3.2 函数与方程、不等式之间的关系（第一课时）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数零点概念及二次函数与方程、不等式的关系，通过一次函数实例引导学生观察方程、不等式解集与函数图象的联系，搭建从具体到抽象的学习支架，逐步过渡到二次函数零点及三个二次关系的探究。 其亮点是以问题驱动和数形结合为主线，通过例2用二次函数解不等式等实例培养数学抽象与逻辑推理能力，例题分层呈现无零点、重零点等情况，总结结构化。学生能提升用数学眼光观察、思维推理的能力，教师可借助清晰案例与练习提升教学效果。

人教B版(2019)必修第一册 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 （第一课时） 第三章 函数 1 学习目标 了解函数的零点,体现数学抽象能力（重点） 理解二次函数的零点,体现逻辑推理能力（重点） 理解三个二次之间的关系,体现逻辑推理能力（重难点） 2 新课导入 尝试与发现：已知函数f(x)=x-1， 我们知道，这个函数的定义域为R，而且可以求出，方程f(x)=0的解集为{1}， 不等式f(x)>0的解集为(1,+∞)，不等式f(x)<0的解集为(-∞,1). 在图中作出函数f(x)=x-1的图象，总结上述方程、不等式的解集与函数定义域、函数图象之间的关系. O x y 1 1 3 新课学习 由尝试与发现中的例子可以看出，根据函数值的符号能够把函数的定义域分为几个不相交的集合. 具体来说，假设函数f(x)的定义域为D，若 A={x∈D| f(x)<0}， B={x∈D| f(x)=0}， C={x∈D| f(x)>0}， 显然，A，B，C两两的交集都为空集，且 D=A∪B∪C. 4 新课学习 零点的概念 一般地，如果函数y=f (x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)=0，则称α为函数y=f(x)的零点. 上述集合B就是函数所有零点组成的集合. 5 新课学习 函数零点的充分必要条件 α是函数f(x)零点的充分必要条件是：(α, 0) 是函数图象与x轴的公共点. 因此，由函数的图象可以方便地看出函数值等于0的方程的解集，以及函数值与0比较相对大小的不等式的解集. 6 新课学习 例1：如图所示是函数y=f(x)的图象，分别写出f(x)=0，f(x)>0， f(x)≤0的解集. 由图可知， f(x)=0 的解集为 {-5 , -3 , -1 , 2 , 4 , 6}. f(x)>0的解集为 (-5 , -3)∪(2 , 4)∪(4 , 6). f(x)≤0的解集为 [-6 , -5]∪[-3 , 2]∪{4 , 6}. 7 新课学习 依照零点的定义可知，求函数y=f(x)的零点，实质上就是要解方程f(x)=0 ，而且只要得到了这个方程的解集，就可以知道函数图象与x轴的交点，再根据函数的性质等，就能得到类似f(x)>0等不等式的解集. 8 新课学习 例2：利用函数求下列不等式的解集： (1)x2-x-6<0； (2)x2-x-6≥0. 设f(x)=x2-x-6，令f(x)=0，得 x2-x-6=0， 即(x-3)(x+2)=0，从而x=3或x=-2. 因此，3和-2都是函数f(x)的零点，从而f(x)的图象与x轴相交于(3 , 0)和(-2 , 0)，又因为函数图象是开口向上的抛物线，所以可以作出函数图象的示意图，如图所示. (1)所求解集为(-2 , 3)； (2)所求解集为(-∞ , -2]∪[3 ,+∞). 9 新课学习 例3： 利用函数求下列不等式的解集： (1)-x2-2x-3≥0； (2)-x2-2x-3<0. 设f(x)=-x2-2x-3，令f(x)=0，得 x2+2x+3=0， 即(x+1)2=-2，该方程无解. 因此函数f(x)无零点，从而f(x)的图象与x轴没有交点，又因为函数图象是开口向下的抛物线，所以可以作出函数图象的示意图，如图所示. 由图可知：(1)所求解集为∅；(2)所求解集为R. 10 新课学习 例4：利用函数求下列不等式的解集： (1)x2-4x+4>0； (2)x2-4x+4≤0. 设f(x)=x2-4x+4>0 ，令f(x)=0，得 x2-4x+4=0， 即(x-2)2=0，从而x=2. 因此，函数f(x)的零点为2，从而f(x)的图象与x轴相交于(2，0)，又因为函数图象是开口向上的抛物线，所以可知： (1)所求解集为(-∞ , 2)∪(2 ,+∞)； (2)所求解集为{2}. 11 新课学习 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数f(x)=ax²+bx +c(a≠0)： (1)当∆=b2-4ac>0 时，方程ax²+bx+c=0 的解集中有两个元素x1，x2，且x1，x2是f(x)的两个零点，f(x)的图象与x轴有两个公共点(x1 , 0)，(x2 , 0)； (2)当∆=b2-4ac=0时，方程 ax²+bx+c=0的解集中只有一个元素x0，且x0是f(x)唯一的零点，f(x)的图象与x轴有一个公共点(x0 , 0)； 12 新课学习 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 (3)当∆=b2-4ac＜0时，方程 ax²+bx+c=0没有实数根，此时f(x)无零点，f(x)的图象与x轴没有公共点. 一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数f(x)=ax²+bx +c(a≠0)： 13 新课学习 由二次函数的图象得到对应的不等式的解集 1.把原不等式变形为ax2+bx+c＞0(或ax2+bx+c＜0等，其中a≠0，下同)； 2.根据方程ax2+bx+c=0的根(即函数f(x)=ax2+bx+c的零点)及a的符号，画出二次函数的草图； 3.观察函数图象，写出解集． 14 新课学习 例5：求函数f(x)=(x+2)(x+1)(x-1)的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式f(x)>0和f(x)≤0 的解集. 函数零点为-2，-1，1. 函数的定义域被这三个点划分了四个区间，每个区间函数值的符号如下表所示. x (-∞ , -2) (-2 , -1) (-1 ,1) (1 , +∞) f(x) - + - + 由此可以作出函数图象的示意图，如图所示. 15 新课学习 例5：求函数f(x)=(x+2)(x+1)(x-1)的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式f(x)>0和f(x)≤0 的解集. 由图可知f(x)>0的解集为 (-2 , -1)∪(1 , +∞)； f(x)≤0的解集为 (-∞ , -2]∪[-1 , 1]. 16 课堂练习 D 17 课堂练习 18 课堂练习 A 19 课堂练习 20 课堂练习 C 21 课堂练习 22 课堂练习 B 23 课堂练习 24 课堂练习 B 25 课堂练习 26 课堂练习 -1 27 课堂练习 28 课堂总结 1.函数零点的概念 2.函数零点的充分条件 3.二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系 4.由二次函数的图象得到对于不等式的解集 29 谢 谢 观 看 30 $