2.6.1 双曲线的标准方程导学案—2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“双曲线的标准方程”，引导学生理解双曲线定义、掌握标准方程。通过“温故”环节回顾椭圆定义，对比椭圆“2a>|F1F2|”与双曲线“2a<|F1F2|”的条件差异，搭建知识支架，帮助学生建立前后知识联系。 资料亮点突出，预习提要明确目标，温故知新通过对比强化理解，基础过关题覆盖定义应用、焦点坐标等核心题型，反思融入阿波罗尼奥斯几何贡献的数学史。助力学生用数学眼光抽象概念，用数学思维推理方程推导，提升自主学习效率，便于教师教学评估与学生核心素养培养。

2.6.1 双曲线的标准方程 预习提要 1.理解双曲线的定义； 2.掌握双曲线的标准方程； 3.阅读课本P137—P141内容，掌握内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故：课前知识链接 椭圆的定义：如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|+|PF2|=2a的动点P的轨迹称为 ，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的 ，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的 . 二、知新：课本研习梳理 1.双曲线的定义：一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足 的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的 ，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的 . 2.双曲线的标准方程：如果双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|−|PF2||=2a，其中c>a>0，则以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴的双曲线的方程为： （1）焦点在x轴上双曲线的标准方程： ； （2）焦点在y轴上双曲线的标准方程： . 基础过关 1.在平面内动点P与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点P的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 2.若双曲线上一点P到该双曲线的一个焦点的距离为7，则点P到另一个焦点的距离是( ) A.13 B.15 C.1，13 D.1，15 3.双曲线的焦点坐标为( ) A. B. C. D. 4.双曲线的焦距为( ) A.3 B.6 C. D. 5.已知椭圆和双曲线的焦点相同，则______. 反思 阿波罗尼奥斯（约公元前262—前190），古希腊三大几何学家之一，生于小亚细亚的佩尔加，青年时期远赴亚历山大城求学，长期深耕圆锥曲面切割问题，著有传世巨著《圆锥曲线论》，共八卷，前七卷完整留存。在他之前，欧几里得等人只研究垂直于母线的平面截圆锥得到的曲线，阿波罗尼奥斯做出颠覆性突破：用任意角度平面截同一个圆锥，就能得到椭圆、抛物线、双曲线三类曲线。 他最早定义双曲线：一个平面截对顶双圆锥，会产生两支分开的曲线，他命名为“双曲线”，希腊文原意“过剩”，对应双曲线方程里x2和y2一正一负的差值特征。 当时没有坐标系，他纯靠几何推理，推导出双曲线最核心的几何性质：渐近线、直径、共轭直径、焦半径关系，这些正是后世双曲线标准方程的几何根源。 他还证明了双曲线两条渐近线永远不会和曲线相交，这个结论两千多年后仍是高中双曲线核心考点。 答案及解析 温故：课前知识链接 椭圆 焦点 焦距 知新：课本研习梳理 1.||PF1|−|PF2||=2a 焦点 焦距 2. 基础过关 1.答案：D 解析：设动点P的坐标为，则点P到定点的距离为，点P到定直线的距离为， 由题意得， 化简得：，即. 2.答案：A 解析：由双曲线，可知，，设双曲线的两个焦点分别为，，不妨令，则，解得或.当时，，不成立，所以，故选A. 3.答案：D 解析：根据双曲线的定义可得，，，且焦点在y轴上，方程可化为.此时，，则，所以该双曲线的焦点为. 4.答案：D 解析：将双曲线方程化为标准形式.两边同除以得，由此可知，.根据双曲线的关系，代入得，即.双曲线的焦距为，所以焦距为. 5.答案： 解析：对于双曲线，可知其半焦距，且焦点在x轴上，对于椭圆可得，且，解得.故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $