3.3.1 抛物线及其标准方程 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 3.3.1抛物线及其标准方程同步练习，高中数学新授课同步练，以6:3:3分层配比构建“基础巩固-能力提升-综合应用”三阶路径，强化从概念理解到实际应用的知识内化，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|抛物线定义、焦点准线、标准方程|直接应用公式求参数（如选择1求p），简单轨迹判断（选择3）| |提升层|最值问题、参数分类讨论|结合定义转化距离（选择4），多解分析准线位置（填空5）| |综合层|实际应用、曲线综合|太阳灶抛物面建模（选择6），抛物线与圆/直线综合证明（解答11-12）|

3.3.1 抛物线及其标准方程 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝（　 ） A.1 B.2 C.2 D.4 2.已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（　 ） A.（，－1） B.（，1） C.（1，2） D.（1，－2） 3.过点A（3，0）且与y轴相切的圆的圆心轨迹为（　 ） A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 4.已知点M（－3，2）是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是抛物线上的一动点，则｜MQ｜－｜QF｜的最小值是（　 ） A. B.3 C. D.2 5.抛物线y＝mx2（m≠0）的准线与直线y＝1的距离为3，则此抛物线的方程为（　 ） A.x2＝－16y B.x2＝8y C.x2＝16y或x2＝－8y D.x2＝8y或x2＝－16y 6.为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果（容器灶圈在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处），容器灶圈应距离集光板顶点（　 ） A.0.5 m B.1 m C.1.5 m D.2 m 二、填空题 7.已知点A（1，）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为 　. 8.已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：（x－1）2＋（y－2）2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为 ，准线方程为 . 9.已知F是抛物线y2＝8x的焦点，P为抛物线上的动点，且点A的坐标为（－2，0），则的最小值是 . 10．已知抛物线C：y2＝4x，C的焦点为F，点M在C上，且|FM|＝6，则点M的横坐标是 ；作MN⊥x轴于点N，则S△FMN＝ ． 三、解答题 11.设抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，点A在抛物线上，已知以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点.若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程. 12.已知以向量v＝（1，）为方向向量的直线l过点（0，），抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点（0，0）关于直线l的对称点在该抛物线的准线上. （1）求抛物线C的方程； （2）设A，B是抛物线C上的两个动点，过点A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若＋p2＝0（O为坐标原点，A，B异于点O），试求点N的轨迹方程. 解析版 一、选择题 1.抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝（　B　） A.1 B.2 C.2 D.4 解析：抛物线的焦点坐标为（，0），焦点到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，解得p＝2（p＝－6舍去）. 2.已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（　A　） A.（，－1） B.（，1） C.（1，2） D.（1，－2） 解析：点Q（2，－1）在抛物线内部，由Q向抛物线的准线作垂线，交抛物线于一点，该点即为所求，易得点P坐标为（，－1）.故选A. 3.过点A（3，0）且与y轴相切的圆的圆心轨迹为（　D　） A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 4.已知点M（－3，2）是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是抛物线上的一动点，则｜MQ｜－｜QF｜的最小值是（　C　） A. B.3 C. D.2 解析：如图，抛物线的准线方程为x＝－， 过点Q作QQ'垂直于准线于点Q'， 连接MQ'，则｜MQ｜－｜QF｜＝｜MQ｜－｜QQ'｜， 显然当MQ∥x轴时，｜MQ｜－｜QF｜取得最小值， 此时｜MQ｜－｜QF｜＝｜MQ'｜＝3－＝. 5.抛物线y＝mx2（m≠0）的准线与直线y＝1的距离为3，则此抛物线的方程为（　D　） A.x2＝－16y B.x2＝8y C.x2＝16y或x2＝－8y D.x2＝8y或x2＝－16y 解析：将y＝mx2（m≠0）化为x2＝y，其准线方程为y＝－.由题意知－＝－2或－＝4，解得m＝或m＝－.则所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y. 6.为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果（容器灶圈在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处），容器灶圈应距离集光板顶点（　B　） A.0.5 m B.1 m C.1.5 m D.2 m 解析：为使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处.如图，画出抛物面的轴截面，并建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），集光板端点A（1，0.25），代入抛物线方程可得2×0.25p＝1，解得p＝2，所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F（0，1）.所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m. 二、填空题 7.已知点A（1，）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为　　. 解析：由题意可得＝2p×1，则2p＝5，抛物线的方程为y2＝5x，准线方程为x＝－， 所以点A到C的准线的距离为1－（－）＝. 8.已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：（x－1）2＋（y－2）2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为　（1，0）　，准线方程为　x＝－1　. 解析：圆M的圆心为（1，2），代入4x＋ay2＝0，得a＝－1，将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为（1，0），准线方程为x＝－1. 9.已知F是抛物线y2＝8x的焦点，P为抛物线上的动点，且点A的坐标为（－2，0），则的最小值是　　. 解析：由抛物线方程y2＝8x可得焦点F的坐标为（2，0），准线方程为x＝－2. 设点P的坐标为（x0，y0）.∵点P为抛物线上的动点，∴＝8x0（x0≥0），且｜PF｜＝x0＋2. ∵点A的坐标为（－2，0）， ∴｜PA｜＝＝＝， ∴＝＝＝， 当x0＝0时，＝1；当x0＞0时，＝≤＝1， 当且仅当x0＝2时等号成立，即≤1，所以≥. 10．已知抛物线C：y2＝4x，C的焦点为F，点M在C上，且|FM|＝6，则点M的横坐标是___5_____；作MN⊥x轴于点N，则S△FMN＝____4____． 解析：因为抛物线C的方程为y2＝4x，则焦点F(1，0)，准线方程l为x＝－1. 如图，过点M作ME⊥l，垂足为E，设M(x0，y0)，则|MF|＝|ME|＝6. 所以x0＋1＝6，解得x0＝5. 所以点M的横坐标为5. 因为点M在抛物线上，所以y02＝4×5＝20. 所以|y0|＝2，即|MN|＝2. 所以S△FMN＝|FN||MN|＝×(5－1)×2＝4. 三、解答题 11.设抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，点A在抛物线上，已知以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点.若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程. 解：因为以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，∠BFD＝90°， 所以△BFD为等腰直角三角形. 故斜边｜BD｜＝2p， 又点A到准线l的距离d＝｜FA｜＝｜FB｜＝p， 所以S△ABD＝4＝｜BD｜×d＝×2p×p， 所以p＝2. 所以圆F的圆心为（0，1）， 半径r＝｜FA｜＝2， 圆F的方程为x2＋（y－1）2＝8. 12.已知以向量v＝（1，）为方向向量的直线l过点（0，），抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点（0，0）关于直线l的对称点在该抛物线的准线上. （1）求抛物线C的方程； （2）设A，B是抛物线C上的两个动点，过点A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若＋p2＝0（O为坐标原点，A，B异于点O），试求点N的轨迹方程. 解：（1）由题意可得直线l：y＝x＋， ① 过原点且垂直于l的直线方程为y＝－2x， ② 联立①②，得x＝－，y＝1. ∵抛物线上的点（0，0）关于直线l的对称点在该抛物线的准线上， ∴－＝－×2，∴p＝2， ∴抛物线C的方程为y2＝4x. （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x，y）， 由＋p2＝0，得x1x2＋y1y2＋4＝0. 又＝4x1，＝4x2， 代入上式得＋y1y2＋4＝0， 解得y1y2＝－8， ③ 直线ON：y＝x，即y＝x. ④ 由③④及y＝y1，得点N的轨迹方程为x＝－2（y≠0）. 页 学科网（北京）股份有限公司 $