，可得出，即，再结合已知条件：,，就能利用“”证明，故②符合题意； ③作为条件，无法证明，故③不符合题意； 故答案为：②． （2）解：根据（1）中添加的条件, ∵， ∴，即， 又∵,， ∴， ∴， ∵． 题型六 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（23-24八年级上·广东惠州·期中）如图，是的角平分线，于点，点为的中点，若，，则有下列结论： ； ； ； ．其中正确的是 ________ ． 【答案】①②④ 【思路引导】本题考查了三角形的角平分线、中线及高线的性质，根据角平分线的定义可判定；根据角平分线的定义及垂直的定义求得，，再由即可判定；根据三角形中线的性质即可判定；根据已知条件判定不出，由此即可解答；熟知三角形的角平分线、中线及高线的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵是的角平分线，， ∴，故正确； ∵，， ∴， ∴，故正确； ∵为的中点， ∴，故 正确； ∵为斜三角形，为直角三角形， ∴与不全等， ∴不能够判定正确； 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江金华·期末）小数同学在探究三角形全等的条件时，设计了一个如图所示的数学实验，把两根木条的一端用螺栓固定点位置，然后固定木条，摆出．把木条转动一定角度后，点刚好落在直线上的处．此实验得到的结论是：_____的两个三角形不一定全等． 【答案】有两边和其中一边的对角分别相等 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定，在和中，为公共边，，，锐角三角形与钝角不全等，从而说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不能确定全等． 【规范解答】解：在和中，为公共边，，， 而与不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故答案为：有两边和其中一边的对角分别相等． 题型七 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 【答案】 【思路引导】通过作图步骤得到线段相等关系，可以证明三角形全等，进而利用全等三角形对应角相等以及三角形内角和定理求解的度数即可； 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】如图，连接AC，由作图可得，， ∴在和中 ∴ ∴， ∵． ∴， ． 【变式训练】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） (1)在图①中的边上找一点E，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中的边上找一点E，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查了格点作图，全等三角形的性质，根据相关知识点正确作图是解题关键． （1）取格点、，由全等的性质可得； （2）由可知，和同底等高，则过点与平行的直线上的格点为点，可作； （3）取格点、，由全等的性质可得，进而得出，则与的交点即为点． 【规范解答】（1）解：如图，点即为所求作； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：如图，点即为所求作． 题型八 连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质和判定解决问题． （1）运用全等三角形的性质和判定，证明和全等，即可求得； （2）作辅助线构建全等三角形，运用全等三角形的性质和判定，证明， ，进而求得． 【规范解答】（1）解：证明：，， ， 在和中， ， ； （2）证明：过点作交于点，如图所示， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式训练】（24-25八年级上·广东广州·期中）数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． (1)【问题初探】如图：在中，为边上的中线，则的取值范围为__________． (2)【类比分析】如图：在中，是的中线，于点且． 求的长度． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】延长到点使，构造使，根据全等三角形对应边相等可知，根据三角形三边关系可得，从而可得； 延长交的延长线于点，构造，从而可证，，，可证，根据全等三角形对应边相等可得，从而可得 【规范解答】（1）解：如下图所示，延长到点使， 是边上的中线， ， 在和中， ， 在中，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如下图所示，延长交的延长线于点， 是的中线， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查三角形三边的关系、全等三角形的判定与性质．解决本题的关键是构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的关系找边之间的关系． 题型九 倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________． 【答案】8，10，12 【思路引导】本题考查三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长至，使，连接，证明，得到，在中根据三角形的三边关系求出的取值范围，从而得到的取值范围，即可解答． 【规范解答】解：如图，延长至，使，连接， 为边上的中线， ， ∵在和中， ， ， ， ， ∴． 为偶数， ∴，10，12． 故答案为：8，10，12 【变式训练】（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 【答案】（1），见解析；（2）见解析 【思路引导】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； 【规范解答】解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长，相交于点， ， ，． 是的中点， ． 在和中，， ， ． 平分， ． ， ， ， ； （2）证明：如图，延长至点，使，连接， 是的中点， ， 在和中，， ， ，． ， ， ． （对顶角相等）， ． ， ． 题型十 旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合． （1）求证：EB＝DC； （2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度数． 【答案】（1）见解析；（2）50° 【思路引导】（1）根据旋转的性质，可得AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°，从而得到∠BAE=∠CAD，可证得△BAE≌△CAD，即可求证； （2）根据全等三角形的性质，可得∠BEA=∠ADC=115°，再由等腰三角形的性质，可得 ，即可求解． 【规范解答】证明（1）∵将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合， ∴AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°， ∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD，即∠BAE=∠CAD， ∵AB=AC， ∴△BAE≌△CAD， ∴EB=DC； （2）∵△BAE≌△CAD， ∴∠BEA=∠ADC=115°， ∵∠DAE=50°，AD=AE， ∴ ， ∴∠BED=∠BEA-∠AED=115°-65°=50°． 【考点剖析】本题主要考查了图形旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式训练】（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【答案】（1）；（2），，见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角． （1）证明，即可得到； （2）根据等腰三角形的性质，证明即可得出结论． 【规范解答】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2），， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 题型十一 垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案． 【规范解答】解：∵，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴，， ∴． 故选B 【变式训练】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【规范解答】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 题型十二 其他模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 【答案】(1)画图见解析 (2)小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 【思路引导】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，关键能把实际问题抽象成数学问题，并应用相关知识解决． （1）依据题意即可画出示意图； （2）由题意可得，得，即可求得的长． 【规范解答】（1）解：示意图如图所示．     （2）解：40米，理由如下： 在和中， ， ， ， 又小淇走了140步，为步， ∴为步，一步大约50厘米即米， （米）． 答：小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 【变式训练】如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G．    (1)试说明：； (2)试说明：； (3)试说明：点A到边，所在直线的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）根据等腰三角形的性质得到，，，进一步利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，利用三角形内角和以及对顶角相等得到，可得，即可证明； （3）设点A到边，所在直线的距离分别为，，根据全等三角形的性质可得，利用三角形面积公式可得，即可证明． 【规范解答】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形， ，， 又， ， 即， 在和中， ， ； （2）∵， ，， 又，， ， ， 即． （3）设点A到边，所在直线的距离分别为，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，即点A到边，所在直线的距离相等． 【考点剖析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 题型十三 全等三角形综合问题 【典例精讲】（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)5 【思路引导】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）先根据角平分线得，再根据就可得出，即可得出结论； （2）在上截取，先证，再证，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：，理由如下： 分别是、的角平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，在上截取，连接， 分别是、的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式训练】如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【规范解答】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 题型十四 尺规作一个角等于已知角 【典例精讲】（24-25八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，已知长方形的边长 ， ，点在边上， ，如果点从点出发在线段上向点运动，同时，点在线段上从点向点运动；已知点的运动速度是．则经过__________，与全等． 【答案】1或4 【思路引导】设运动的时间为，由条件分两种情况，当时，则有，由条件可得到关于的方程，当△△，则有，同样可得出的方程，可求出的值． 【规范解答】解：设运动的时间为，分两种情况： ①当，时，， ，， ， ， ， ， 点从点出发在线段上以的速度向点运动， ； ②当，时，， 由题意得：， 解得：， 综上，经过或，与全等． 【变式训练】（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，在坐标系内有一点（不与点重合），使得与全等，这样的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查了坐标与图形、三角形全等的判定，全等三角形的判定及图形坐标特征是解题的关键． 画出图形即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示，满足条件的点有三个，分别为 故选：C 题型十五 过直线外一点作已知直线的平行线 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，已知，从的内部引出一条射线． (1)尺规作图，在的外部作，使得（要求只保留作图痕迹，不写作法）； (2)设， ①用x表示； ②求证：； ③探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析；③，理由见解析 【思路引导】（1）利用尺规作图在的外部作，使得即可； （2）①根据（1）的作图即可解答；②由作图可知：，，再利用角的和差即可证明结论；③先说明，再利用角的和差即可解答． 【规范解答】（1）解：（1）如图：即为所求． （2）解：①由（1）作图可知： ②证明：由作图可知：，， ∴， ． ③与的和等于，理由如下：， ∴． 【变式训练】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，点在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（    ） A．以点为圆心，长为半径的弧 B．以点为圆心，长为半径的弧 C．以点为圆心，长为半径的弧 D．以点为圆心，长为半径的弧 【答案】C 【规范解答】解：要作，需要构造同位角相等，即， 如图，点在的边上， 首先以为圆心，任意长为半径画弧，交于，交于， 然后以为圆心，长为半径画弧，交于 ， 接下来需要以为圆心，长为半径画弧，交之前的弧于，连接即可得到， ∴图中弧是以点为圆心，长为半径的弧． 题型十六 尺规作图—作三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·河南开封·期末）如图，已知，点为的延长线上的一点． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：在上方作射线与平行． (2)在（1）的条件下，若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题； （1）根据要求作出图形即可； （2）利用平行线的性质和角平分线的定义、三角形的外角性质求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示：射线即为所求； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·福建漳州·期末）（1）尺规作图：已知，过点在线段上方作射线，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的作图中，在射线上截取，连接，求证： 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【思路引导】本题考查了作平行线，全等三角形的性质与判定，平行线的判定． （1）作，即可求解． （2）证明得出，即可证明． 【规范解答】解：（1）如图所示，                    （2）如图，在射线上截取 由（1）可知， 且，              ∴ ， ． 题型十七 利用全等图形求正方形 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知线段和．      (1)求作，使；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在（1）的条件下，若， ，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查尺规作三角形，等腰直角三角形的性质和判定，灵活运用所学知识解决问题． （1）先作，再以点A为圆心，以线段的长为半径画圆，交的一条边为B，再作，交的另一条边为C，连接即可． （2）由作法可知：，由此求出，得出是等腰直角三角形，由此即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求 （2）解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，，，求作，使，，． 【答案】画图见详解． 【思路引导】本题考查的是尺规作图，灵活运用三角形的三边关系与判定定理是解题的关键．根据判定定理的原理，通过确定三边长度来构造三角形，进而完成的作图． 【规范解答】解：作线段，以点为圆心，为半径画弧；再以点为圆心，为半径画弧，两弧相交于点，连接、，则即为所求． 题型十八 网格中角度之和（全等图形） 【典例精讲】如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【规范解答】解：如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·北京·期中）如图，点A，点B，点C，点D均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质， 由题意可得：，，即可证明，从而得出，根据三角形的外角可得答案． 【规范解答】解：由题意可得：，， , ， ， ． 故选：C． 【真题演练1】（2026·四川乐山·中考真题）如图，已知，．求证：． 【答案】证明：在和中， ，，， ， ． 【思路引导】利用证明，即可证明． 【真题演练2】（2025·辽宁大连·中考真题）如图，在和中，延长交于F．，，． 求证：． 【答案】见详解． 【思路引导】由“”可证，可得结论． 【规范解答】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【真题演练3】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ． 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质可得，再结合题意得到，根据即可证明． 【规范解答】略 【真题演练4】（2024·贵州黔西南·中考真题）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【规范解答】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 【真题演练5】（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【规范解答】解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，点为右侧一点，连接，，，点是上一点，连接，．若， ，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质．证明，得到，进而可知，即可得到的度数． 【规范解答】解：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，小华将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上、两点之间的距离．图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，由即可判定求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【规范解答】解：在与， ∵， ∴， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 3．（25-26八年级上·重庆黔江·期末）如图，，和分别是和的高，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2.5 D．3.2 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等，以及利用判定三角形全等是解题的关键．根据全等三角形的性质，对应边相等、对应角相等，结合高的定义得到直角，再通过证明包含高的两个小三角形全等，从而得出高相等． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∵、分别是、的高， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．（25-26八年级上·北京房山·期末）如图，线段，交于点，连接，，，添加一个条件证明，这个条件可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理求解即可．全等三角形的判定定理有． 【规范解答】解：根据题意可得，， 添加条件，可以利用证明， 添加条件，可以利用证明， 添加条件，可以利用证明， 故答案为：（答案不唯一）． 5．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在与中，，要证明，还需添加的一个条件为______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的证明，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法即可证明． 【规范解答】解：添加， 在与中， ， ； 添加， 在与中， ， ； 添加， 在与中， ， ； 添加 ， ， 在与中， ， ． 故答案为：（答案不唯一）． 6．（23-24八年级上·上海·期中）如图，，，D为中点，，，垂足为点E，则________． 【答案】 【思路引导】证明，得到，然后结合D为中点求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，D为中点， ∴， ∴． 7．如图，中，垂直的平分线于P．若的面积为， 且的面积是的面积的 2 倍．则的面积_______． 【答案】4 【思路引导】延长交于E，证明，得出，，根据三角形面积公式，求出结果即可． 【规范解答】解：延长交于E， ∵垂直的平分线于P， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， ∴和等底等高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．如图，在和中，，连接，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】先证，再根据“”证明即可． 【规范解答】证明：∵，即， ∴， 在和中， ， ∴． 9．如图，，点E在射线上，，求证：平分． 【答案】见解析 【思路引导】证明，得到，即可证明平分． 【规范解答】证明：在和中 ∴ ∴ ∴平分 10．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）利用可证； （2）根据全等三角形的性质可证，，根据可知． 【规范解答】（1）证明：，， ， 在和中，， ； （2）解：， ，， ， ． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【思路引导】根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和得到，由全等三角形的判定定理得到，故①选项正确，由，得，于是得到，选项④正确；同时可证明，选项②正确，根据全等三角形的性质得到， 则，选项④正确连接，证得，根据全等三角形的性质得到，即点D在的平分线上，选项③正确， 【规范解答】解：∵， ， 在中，，在中， ， 在和中， ， ∴，故①选项正确； ， ， 得， ∴，选项④正确； 在和中， ， ∴，选项②正确； 连接， 在和中， ， ∴， ，即点D在的平分线上，选项③正确； 故正确的为①②③④． 2．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，下列四个三角形中，是全等三角形的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】D 【思路引导】先根据三角形内角和定理得到一个内角的度数，再根据可证2个三角形全等，依此即可求解． 【规范解答】解：①中未知角的度数为：； ②中未知角的度数为； ③中未知角的度数为； ④中未知角的度数为； 因为三角形中边长为25相邻的角分别为： ①、；②、；③、；④、； 根据可证2个三角形全等是③和④． 3．如图，在中，，、分别是，上的点，添加下列条件后，仍不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】在和中，已知，为公共角，已经具备一边一角对应相等，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断即可． 【规范解答】解：， ， 当时，则根据“”可判断，故A选项不符合题意； 当时，可得，即，则根据“”可判断，故B选项不符合题意； 当时，不能判断，故C选项符合题意； 当时，则根据“”可判断，故D选项不符合题意． 4．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是____________． 【答案】 【思路引导】构造全等三角形和，可得，由三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，可得的取值范围，也就是的取值范围． 【规范解答】解：如图，延长至，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的取值范围是：． 5．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 【答案】①③ 【思路引导】根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可． 【规范解答】解：∵， ∴，即， ①当时， 在和中， ， ∴； ②当时，不能判断； ③当时， 在和中， ， ∴； ④当，而，所以与不是对应角，所以不能判断． 综上所述，能使的条件有①③． 【考点剖析】注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 6．如图，三角形中，平分，，若，，则___________． 【答案】 【思路引导】延长交于点E，证明，得到，，，可证明得到，根据三角形的中线平分三角形的面积得到，据此可得答案． 【规范解答】解：如图，延长交于点E， ∵平分 ∴ 又∵， ∴， ∴，，， ∵ ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 7．如图，点在同一直线上，点在的异侧，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， 即， 在和中， ， ， ， ． (2)102° 【思路引导】(1) 由利用等式的性质得，结合已知和，利用判定，得到对应角，再通过内错角相等证明． (2) 由全等性质得，结合求得，再利用三角形外角定理得． 【规范解答】（1）略 （2）解：， ，， ， ， ． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，D为上一点，E为的中点，连接并延长至点F，连接，已知． (1)求证：E为的中点； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）利用平行线的性质，线段中点的性质，全等三角形的判定与性质，即可证明； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义，即可解答． 【规范解答】（1）证明：， ． 为的中点， ． 在和中， （）， ， 即为的中点． （2）解：，， ，． 平分， ， ． 9．【问题】已知：是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上的两点，且， 【探究】嘉嘉、琪琪和乐乐对上面的问题展开了探究，请阅读他们的探究过程并解答下列问题： (1)如图1，若直线经过的内部，且，射线在上．嘉嘉给出的条件是“”，猜想与的数量关系是 (2)如图2，琪琪改变了嘉嘉的条件，变为“”其余条件不变，请你探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由 (3)如图3，乐乐改变了直线的位置，使经过的外部，，请写出、、三条线段之间的数量关系： （不要求证明） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】（1）先得出，，根据证，即可； （2）求出，，根据证，推出，即可； （3）求出，，根据证，推出，即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： ，，， ∴， ∵， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解： ，， 又，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 10．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，中，，点D为外一点，，，过点D作于点E，延长交于点 (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵在中，，于点E， ， 在和中， ， ∴， (2)证明：连接， 由（1）得：， ， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ∴， ； (3)4 【思路引导】（1）利用“”即可证明； （2）连接，由全等三角形的性质得，再利用“”证明即可； （3）利用全等三角形的性质计算即可得出结果． 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）得：， ∴， ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull 专题14.2 三角形全等的判定「重点难点同步培优讲义」 （知识梳理+18个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题） 【人教版数学新教材•八年级上册（第14章 全等三角形）原卷版】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 “边边角”判定方法 2 知识点二 “边角边”判定方法 3 知识点三 “角边角”判定方法 3 知识点四 “角角边”判定方法 3 题型讲练 4 题型一 全等的性质和SAS综合(SAS) 4 题型二 全等的性质和ASA(AAS）综合(ASA或者AAS) 5 题型三 全等的性质和SSS综合(SSS) 6 题型四 全等的性质和HL综合(HL) 6 题型五 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 7 题型六 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 8 题型七 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 9 题型八 连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题） 9 题型九 倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 11 题型十 旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 12 题型十一 垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 13 题型十二 其他模型（全等三角形的辅助线问题） 13 题型十三 全等三角形综合问题 15 题型十四 尺规作一个角等于已知角 15 题型十五 过直线外一点作已知直线的平行线 16 题型十六 尺规作图—作三角形 17 题型十七 利用全等图形求正方形 18 题型十八 网格中角度之和（全等图形） 18 中考真题演练 19 难度分层训练 20 【基础夯实】 20 【培优拔高】 23 知识点一 “边边角”判定方法 文字语言：三边对应相等的两个三角形全等.（简写为“边边边”或“SSS”） 几何语言： 在△ABC和△ DEF中， ∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） 证明的书写步骤： ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②指明范围：写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来 ④写出结论：写出全等结论. 知识点二 “边角边”判定方法 文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 几何语言： 在△ABC和△ DEF中， ∴ △ABC ≌△ DEF（SAS） 注意：角必须是两边“夹角” 证明的书写步骤： ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②指明范围：写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来 ④写出结论：写出全等结论. 知识点三 “角边角”判定方法 文字语言：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”） 几何语言： 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△ A′B′C′（ASA） 知识点四 “角角边”判定方法 文字语言：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（简写成“角角边”或“AAS” ） 几何语言： 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△ A′B′C′（AAS） 知识点五 “斜边、直角边”判定方法 文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 几何语言： 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′中 ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). 方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 题型一 全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例精讲】（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图所示，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式训练】如图，点E在BC上，，． (1)说明：； (2)若，求的度数． 题型二 全等的性质和ASA(AAS）综合(ASA或者AAS) 【典例精讲】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知相交于点O，，，求证：． 【变式训练】（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，，垂足分别是，，，． (1)请说明和的数量关系，并说明理由； (2)求的长． 题型三 全等的性质和SSS综合(SSS) 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，是的中点，连接，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)若，求证：． (2)若，求的长． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，为上一点，为上一点，为延长线上的一点，，，． (1)请猜想与有什么关系，并说明理由； (2)若，，求． 题型四 全等的性质和HL综合(HL) 【典例精讲】（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，已知：中，于A，点F在上，连接，交于点D，， (1)求证：； (2)求证：． 【变式训练】已知：如图，在中，，是过点A的直线，于点D，于点E，且． (1)若在的同侧（如图①）求证：． (2)若在的两侧（如图②），问与仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由． 题型五 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，与相交于点O，，，_____________，请从①；②；③；中选取一个作为条件，填在横线上（只填序号），再解决下列问题： (1)求证：；（选取一种情况） (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【变式训练】．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AD两侧,,. (1)在不添加辅助线的前提下,以下条件能利用“”证明的是 . ①；②；③. (2)根据（1）中添加的条件,若,,求的度数. 题型六 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（23-24八年级上·广东惠州·期中）如图，是的角平分线，于点，点为的中点，若，，则有下列结论： ； ； ； ．其中正确的是 ________ ． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江金华·期末）小数同学在探究三角形全等的条件时，设计了一个如图所示的数学实验，把两根木条的一端用螺栓固定点位置，然后固定木条，摆出．把木条转动一定角度后，点刚好落在直线上的处．此实验得到的结论是：_____的两个三角形不一定全等． 题型七 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 【变式训练】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） (1)在图①中的边上找一点E，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中的边上找一点E，连接，使． 题型八 连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 【变式训练】（24-25八年级上·广东广州·期中）数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． (1)【问题初探】如图：在中，为边上的中线，则的取值范围为__________． (2)【类比分析】如图：在中，是的中线，于点且． 求的长度． 题型九 倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________． 【变式训练】（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 题型十 旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合． （1）求证：EB＝DC； （2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度数． 【变式训练】（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 题型十一 垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 题型十二 其他模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 【变式训练】如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G．    (1)试说明：； (2)试说明：； (3)试说明：点A到边，所在直线的距离相等． 题型十三 全等三角形综合问题 【典例精讲】（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【变式训练】如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 题型十四 尺规作一个角等于已知角 【典例精讲】（24-25八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，已知长方形的边长 ， ，点在边上， ，如果点从点出发在线段上向点运动，同时，点在线段上从点向点运动；已知点的运动速度是．则经过__________，与全等． 【变式训练】（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，在坐标系内有一点（不与点重合），使得与全等，这样的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十五 过直线外一点作已知直线的平行线 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，已知，从的内部引出一条射线． (1)尺规作图，在的外部作，使得（要求只保留作图痕迹，不写作法）； (2)设， ①用x表示； ②求证：； ③探究与的数量关系，并说明理由． 【变式训练】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，点在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（    ） A．以点为圆心，长为半径的弧 B．以点为圆心，长为半径的弧 C．以点为圆心，长为半径的弧 D．以点为圆心，长为半径的弧 题型十六 尺规作图—作三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·河南开封·期末）如图，已知，点为的延长线上的一点． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：在上方作射线与平行． (2)在（1）的条件下，若，平分，求的度数． 【变式训练】（25-26八年级上·福建漳州·期末）（1）尺规作图：已知，过点在线段上方作射线，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的作图中，在射线上截取，连接，求证： 题型十七 利用全等图形求正方形 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知线段和．      (1)求作，使；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在（1）的条件下，若， ，求的长． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，，，求作，使，，． 题型十八 网格中角度之和（全等图形） 【典例精讲】如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 【变式训练】（25-26八年级上·北京·期中）如图，点A，点B，点C，点D均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【真题演练1】（2026·四川乐山·中考真题）如图，已知，．求证：． 【真题演练2】（2025·辽宁大连·中考真题）如图，在和中，延长交于F．，，． 求证：． 【真题演练3】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 【真题演练4】（2024·贵州黔西南·中考真题）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【真题演练5】（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，点为右侧一点，连接，，，点是上一点，连接，．若， ，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，小华将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上、两点之间的距离．图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·重庆黔江·期末）如图，，和分别是和的高，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2.5 D．3.2 4．（25-26八年级上·北京房山·期末）如图，线段，交于点，连接，，，添加一个条件证明，这个条件可以是_____．（写出一个即可） 5．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在与中，，要证明，还需添加的一个条件为______．（写出一个即可） 6．（23-24八年级上·上海·期中）如图，，，D为中点，，，垂足为点E，则________． 7．如图，中，垂直的平分线于P．若的面积为， 且的面积是的面积的 2 倍．则的面积_______． 8．如图，在和中，，连接，求证：． 9．如图，，点E在射线上，，求证：平分． 10．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 2．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，下列四个三角形中，是全等三角形的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．③④ 3．如图，在中，，、分别是，上的点，添加下列条件后，仍不能证明的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是____________． 5．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 6．如图，三角形中，平分，，若，，则___________． 7．如图，点在同一直线上，点在的异侧，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，D为上一点，E为的中点，连接并延长至点F，连接，已知． (1)求证：E为的中点； (2)若，平分，求的度数． 9．【问题】已知：是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上的两点，且， 【探究】嘉嘉、琪琪和乐乐对上面的问题展开了探究，请阅读他们的探究过程并解答下列问题： (1)如图1，若直线经过的内部，且，射线在上．嘉嘉给出的条件是“”，猜想与的数量关系是 (2)如图2，琪琪改变了嘉嘉的条件，变为“”其余条件不变，请你探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由 (3)如图3，乐乐改变了直线的位置，使经过的外部，，请写出、、三条线段之间的数量关系： （不要求证明） 10．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，中，，点D为外一点，，，过点D作于点E，延长交于点 (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $