28.2　中心对称 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该教案聚焦中心对称及性质、中心对称图形、关于原点对称的点的坐标等核心知识点。通过旋转操作观察图形重合、复习旋转作图、类比轴对称图形等导入方式，搭建新旧知识联系的学习支架。 资料特色在于结合魔术、扑克牌等生活实例，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过探究旋转后图形关系、找对称中心等活动发展数学思维，坐标系中坐标变换练习强化数学语言表达。丰富例题与分组操作活动帮助学生理解，为教师提供实用教学资源，提升课堂效率。

28.2　中心对称 28．2.1　中心对称及其性质 教师备课　素材示例 ●归纳导入　思考： (1)如图①，把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？ (2)如图②，线段AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.把△OCD绕点O旋转180°，你有什么发现？ (3)图①和图②共同点是什么？ 　　　 【归纳】把一个图形绕着某一点旋转__180°__，如果旋转后的图形能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或__中心对称__，这个点叫作对称中心．这两个图形在旋转后能重合的点叫作对称点． 【教学与建议】教学：通过试验操作感受两个图形成中心对称，从而引出中心对称的概念．建议：讲解中心对称的概念后，导出中心对称的性质． ●复习导入　什么是图形的旋转？图形的旋转有哪些性质？如何作已知图形的旋转图形？试试作出图中的图形绕点O旋转180°后的图形． 教师：请大家观察你们作出的旋转图形，它们有什么特点呢？下面就让我们一起深入探究吧！ 【教学与建议】教学：复习旋转作图，为中心对称的概念奠定基础．建议：学生画出已知图形旋转180°的图形后，给出中心对称的概念，再探索中心对称图形的性质． 命题角度1　应用中心对称的定义 根据中心对称的概念，将一个图形绕某点旋转180°，若旋转后的图形能与另一个图形重合，则可判断这两个图形成中心对称． 【例1】(1)下列图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是 (A) 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)阿皮家有一台显示数字的电子钟，当阿皮将电子钟倒置时，钟面显示的数字是，那么此时的正确时间是__16：21__． 命题角度2　画出一个图形关于某点的对称图形 一般需先找出图形中的关键点，找出关键点关于对称中心的对称点，再连接成图形即可． 【例2】如图，已知△ABC和点O，在图中画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于点O成中心对称． 解：如图，△A′B′C′即为所求． 命题角度3　根据两个图形成中心对称找出对称中心 一般作法是先找出两个图形的两组对称点，连接对称点后，两线段的交点就是对称中心． 【例3】如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是 (A) A．(3，－1) 　　　　　　B．(0，0) C．(2，－1) 　　　　　　D．(－1，3) 命题角度4　根据中心对称的性质进行计算或证明 利用中心对称的性质解决关于线段或角的问题． 【例4】(1)已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是　 (D) A．AO＝BO B．BO＝EO C．点A关于点O的对称点是点D D．点D在BO的延长线上 (2)如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D.若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为__6__． 高效课堂　教学设计 1．认识两个图形关于某一点中心对称的本质． 2．理解中心对称的性质，并可以判断两个图形是否成中心对称． 3．会画某图形关于某点对称的图形，会确定对称中心． 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ▲重点 判断两个图形是否成中心对称． ▲难点 画某图形关于某点对称的图形，确定对称中心． ◆活动1　新课导入 大家都知道，魔术表演很精彩．相信很多同学都看到过这样一个魔术：魔术师把三张扑克牌放在桌子上，如下图(上)所示，然后蒙住眼睛，请一个观众上台，把其中的一张旋转180°放好，魔术师解开蒙着眼睛的布后，看到四张牌如下图(下)所示，他很快确定了被旋转的那一张．聪明的同学们，你知道哪一张被观众旋转过吗？ 　解：要确定哪张被旋转了，就要根据图形的性质进行判定，四张扑克牌中只有呈中心对称的那张牌被旋转后是看不出来的，这四张牌中只有第一张牌是中心对称图形，所以被观众旋转的牌为第一张．　 ◆活动2　探究新知 1．教材P99　思考． 学生完成并交流展示． 2．教材P100　探究． 提出问题： (1)图28.2－3中，△ABC与△A′B′C′全等吗？为什么？ (2)分别连接对应点AA′，BB′，CC′，点O在线段AA′上吗？如果在，在什么位置？ (3)由此你能得到中心对称的性质吗？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点__对称__或__中心对称__，这个点叫作__对称中心__(简称中心)，这两个图形在旋转后能重合的点叫作__对称点__． 2．中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过__对称中心__，并且被对称中心__平分__． ◆活动4　例题与练习 例1　如图，△A′B′C′与△ABC关于点O成中心对称，找出图中的对称点、对称线段． 解：对称点：A与A′，B与B′，C与C′； 对称线段：AB与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′. 例2　如图所示的四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有 (　C　) A.1组　　　　　B．2组　　　　　C．3组　　　　　D．4组 例3　在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝20 cm，如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在B′处，求点B′与点B的距离. 解：连接BB′，由中心对称可知，BB′必过点O. ∵△ABC为等腰三角形且∠ACB＝90°，∴AC＝BC＝20 cm. ∴CO＝AC＝10 cm. ∴在Rt△BCO中，OB＝＝＝10(cm). ∴BB′＝2OB＝2×10＝20(cm). 答：点B′与点B的距离为20 cm. 练习 1．教材P101　练习第1，2题． 2．如图，△ABC与△A′B′C′是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是 (　D　) A．AO＝A′O，BC＝B′C′　　　B．AC∥A′C′ C．∠BAC＝∠B′A′C′ D．△ABC≌△A′OC′ 3．如图，已知△ABC和点O，画出△A′B′C′，使它与△ABC关于点O成中心对称． 解：如图，△A′B′C′就是所求的三角形． 4．如图所示的两个三角形是否成中心对称？若是，请画出对称中心． 解：图中的两个三角形成中心对称；如图，点O是其对称中心． ◆活动5　课堂小结 1．中心对称及对称中心的概念． 2．中心对称的基本性质． (1)教材P104　习题28.2第1，6题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 28.2.2　中心对称图形 教师备课　素材示例 ●类比导入　(1)欣赏：这些图案有什么共同的特征？ (2)回顾：轴对称图形的特点是沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合． (3)操作：你能将下面图形绕其上一点旋转180°，使旋转前后的图形完全重合吗？找出这些图形的共同特征． 【教学与建议】教学：类比轴对称图形研究中心对称图形，加强新旧知识之间的对比．建议：类比轴对称图形，学习中心对称图形．比较出两种图形的异同． ●悬念激趣　[魔术大揭秘]将图①中的四张扑克牌中的一张旋转180°后，得到图②，你知道旋转了哪一张扑克牌吗？议一议． 　　 【教学与建议】教学：通过魔术游戏及大家常见的扑克牌引入课题，激发学生的学习兴趣．建议：班级先分组，然后实际操作比赛． 命题角度1　中心对称图形的识别 识别中心对称图形，会辨别轴对称图形与中心对称图形． 【例1】(1)下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (A) (2)下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 (A) 命题角度2　中心对称图形的开放性作图 命题方式：①设计中心对称图形；②将原有图形分割为若干个中心对称图形． 【例2】(1)图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的正方形放在图②中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是__③__． 　　 (2)有一块矩形土地ABCD，其中有一口如图所示的圆形井，现将此土地分给甲、乙两户承包种植蔬菜．若使两家得到的面积一样大，请帮他们分一分．(保留作图痕迹) 解：如图，直线l即为所求的痕迹． 必胜的下棋游戏 要玩这种游戏，需要准备一张正方形纸ABCD(如图所示)，再找一些形状、大小相同，而且对称的小东西，例如同样分值的硬币、围棋棋子等等． 规则：两人对垒，两个人依次把棋子一个一个放到纸上的任意位置，一直到没有地方再放为止，最后放下棋子的那个人为赢家． 必胜法则：假设我们使走第一步棋的人获胜，那他只需把他的第一个棋子放到正方形对角线的交点O处，并使棋子的对称中心和点O重合；以后每一次把自己的棋子放到对手所放棋子的对称位置上(比如如图：对方放在M处，我就放M′处，对手放N处，我就放N′处等等)． 只要遵守这个规则，那么走第一步的人总会找到安放棋子的位置，最后必然获胜． 几何道理：正方形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心．经过对称中心的任意直线(如图的EF等)都把图形分成相等的两部分，因此，除掉这个中心O外，任何一点(放下的任一棋子)必然有它对称的另一点(放棋子的位置)． 由此可知，只要走第一步棋的人占领了图形的中心位置，那么无论他的对手把棋子放到什么位置，必然会找到一个和对手刚刚放下的棋子位置相对称的空位子．又因为棋子位置每次必须由后走的人选择，因此玩到最后，先下的人必胜. 高效课堂　教学设计 1．了解中心对称图形的概念及其性质． 2．让学生掌握中心对称图形性质的应用． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ▲重点 中心对称图形的概念、性质及其运用． ▲难点 中心对称图形性质的应用． ◆活动1　新课导入 剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀瑰宝．如右图是一幅剪纸作品，将它绕其中心点旋转180°后能与自身重合．我们把具有这样特征的图形叫作中心对称图形．观察下列图案，它们都具有这样的特征吗？ 本节课我们就学习中心对称图形的一些知识． ◆活动2　探究新知 1．教材P101　思考． 提出问题： (1)线段AB绕点O旋转180°后的图形与它本身有什么关系？ (2)▱ABCD绕点O旋转180°后，点A的对称点为__点C__，点C的对称点为__点A__，点B的对称点为__点D__，点D的对称点为__点B__，旋转后的图形与它本身有什么关系？ 学生完成并交流展示． 2．(1)除了上面所讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，你还能说出一些其他的中心对称图形吗？ (2)说说中心对称图形具有哪些特点？它与中心对称有什么区别和联系？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形__重合__，那么这个图形叫作中心对称图形，该点就是它的__对称中心__． 2．判断中心对称图形的“两个方法”：①若一个图形上，存在这样的一个点，使整个图形绕着这个点旋转180°后能够与原来的图形重合，则这个图形就是中心对称图形；②若图形中的对应点的连线都经过同一个点，并且被这个点平分，则这个图形就是中心对称图形． 3．中心对称图形是指一个图形本身是中心对称的，它反映了一个图形的本质特征．而中心对称是指两个图形关于某一点对称，揭示的是两个全等图形之间的一种位置关系． ◆活动4　例题与练习 例1　随着人民生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是 (　A　) 例2　判断下列图形是否为中心对称图形，如果是，请指出它们的对称中心． (1)线段；(2)等腰三角形；(3)平行四边形；(4)矩形；(5)圆；(6)角． 解：(1)是中心对称图形，对称中心是线段的中点； (3)(4)是中心对称图形，对称中心是它们对角线的交点； (5)是中心对称图形，对称中心是圆心； (2)(6)不是中心对称图形． 例3　下列各图是中心对称图形吗？如果是，请画出它们的对称中心． 解：三种图形都是中心对称图形，它们的对称中心如图中点A，B，C所示． 练习 1．教材P102　练习第1，2题． 2．下列商标图案中，既不是轴对称图形又不是中心对称图形的是 (　C　) 　　　　　　 3．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (　B　) 　　　　　　 4．如图，在矩形中挖去一个正方形，并用无刻度的直尺(即直尺只具有连线的功能)，准确作出直线l，将剩下图形的面积平分．(保留作图痕迹) 解：如图，直线l即为所求． ◆活动5　课堂小结 1．中心对称的定义，会判断某个图形是否为中心对称图形． 2．中心对称图形的性质及运用． 1．作业布置． (1)教材P104　习题28.2第2，10题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 28.2.3　关于原点对称的点的坐标 教师备课　素材示例 ●置疑导入　(1)在平面直角坐标系中将坐标为(0，0)，(3，0)，(3，3)，(0，3)的点用线段依次连接起来，看看得到什么图形； (2)如果把横坐标、纵坐标都乘－1，再将所得点用线段依次连接起来，所得图案与原来图案相比有什么变化？ 【教学与建议】教学：该图案是一个正方形，横坐标与纵坐标都乘－1所得图案与原图案关于坐标原点中心对称．建议：将班级学生分组进行作图比赛． ●复习导入　(1)下列各点分别在坐标平面的什么位置上？ A(4，3)―→__第一象限__， B(0，－4)―→__y轴负半轴上__， C(－2，－3)―→__第三象限__， D(－5，0)―→__x轴负半轴上__， E(－2.6，3.6)―→__第二象限__， F(3，－5)―→__第四象限__； (2)在平面直角坐标系中，点(3，－4)关于x轴对称的点的坐标是__(3，4)__，关于y轴对称的点的坐标是__(－3，－4)__； (3)在平面直角坐标系中，点A(2，－3)关于原点对称的点的坐标是什么？ 【教学与建议】教学：通过回顾平面直角坐标系中点的坐标特征，加强新旧知识之间的联系．建议：在平面直角坐标系内作图分析，观察对称点与原坐标点的坐标特征． 命题角度1　关于原点对称的点的坐标特点 常见考题：①求已知点关于原点对称的点的坐标；②已知两点关于原点对称，求有关代数式的值． 【例1】(1)在平面直角坐标系中，点P(2，－1)关于原点对称的点的坐标是　 (D) A．(2，－1) B．(－2，－1) C．(2，1) D．(－2，1) (2)在平面直角坐标系中，第二象限内的点P(x2＋2x，3)与另一点Q(x＋2，y)关于原点对称，则x＋2y的值是__－7__． 命题角度2　在平面直角坐标系中作关于原点成中心对称的图形 利用关于原点对称点的坐标特征作关于原点成中心对称的图形． 【例2】如图，已知△ABC各点的坐标：A(－4，1)，B(－1，－1)，C(－3，2)，作出△ABC关于原点O的对称图形△A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标． 解：如图，△A′B′C′即为所求；A′(4，－1)，B′(1，1)，C′(3，－2). 命题角度3　关于原点对称点的坐标规律应用 在平面直角坐标系中作图，根据各个象限内坐标的特点找出规律． 【例3】平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，作点A关于y轴的对称点A1，点A1关于原点的对称点A2，点A2关于x轴的对称点A3，点A3关于y轴的对称点A4，点A4关于原点对称的点A5……，按此规律，则点A2 025的坐标为__(－2，3)__． 坐标与图形的变化 (1)将坐标乘－1，变为相反数后的位置变化： ①将各点的横坐标都乘－1，纵坐标不变，所得的图形与原图形关于纵轴对称； ②将各点的纵坐标都乘－1，横坐标不变，所得的图形与原图形关于横轴对称． (2)将坐标加上或乘同一个数后的位置变化： 将一个图形上的各点的横坐标都加同一常数，纵坐标不变，引起图形沿横轴平移； 将一个图形上的各点的纵坐标都加同一常数，横坐标不变，引起图形沿纵轴平移； 将一个图形上的各点的横、纵坐标都加同一常数，所得图形是原图形平移后的结果； 将一个图形上的各点的横坐标都乘同一常数，纵坐标不变，所得图形是原图形横向拉伸或缩短； 将一个图形上的各点的纵坐标都乘同一常数，横坐标不变，所得图形是原图形纵向拉伸或缩短； 将一个图形上的各点的横、纵坐标都乘同一常数，所得图形是原图形放大或缩小的结果． 注意：①把一个图形上的各点的横、纵坐标都乘n，所得图形的面积是原图形的n2倍；②以上关系反过来也成立． 高效课堂　教学设计 1．会求关于原点对称的点的坐标． 2．能运用关于原点成中心对称的点的坐标间的关系进行中心对称图形的变换． ▲重点 关于原点对称的点的坐标关系． ▲难点 关于原点对称的点的坐标关系的探索． ◆活动1　新课导入 1．点P(3，－6)关于x轴对称的点的坐标为 (　B　) A．(－3，6) B．(3，6) C．(－3，－6) D．(3，－6) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(1，3)，将线段OA向右平移3个单位长度，得到线段O1A1，则点O1的坐标是__(3，0)__，点A1的坐标是__(4，3)__． 3．点P(2 025，－2 026)关于y轴对称的点的坐标为__(－2_025，－2_026)__． 在学习了平移变换和轴对称变换的时候，我们研究了在平面直角坐标系中点的平移规律和关于轴对称的点的坐标规律，那么关于原点对称的点的坐标有怎样的规律呢？请进入本课时的学习！ ◆活动2　探究新知 1．教材P103　探究． 提出问题： (1)填表： 已知点的坐标 A(4，0) B(0，－3) C(2，1) D(－1，2) E(－3，－4) 关于原点O对 称的点的坐标 　　(2)观察上表：①它们的横坐标与横坐标的绝对值有什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间的符号又有什么特点？ (3)你能由此归纳出关于原点对称的点的坐标特征吗？ 学生完成并交流展示． 2．教材P103　例2. 提出问题： (1)回顾不在平面直角坐标系中，作△ABC关于点O对称的图形是怎样作的？ (2)由图可知A，B，C三点的坐标分别是什么？A，B，C三点关于原点对称的点的坐标分别是多少？把对称点标在坐标系内并顺次连接； (3)总结作一个图形关于原点对称的图形的步骤． 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即P(x，y)关于原点的对称点为__P′(－x，－y)__． 2．在平面直角坐标系中，任一点A(x，y)关于坐标轴、原点都存在对称点．关于x轴的对称点的横坐标__相同__，纵坐标互为__相反数__．关于y轴的对称点的横坐标__互为相反数__，纵坐标__相同__．关于原点对称的点的横、纵坐标都__互为相反数__．如：点A(x，y)关于x轴的对称点为A′__(x，－y)__，关于y轴的对称点为A′′__(－x，y)__，关于原点对称的点为__(－x，－y)__． ◆活动4　例题与练习 例1　(1)在平面直角坐标系中，点P(7，－8)关于原点的对称点P′的坐标是__(－7，8)__； (2)点P(2，n)与点Q(m，－3)关于原点对称，则(m＋n)2 026＝__1__； (3)点M(5，－1)绕原点旋转180°后到达的点的坐标是__(－5，1)__． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例2　四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(5，0)，B(－2，3)，C(－1，0)，D(－1，－5)，作出与四边形ABCD关于原点O对称的图形，并写出各点的对称点的坐标． 解：如图，四边形A′B′C′D′即为所求．点A，B，C，D的对称点的坐标分别为：A′(－5，0)，B′(2，－3)，C′(1，0)，D′(1，5). 例3　已知点M(2－a，b)与点N(－b－1，2)关于原点对称，求点M的坐标. 解：∵点M(2－a，b)与点N(－b－1，2)关于原点对称， ∴解得 ∴点M的坐标为(－1，－2). 练习 1．教材P104　练习第1，2，3题． 2．若点P(－20，a)与点Q(b，13)关于原点对称，则a＋b的值是 (　D　) A．33 B．－33 C．－7 D．7 3．已知点P(a－3，2b＋4)与点Q(b＋5，3a－7)关于原点对称，则直线y＝ax＋b经过__一、三、四__象限． 4．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作与线段AB关于原点对称的图形． 解：线段AB的两个端点的坐标分别为A(1，3)，B(－2，1)，它们关于原点的对称点分别为A′(－1，－3)，B′(2，－1)，连接A′B′，A′B′就是AB关于原点对称的图形． ◆活动5　课堂小结 1．关于原点对称的点的坐标特征． 2．关于原点对称点的坐标特征的运用． 1．作业布置 (1)教材P105　习题28.2第3，4题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $