第三章圆锥曲线的方程章末模拟测试卷2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本单元卷全面覆盖圆锥曲线定义、方程及性质，通过基础巩固、能力提升到创新应用的梯度设计，适配高中数学第三章单元复习，助力逻辑推理与数学运算素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|抛物线准线（1题）、椭圆定义（2题）|基础题与提升题结合（如5题“果圆”综合几何图形）| |多选|3/18|双曲线方程确定（9题）、轨迹类型判断（10题）|注重知识辨析（如10题结合基本不等式判断轨迹）| |填空|3/15|双曲线最值（12题）、椭圆离心率范围（13题）|强调数学抽象（如13题通过几何关系求离心率范围）| |解答题|5/77|轨迹方程推导（15题）、“卫星圆”创新题（19题）|突出综合应用与逻辑推理（如19题证明弦长定值）|

第三章　圆锥曲线的方程 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知点P(-2,4)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是(　　) A.(0,2) B.(0,4) C.(2,0) D.(4,0) 2.已知椭圆M:x2+=λ经过点(1,2),则M上一点到两焦点的距离之和为(　　) A.2 B.2 C.4 D.4 3.已知双曲线=1的一条渐近线的方程为y=x,则双曲线的焦距为(　　) A. B.10 C.2 D.2 4.已知F1,F2分别是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆上一点,且PF2垂直于x轴,cos∠F1PF2=,则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D.2 5.我们把由半椭圆=1(x≥0)与半椭圆=1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2=b2+c2,a>b>c>0),如图所示,其中点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点.若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,则a,b的值分别为(　　) A.,1 B.,1 C.5,3 D.5,4 6.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于(　　) A. B. C. D. 7.(2026吉林长春期中)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过原点O的直线与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,点D在双曲线C上且=2,若以AB为直径的圆过点F1,则的值为(　　) A. B. C. D. 8.椭圆C的左焦点F关于直线l:y=-x的对称点是M,连接FM并延长交椭圆C于点P.若,则椭圆C的离心率是(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),则能使双曲线C的方程为=1的是(　　) A.离心率为 B.双曲线过点 C.渐近线方程为3x±4y=0 D.实轴长为4 10.若定点F1(0,-2),F2(0,2),动点P满足|PF1|+|PF2|=a+(a>0),则点P的轨迹可能是(　　) A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线 11.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则下列结论中正确的有(　　) A.x1x2=1 B.y1y2=-4 C.=1 D.=2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知双曲线C:x2-=1的左焦点为F1,顶点Q(0,2),P是双曲线C右支上的动点,则|PF1|+|PQ|的最小值等于　　　　　.  13.已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为e,F1,F2分别为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角,则满足条件的e的取值范围是　　　　　　　.  14.若抛物线C:y2=2px(p>0)上一点A的横坐标为,且点A到抛物线C的焦点的距离为,则点A的一个纵坐标为　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)设A,B分别是双曲线=1两条渐近线上的动点,且||=2,设O为坐标原点,动点P满足,求动点P的轨迹方程. 16.(15分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦距为2,且过点P. (1)求椭圆C的方程; (2)斜率大于0且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,若=3,求直线l的方程. 17.(15分)已知F1,F2分别是双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍, (1)求双曲线的渐近线方程; (2)当∠F1PF2=60°时,△PF1F2的面积为48,求此双曲线的方程. 18.(17分)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在抛物线上,且A的横坐标为4,|AF|=5. (1)求抛物线的方程; (2)设l为过点(4,0)的任意一条直线,若l交抛物线于A,B两点,求证:以AB为直径的圆必过坐标原点. 19.(17分)给定椭圆C:=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离心率为,点(2,)在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”的方程; (2)P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点,过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,且l1,l2分别交其“卫星圆”于点M,N,证明:弦长|MN|为定值. 参考答案 1.C　因为点P(-2,4)在抛物线y2=2px的准线上,所以-=-2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).故选C. 2.D　由椭圆M:x2+=λ经过点(1,2)可得λ=2,即椭圆方程为=1,则a=2,由椭圆的定义可知M上一点到两焦点的距离之和为2a=4. 3.C　由题意得,∴m=4, 则双曲线的焦距为2=2. 4.A　∵PF2⊥x轴,∴|PF2|=,|PF1|=2a-.由cos∠F1PF2=,可得,可得.故e=.故选A. 5.A　|OF2|=,|OF0|=c=|OF2|=,∴b=1,∴a2=b2+c2=,得a=,即a=,b=1. 6.B　设A(x1,y1),B(x2,y2), 易知x1>0,x2>0,y1>0,y2>0. 由得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0, 所以x1x2=4. ① 根据抛物线的定义得, |FA|=x1+=x1+2,|FB|=x2+2. 因为|FA|=2|FB|,所以x1=2x2+2, ② 由①②得x2=1(x2=-2舍去), 所以B(1,2),代入y=k(x+2)得k=. 7.C　连接AF1,BF1,DF1,AF2,由以AB为直径的圆恰好过左焦点F1可得AF1⊥BF1,由双曲线的对称性得四边形AF2BF1为矩形.可设|BF2|=t,则|F2D|=2t,|BF1|=2a+t,|DF1|=2a+2t,在直角三角形DBF1中,可得|BD|2+|BF1|2=|DF1|2,即(3t)2+(2a+t)2=(2a+2t)2,解得t=(t=0舍去).又在直角三角形BF1F2中,|BF2|2+|BF1|2=|F1F2|2,即t2+(2a+t)2=4c2,=4c2,因为c2=a2+b2,所以=4(a2+b2),即.故选C. 8.A　由题意,可设椭圆C:=1的左焦点F(-c,0),设F关于直线y=-x的对称点M的坐标为(x0,y0),则解得 ∴M(-c,c). 又,∴P(0,c). 点P在椭圆上,代入椭圆C:=1,得=1,即3c2=b2=a2-c2,即,故离心率e=. 9.ABC　由双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),可得c=5. 如果离心率为,可得a=4,则b=3,所以双曲线C的方程为=1,故A正确; 如果双曲线过点,可得解得所以双曲线C的方程为=1,故B正确; 如果渐近线方程为3x±4y=0,可得,a2+b2=25,解得a=4,b=3,所以双曲线C的方程为=1,故C正确; 如果实轴长为4,可得a=2,b=,双曲线C的方程为=1,故D不正确.故选ABC. 10.BC　由题意知,定点F1(0,-2),F2(0,2),可得|F1F2|=4,因为a>0,可得|PF1|+|PF2|=a+≥2=4,当且仅当a=,即a=2时,等号成立. 当a+=4时,可得|PF1|+|PF2|=|F1F2|,此时点P的轨迹是线段F1F2; 当a+>4时,可得|PF1|+|PF2|>|F1F2|,此时点P的轨迹是椭圆. 故选BC. 11.ABC　由题意知,F(1,0),直线AB的斜率不可能为0,故可设其方程为x=ty+1,联立消去x,得y2-4ty-4=0,∴y1+y2=4t,y1y2=-4,故B正确;故x1x2=(ty1+1)(ty2+1)=t2y1y2+t(y1+y2)+1=-4t2+4t2+1=1,故A正确;由抛物线的定义知,|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,又x1+x2=t(y1+y2)+2=4t2+2,∴=1,故C正确,D错误.故选ABC. 12.6　结合题意,绘制图象.根据双曲线的性质可知|PF1|-|PF2|=2a=2,得到|PF1|=|PF2|+2, 所以|PF1|+|PQ|=|PF2|+|PQ|+2≥|QF2|+2,而Q(0,2),F2(2,0), 所以|QF2|==4, 所以|PF1|+|PQ|的最小值为6. 13.　如图,当点P位于短轴端点P0处时,∠F1PF2最大,因为椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角,所以在△P0F1F2中,∠F1P0F2>90°, 所以直角三角形P0OF2中,∠OP0F2>45°, 所以P0O<OF2,即b<c, 所以a2-c2<c2, 即a2<2c2,所以e>. 又0<e<1,所以<e<1. 14.或-　因为准线方程为x=-, 所以, 所以p=1, 所以抛物线C:y2=2x,点A的横坐标为, 所以点A的纵坐标为±. 15.解设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y), ∵动点P满足, ∴x=x1+x2,y=y1+y2. ∵A,B分别是双曲线=1的两条渐近线上的动点, ∴y1=x1,y2=-x2, ∴x=x1+x2=(y1-y2),y=y1+y2=(x1-x2), ∴|AB|==2. 化简可得P的轨迹方程为=1. 16.解(1)由题意得c=,设左焦点为F1, 则F1(-,0),F2(,0),2a=PF1+PF2==4, ∴a=2,b==1. 故椭圆C的方程为+y2=1. (2)设直线l的方程为x=my+(m>0),代入椭圆方程得(m2+4)y2+2my-1=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2), Δ=16(m2+1)>0恒成立,由根与系数的关系可得y1+y2=, ① y1y2=, ② 由=3得y1=-3y2, ③ 由①②③可得m=. 故直线l的方程为y=x-. 17.解(1)因为双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,则点F2到渐近线距离为=b(其中c是双曲线的半焦距),所以由题意知c+a=2b. 又因为a2+b2=c2, 解得b=a, 故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y=0. (2)因为∠F1PF2=60°,由余弦定理得,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°=|F1F2|2, 即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=4c2. ① 又由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a, 平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4a2, ② 由①②式相减得|PF1||PF2|=4c2-4a2=4b2. 根据三角形的面积公式得S=|PF1||PF2|sin 60°=·4b2=b2=48, 得b2=48.再由(1)中结论得a2=b2=27, 故所求双曲线方程是=1. 18.(1)解抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(,0),准线为x=-,由抛物线的定义可得,|AF|=4+=5,解得p=2,即抛物线的方程为y2=4x. (2)证明设直线l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程y2=4x,可得y2-4my-16=0, Δ=16m2+64>0恒成立, y1+y2=4m,y1y2=-16,x1x2==16, 即有x1x2+y1y2=0,则,则以AB为直径的圆必过坐标原点. 19.(1)解 由条件可得 解得 所以椭圆C的方程为=1,卫星圆的方程为x2+y2=12. (2)证明 当l1,l2中有一条斜率不存在时,不妨设l1斜率不存在, 因为l1与椭圆只有一个公共点,则其方程为x=2或x=-2, 当l1的方程为x=2时,此时l1与“卫星圆”交于点(2,2)和(2,-2), 此时经过点(2,2)或(2,-2)且与椭圆只有一个公共点的直线是y=2或y=-2,即l2的方程为y=2或y=-2,所以l1⊥l2, 所以线段MN应为“卫星圆”的直径, 所以|MN|=4. 同理当l1的方程为x=-2时,|MN|=4. 当l1,l2的斜率都存在时,设点P(x0,y0),其中=12, 设经过点P(x0,y0)且与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(x-x0)+y0, 联立消去y,整理得(1+2t2)x2+4t(y0-tx0)x+2(y0-tx0)2-8=0, 所以Δ=(64-8)t2+16x0y0t+32-8=0, 设l1,l2的斜率分别为t1,t2, 所以t1t2==-1, 满足条件的两直线l1,l2垂直, 所以线段MN应为“卫星圆”的直径, 所以|MN|=4. 综上,|MN|=4,为定值. 11 学科网（北京）股份有限公司 $