3.2 函数与方程、不等式之间的关系（第二课时）教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数零点存在定理、二分法求近似零点及二次函数零点分布，通过线路故障定位实例导入，直观展示二分法高效性，再回顾一次函数求根公式，对比高阶函数痛点，引出零点存在定理，搭建知识支架。 特色在于情境化与探究式结合，用故障定位培养数学眼光，作图总结定理发展数学思维，二分法步骤表格与GeoGebra应用强化数学语言表达。例题巩固针对性强，助学生掌握重点，提升教师教学效率。

3.2 函数与方程、不等式之间的关系（第二课时） 【课程基本信息】 年级 高一 课题 函数与方程、不等式之间的关系 课时 2课时 授课教师 【教学目标】 1.理解零点存在定理，会判断零点所在区间. 2.了解二分法求函数的近似零点. 3.能解决二次函数零点分布问题. 【教学重点】 会判断零点所在区间. 【教学难点】 解决二次函数零点分布问题. 【教学过程】 从线路中点开始测试，若该点与起点段正常，则故障在中点与终点段；反之则在起点与中点段.随后在故障段的中点继续测试，重复此过程. 每次测试都将待查范围缩小一半，10公里线路约有200段(每50米一段)，理论上仅需‌7-8次测试，‌即可将故障定位到50-100米范围内(即一两根电线杆之间)，极大减少爬杆次数，提升效率. 设计意图：通过计算得出仅需7-8次即可定位故障，让学生直观感受二分法高效、减少工作量的优势，明确本节课学习二分法的现实意义，激发探究兴趣. 尝试与发现：关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)的求根公式为？ 一元一次方程kx+b=0(k≠0)的求根公式为x=. 设计意图：回顾一次函数求根公式，对比一次、二次函数易求精确零点，顺势抛出高阶函数无通用求根公式的痛点. 教师提问：求一个复杂函数的零点方便吗？ 一次函数、二次函数的零点是否存在，并不难判别，这是因为一元一次方程、一元二次方程实数解的情况，都可以根据它们的系数判别出来，而且有实数根的时候，都能够写出求根公式.但是，对于次数大于或等于3的多项式函数(例如：f(x)=ax³+bx²+cx+d，其中a≠0)，以及其他表达式更复杂的函数来说，判断零点是否存在以及求零点，都不是容易的事（事实上，数学家们已经证明：次数大于4的多项式方程，不存在通用的求根公式）.因此，我们有必要探讨什么情况下一个函数一定存在零点. 尝试与发现：如图所示，已知A，B都是函数y=f(x)图象上的点，而且函数图象是连接A，B两点的连续不断的线，作出3种y=f(x)的可能的图象.判断f(x)是否一定存在零点，总结出一般规律. 可以看出，函数f(x)在区间(a，b)中一定存在零点. 零点存在定理的概念：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y=f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)=0. 注意：1.一般地，解析式是多项式的函数的图象都是连续不断的. 2.特殊的函数图象：反比例函数y=的图象不是连续不断的. 尝试与发现：如果在区间(-2，0)中任取一个数作为x0的近似值，那么误差小于多少？如果取区间(-2，0)的中点作为x0的近似值，那么误差小于多少？怎样才能不断缩小误差？ 如果在区间(-2，0)中任取一个数作为x0的近似值，误差小于2；如果取区间(-2，0)的中点作为x0的近似值，误差小于1． 一般地，求x0的近似值，可以通过计算区间中点函数值，从而不断缩小零点所在的区间来实现，具体计算过程可用如下表格表示． 零点存在定理 区间中点 中点对应的函数值 取中点作为近似值时误差小于的值 (-2，0) f(-1)=-1+2+2=3>0 1 (-2，-1) (-2，) (-2，) 其中第2行的区间是(-2，-1)，这是因为f(-2)f(-1)<0，其他区间都是用类似方式得到的． 最后一行的函数值没有计算，是因为不管，还是，我们都可以将看成的近似值，而且误差小于． 二分法的定义：当然，按照类似的方式继续算下去，可以得到精确度更高的近似值.上述这种求函数零点近似值的方法称为二分法． 教师提问：根据上面求解误差的方法，总结一下用二分法求零点的步骤. 用二分法求零点的步骤：在函数零点存在定理的条件满足时（即f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且f(a)f(b)<0），给定近似的精度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1-x0|<ε的一般步骤如下： 第一步：检查是否成立，如果成立，取，计算结束，如果不成立，转到第二步. 第二步：计算区间的中点对应的函数值，若，取，计算结束；若，转到第三步. 第三步：，将的值赋给b（用表示，下同），回到第一步；否则必有，将的值赋给a，回到第一步. 这些步骤可用如图所示的框图表示. 用信息技术求函数零点：用GeoGebra中的root命令，可以方便地求得多项式函数的图象与x轴的交点坐标，从而得到对应函数的零点信息． 例如，在“输入”对话框中输入“root[x^2-x-6]”后按回车键，将得到函数f(x)=x2-x-6与x轴的两个交点A，B 的坐标； 输入“root[x^3-2x+2]”后按回车键，将得到函数f(x)=x3-2x+2与x轴的交点C的坐标；输入“root[x^3-2x+2，1，2]”后按回车键，将得到函数f(x)=x3-2x+2，x∈[1，2]与x轴的交点的信息．显示结果如图所示，其中的“未定义”表示没有交点． 【课堂例题】 例6：求证：函数f(x)=x3-2x+2至少有一个零点. 思考：例6中的函数在区间(-2，0)中存在零点x0，但是不难看出，求出x0的精确值并不容易，那么，能不能想办法得到这个零点的近似值呢？比如，能否求出一个x1，使得|x1-x0|<？ 例7：已知函数f(x)=x²+ax+1有两个零点，在区间(-1，1)上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 【课堂巩固】 1.若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点( ) A. B. C. D. 2.用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是( ) A. B. C. D. 3.用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：，，，，则下列说法正确的是( ) A.函数在上不一定有零点 B.已经达到精确度，可以取1.375作为近似值 C.没有达到精确度，应该接着计算 D.没有达到精确度，应该接着计算 【小结作业】 120页的课后习题 【板书设计】 3.2 函数与方程、不等式之间的关系（第二课时） 1.零点存在的概念 2.用二分法求函数零点的步骤 3.用信息技术求函数的零点 【教学反思】 课后 反思 优点： 不足： 改进措施： 课堂 评价 答案 【课堂例题】 例6：解：因为f(0)=2>0，f(-2)=-8+4+2=-2<0，所以f(-2)f(0)<0，因此∃x0∈(-2，0)，f(x0)=0，即结论成立. 例7：解：因为函数f(x)的图象是开口向上的抛物线，因此满足条件的函数图象的示意图如图(1)(2)所示.不管哪种情况，都可以归结为f(-1)f(1)<0且||≥1，因此(2-a)(a+2)<0且|a|≥2，解得a<-2或a>2. 【课堂巩固】 1.B 2. D 3.D 学科网（北京）股份有限公司 $