3.3.2抛物线的简单几何性质同步练习--2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练习，聚焦抛物线几何性质，分层梯度清晰，从基础概念到综合应用，培养数学抽象、运算推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|抛物线定义、焦点准线、开口大小、离心率|单选题1-4、填空题10-11直接应用概念，强化数学眼光| |进阶层|抛物线范围、参数范围、与双曲线/椭圆综合|单选题5-7、多选题8-9、填空题12-13结合几何性质与代数运算，发展数学思维| |综合层|焦点弦长、垂直证明、综合应用|解答题14-16需逻辑推理与综合运算，提升数学语言表达能力|

3.3.2 抛物线的简单几何性质 同步练习 （附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、单选题 1．点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 3．下列抛物线中，开口最小的是                          A． B． C． D． 4．已知点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 5．双曲线的两条渐近线与拋物线的三个交点为顶点的三角形为等边三角形，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 6．已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（    ） A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值 C．无最大值，无最小值 D．有最大值，有最小值 7．已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 9．已知，分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，抛物线与M交于A，B两点，顺次连接所得封闭图形的周长为，则（    ） A． B．C的准线方程为 C． D．图形的面积为 三、填空题 10．抛物线的离心率为__________． 11．若抛物线的焦点在直线上，则__________． 12．若直线与曲线有且仅有一个公共点，则__________. 13．已知为抛物线：的焦点，过点的直线与相交于，两点，若轴，，则______. 四、解答题 14．已知抛物线：． (1)求抛物线的焦点F的坐标和准线的方程； (2)过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B，求线段AB的长． 15．已知抛物线，过点作直线与抛物线相交于两点，为坐标原点.证明：. 16．已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于，两点，求，中点坐标及弦长． 《3.3.2 抛物线的简单几何性质 同步练习 （附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D A B C D A BD 题号 9 答案 AC 1．A 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、判断抛物线的开口方向 【分析】由抛物线的定义知，点到焦点的距离等于点到准线的距离，结合点和准线的位置，求点到轴的距离. 【详解】抛物线开口向右，准线方程为， 点到焦点的距离为6，则点到准线的距离为6， 点在y轴右边，所以点到y轴的距离为4． 故选：A． 2．D 【知识点】比较抛物线的开口大小 【详解】由抛物线的性质，得抛物线中，越大，抛物线开口越大， 所以抛物线中，开口最大的为. 3．A 【知识点】比较抛物线的开口大小 【分析】根据一次项的系数判断即可. 【详解】对于对于抛物线的标准方程中， 开口最小：说明一次项的系数的绝对值最小， 观察四个选项发现：A选项一次项的系数的绝对值最小， 本题选择A选项. 4．B 【知识点】抛物线的范围 【分析】依题意可得，从而转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为点为抛物线上一动点， 所以，即, 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，此时，. 故选：B 5．C 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、抛物线的对称性的应用 【分析】根据对称性，即可根据求解. 【详解】由对称性可得，双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以 故，所以，所以双曲线的离心率. 故选：C 6．D 【知识点】抛物线的范围、判断抛物线的开口方向 【分析】由题意，可知当点A在原点时横坐标有最小值0，由于AB中点M在上，从而最大值为2. 【详解】      由题意，设 由抛物线范围可知，， 所以如图1，当点A在原点时横坐标有最小值，为0， 由AB中点M在上，可知，即， 所以， 即如图2，当点B在原点时,点A横坐标有最大值，为2. 故选：D. 7．A 【知识点】抛物线的范围、抛物线中的参数范围问题 【分析】设出，利用，可得，由此可求解范围． 【详解】设点的坐标为， 因为的最小值是，所以， 所以，整理得，， 因为，所以， 所以，又， 所以． 8．BD 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】选项A，设过抛物线的焦点的直线为，联立抛物线并应用韦达定理得，进而有；选项B，结合向量数量积的坐标运算来判断；选项C，利用抛物线定义和韦达定理化简，；选项D，中点到准线的距离等于，故以为直径的圆与准线相切. 【详解】选项A，设过抛物线的焦点的直线为， 代入抛物线方程得，因，， 则，， 所以，A错误； 选项B，，， 所以， B正确； 选项C，由抛物线定义，，则，由可知，，，代入得，C错误； 选项D，设中点为，过点作于， 由抛物线定义，即点在以为直径的圆上，故以为直径的圆与l相切，D正确. 9．AC 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据抛物线方程求焦点或准线、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】根据图形的周长得，由离心率计算得，进而判断A，再由计算，得抛物线的方程，即可得抛物线的准线方程，即可判断B，由椭圆的方程与抛物线的方程联立解出点的坐标，即可判断CD. 【详解】由题意得：图形的周长为，所以， 又，所以，所以，故A正确； 由，所以，所以抛物线， 所以抛物线的准线方程为：，故B错误； 所以椭圆， 由，化简得，解得或（舍去）， 当时，，解得， 所以，所以，故C正确， 图形的面积为，故D错误. 10．1 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】根据抛物线的性质求解即可. 【详解】由抛物线的性质可知，. 故答案为：1. 11．2 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【详解】由题知，抛物线的焦点为，代入得，解得． 12． 【知识点】直线与抛物线交点相关问题 【分析】联立方程组得到，再结合题意建立方程，求解参数即可. 【详解】联立方程组，可得， 因为直线与曲线有且仅有一个公共点， 所以，解得. 故答案为： 13．5 【知识点】抛物线的焦半径公式、求直线与抛物线的交点坐标 【分析】结合题意确定点的坐标，代入抛物线方程求出的值，得到抛物线的具体方程， 进而联立直线与抛物线的方程，求出点的坐标,再结合焦半径公式求解. 【详解】不妨设点在第一象限内，，则， 代入，解得，即， 所以直线的方程为，即， 由得，则， 所以， 所以根据抛物线的定义可知，. 14．(1) ，准线的方程为； (2) 20 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）对照抛物线标准形式求出，直接推导焦点坐标和准线方程； （2）先写出过焦点的直线方程，与抛物线联立后用韦达定理结合抛物线定义求解弦长. 【详解】（1）由可得，即. 则抛物线的焦点坐标为，准线的方程为. （2）设点，，由题意，设直线的方程为. 联立直线与抛物线方程 消去，整理得， 则， 又因，， 故弦长. 15．证明见解析 【知识点】向量垂直的坐标表示、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示推理得证. 【详解】显然直线的斜率存在，设其方程为， 由，得，，则， ，， 所以. 16．(1) (2)， 【知识点】根据定义求抛物线的标准方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）根据抛物线的定义列式计算即可求解； （2）设，直线与抛物线联立方程组，由韦达定理结合中点坐标公式及弦长公式计算即可求解. 【详解】（1）由抛物线的定义可知，所以， 即抛物线的方程为； （2）设， 直线与抛物线联立方程组可得， 则，， 所以，， 所以，中点坐标为，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $