第15讲28.1图形的旋转暑假预习讲义同步训练2026-2027学年九年级数学上册人教版

**基本信息** 本练习围绕图形的旋转，通过基础巩固、中档应用、提升探究三层设计，实现从概念理解到综合应用的知识进阶，适配暑假预习需求，培养几何直观与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|旋转基本性质、简单作图|选择1直接考查旋转性质，解答13含旋转作图，夯实概念理解| |中档|旋转角度计算、坐标变换|选择2-5结合三角形旋转求角度，填空11涉及坐标系旋转，衔接课堂例题| |提升|旋转与几何综合、动态探究|选择8正方形旋转面积问题，解答14-18综合全等与动态旋转，培养推理能力|

第15讲28.1图形的旋转暑假预习讲义同步训练新人教版2026一2027学年九年级数学上册 一、选择题 1.经过对称、平移或旋转变换后的图形，所具有的性质是() A.形状不变，大小改变 B.大小不变，形状改变 C.形状和大小都不变 D.形状和大小都改变 2.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后，得到△COD.若∠AOB=25°，则 ∠BOC的度数是() A.20° B.25 C.30° D.55° 3.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到△AB'C',且∠BAC=30°，点B,A, C'在同一直线上，则△ABC至少旋转了() B 30 ■ B A.130° B.145 C.150° D.85o 4.如图所示：将△ABC绕点A顺时针旋转a,得到△ADE,点B、C的对应点分别为点 D、E,若点B、E、D在一条直线上，连接EC,则下列说法正确的是() A.∠DAE=a B.∠AEB+∠ACB=180° C.AB=EB+BC D.AD=EC 5.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,∠BAC=15°，∠1=75°，则∠ADE的 度数是( A.60° B.50° C.70 D.55° 6.下列选项所示的图案中，可以看作由某个“基本图案”绕某个点旋转得到的是() 7.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=3,AB=4,将△ABC绕点B顺时针旋转得到 △ABC,点A在线段BC上，点A,C的对应点分别为A,C',连接CC,则CC的长 为(). y, B A.② B.4 c25 D.V1o 8.如图，正方形1BCD BCO 的对角线相交于点O,点O同时是正方形 的一个顶点，正 ABCO ABCD 方形 的边长大于正方形 ABCD 的边长.若正方形 的面积为16，当正方形 ABCO 绕点O转动时，重叠部分的面积为() A B C A.始终等于4 B. 始终等于8 C.随转动变化，最小值为4 D.随转动变化，最大值为4 二、填空题 9.如图，教室内的地面上有个倾斜的畚箕，手柄CB与箕面AB垂直，手柄CB与水平地面 的夹角∠BCA=31°，小明将它扶起（将畚箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面，箕面AB 绕点A旋转的度数为 B 10.如图，将△ABC逆时针旋转40°，得到△ADE,点D在边BC上，此时，∠ADE的度 数为 1山.如图，在平面直角坐标系中，将△1B0 △AB,C 沿x轴向右滚动到 的位置，再到 △1B,C的位置…依次进行下去，若己知点 (3,0)B(0,4) 则点A02”的坐标为 B 12.如图，大小和形状完全相同的△ABC和△DEF重叠放在一起，△ABC不动，△DEF绕点 A(D)顺时针旋转角度a,己知∠BAC=∠EDF=110°，∠C=∠F=30°，当△DEF和△ABC 有一边平行时，a= C(F B(E) A(D) 4(D) 三、解答题 13.如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三 个顶点都在格点上. (I)在网格中画出△ABC关于直线MN的对称图形△ABC: (2在网格中画出△1BC绕点C送时针旋转90°后的图形 4，B2C2 (3)在直线MN上画出点P,使AP+BP的值最小. 14.如图①，在正方形ABCD中，AB=6,动点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速 度为2cms;将AP绕点P顺时针旋转90°得到PE,PE,AE分别交DC于点F,G, AM/PE,交CD的延长线于点M,连接PG,设运动时间为S0<1≤3)，解答下列 问题： M M D G B产P B 图① 图② (I)当点P在∠BAE的角平分线上时，求t的值： (2)求证：PA平分∠BPG: (3)如图②，点F关于BC的对称点为点F,连接PF'.当PF'1PG时，求t的值. 15.将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形A'B'CD ,点A,B,D的对应点分别为点A',B',D',设直线AD与直线AD'交于点E. E A'(E) D A D B B C 图① 图② (I)猜想DE与D'E的数量关系，并证明： (2)如图②，在旋转的过程中，当点B恰好落在矩形ABCD的对角线BD上时，点A'恰好落 在AD的延长线上（即点A与点E重合），连接A'C,求证：四边形ADBC是平行四边 形 (3)矩形ABCD绕点C顺时针旋转，当A'在B'D延长线上时，设直线CE与直线A'B相交于 点F,若AB=8,BC=6,求出AD的值. 16.如图所示，己知ADI川BC,点E为CD上一点，连接AE、BE,BE平分∠ABC,AE 平分∠BAD. D (1)求证：∠AEB=90」 (2)将△ABE绕点E逆时针旋转90°得到△FGE,若∠BAE=55°，求∠FGE的度数： (3)探究旋转后线段AB与FG的位置关系，并说明理由 17.小红学习了旋转的知识后，对图形的变化探究如下： 己知，如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC D 图① 图② 图③ 【理解题意】 (I)如图①，将线段CA绕点C顺时针旋转，点A的对应点为点D,AB与CD交于点E, 连接BD,则∠DCB的度数为；（用含a的代数式表示） 【问题解决】 (2)如图②，在(1)的条件下，当a=45°时，过点D作DF⊥BC,垂足为F,连接AD, 求证：△AED≌△DFB; 【问题探究】 (3)如图③，将线段CA绕点C逆时针旋转90°，点A的对应点为点D,连接AD,点E是 AB的中点，连接DE交AC于点G,过点E作EF⊥DE交BC于点F,猜想线段EF与线 段DE之间的数量关系，并证明. 18.综合与探究 问题情境：在等边三角形ABC中，AD是边BC上的中线，将△ABD绕点D顺时针旋转得 到△FED,点A,B的对应点分别为F,E. 图1 图2 备用图 (I)初步探究：如图1，当点E落在AB上时，连接CF.判断四边形BEFC的形状，并说明 理由. (2)初步探究：如图2，当点E在BC下方时，分别延长FE与AC交于点G,判断AG与FG 的数量关系，并说明理由， (3)深入探究：在旋转过程中，连接CF,若AB=2,当EF与直线AC垂直时，请直接写出 CF2 的值 参考答案 4.B 5.A 6.A 7.D 8.A 9.121°/121度 10. 70°170度 11. (12168,3) 12.30°或40°或180° 13.(1)如图，△4BC即为所求 M CC的 △ABC3 (2)如图， 即为所求。 (3)如图，点P即为所求， 14.【详解】(1)解：由旋转可得，PA=PE,∠APE=90°， .∴.∠PAE=∠E=45° ,当点P在∠BAE的角平分线上时 ∴.∠BAP=∠PAE=45° ,正方形ABCD中，∠B=90°，AB=6 ∴.∠BPA=∠BAP=45 .BP=AB=6 BP=2t .2t=6 .t=3: (2)证明：如图， 1M 不2 D 6 3 E 52 B产P ,四边形ABCD是正方形， AB=AD,∠ADC=∠B=∠BAD=90° .∠ADM=180°-∠ADC=90°=∠B :AM∥PE,∠APE=90° ∴.∠PAM=180°-∠APE=90° ∴.∠PAM=∠BAD ∴.∠1=∠2=90°-∠PAD :△MBPe△ADM(ASA) ∴.AM=AP,∠M=∠5 .∠3=45°，∠BAD=90° .∠1+∠6=90°-∠3=45° ∴.∠2+∠6=45°=∠MAG ∴.∠MAG=∠3 ·AG=AG·△AMG≌△APG(SAS) .∠M=∠4.∠4=∠5 .PA平分∠BPG: (3)解：如图 M 51 B->P8C 图② .∠APE=∠4+∠6=90° .∠5+∠7=180°-∠APE=90° .∠4=∠5 .∠6=∠7 ,点F关于BC的对称点为点F, ∴.∠7=∠8 ∴.∠6=∠7=∠8 .PF'LPG .∠GPF'=90° ∴.∠6+∠7+∠8=90° .3∠7=90° .∠7=30° ∴.∠5=90°-∠7=60° .∠B=90° ∴.∠BAP=90°-∠5=30° .AP=2BP 4B=AP:-BP=3BP=6 BP=25=2 :1=6 15.(1)解：DE=DE,理由如下： ~四边形ABCD与四边形AB'CD都是矩形，如图①，连接CE, D B B 图① .∠ADC=∠CDE=90° .∠CDE=180°-∠ADC=90° 即∠CDE=∠CD'E, :将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形AB'CD', .CD=CD' 在Rt△CDE和Rt△CD'E中， CD=CD' CE=CE, .Rt△CDE≌RIACD'E(HL) :DE=D'E (2)证明：如图2：连接AC, D A'(E) A D C 图2 根据旋转的性质可得：AC=AC」 :四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC,AD=BC,∠ADC=90°， 即CD⊥AA, 又：AC=AC, :AD=A'D, .A'D=BC. :AD∥BC,A'D=BC, ∴四边形ADBC是平行四边形： (3)解：当A在B'D延长线上时，如图： D B C 根据旋转的性质可得：BC=B'C=6,AB=AB'=8,∠AB'C=∠ABC=90°， .∠DB'C=90° 在RtACDB'中，由勾股定理得： B'D=VCD2-B'C2=V82-62=2√7 .AD=AB'-B'D=8-2√万 16.(Q)证明：AD川BC(己知)， ,∠DAB+∠CBA=180°（两直线平行，同旁内角互补）， :BE平分∠ABC,AE平分∠BAD(已知)， ∠ABE=<CB1,∠B1E=D1B(角平分线的性质)， ∠ABE+∠BAE=<CB4+DAB-C1+∠D18)=90 2 ∴.∠AEB=90° (2)解：∠FGE由∠ABE旋转可得， 故∠FGE=∠ABE, :∠ABE=90°-∠BAE=90°-55°=35， ∴，∠FGE=∠ABE=35° G B (3)解：AB⊥FG,理由如下， 延长BA与GF交于点H,由旋转性质和对顶角性质得， G H B E .·∠BAE+∠B=90° .∠GAH+∠FGE=∠BAE+∠B=90°， .∠GHA=90°， .∴.AB⊥FG 17.【详解】(1)解：，线段CA绕点C顺时针旋转“得到线段CD, .∠ACD=&, ,∠ACB=90° .∠DCB=90°-a: (2)证明：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC, 当a=45°时，∠ACD=∠DCB=45°， ∴.CE垂直平分AB, ∴.AD=DB,∠AED=90 DF⊥BC, ∴.∠DFB=90° 由旋转得AC=DC=BC」 .∠ADC=∠CBD=180°-45 =67.5° 2 在△AED和△DFB中， [∠AED=∠DFB ∠ADE=∠DBF AD=DB △AED≌△DFB(AAS) (3)线段EF与线段DE之间的数量关系为：DE=3EF 证明：在BC上截取FH=FB,连接AH交DE于点M，连接CE,如图， 由FH=FB可得点F是HB的中点， ,点E是AB的中点， ∴.EF为△ABH的中位线， ，EF∥AH' ,EF⊥DE, ∴.∠DMH=∠DEF=90° :∠ACB=90° .∠MDH+∠AHC=∠CAH+∠AHC=90° .∠MDH=∠CAH,即∠GDC=∠HAC, 再由旋转的性质可得AC=DC,∠ACD=90° .∠ACH=∠DCG=90°， 在aCAH和△CDG中， ∠CAH=∠CDG AC=DC ∠ACH=∠DCG=90°' :△CMH≌aCDG(ASA) ..DG=AH .DG=AH=2EF ,点E是AB的中点，且AC=BC, CE⊥4B:∠BCE=∠ACE=45,CE=4B ∴.∠GEC+LCEF=∠CEF+∠FEB=90°， ∴.∠GEC=∠FEB」 :∠GCE=∠BCE=∠B=45」 ..CE=BE 在△GCE与△FBE中， ∠GEC=∠FEB CE=BE ∠GCE=∠B △GCE≌△FBE(ASA) .'.GE=EF .DE=DG+GE=2EF+EF=3EF 即DE=3EF 18.(I)四边形BEFC是平行四边形 理由如下： 由△ABC等边，AD是中线， .BD=DC.∠B=60°， 由旋转性质得BD=ED, ∴.BD=ED=DC. 又E在AB上，BD=ED,∠B=60°， ∴△BDE为等边三角形， ∴.∠BDE=60°=∠B=∠FED .EF BC 由旋转性质得AB=FE, 又AB=BC, ∴FE=BC 故四边形BEFC是平行四边形， (2)AG=FG理由如下： 连接AF,由旋转可知：AD=FD,BD=ED,∠DFE=∠BAD ,∠DAF=∠DFA. 又△ABC为等边三角形，AD是中线， ∴.∠BAD=∠CAD=∠DFE, ∴.∠DFE+∠DFA=∠DAF+∠CAD ∴.∠GAF=∠GFA, ∴AG=FG, G (3)解：AB=2,等边△ABC,AD是中线， .BD=DC=1AD=V3∠ADB=∠ADC=90°∠EDF=∠ADB=90° ①当EF⊥线段AC时，设P为AD和EF的交点，设Q为AC和EF的交点， ·∠PgC=90, DE-BD-CD-AB-DF-AD-D5 ∴.∠QPD=360°-∠ADC-∠PQC-∠ACD=120° 又∠OPD=∠PDE+∠E,∠E=60°， .∠PDE=60 .∠BDE=90°-∠PDE=30° .∠FDC=90°-∠EDB=60° 过点F作FH⊥BC于点H,则△FDH为直角三角形， ∴.∠HFD=30° ∴aHDF是含30°的直角三角形， .DH=1DF= >,FH=3D1=2 :.CHI=CD-DH-1- 2, fR△心go-6wm,m-鸟-15r-45 ②当EF⊥AC延长线时，设O为AC和EF的交点，过点F作FH⊥BC于点H,则 △FDH为直角三角形， A C E ∴∠FQC=90°， DE=BD=CD=1AB=1,DF=AD=3BD=3 ∠DEF=∠ABD=∠ACD=60° ∴.∠DCQ=180°-∠ACB=120°，∠DEQ=180°-∠DEF=120° .∠CQE=360°-∠DCQ-∠FQC-∠DEQ=360°-120°-90°-120°=30° ∴.∠HDF=60°， .∠HFD=30° △HDF是含30°的直角三角形， ∴DH=DF=5 2 FH-3DH= 3 CH=CD+DH=1+ 2, 综上，CF的值为4-54+v5 或