第十四章《数学活动》讲义 2026—2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦全等三角形的识别与应用，通过“观察识别全等形—利用平移翻折旋转设计图案—剪拼全等三角形—测量猜想—规范证明BC垂直平分AA′”的脉络，构建从直观到推理的学习支架。 以操作活动为核心特色，活动1设计图案培养几何直观与创新意识，需标注基本图形及运动方式；活动2通过剪拼测量提出猜想，再用SAS证明发展推理能力。评价兼顾作品与依据，课中助力素养落地，课后记录单和检测题帮助学生巩固反思。

人教版数学八年级上册（2025秋版）｜第十四章 数学活动 第十四章《数学活动》讲义 2026—2027学年｜人教版数学八年级上册（2025秋版）｜数学活动课讲义｜建议课时：2课时 活动定位　本课严格对应教材第十四章“数学活动”的两项任务：活动1利用全等设计图案；活动2剪取两个全等三角形进行拼图，猜想并证明BC与AA′的关系。活动评价既关注作品，也关注全等依据、拼图条件、测量记录和证明过程。 一、学习目标与素养指向 1. 能从图案中识别全等形和全等三角形，并用同一基本图形经过平移、翻折或旋转设计图案。 1. 能剪取两个全等三角形，按明确的对应端点要求拼图，记录观察或测量结果并提出可验证的猜想。 1. 能选择合适的全等三角形，用规范证明说明固定拼法中BC与AA′的关系。 1. 能在交流中区分“操作得到的现象”和“推理得到的一般结论”，评价图案与证明是否符合条件。 素养指向　几何直观、推理能力、创新意识。活动1用图形运动与全等组织设计；活动2从操作猜想到全等证明，形成证据意识。 二、课时与成果 课时 活动任务 成果证据 第1课时 识别全等形，利用全等设计图案。 一幅标出基本图形和生成方式的图案；一份全等关系说明。 第2课时 剪拼全等三角形，猜想并证明线段关系。 拼图、测量记录、规范证明和反思。 三、活动准备与安全 材料：直尺、圆规、量角器、铅笔、彩纸或薄卡纸、剪刀、胶带。 同组分工：设计与作图、剪拼与固定、测量记录、证明书写、汇报。 剪刀传递时刀尖朝向自己，剪拼结束及时清理纸屑；测量值只作为猜想证据。 四、课前诊断 1. 一个图形经过平移、翻折或旋转后，与原图形是什么关系？ 1. 若△ABC≌△A′B′C′，写出两组对应边相等关系。 1. 要证明两条直线垂直，若能证明它们形成的一组邻补角相等，可以得到每个角是多少度？ 诊断答案　1. 全等。2. 例如AB＝A′B′、BC＝B′C′。3. 90°。 活动1　利用全等设计图案 以一个三角形为基本图形，通过旋转得到全等图案（示意图不作为测量依据） 环节 具体任务 记录要求 观察 在教材图案或生活图案中找全等形、全等三角形。 用相同编号或颜色标出同组全等形。 方案设计 选择一个基本三角形，确定复制次数和每次图形运动。 写明“平移/翻折/旋转”及相应位置。 操作 描图、剪拼或尺规作图，完成整幅图案。 保留必要作图线，不凭目测随意改变基本图形。 验证 将透明纸上的基本图形覆盖各复制图形。 能完全重合才判定全等；写出至少两组全等式。 交流评价 说明数学结构、视觉效果和改进方案。 评价必须包含全等依据，不能只评价美观。 ★跨学科　可联系剪纸、纹样与平面设计，但数学核心仍是基本图形、图形运动和全等关系；颜色不同不影响全等判断。 活动1记录单 基本图形 我选择的基本图形是：________________。 生成方式 第1次________；第2次________；共得到____个全等图形。 全等说明 至少写出两组全等式，并在图中标出对应顶点。 改进 如果某一复制图形不能与基本图形完全重合，应修改的位置或长度是：________________。 活动2　用全等三角形证明拼图猜想 本讲义固定拼法　为使结论唯一，规定B与B′重合、C与C′重合，点A与点A′位于直线BC的两侧。此时写作△ABC≌△A′BC。其他拼法可能出现不同关系，可在展示环节交流，但不作为本次必答结论。 固定拼法及证明辅助线：D为AA′与BC的交点（示意图不作为测量依据） 活动环节 操作或推理 成果 制作 画△ABC，描出全等的△A′B′C′并剪下。 两纸片能够完全重合。 拼图 使B与B′、C与C′分别重合，A、A′在BC两侧。 BC与B′C′完全重合，A与A′不重合。 测量 连接AA′，测量AA′与BC夹角，并比较交点D两侧的AD、A′D。 记录两次测量值，不把测量当作证明。 猜想 根据记录提出BC与AA′的关系。 BC垂直平分AA′。 证明 利用已知全等和SAS证明两个小三角形全等。 写出完整证明。 活动2规范证明 已知　△ABC≌△A′BC，点A、A′在直线BC的两侧，AA′交BC于点D。 求证　BC垂直平分AA′。 证明　∵△ABC≌△A′BC，∴AB＝A′B，∠ABC＝∠A′BC。又点D在BC上，∴∠ABD＝∠A′BD。在△ABD和△A′BD中，AB＝A′B，∠ABD＝∠A′BD，BD＝BD，∴△ABD≌△A′BD（SAS）。∴AD＝A′D，∠ADB＝∠A′DB。又A、D、A′在一条直线上，∠ADB＋∠A′DB＝180°，∴∠ADB＝∠A′DB＝90°，即BC⊥AA′。同时AD＝A′D，所以BC垂直平分AA′。 证明检查　全等式中的对应顶点为A↔A′、B↔B、D↔D；∠ABD与∠A′BD确由原全等三角形的对应角得到；垂直与中点两个结论都已证明。 五、交流评价与反思改进 评价维度 达成标准 改进提示 数学准确 全等式顺序、边角标记、判定依据正确。 先核对对应顶点，再核对每组条件。 操作规范 拼图满足固定端点和两侧条件，测量有单位。 把拼法条件写在记录单顶部。 证据完整 猜想有测量支持，一般结论有推理证明。 分开写“观察结果”和“证明结论”。 表达交流 图形、文字、符号相互一致。 汇报时逐步指出图中的对应关系。 创新设计 图案结构清楚，基本图形的运动方式明确。 创新不能破坏基本图形的形状和大小。 六、经典活动例题 经典例题｜判断拼图证明中的关键条件 题目　在活动2固定拼法中，若只知道AB＝A′B、BD＝BD，还缺少什么条件才能用SAS判定△ABD≌△A′BD？ 思路分析　SAS还需要两组边的夹角相等。夹角分别是∠ABD和∠A′BD。 规范解答　还需∠ABD＝∠A′BD。该条件由△ABC≌△A′BC的对应角相等得到。 结果检验　所补角是AB、BD与A′B、BD之间的夹角。 七、变式训练 变式1　固定拼法中，若AD＝5.2 cm，则AA′是多少？ 参考解答　AA′＝AD＋DA′＝5.2＋5.2＝10.4 cm。 变式2　某图案的四个三角形只是颜色不同，描图覆盖后能完全重合。它们是否全等？ 参考解答　全等。颜色不是几何图形的形状和大小条件，能够完全重合即可判定全等。 课堂效果检测（3—5分钟） 1. 活动1中，判断两个图形全等的标准是什么？ 1. 活动2固定拼法规定A、A′位于直线BC的哪一位置关系？ 1. 证明△ABD≌△A′BD使用哪一种判定方法？ 1. 由∠ADB＝∠A′DB且两角组成邻补角，可得每个角等于多少度？ 检测答案　1. 能够完全重合。2. 位于直线BC的两侧。3. SAS。4. 90°。 本课小结 活动1：以基本图形为单位，通过平移、翻折或旋转得到全等图案，并用重合验证。 活动2：固定拼法保证结论唯一；测量用于猜想，全等证明用于确认一般结论。 固定拼法结论：BC垂直平分AA′。证明核心是先用SAS得到△ABD≌△A′BD。 活动成果应包含图案或拼图、条件说明、记录、证明和反思。 编写依据与范围说明　依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》和人教版义务教育教科书《数学》八年级上册（2025秋版）编写。本讲义对应教材第十四章“数学活动”中的“利用全等设计图案”和“用全等三角形证明拼图猜想”，用于课堂学习、活动记录与即时评价。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $