第十四章 全等三角形 讲义 -2026-2027学年人教版八年级数学上册考点解惑

该初中数学全等三角形单元复习讲义以思维导图统领知识体系，通过概念解析、性质归纳、判定定理表格化呈现，系统梳理全等形与全等三角形概念、性质及五种判定方法，结合平移、旋转等常见全等模型构建知识脉络，突出对应关系分析和判定条件的重难点。 讲义亮点在于分层练习设计与模型化方法指导，基础题强化对应关系识别，如“添加条件证全等”题型，中等题聚焦平移、旋转等模型应用，优质题融入动点问题和最值探究，培养推理意识与几何直观。配套月考至期末覆盖题，助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

第十四章 全等三角形 思维导图 14.1 全等三角形及其性质 14.1.1 全等形与全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形。全等形满足两个条件：形状相同、大小相等，与图形的位置、摆放方向无关，只要能够完全重合就是全等形。 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。把两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 全等三角形的符号表示为“≌”，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC≌△DEF，对应顶点为A与D、B与E、C与F，方便快速查找对应边和对应角。 14.1.2 找对应边、对应角的常用方法 · 有公共边的，公共边一定是对应边； · 有公共角的，公共角一定是对应角； · 有对顶角的，对顶角一定是对应角； · 两个全等三角形中，最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角； · 根据全等符号的对应顺序找对应元素，这是最简便准确的方法。 14.1.3 全等三角形的性质 基本性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。符号推导：若△ABC≌△DEF，则AB=DE，BC=EF，AC=DF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。 拓展性质： · 全等三角形的周长相等，面积相等； · 全等三角形对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线分别相等。 注意：周长相等、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形。 14.2 三角形全等的判定 14.2.1 三角形全等的判定定理 判定两个三角形全等，就是通过给出的已知条件，证明满足能够让两个三角形完全重合的条件，常用的判定定理共5种： 判定定理 内容说明 符号书写示例 适用注意 边边边（SSS） 三边分别相等的两个三角形全等 在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（SSS） 所有三角形都适用，只要三边对应相等即可判定 边角边（SAS） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS） 必须是两边夹一角，两边和其中一边的对角（SSA）不能判定全等 角边角（ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，∴△ABC≌△DEF（ASA） 所有三角形都适用，核心是两角夹边对应相等 角角边（AAS） 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（AAS） 由三角形内角和为180°，可推出第三个角也相等，因此AAS本质可由ASA推导得到 斜边、直角边（HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC=DF（斜边），AB=DE（直角边），∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 仅适用于直角三角形，一般三角形的判定定理同样适用于直角三角形 14.2.2 判定定理的注意事项 1. SSA不能判定三角形全等：举反例说明，当两边及其中一边的对角相等时，可以画出两个不同形状的三角形，因此不能判定全等。只有当该角为直角或钝角时，SSA才可以判定全等，而这种情况已经被HL定理包含。 2. AAA不能判定三角形全等：三个角对应相等只能说明两个三角形形状相同，大小不一定相等，因此只能说明三角形相似，不能判定全等。 3. HL定理仅适用于直角三角形，书写时必须注明是Rt△，且需要说明是斜边和直角边对应相等。 14.2.3 证明三角形全等的一般步骤 第一步：审清题意，明确已知条件，找出隐含条件（如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形性质等带来的边相等或角相等）； 第二步：观察待证明的两个三角形，根据已知条件确定需要使用哪一种判定定理； 第三步：按规范格式书写证明过程，先列出所需条件，最后得出全等结论，标注所用的判定定理。 14.2.4 全等三角形判定的常见模型 平移型模型 一个三角形通过平移得到另一个全等三角形，对应边在同一条直线上，通常可利用线段的和差得到对应边相等，常见形式为AB=CD，推出AC=BD。 对称型模型（翻折型） 两个三角形关于某条直线对称，沿这条直线折叠后可完全重合，通常存在公共边或公共角，对应元素容易找到。 旋转型模型 一个三角形绕某一个顶点旋转一定角度后与另一个三角形重合，通常这个公共顶点处存在等角，利用角的和差可以推出对应角相等，如∠BAC=∠DAE，推出∠BAD=∠CAE。 一线三等角模型 在一条直线上有三个相等的角，通常是直角，利用三角形内角和可推出两个角相等，结合边相等用AAS或ASA证明全等。 14.3 角平分线 14.3.1 角平分线的性质 性质内容：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 符号语言：若OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，则PD=PE。 注意：使用性质定理时，必须满足“点在角平分线上”和“垂直距离”两个条件，缺一不可。角平分线的性质是用来证明两条线段相等的常用依据。 14.3.2 角平分线的判定 判定内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 符号语言：若PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上。 角平分线的判定是用来证明一个点在角平分线上（或证明一个角被某条射线平分）的常用依据。 14.3.3 三角形角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等。反过来，到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点。 注意：三角形的内心一定在三角形内部，而外角平分线的交点有三个，在三角形外部，到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个（1个内心+3个旁心）。 【类型一】全等三角形的认识 1．如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   3．已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：______ ． 【类型二】全等三角形的性质 1．如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，若，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．5 D．6 3．如图，，若，，且，则的度数为 _________ 度． 【类型三】添加条件证全等 1．如图，已知，下列判断中，错误的是（   ） A．若添加条件，则 B．若添加条件，则 C．若添加条件，则 D．若添加条件，则 2．如图，，添加一个条件即可判定与全等，则下列所添条件及所用判定方法都正确的是（　　） A．添加，用“”判定全等 B．添加，用“”判定全等 C．添加，用“”判定全等 D．添加，用“”判定全等 3．如图，已知． （1）若用“”证明，还需添加条件______________． （2）若用“”证明，还需添加条件______________． （3）若用“”证明，还需添加条件______________． 【类型四】全等的依据 1．如图，在中，，现要证明“等边对等角”这一结论．以下是小明解答该问题的思路片段： 如图，取的中点，连接， ． 在和中， （）， ．    关于以上证明过程，下列选项错误的是（    ） A．依据@表示SSS B．依据★表示全等三角形的对应角相等 C．图中辅助线也可以是作的平分线，全等的依据是 D．图中辅助线还可以是作于点，全等的依据是 2．下图是三个叠在一起的三角形（三角形），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形完全相同的三角形，下列说法不正确的是（    ） A．都可以 B．作的依据可以是 C．都可以 D．作的依据是 3．如图，完成下列问题：    （1）若，，则的依据是______； （2）若，则的依据是______； （3）若，，则的依据是______； （4）若，，则的依据是______； （5）若，，则的依据是______． 【类型五】全等三角形的判定—SAS、SSS 1．如图，点E在的边上，与交于点，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．如图所示，在中，，于点，，平分交于点，的延长线交于点．试说明： (1)； (2)． 3．如图，在与中，，，，点、、、在同一直线上，试说明：． 【类型六】全等三角形的判定—ASA、AAS 1．如图，点E为的中点，，．求证：． 2．如图，分别过点C、点D作直线的垂线，垂足为E，F，连接，交直线于点G．如果G是的中点，那么与全等吗？为什么？ 3．如图，中，，的平分线和的外角平分线相交于点，分别交和的延长线于，．过作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点． 求证下列结论： (1)； (2)； (3)； 【类型七】全等三角形的判定—HL 1．如图，，，垂足分别为B，D，且． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 2．如图，点A，E，F，B在同一条直线上，，，．求证：． 3．如图，中，点D为上一点，连接，过点D作，垂足分别是E，F，且满足． (1)求证：平分 (2)若，求的面积． 【类型八】全等三角形的尺规作图 1．中国农民丰收节，是第一个在国家层面专门为农民设立的节日，节日时间为每年“秋分”．该节日的设立提升了亿万农民的荣誉感、幸福感、获得感．工作人员小张在丰收节展览会上不慎打碎一个如图所示的三角形玻璃展台（）． (1)小张只要从两块碎片中选择第____块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是____（填“”或“”或“”或“”）． (2)求作，使得（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 2．【课本回顾】你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？小明回顾了作图过程，并进行了如下思考： 如图1，由尺规作图可知，，__________， 所以（__________），（填全等判定依据） (1)完成上述小明思考过程中的填空； (2)【操作应用】 如图2，已知线段和，请用尺规作一个，使；（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 3．如图，在中，，上有一点满足． (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点在上方作，射线交于点；在射线上截取线段使，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）中的条件下，证明：．请补全下面的证明过程，并在括号中填上理论依据． 解：在和中， ， ，（ ② ）， ， ∴ ③ ， 在中，， ④ ， ． 【类型一】角平分线的性质求解 1．如图，在中，，平分，，，则的面积是（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 2．如图，在中，平分，于点，的面积为，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，是的高，是的中线，平分交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 【类型二】全等模型一平移 1．如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，将沿方向平移得到，连接，若恰好经过的中点，则的长度为_____________． 3．已知：如图，四点B、E、C、F顺次在同一条直线上，A、D两点在直线 的同侧，，，．求证：． 【类型三】全等模型—翻折、对称 1．如图，已知，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，，，点为中点，则的长为_____． 3．如图，已知，．求证：． 【类型四】全等模型—旋转 1．如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，已知，，要使，则应添加的一个条件为________． 3．如图， ，直线与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 【类型五】全等模型—十字 1．如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动（     ）时，． A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 2．如图，，，D为中点，，，垂足为点E，则________． 3．如图，点C在上，，，且，，交于F． (1)求证； (2)求的度数． 【类型六】全等模型—k型 1．如图，已知在中，，，，，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图中，，，，，则_________ 3．为了测量一幢高楼高，在旗杆与楼之间选定一点P，测得旗杆顶C视线与测楼顶A视线两线夹角为，即．量得P到楼底距离与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为米，计算楼高是多少米？ 【类型七】全等模型—一线三等角 1．综合题 (1)如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． (2)【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． (3)【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ． 2．解决问题 (1)如图1，为等边三角形，，，求证：； (2)如图2，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A，C作于点E，于点F．则线段，，的数量关系为________； (3)如图3所示，在中，，，于点E，于点D，，，求的长． 3．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到≌______，推理依据是______．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和，，，，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【类型八】角平分线的判定 1．如图，的延长线于，于，若，，求证：平分． 2．如图，在中，，D是上一点，若过点D作，垂足为F，点E在上，，． (1)求证：AD平分； (2)请你判断之间的数量关系，并说明理由． 3．已知：如图，的外角和的平分线相交于点F．求证：点F在的平分线上． 【类型九】角平分线的尺规作图 1．如图，已知． 【动手操作】 (1)请用圆规和无刻度的直尺按照以下步骤作图： 步骤1：以点O为圆心，适当的长度为半径作弧，交于点 M，交于点 N； 步骤 2： 分别以点 M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 的内部交于点 C； 步骤3：作射线． 【推理证明】 (2)请证明平分． 2．如图，在中，点 是 上的一点，且 ． (1)实践与操作：作的平分线，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：． 3．下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，在中，， 求作：点，使点在边上，且到和的距离相等． 作法：①如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； ③画射线，交于点． 所以点即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明．（每空1分，共4分） 证明：过点作于点，连接，． 在与中， ∵，，， ∴， ∴____________________． ∵， ∴___________． 又∵， ∴（           ）（填推理的依据） 【类型十】无刻度尺作图 1．（1）如图①是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺作的中线． （2）如图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺作，使其面积为； （3）如图③是由小正方形组成的的网格．每个小正方形的顶点叫做格点，、是格点，是网格上的点．仅用无刻度的直尺画出的中点，再将平移到，使点的对应点为点． 2．（1）如图1，，，请仅用无刻度的直尺作的角平分线； （2）如图2，，，请仅用无刻度的直尺作的角平分线；    3．在等腰中，，将沿射线方向平移至的位置．请仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图①中，作出的中点M； (2)在图②中，作出的中点N． 【类型一】格点三角形 1．如图是的正方形网格，的顶点都在网格线的交点上，像这样的三角形叫格点三角形，画与仅有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．在的长方形网格中，图中的为格点三角形．在所给的网格图中，画以点P为顶点，且与全等的格点三角形，最多能画出的个数（不含）是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，为格点三角形（点A，B，C均在格点上），在图中的方格纸中以的一边画格点三角形，使得该三角形与全等，则符合条件的格点三角形共有___________个．    【类型二】最值问题 1．如图，是的平分线，点P在上，于点C，且，如果D是射线上一动点，那么的最小值是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在中，，，，，平分，点、分别是、上不与端点重合的动点，连接、，则的最小值为______． 【类型三】全等三角形的动点求t 1．如图，在中，，，，P、是边、上的两个动点，于点，于点设点、运动的时间是秒，若点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回到点停止运动；点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后停止运动，当和全等时，的值是（    ） A． B．或 C．或 D．或 2．如图，在中，，，，过点作．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点的运动而运动，始终保持．若点的运动时间为秒，则当以，，为顶点的三角形与全等时，________秒． 3．如图，在长方形中，，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当点P在运动的过程中，______；______（用含t的代数式表示）； (2)当时，的面积______； (3)连接、，当时，求t的值； (4)当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积． 【类型四】全等模型一倍长中线 1．【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E使，连接． 由已知和作图能得到，所以． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是 ； A．  B．   C．   D． (2)请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为 （写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． (3)如图②，是的中线，交于G，．探究与的关系，并说明理由； 【深入探究】 (4)如图③，在和中，，，且，连接，F为的中点，连接并延长交于H，，，求的面积． 2．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． 3．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围． 以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至点，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________；中线的取值范围是__________； 【灵活运用】 （2）如图2，在中，分别过作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，试判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在五边形中，，为中边上的中线． ①求证：； ②若，求五边形的面积． 【类型五】全等模型—截长补短 1．问题初探：（1）如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．求证：； 方法迁移：（2）如图2，是的角平分线，．求证：； 问题拓展：（3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系． 2．如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 3．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【类型六】全等模型一半角 1．（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 2．如图①，E，F分别是正方形的边，上的动点，且满足．    (1)试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在正方形中，，连接，分别交，于点M，N，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 3．阅读材料，解决问题： 折叠、旋转是我们常见的两种图形变换方式．如图1，在 中，，，点，在边上，，若，，求的长． 小艳发现，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接（如图．使条件集中在中，可求得（即的长，具体作法为：作，且，连接、，可证，再结合已知中，可证，得，接着在 中利用勾股定理即可求得的长，即的长． (1)请你回答：与全等的条件是_____（填“”、“”、“”、“”或“”中的一个），的长为________； (2)如图3，正方形中，点为延长线上一点，将沿翻折至位置，延长交直线于点． ①求证：； ②连接交于点，连接（如图，请你直接写出的值． 1．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）如图，已知是的边上的高，下列能使的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，的平分线交于点D，于点E，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26九年级下·山西太原·阶段检测）如图，研学小组的同学为了测量公园人工湖岸边上点到湖对岸边上点之间的距离，在与点同侧的湖岸上选择了一点，利用激光测角仪测得，的度数；然后在点所在的湖岸边找点，使得，同时，利用全等三角形的性质，可得之间的距离．图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论个数有（     ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 5．（25-26七年级下·甘肃兰州·阶段检测）如图，，则的度数为__________． 6．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，已知与的面积相等，如果，那么的取值范围是________． 7．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值________． 8．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 证明：， （___________） ， ____________________ 即：__________=__________ 在和中， （_____________） （_____________） ． 9．（25-26七年级下·河南商丘·阶段检测）如图，在中，于点D，过点B作于点E，交于点F，．求证：． 10．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）在学习了三角形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考．如图所示，在中，平分交于点． (1)用直尺和圆规，在线段的上方作，使得，与交于点（不写作法和结论，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，试说明：，并按下列思路完成填空． 证明：平分， （___________①___________）． 在和中 ． （___________④___________）． ， ． （___________⑤___________）． 1．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，两根钢条、的中点 O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具， 的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图射线平分，点D在上，，，若，则的长度为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形．已知，，则有下列说法：其中一定错误的是（     ） A． B． C． D．图中阴影部分的面积为 4．（25-26八年级下·四川·期中）如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，若，，，则的度数是______． 6．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在四边形中，，，若平分，则的面积为___________． 7．（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）如图，点B， C， D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为_____． 8．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在和中，．求证：． 9．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）墙面上贴有规格相同的正方形瓷砖，其示意图如下，正方形瓷砖与正方形瓷砖之间用三角形瓷砖和三角形瓷砖拼接，于点C，于点D，点B，C，E与点B，D，G分别在同一直线上．求证：． 10．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，连接、． 【问题发现】 (1)小明发现图1就是手拉手模型，拉手线、存在某种数量关系．其探究过程如下： 请你帮助小明完善以下推理过程． 解：        ， ① 在和中， ， ∴② ． (2)如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点D、点E在一条直线上，交于点O．小明发现与依然全等．当时，求． 【拓展探究】 (3)在图2的基础上，延长至点F，如图3．判断与的数量关系，并说明理由． 1．（25-26七年级下·全国·期末）如图，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，D是上一点，交于点E，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．1 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，点D、E分别在、上，已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论中不正确的是（    ） A．的值不变 B． C．的长度不变 D．四边形的面积不变 5．（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知在的方格中，点、、、、均在格点上，那么____________度． 6．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，，过A点作；，，，连接，则的面积为_____． 7．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． （1）若，，则的长为_____； （2）在（1）条件下，点M为边上一点，连接CM，过点C作，且（点N在直线l的上方），连接交直线l于点F，若，则的长为______． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形的对角线相交于点，，点F在上，． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 9．（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知为线段上一点，在中，，在中，且，连接、，分别交、于点、，交于点． (1)求证：； (2)如果，求的度数． 10．（25-26七年级下·山东济南·期中）综合与实践 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，则与的数量关系是____； (2)如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，则的长为多少，请说明理由； (3)如图3，在等腰直角中，，，点D是延长线上一点，以A为直角顶点，线段为直角边向左侧作等腰直角，连接交于点F，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形 思维导图 14.1 全等三角形及其性质 14.1.1 全等形与全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形。全等形满足两个条件：形状相同、大小相等，与图形的位置、摆放方向无关，只要能够完全重合就是全等形。 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。把两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 全等三角形的符号表示为“≌”，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC≌△DEF，对应顶点为A与D、B与E、C与F，方便快速查找对应边和对应角。 14.1.2 找对应边、对应角的常用方法 · 有公共边的，公共边一定是对应边； · 有公共角的，公共角一定是对应角； · 有对顶角的，对顶角一定是对应角； · 两个全等三角形中，最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角； · 根据全等符号的对应顺序找对应元素，这是最简便准确的方法。 14.1.3 全等三角形的性质 基本性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。符号推导：若△ABC≌△DEF，则AB=DE，BC=EF，AC=DF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。 拓展性质： · 全等三角形的周长相等，面积相等； · 全等三角形对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线分别相等。 注意：周长相等、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形。 14.2 三角形全等的判定 14.2.1 三角形全等的判定定理 判定两个三角形全等，就是通过给出的已知条件，证明满足能够让两个三角形完全重合的条件，常用的判定定理共5种： 判定定理 内容说明 符号书写示例 适用注意 边边边（SSS） 三边分别相等的两个三角形全等 在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（SSS） 所有三角形都适用，只要三边对应相等即可判定 边角边（SAS） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS） 必须是两边夹一角，两边和其中一边的对角（SSA）不能判定全等 角边角（ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，∴△ABC≌△DEF（ASA） 所有三角形都适用，核心是两角夹边对应相等 角角边（AAS） 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（AAS） 由三角形内角和为180°，可推出第三个角也相等，因此AAS本质可由ASA推导得到 斜边、直角边（HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC=DF（斜边），AB=DE（直角边），∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 仅适用于直角三角形，一般三角形的判定定理同样适用于直角三角形 14.2.2 判定定理的注意事项 1. SSA不能判定三角形全等：举反例说明，当两边及其中一边的对角相等时，可以画出两个不同形状的三角形，因此不能判定全等。只有当该角为直角或钝角时，SSA才可以判定全等，而这种情况已经被HL定理包含。 2. AAA不能判定三角形全等：三个角对应相等只能说明两个三角形形状相同，大小不一定相等，因此只能说明三角形相似，不能判定全等。 3. HL定理仅适用于直角三角形，书写时必须注明是Rt△，且需要说明是斜边和直角边对应相等。 14.2.3 证明三角形全等的一般步骤 第一步：审清题意，明确已知条件，找出隐含条件（如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形性质等带来的边相等或角相等）； 第二步：观察待证明的两个三角形，根据已知条件确定需要使用哪一种判定定理； 第三步：按规范格式书写证明过程，先列出所需条件，最后得出全等结论，标注所用的判定定理。 14.2.4 全等三角形判定的常见模型 平移型模型 一个三角形通过平移得到另一个全等三角形，对应边在同一条直线上，通常可利用线段的和差得到对应边相等，常见形式为AB=CD，推出AC=BD。 对称型模型（翻折型） 两个三角形关于某条直线对称，沿这条直线折叠后可完全重合，通常存在公共边或公共角，对应元素容易找到。 旋转型模型 一个三角形绕某一个顶点旋转一定角度后与另一个三角形重合，通常这个公共顶点处存在等角，利用角的和差可以推出对应角相等，如∠BAC=∠DAE，推出∠BAD=∠CAE。 一线三等角模型 在一条直线上有三个相等的角，通常是直角，利用三角形内角和可推出两个角相等，结合边相等用AAS或ASA证明全等。 14.3 角平分线 14.3.1 角平分线的性质 性质内容：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 符号语言：若OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，则PD=PE。 注意：使用性质定理时，必须满足“点在角平分线上”和“垂直距离”两个条件，缺一不可。角平分线的性质是用来证明两条线段相等的常用依据。 14.3.2 角平分线的判定 判定内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 符号语言：若PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上。 角平分线的判定是用来证明一个点在角平分线上（或证明一个角被某条射线平分）的常用依据。 14.3.3 三角形角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等。反过来，到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点。 注意：三角形的内心一定在三角形内部，而外角平分线的交点有三个，在三角形外部，到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个（1个内心+3个旁心）。 【类型一】全等三角形的认识 1．如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则的对应角为． 故选：A． 2．如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据点C和点B是对应顶点，可得A和D是对应顶点，据此可得答案． 【详解】解：∵，点C和点B是对应顶点， ∴边的对应边是， 故选：B． 3．已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：______ ． 【答案】 【详解】解：在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：． 【类型二】全等三角形的性质 1．如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据全等三角形的性质，得到，再根据三角形的外角的性质得出． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴． 2．如图，已知，若，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据全等三角形的对应边相等即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴． 3．如图，，若，，且，则的度数为 _________ 度． 【答案】80 【分析】根据全等三角形的性质得出、，根据直角三角形的性质求出的度数，据此求解即可． 【详解】解：如图，交于点F， 、， 、， ， ， ， ， ， ． 【类型三】添加条件证全等 1．如图，已知，下列判断中，错误的是（   ） A．若添加条件，则 B．若添加条件，则 C．若添加条件，则 D．若添加条件，则 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项不符合题意； B、，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故选项符合题意； C、，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项不符合题意； D、，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，，添加一个条件即可判定与全等，则下列所添条件及所用判定方法都正确的是（　　） A．添加，用“”判定全等 B．添加，用“”判定全等 C．添加，用“”判定全等 D．添加，用“”判定全等 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 对于A，添加条件和判定方法都正确； 对于B，方法是“”，不是“”；对于C，需添加一直角边相等，才是用“”判定全等；对于D，用的方法是“”，不是“”，这种方法不成立． 【详解】解：∵，， A、添加，用“”判定全等正确，故A符合题意； B、判定方法是“”，不是“”，故B不符合题意； C、添加，用“”判定全等，不是用“”判定全等，故C不符合题意； D、和分别是和的对角，不能用“”判定全等，故D不符合题意． 故选：A． 3．如图，已知． （1）若用“”证明，还需添加条件______________． （2）若用“”证明，还需添加条件______________． （3）若用“”证明，还需添加条件______________． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． （1）要判定，已知是公共角，具备了一组边、一组角相等，根据可添加； （2）要判定，已知是公共角，具备了一组边、一组角相等，根据可添加； （3）要判定，已知是公共角，具备了一组边、一组角相等，根据可添加． 【详解】解：（1）添加， 在和中， ， ∴； （2）添加， 在和中， ， ∴； （3）添加， 在和中， ， ∴； 故答案为：；；． 【类型四】全等的依据 1．如图，在中，，现要证明“等边对等角”这一结论．以下是小明解答该问题的思路片段： 如图，取的中点，连接， ． 在和中， （）， ．    关于以上证明过程，下列选项错误的是（    ） A．依据@表示SSS B．依据★表示全等三角形的对应角相等 C．图中辅助线也可以是作的平分线，全等的依据是 D．图中辅助线还可以是作于点，全等的依据是 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法及性质判断A、B；根据题意可得，，，可判断C；根据题意可得，由，，可判断D． 【详解】解：A.结论正确，不符合题意； B. 结论正确，不符合题意； C. 作的平分线，，，，可用判定，故结论错误，符合题意； D. 作于点，可得，，，可用判定，故结论正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了利用三角形全等的不同方法证明“等边对等角”，掌握判定方法及性质是解题的关键． 2．下图是三个叠在一起的三角形（三角形），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形完全相同的三角形，下列说法不正确的是（    ） A．都可以 B．作的依据可以是 C．都可以 D．作的依据是 【答案】C 【分析】本题考查了用证明三角形全等（），用（）证明三角形全等（或者），解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据全等三角形的判定，对四个选项逐一分析，再作出判断即可． 【详解】解：只知道一个角，不能作出与完全相同的三角形； 知道三个角与两边，可以根据、、，作出与完全相同的三角形，故B正确； 知道两角夹边，可以根据，作出与完全相同的三角形，故D正确； 综上所述，、都可以，故A正确； 所以C错误， 故选：C． 3．如图，完成下列问题：    （1）若，，则的依据是______； （2）若，则的依据是______； （3）若，，则的依据是______； （4）若，，则的依据是______； （5）若，，则的依据是______． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据条件选择合适的判定方法是关键． （1）利用证明即可； （2）利用证明即可； （3）利用证明即可； （4）利用证明即可； （5）利用证明即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为： （2）∵， ∴； 故答案为： （3）∵，， ∴； 故答案为： （4）∵，， ∴； 故答案为： （5）∵，， ∴； 故答案为： 【类型五】全等三角形的判定—SAS、SSS 1．如图，点E在的边上，与交于点，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由可得，进而根据判定定理“”即可证明； （）由全等三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 是和的外角， ， ． 2．如图所示，在中，，于点，，平分交于点，的延长线交于点．试说明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （）由角平分线得到，再根据即可证明全等； （）由全等得到，再根据互余关系得到，则，则． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， 又，， ∴． （2）解：由（）知， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴． 3．如图，在与中，，，，点、、、在同一直线上，试说明：． 【答案】证明：在与中， ∴， ∴， ∴． 【分析】证明，推出，即可证明. 【详解】略. 【类型六】全等三角形的判定—ASA、AAS 1．如图，点E为的中点，，．求证：． 【答案】【详解】证明∶∵点E为的中点， ， 在和中， ， ． 【分析】由中点定义可得，再由已知的两个角相等，根据即可判定． 【详解】略 2．如图，分别过点C、点D作直线的垂线，垂足为E，F，连接，交直线于点G．如果G是的中点，那么与全等吗？为什么？ 【答案】能全等，理由如下： ∵过点C、点D作直线的垂线， ∴， ∵G是的中点， ∴， ∵， ∴． 【分析】根据上述知识点利用即可证明． 【详解】解：略. 3．如图，中，，的平分线和的外角平分线相交于点，分别交和的延长线于，．过作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点． 求证下列结论： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)证明：的角平分线和的外角平分线， 在中 ； (2)证明：，， ， 为的角平分线， ， 在和中 ， ，； (3)证明：， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， . 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出，再根据角平分线的定义 然后利用三角形的内角和定理整理即可得解； （2）证明得出，，即可； （3）利用角角边证明全等，然后根据全等三角形对应边相等得到，从而得证. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【类型七】全等三角形的判定—HL 1．如图，，，垂足分别为B，D，且． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴． (2)12 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据全等三角形的性质求出，求出和的面积，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，点A，E，F，B在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】先求出，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ， ． 3．如图，中，点D为上一点，连接，过点D作，垂足分别是E，F，且满足． (1)求证：平分 (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． (2)15 【分析】（1）先推导出，证明出，得到，则平分，即可解答； （2）先求出，再根据进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵ ∴． 【类型八】全等三角形的尺规作图 1．中国农民丰收节，是第一个在国家层面专门为农民设立的节日，节日时间为每年“秋分”．该节日的设立提升了亿万农民的荣誉感、幸福感、获得感．工作人员小张在丰收节展览会上不慎打碎一个如图所示的三角形玻璃展台（）． (1)小张只要从两块碎片中选择第____块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是____（填“”或“”或“”或“”）． (2)求作，使得（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)②； (2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理，可得只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA； （2）分别作，即可求解． 【详解】（1）解：因为只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的． 所以小张只要从两块碎片中选择第②块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是 （2）如图所示：为所求 2．【课本回顾】你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？小明回顾了作图过程，并进行了如下思考： 如图1，由尺规作图可知，，__________， 所以（__________），（填全等判定依据） (1)完成上述小明思考过程中的填空； (2)【操作应用】 如图2，已知线段和，请用尺规作一个，使；（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【答案】(1)， (2)解：如图，即为所求 【分析】（1）结合全等三角形的判定定理填空即可； （2）先根据作一个角等于已知角的方法作，以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点B，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点D，以点D为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点A，连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 3．如图，在中，，上有一点满足． (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点在上方作，射线交于点；在射线上截取线段使，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）中的条件下，证明：．请补全下面的证明过程，并在括号中填上理论依据． 解：在和中， ， ，（ ② ）， ， ∴ ③ ， 在中，， ④ ， ． 【答案】(1)作图见解析 (2)①；②全等三角形对应角相等；③；④ 【分析】（1）根据题干信息要求作，即可； （2）根据题干信息要求逐步完善推理依据与推理过程即可． 【详解】（1）解：作图如图所示． （2）解：在和中， ， ， ，（②全等三角形对应角相等）， ， ∴， 在中，， ， ． 【类型一】角平分线的性质求解 1．如图，在中，，平分，，，则的面积是（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】作于点E，根据角平分线的性质和三角形面积公式即可求解． 【详解】解：作于点E，如图， ∵平分，，，， ∴， ． 2．如图，在中，平分，于点，的面积为，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，利用角平分线的性质得出，再根据即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，，是的高，是的中线，平分交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】②③④ 【分析】作于点M，结合角平分线的性质定理和垂心段最短可判断①错误；根据直角三角形两锐角互余判断②；根据角平分线的定义、等角的余角相等及对顶角相等判断③；根据三角形中线的性质判断④． 【详解】解：如图，作于点M， 平分， ∴， ∵， ∴，故①错误； ， 在中，，故②正确； ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ，故③正确； 是的中线， ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论是②③④． 【类型二】全等模型一平移 1．如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知，， ，即， A选项，当时，， B选项，当时，不能判定， C选项，当时，， D选项，当时，． 2．如图，在中，，将沿方向平移得到，连接，若恰好经过的中点，则的长度为_____________． 【答案】 【分析】先根据平移的性质得到，，证明，可得到，进而推出，即可得解． 【详解】解：沿方向平移得到， ，， ，， 点为的中点， ， ，，， ， ， ， ． 3．已知：如图，四点B、E、C、F顺次在同一条直线上，A、D两点在直线 的同侧，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】利用证明，即可得到． 【详解】略 【类型三】全等模型—翻折、对称 1．如图，已知，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：在和中，，， A、添加，根据可以判定，选项A不符合题意； B、添加，无法证明三角形全等，选项B符合题意； C、添加，根据可以判定，选项C不符合题意； D、添加，根据可以判定，选项D不符合题意． 2．如图，，，点为中点，则的长为_____． 【答案】 【分析】证明得出，根据点为中点得出，进而根据，即可求解． 【详解】在和中， ∴． ∴． 因为，点为中点， ∴． ∴． ∴． 3．如图，已知，．求证：． 【答案】证明：在和中， ，，， ， ． 【分析】利用证明，即可证明． 【详解】略 【类型四】全等模型—旋转 1．如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先通过角的等量代换得到，利用证明，由此推出，再结合全等三角形对应角相等、三角形内角和、对顶角性质，分别验证度数与是否成立，逐一判断4个结论正误． 【详解】解：已知， ， 即， 在和中： ， ，结论①正确； 由全等三角形对应边相等，得，结论③正确； 由，得， 已知， ， ∵， ， 即， 代入，得， 在中，，结论②错误； 延长交于点，交于点， 由，得， 又，， ， ，即， ，结论④正确， 综上，①③④正确，共3个正确结论． 2．如图，已知，，要使，则应添加的一个条件为________． 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】由两个三角形全等的判定定理，结合已知条件添加一个条件即可． 【详解】解：添加时， ，， ， 在和中， ； 添加时， ，， ， 在和中， ； 添加时， ，， ， 在和中， ． 3．如图， ，直线与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据同角的余角相等可得，结合 ，利用即可证明结论； （2）根据，结合已知易证，可得 ，即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ； （2）证明：，， ∴，， ∴ ， ， ， ， ∴平分． 【类型五】全等模型—十字 1．如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动（     ）时，． A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 【答案】D 【分析】设点E运动时间为，则，分两种情况求解：①当点从点B出发，向点左侧移动时；②当点从点B出发，向点右侧移动时，利用全等三角形的性质分别求出的长，即可得解． 【详解】解：设点E运动时间为，则， ①如图，当点从点B出发，向点左侧移动时， 为边上的高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，解得：； ②如图，当点从点B出发，向点右侧移动时， 同理可证，， ， ， ，解得：, 综上可知，当点E运动或时，． 2．如图，，，D为中点，，，垂足为点E，则________． 【答案】 【分析】证明，得到，然后结合D为中点求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，D为中点， ∴， ∴． 3．如图，点C在上，，，且，，交于F． (1)求证； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】（1）根据条件可知和都是直角三角形，利用证明； （2）根据全等三角形的性质进行等量代换，再利用三角形内角和180°，得到的度数． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【类型六】全等模型—k型 1．如图，已知在中，，，，，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，再利用对应角相等及角度之间的等量代换求解即可． 【详解】解：在和中， ， ， ， ，， ， ． 2．如图中，，，，，则_________ 【答案】 【分析】先计算出，再证，推出，最后根据三角形外角的性质可证． 【详解】解：中，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 3．为了测量一幢高楼高，在旗杆与楼之间选定一点P，测得旗杆顶C视线与测楼顶A视线两线夹角为，即．量得P到楼底距离与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为米，计算楼高是多少米？ 【答案】25米 【分析】利用全等三角形的判定方法得出，进而得出的长． 【详解】解：由题意知，米， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， 米，米， 米， 答：楼高是25米． 【类型七】全等模型—一线三等角 1．综合题 (1)如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． (2)【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． (3)【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ． 【答案】(1)解：且 理由: 当时，，， ， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ． (2)解：，理由如下： ，， ， 又，，三点在直线上， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． (3)6 【分析】(1) 当时，，，结合，利用SAS判定，得到及，再通过直角互余与平角关系证得． (2) 利用三角形内角和与平角关系转化得到，结合已知角等和，利用AAS判定，从而得，，相加即得． (3) 由(2)的模型可得，从而，将面积和转化为；再利用及同高三角形面积比等于底边比，得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由(2)同理可证， ， ， 直线与的延长线交于点，且， 与有公共顶点，且底边与在同一直线上， ， ， ， 即与的面积之和为． 2．解决问题 (1)如图1，为等边三角形，，，求证：； (2)如图2，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A，C作于点E，于点F．则线段，，的数量关系为________； (3)如图3所示，在中，，，于点E，于点D，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先利用等边三角形的性质得出，再利用三角形内角和定理得出，再根据，得出，从而可得，利用证明； （2）先根据正方形的性质，得出，，再根据平角的意义得出，根据垂直的意义得出，再根据直角三角形两个锐角互余得出，从而可得，然后利用证明，根据全等三角形的性质可得出，，从而可得； （3）先证明，再根据证明，然后根据全等三角形的性质可得出，，从而可求出． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． ． ， ， ． 在和中， ， ． （2）解：； 理由：四边形是正方形， ，． ，， ． ． 在和中， ， ． ，． ． （3）解：， ． ，， ． ． ． 在和中， ， ． ，． ． 3．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到≌______，推理依据是______．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和，，，，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；；； (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件，利用判定≌，再根据全等三角形的性质求解； （2）利用“”字模型，证明同角的余角相等，多次利用三角形全等证出结果； （3）先利用“”字模型，证明，，利用全等三角形得到新的条件证，再将三角形面积进行等量代换求出最后答案． 【详解】（1）解：由题意知得，在和中，， ∴， ∴． （2）证明：如图：作， ∴ ， ∵， ∴，则， 在和中，， ∴， 同理可证， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，即：点G是的中点． （3）解：，理由如下： 如图：作，， ∵，，， ∴，则， 在和中，， ∴， 同理可证， ∴，，，， ∴ ∵在 和 中，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【类型八】角平分线的判定 1．如图，的延长线于，于，若，，求证：平分． 【答案】证明：∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中，， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】利用证明，得出，根据角平分线的判定定理即可得出结论． 【详解】略． 2．如图，在中，，D是上一点，若过点D作，垂足为F，点E在上，，． (1)求证：AD平分； (2)请你判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）先运用证明可得，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先运用证明可得，再根据线段的和差以及等量代换即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴平分． （2）解：，理由如下： 在与中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．已知：如图，的外角和的平分线相交于点F．求证：点F在的平分线上． 【答案】见解析 【分析】作于，于，于，根据角平分线的性质定理得到，同理得到，根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】证明：作于，于，于， ∵平分，，， ∴， 同理，， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上． 【类型九】角平分线的尺规作图 1．如图，已知． 【动手操作】 (1)请用圆规和无刻度的直尺按照以下步骤作图： 步骤1：以点O为圆心，适当的长度为半径作弧，交于点 M，交于点 N； 步骤 2： 分别以点 M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 的内部交于点 C； 步骤3：作射线． 【推理证明】 (2)请证明平分． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图以及全等三角形的判定与性质： （1）根据尺规作图的步骤完成作图即可； （2）连接，通过证明三角形全等，利用全等三角形对应角相等来证明角平分． 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：连接， 由作图步骤1可知，， 由作图步骤2可知，， ， ， ， 平分． 2．如图，在中，点 是 上的一点，且 ． (1)实践与操作：作的平分线，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1) (2)证明：是的平分线， ． 在和中 ． ． 【分析】（1）以点B为圆心，任意长为半径作弧，与、相交，分别以交点为圆心，大于两个交点之间距离的一半为半径作弧，交于一点，过点B和两弧的交点作射线，交于点E； （2）结合角平分线的定义，可得，证明，即可证得结论； 【详解】（1）略 （2）略 3．下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，在中，， 求作：点，使点在边上，且到和的距离相等． 作法：①如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； ③画射线，交于点． 所以点即为所求． 根据小东设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明．（每空1分，共4分） 证明：过点作于点，连接，． 在与中， ∵，，， ∴， ∴____________________． ∵， ∴___________． 又∵， ∴（           ）（填推理的依据） 【答案】(1)图形补全如下： (2)证明：过点作于点，连接，， 在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴（角平分线的性质）． 【分析】（1）根据题干的操作进行尺规作图即可； （2）容易证明，则，利用角平分线的性质定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【类型十】无刻度尺作图 1．（1）如图①是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺作的中线． （2）如图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺作，使其面积为； （3）如图③是由小正方形组成的的网格．每个小正方形的顶点叫做格点，、是格点，是网格上的点．仅用无刻度的直尺画出的中点，再将平移到，使点的对应点为点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【分析】本题主要考查了借助网格作图，解决本题的关键是借助网格找线段之间的相等关系． 借助网格线找到的中点，连接线段，即为所求； 构造底边长为，高为的三角形即可； 借助网格找到的中点，再借助网格构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等确定的位置． 【详解】解：如下图所示，借助网格线找到的中点，连接线段， 线段即为的中点； 解：如下图所示，借助网格作，使，边上的高为， 则的面积为； 解：如下图所示，借助网格构造， 过的中点作交于点， 点即为中点， 连接并延长，交网格线于点， 则， 在和中，， ， ． 2．（1）如图1，，，请仅用无刻度的直尺作的角平分线； （2）如图2，，，请仅用无刻度的直尺作的角平分线；    【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析 【分析】本题考查的是利用全等三角形的判定与性质画角平分线，等角对等边； （1）连接，证明，可得，则即为所求； （2）连接，交于点，连接并延长交于，证明，，可得，则平分． 【详解】解：（1）如图，连接，则即为所求，    理由：∵，，， ∴， ∴， ∴平分． （2）如图，连接，交于点，连接并延长交于， 则平分，    理由：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． 3．在等腰中，，将沿射线方向平移至的位置．请仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图①中，作出的中点M； (2)在图②中，作出的中点N． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移的性质，全等三角形的判定和性质，熟知相关性质是解题的关键． （1）连接交于点，根据等腰三角形的判定和性质可得点M是的中点； （2）连接交于点，连接并延长交于点，点N是的中点，根据三角形中线交于一点即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接交于点， 根据平移可得，， ， ，， ， ， ， ， ， 即点M是的中点； （2）解：如图，连接交于点，连接并延长交于点，点N是的中点， 根据（1）中， 可得， 是的中线， ， 是的中线， 点是中线的交点， 是的中线，即点N是的中点． 【类型一】格点三角形 1．如图是的正方形网格，的顶点都在网格线的交点上，像这样的三角形叫格点三角形，画与仅有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，以为公共边可以画3个三角形，以为公共边可以画2个三角形，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，均与全等且仅有一条公共边， 故选：B． 2．如图，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．在的长方形网格中，图中的为格点三角形．在所给的网格图中，画以点P为顶点，且与全等的格点三角形，最多能画出的个数（不含）是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定，准确画出图形．根据网格结构分别作出与全等的格点三角形即可得解． 【详解】解：如下图：画以点P为顶点，且与全等的格点三角形， 最多能画出的个数（不含）是6个， 故选：C． 3．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，为格点三角形（点A，B，C均在格点上），在图中的方格纸中以的一边画格点三角形，使得该三角形与全等，则符合条件的格点三角形共有___________个．    【答案】2 【分析】根据全等三角形的判定解答即可． 【详解】解：如右图所示： 和即为所求， 故答案为：2．    【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定和作图-简单几何变换的知识，有一定深度，做题时认真细致才能把满足条件的点找全． 【类型二】最值问题 1．如图，是的平分线，点P在上，于点C，且，如果D是射线上一动点，那么的最小值是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点P作于点E，由角平分线的性质得到，再根据垂线段最短即可求解． 【详解】解：过点P作于点E， ∵是的平分线， ，， ∴， ∵点D是上的动点， ∴由垂线段最短可知，当点D与点E重合时，有最小值，最小值为4． 故选：C． 2．如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】在上截取，证明，所以，则，当三点共线，且时，的值最小，为长，然后通过三角形面积公式求出长即可． 【详解】解：如图，在上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，为长，如图， 即， ∵的面积为15， ∴，即， ∴． 3．如图，在中，，，，，平分，点、分别是、上不与端点重合的动点，连接、，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】在上截取线段，作，垂足为，容易证明，则．由垂线段最短可得，点、、都在垂线段上时，最小，利用三角形的面积公式求出的值即可． 【详解】解：如图，在上截取线段，作，垂足为， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，， ∴当点、、都在垂线段上时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段和最值问题，三角形的面积公式，掌握好相关知识是关键． 【类型三】全等三角形的动点求t 1．如图，在中，，，，P、是边、上的两个动点，于点，于点设点、运动的时间是秒，若点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回到点停止运动；点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后停止运动，当和全等时，的值是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理以及分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况：①时，点P从C到A运动，则，，再根据全等三角形的判定定理列方程求解即可；②时，点P从A到C运动，则，再根据全等三角形的判定定理列方程求解即可． 【详解】解：①当时，点P从C到A运动，则，， ∵， ∴，即，解得：； ②当时，点P从A到C运动，则， ∵， ∴，即，解得：． 综上所述：当或时，和全等． 故答案为：2或4． 2．如图，在中，，，，过点作．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点的运动而运动，始终保持．若点的运动时间为秒，则当以，，为顶点的三角形与全等时，________秒． 【答案】5或9或14 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键． 分情况，当E在线段上，当E在射线上，证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算，即可求解． 【详解】①当E在线段上，时，， ， ， ， 点的运动时间为秒； 当E在线段上，时，，这时在点未动，因此运动时间为0秒，不符合题意； ②当E在射线上，时，，如图1所示， ， ， ， 点的运动时间为秒； 当E在射线上，时，，如图2所示， ， 点的运动时间为秒； 故答案为：5或9或14． 3．如图，在长方形中，，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当点P在运动的过程中，______；______（用含t的代数式表示）； (2)当时，的面积______； (3)连接、，当时，求t的值； (4)当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积． 【答案】(1)； (2) (3) (4)， 【分析】（1）根据点P运动的速度和时间即可表示出，然后根据即可求解； （2）首先画出图形，然后根据题意得到，，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）由得到，然后列方程求解即可； （4）根据是以为底的等腰三角形，则点P在边上，根据等腰三角形的性质得，又，然后根据，得方程，求解得到t值；最后根据三角形面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵点P以的速度从A点出发，沿运动， ∴， ∵， ∴． 故答案为：；； （2）解：当时，P运动的路程为：， ∵， 又∵， ∴此时点P在边上，如图所示， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）如图所示， ∵ ∴ ∴ ∴； （4）解：∵是以为底的等腰三角形 ∴点P在边上， 过点P作交于点E，如图， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵长方形， ∴根据题意可得四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查动点问题，等腰三角形的性质，列代数式，一元一次方程的应用，三角形面积，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【类型四】全等模型一倍长中线 1．【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E使，连接． 由已知和作图能得到，所以． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是 ； A．  B．   C．   D． (2)请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为 （写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． (3)如图②，是的中线，交于G，．探究与的关系，并说明理由； 【深入探究】 (4)如图③，在和中，，，且，连接，F为的中点，连接并延长交于H，，，求的面积． 【答案】(1)B (2)1（或3或5或7或9或11） (3)，理由见解析 (4)8 【分析】（1）根据边角边的证明方法即可得到； （2）根据三角形三边的关系先得到的范围，再由，且边的长度为奇数，这一条件求解即可； （3）同理可证，可得，再由，转化边的关系求解角度的关系即可； （4）添加辅助线，延长至点G使，连接，同理可证明，再证明，由此可得，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴的理由是B； （2）解：∵， ∴，， ∴， 在中，， 即，即 ∵边的长度为奇数，且， ∴的长可能为1或3或5或7或9或11； （3）解：，理由如下： 延长至点E使，连接，如图， 同理可证， ∴，， ∵． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：延长至点G使，连接，如图， 同理可知， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 即， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，则， ∴． 2．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． 【答案】（1），2；（2）见解析；（3）,的面积为12 【分析】（1）如图1：先延长至点，使，连接，易证可得，，再在中利用三角形的三边关系可得，进而得到，再结合已知条件即可解答； （2）如图：延长到点F，使，连接．易证可得，进而得到，再根据等边对等角可得，最后根据等量代换即可解答； （3）如图3：延长到点E，使，连接．易证可得、，再证明可得、，即；再说明，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）如图1：先延长至点，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∵线段的长度为整数， ∴． 故答案为：，2． （2）证明：如图：延长到点F，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）如图3：延长到点E，使，连接． ∵点D是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】灵活运用“倍长中线法”构造全等三角形是解题的关键． 3．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围． 以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至点，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________；中线的取值范围是__________； 【灵活运用】 （2）如图2，在中，分别过作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，试判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在五边形中，，为中边上的中线． ①求证：； ②若，求五边形的面积． 【答案】（1）；；（2），见解析；（3）①见解析；②42 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段中点的性质，三角形的三边关系，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段的中点得出，证明，然后利用三角形的三边关系进行求解即可； （2）延长至点，使，连接，借助（1）的结论，证明，得出相等的边，再证明，得出，即可得出结论； （3）①延长，交于点，证明和，得出相等的边和角，然后利用角的和差得出，即可得出结论； ②根据全等三角形得出相等的边，得出，然后求出其它三角形面积即可． 【详解】解：（1）在中，若，，延长至点，使，连接． 是边上的中线， ． 在和中 ， ． 在中，由三角形三边关系可得 ，即， ， 故答案为：；； （2）．理由如下： 如图1，延长至点，使，连接， 由（1）得， ． ， ， 即． ， ． ． 在和中 ， ． ， ． （3）①证明：如图2，延长，交于点． ， ． ， ， ， ． 在和中 ， ． ， ． 在和中 ， ． ，即， ， ； ②， 由①可知，． ， ． ， ， ． 【类型五】全等模型—截长补短 1．问题初探：（1）如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．求证：； 方法迁移：（2）如图2，是的角平分线，．求证：； 问题拓展：（3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】 （1）证明过程见解析； （2）证明过程见解析； （3）线段，，之间的数量关系为． 【分析】（1）由折叠的性质可证三角形全等，可得对应边相等，对应角相等，结合已知，可得等腰直角三角形，等量代换，即可证得结论； （2）在上截取，综合全等三角形的判定和性质，可得，结合已知和三角形外角的性质，可得等腰三角形，等量代换，即可证得结论； （3）在射线上截取，结合角平分线，可证三角形全等，对应边相等，对应角相等，由已知结合三角形外角的性质，可得等腰三角形，等量代换，即可得出线段，，之间的数量关系． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图，在上截取， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：， 证明：如图，在射线截取，连接， ∵是的外角的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：线段，，之间的数量关系为． 【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线． 2．如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． （1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线，交于点 ∴,， ∵是的外角， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 3．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见详解； (2)，理由见详解 【分析】（1）延长到点，使，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到． （2）在的延长线上取一点，使得，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到，根据圆周角为，得到． 【详解】（1）解：线段之间的数量关系为：，理由： 如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，在的延长线上取一点，使得，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ． 【类型六】全等模型一半角 1．（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的结论不成立，，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，夹半角模型． （1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长到G，使，连接．在和中，已知了一组直角，，，因此两三角形全等，可得，，进而得．由此可证，即可得，进而可得结论． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】解：（1）延长到G，使，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）（1）中的结论不成立，， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴． ∵在与中， ， ∴， ， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， ． 2．如图①，E，F分别是正方形的边，上的动点，且满足．    (1)试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在正方形中，，连接，分别交，于点M，N，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，正方形的性质，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． （1）如图①将顺时针旋转，得到，由旋转的性质可知：，，接下来在证明，然后依据证明即可解决问题； （2）将逆时针旋转得．在中依据勾股定理可证明，接下来证明，得到，最后再由证明即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图①将顺时针旋转，得到， 由旋转的性质可知：，，， 四边形为正方形， ． 又， ． ． ． 在和中， ， ∴， ， ； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图所示：将逆时针旋转得，   四边形为正方形， ，， 由旋转的性质可知：，，，， ， ， ∵， ∴， ∵， ， 在和中， ， ∴， ． 又， ． 3．阅读材料，解决问题： 折叠、旋转是我们常见的两种图形变换方式．如图1，在 中，，，点，在边上，，若，，求的长． 小艳发现，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接（如图．使条件集中在中，可求得（即的长，具体作法为：作，且，连接、，可证，再结合已知中，可证，得，接着在 中利用勾股定理即可求得的长，即的长． (1)请你回答：与全等的条件是_____（填“”、“”、“”、“”或“”中的一个），的长为________； (2)如图3，正方形中，点为延长线上一点，将沿翻折至位置，延长交直线于点． ①求证：； ②连接交于点，连接（如图，请你直接写出的值． 【答案】(1)，； (2) ①连接， 沿翻折至位置，四边形是正方形， ，， 在与中， ， ∴ ； ②． 【分析】（1）根据绕点按逆时针方向旋转得到可得，，结合可得，根据边角边定理即可得到证明，在中利用勾股定理即可得到答案； （2）①连接，根据定理即可得到，即可得到证明； ②连接，过作交延长线于一点，根据折叠得到，，由①可得，，即可得到，从而得到，根据正方形性质可得，，结合可得，即可得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：绕点按逆时针方向旋转得到， ，，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 绕点按逆时针方向旋转得到， ，， ， ， 在 中，， ， ， 故答案为：，； （2）①略 ②连接，过作交延长线于一点， 沿翻折至位置， ，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是添加辅助线． 1．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）如图，已知是的边上的高，下列能使的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是的边上的高 ∴ ∵ ∴若添加条件， ∴，故A符合题意； 若添加条件，无法证明，故B不符合题意； 若添加条件，无法证明，故C不符合题意； 若添加条件，无法证明，故D不符合题意． 2．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，的平分线交于点D，于点E，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：，， ． ，的平分线交于点D，于点E， ． 3．（25-26九年级下·山西太原·阶段检测）如图，研学小组的同学为了测量公园人工湖岸边上点到湖对岸边上点之间的距离，在与点同侧的湖岸上选择了一点，利用激光测角仪测得，的度数；然后在点所在的湖岸边找点，使得，同时，利用全等三角形的性质，可得之间的距离．图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先理解题意，结合，，，证明，即可作答． 【详解】解：依题意，∵，，， ∴， ∴图中与全等的依据是． 4．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论个数有（     ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】通过证明，根据全等三角形的性质可得②；利用三角形外角的性质，可判断①，过点O分别作，垂足分别为E，F，根据全等三角形对应边的高相等可得，进而可判断④． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，所以②正确； 设与交于点 ， ，所以①正确； 过O点作于E，于F，如图， ≌， ∴ ∵ ， 平分，所以④正确； 对于平分，现有条件不足以证明， ，所以③错误． 综上所述：正确的结论是①②④． ∴有3个正确的． 5．（25-26七年级下·甘肃兰州·阶段检测）如图，，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】根据全等三角形对应角相等可得，然后结合图形利用角的和差关系得出． 【详解】解： ， ． 6．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，已知与的面积相等，如果，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】由两三角形面积相等，得为的底边的中线，证明，得，根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边就可以求解． 【详解】解：延长到E，使， ，已知与的面积相等， 为的底边的中线， ， 在和中 ， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ． 7．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值________． 【答案】或4 【分析】先得出t的取值范围，然后分情况讨论：①当点在延长线上时，②当点在线段上时，，证明，可得此时，用含t的式子表示出和，然后得出方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 分情况讨论： ①如图，当点在延长线上时，． ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， 当时，有． ，， ， 解得； ②如图，当点在线段上时，．    同①得， 又， 当时，有． ，， ， 解得； 综上，当与全等时，t的值为秒或4秒． 8．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 证明：， （___________） ， ____________________ 即：__________=__________ 在和中， （_____________） （_____________） ． 【答案】两直线平行，内错角相等；；；；；；；；；全等三角形的对应角相等 【分析】根据平行线的判定与性质结合证明即可． 【详解】略 9．（25-26七年级下·河南商丘·阶段检测）如图，在中，于点D，过点B作于点E，交于点F，．求证：． 【答案】∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】先结合，得出，再结合对顶角相等以及角的等量代换，得，又因为，故，即可作答． 【详解】略 10．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）在学习了三角形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考．如图所示，在中，平分交于点． (1)用直尺和圆规，在线段的上方作，使得，与交于点（不写作法和结论，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，试说明：，并按下列思路完成填空． 证明：平分， （___________①___________）． 在和中 ． （___________④___________）． ， ． （___________⑤___________）． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）根据全等三角形的判定方法和性质，进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）证明：平分， （角平分线的定义）． 在和中 ． （全等三角形的对应角相等）． ， ． （垂直的定义）． 1．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，两根钢条、的中点 O连在一起，使、 可以绕着点 O自由转动，就做成一个测量工具， 的长等于内槽宽 ，那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】根据线段中点的定义得到，再由对顶角相等得到，则，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵两根钢条的中点连在一起， 又∵， ， ， 故判定的理由是边角边． 2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图射线平分，点D在上，，，若，则的长度为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵平分，，， ∴． 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形．已知，，则有下列说法：其中一定错误的是（     ） A． B． C． D．图中阴影部分的面积为 【答案】B 【分析】根据平移的性质，全等三角形的性质，梯形的面积解答即可； 【详解】解：将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形． ， ，，，，，， ，， ， 故A，C，D都是正确的； ， ， ， 不一定相等，， 不一定相等， 不一定相等； 4．（25-26八年级下·四川·期中）如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】过点作，利用角平分线的性质，证得和，根据等量代换进行求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得． 5．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，若，，，则的度数是______． 【答案】/100度 【详解】解：∵， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在四边形中，，，若平分，则的面积为___________． 【答案】8 【分析】过点作交的延长线于点，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 平分，，， ， ． 7．（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）如图，点B， C， D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】先证明，得出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 8．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在和中，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】先得出，再得出即可得证． 【详解】证明：略． 9．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）墙面上贴有规格相同的正方形瓷砖，其示意图如下，正方形瓷砖与正方形瓷砖之间用三角形瓷砖和三角形瓷砖拼接，于点C，于点D，点B，C，E与点B，D，G分别在同一直线上．求证：． 【答案】证明：根据题意可知， ∵，， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【分析】根据题意易得，然后可得，进而问题可求证． 【详解】略 10．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，连接、． 【问题发现】 (1)小明发现图1就是手拉手模型，拉手线、存在某种数量关系．其探究过程如下： 请你帮助小明完善以下推理过程． 解：        ， ① 在和中， ， ∴② ． (2)如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点D、点E在一条直线上，交于点O．小明发现与依然全等．当时，求． 【拓展探究】 (3)在图2的基础上，延长至点F，如图3．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据角的和差关系结合全等三角形的性质，作答即可； （2）根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理即可得出结果； （3）过点A作于点M，作于点N，证明，得到平分即可. 【详解】（1）解： ， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）可知 ． 且 在与中 ， ； （3）解：． 理由：如图，过点A作于点M，作于点N． 由（1）可知，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵； ∴平分. ∴. 1．（25-26七年级下·全国·期末）如图，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，即可判断． 【详解】解：∵，与，与是对应角，与是对应边， ∴，，， 而与不是对应边， ∴与不一定相等． 2．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，D是上一点，交于点E，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．1 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质得，再根据“角角边”证明，可得，然后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，点D、E分别在、上，已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用证明，得出对应角相等，结合平角定义和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ，， 点在上， ， ， ， ， 在中，． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论中不正确的是（    ） A．的值不变 B． C．的长度不变 D．四边形的面积不变 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质．作于，于，于，可证，所以，由平分，得证，于是，所以，同时，所以，，推出，进一步得到，，所以，故B正确；因为，故A正确；由三角形全等可知，所以定值，故D正确；，的位置变化，所以的长度是变化的，故C错误． 【详解】解：如图作于，于． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，于，于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴定值，故D正确， ∵为定值，故A正确， ∵，的位置变化， ∴的长度是变化的，故C错误． ∵， ∴， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴，故B正确， 故选：C． 5．（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知在的方格中，点、、、、均在格点上，那么____________度． 【答案】90 【分析】取格点F，连接，，得到，得到，进而求解即可． 【详解】解：取格点F，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，，过A点作；，，，连接，则的面积为_____． 【答案】3 【分析】过点E作交延长线于点F，证明，得到，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：过点E作交延长线于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的面积为． 7．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． （1）若，，则的长为_____； （2）在（1）条件下，点M为边上一点，连接CM，过点C作，且（点N在直线l的上方），连接交直线l于点F，若，则的长为______． 【答案】 4 / 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余及利用三角形面积公式求线段长度． （1）利用证明，进而通过已知条件利用全等三角形的性质求得的长度； （2）过点N作交直线l于点G，利用证明，得出，利用三角形面积公式求得的长度，进而根据线段的和差关系求出结果． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴； 如图，过点N作交直线l于点G， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形的对角线相交于点，，点F在上，． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，可得，即可求证； （2）根据，可得，，从而得到，即可求证． 【详解】（1）证明：，， ， ， 在和中， ， ． （2）证明：由（1）得， ，， ， ， 平分． 9．（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知为线段上一点，在中，，在中，且，连接、，分别交、于点、，交于点． (1)求证：； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明； （2）根据全等三角形的性质和三角形的外角计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·山东济南·期中）综合与实践 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，则与的数量关系是____； (2)如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，则的长为多少，请说明理由； (3)如图3，在等腰直角中，，，点D是延长线上一点，以A为直角顶点，线段为直角边向左侧作等腰直角，连接交于点F，求证：． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据，得到，结合，得到，从而得到即可得到即可得到答案， （2）同（1）证明即可得到答案； （3）过点E作交的延长线于点H，证明，得到，，再证明，得到，则可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴； （3）证明：如图所示，过点E作交的延长线于点H， ∴， ∴， ∵是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $