29.3 弧长和扇形面积（第1课时）课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“弧长和扇形面积”，通过复习圆的周长、面积及相关概念导入，引导学生从360°圆心角对应的弧长和面积出发，逐步推导n°圆心角的弧长与扇形面积公式，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以合作探究推动公式推导，渗透转化与类比思想，培养数学思维的推理能力。结合管道展直、乒乓球拧拉等生活实例及中考真题，强化数学眼光的抽象能力与数学语言的模型意识，助力学生理解应用，教师可依托系统环节提升教学效率。

人教版数学九年级上册 第二十九章 圆 29.3 弧长和扇形面积 （第1课时） 学习目标 1 2 能利用弧长表示扇形面积．并能利用公式计算弧长和扇形面积. 在弧长和扇形面积公式的推导过程中，体会转化、类比的数学思想． 目录 1 4 2 3 巩固练习 典例分析 复习引入 合作探究 5 6 当堂检测 课堂小结 7 布置作业 1 复习引入 圆 圆的有关概念 点与圆的位置关系 过三点的圆 圆的有关性质 圆的对称性 圆的轴对称性 垂径定理及其推论 圆的旋转对称性 弧、弦、圆心角之间的关系 同弧所对圆周角和圆心角的关系 圆的有关计算 如图，⊙O的半径为r，则它的周长为 ，面积为 . 2πR πR2 1 复习引入 问题 如何计算圆的周长和面积？ 2 合作探究 思考并填空 我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分. 圆的周长可以看作 度的圆心角所对的弧长； 360°的圆心角所对的弧长是 ； 1°的圆心角所对的弧长是 ； 30°的圆心角所对的弧长是 ； n°的圆心角所对的弧长是 . 360 2πR 练习 半径为1的圆中，30°的圆心角所对的弧长是 ； 半径为3的圆中，60°的圆心角所对的弧长是 ； 半径为a的圆中，100°的圆心角所对的弧长是 . 2 合作探究 n°的圆心角所对的弧长为：l=. π 例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料.计算下图所示管道的展直长度L(结果取整数). 2 合作探究 解：由弧长公式，得AB的长 l==500π≈1570. 因此所要求的展直长度 L≈2×700+1570=2970(mm). 如无特殊说明，π取3.14. 2 合作探究 2 合作探究 思考并填空 如图，由组成圆心角的两条 和圆心角所对的 围成的图形叫作扇形. 扇形的面积除了与圆的半径有关，还与组成扇形的 有关. 在同圆或等圆中，圆心角越大，扇形面积也就越大. 圆面积可以看作圆心角为 度的扇形的面积； 圆心角为360°的扇形的面积是 ； 圆心角为1°的扇形的面积是 ； 圆心角为45°的扇形的面积是 ； 圆心角为n°的扇形的面积是 . 半径 弧 圆心角的大小 360 πR2 练习 半径为1，圆心角为60°的扇形的面积是 ； 半径为4，圆心角为120°的扇形的面积是 ； 半径为a，圆心角为50°的扇形的面积是 . 2 合作探究 圆心角为n°的扇形的面积是：S扇形=. 2 合作探究 S扇形= = R = l R. 用弧长表示扇形面积. n°的圆心角所对的弧长为：l=. 圆心角为n°的扇形的面积是：S扇形=. 分析：截面半径是0.6 m→ . 水面高0.3 m→ . 截面上有水部分的面积→ . 例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3 m. 求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位). 2 合作探究 OA=OB=0.6 CD=0.3 S扇形OAB-S△OAB 2 合作探究 解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交于点C，连接AC. ∵OD=OC-DC，OC=0.6，DC=0.3， ∴OD=0.3. ∴OD=DC. 又AD⊥OC，∴AD是线段OC的垂直平分线. ∴AC=AO=OC. 从而∠AOD=60°，∠AOB=120°. 由勾股定理得：AD==. 由垂径定理得：AB=2AD=. 2 合作探究 则有水部分的面积 S=S扇形OAB-S△OAB =×0.6²-AB·OD =0.12π-××0.3 ≈0.22(m²). 2 合作探究 弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积 中考演练（2026江苏扬州） “拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为20 cm，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为90°，小明手腕的运动路线长为（     ） A．5π cm B．10π cm C．20π cm D．40π cm 3 典例分析 B 中考演练（2026广东） 如图，⊙O的半径为1，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=30°．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 3 典例分析 A 中考演练（2026陕西） 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于点D．若AB=4，则BD的长为_________． 3 典例分析 π 中考演练（2026四川凉山州） 如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（     ） A． B． C．π D．2π 3 典例分析 C 答：弧长相等的两段弧不一定是等弧. 反例：在半径为20的圆中，60°圆心角所对的弧长是； 在半径为40的圆中，30°圆心角所对的弧长是； 两段弧虽然长度相等，但没有在同圆或等圆中，所以它们不是等弧. 1. 弧长相等的两段弧是等弧吗?并说明理由. 4 巩固练习 解：由题意得： 12=， 解得：R=≈8.5（米）. 答：这段圆弧所在圆的半径R约是8.5米. 4 巩固练习 2. 如图，有一段弯道是圆弧形的，弯道长是12 m，弧所对的圆心角是81°.这段圆弧所在圆的半径R是多少米(结果保留小数点后一位)? 分析：阴影部分的面积 =等边三角形ABC的面积-三个60°扇形的面积 = =a2. 4 巩固练习 3. 如图，△ABC是边长为a的等边三角形，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，为半径作圆.求图中阴影部分的面积. 5 当堂检测 1.（2022浙江丽水）如某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2 m，高为2 m，则改建后门洞的圆弧长是（     ） A． m B． m C． m D．( +2) m C 5 当堂检测 2.（2025山东德州）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径.设这条切线交大圆于点A，B，量得AB的长是5 cm，则剩余部分的面积是（    ） A．25π cm2 B．π cm2 C．π cm2 D．π cm2 D 5 当堂检测 3.（2022山东枣庄）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′ 所经过的路径长为 _____．（结果保留π）    6 课堂小结 圆 圆的有关概念 点与圆的位置关系 过三点的圆 圆的有关性质 圆的对称性 圆的轴对称性 垂径定理及其推论 圆的旋转对称性 弧、弦、圆心角之间的关系 同弧所对圆周角和圆心角的关系 圆的有关计算 弧长、扇形面积 7 布置作业 A 习题29.3：第1，2，3题. B 习题29.3：第5，6题. $