3.3 函数的应用（一）教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数模型的应用，梳理一次、二次、分段函数模型的解析式与性质，结合商店利润计算例题回顾知识，为实际问题建模搭建从认知到应用的学习支架。 以任务驱动分层教学，通过小组讨论与评价任务即时反馈。结合阶梯水价、租车利润等民生案例，引导学生用数学眼光发现关系，用数学思维建模运算，提升应用能力，为教师提供清晰流程与评价工具，高效落实核心素养。

课题 3.3 函数的应用（一） 学校 课型 新授 授课人 时间 课时 教材 学生 分析 函数的应用是中学重要内容之一，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的应用实质是揭示了客观世界中量的相互依存有互有制约的关系，因而函数的应用举例有着不可替代的重要位置，又有重要的现实意义。 本节课要求学生利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价。 教学 目标 1.能够运用一次函数、二次函数、分段函数的性质解决某些简单的实际问题. 2.能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学道理，弄清题中出现的量及其数学含义. 3.能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题（即建立数学模型），并运用函数的相关性质解决问题。 4.能处理有民生、经济、物理等方面的实际问题。 核心 素养 数学建模：在实际情境中从数学的视角发现问题、分析问题，建立模型，最终解决实际问题。 数学运算：会根据函数模型的应用的计算求解，求得参数. 数据分析：对所求的结果要进行检验，是否符合实际条件. 重点 难点 教学重点： 1.通过运用函数的有关知识解决实际生活中的问题，加深对函数概念的理解 2.会应用一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际问题 3.了解数学知识来源于生活，又服务于生活. 教学难点： 1． 增强运用函数思想理解和处理问题的意识，理解数学建模中将实际问题抽象、转化为数学问题的一般方法。 教法 教具 讨论法：组织学生进行小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，通过交流与合作，共同解决集合运算和逻辑推理中的问题，并配备导学案，数学卡片和尺规等教具。 评价 任务 评价任务1检测目标1、2的达成 评价任务2检测目标3、4的达成 评价任务3检测目标1、2、3、4的综合达成 评价 量规 评价要点 评价标准 评价层级 不达标预判与 补救措施 1.课堂参与度； 2.知识的掌握程度； 3.小组合作能力。 1.小组参与度高，与组员积极合作交流，并正确得出结论；主动表达自己的观点和上台展示自己的成果且正确；思路清晰、知识梳理合理。 2.评价任务对题率达到80%及以上。 优秀 预判： 措施： 1.基本能参与小组合作讨论与交流；主动表达自己的观点，但不全面，知识梳理基本全面。 2.评价任务对题率达到60%以上。 达标 1.不参与小组合作，不主动表达观点；提问回答不全面；知识点理解不透，梳理不到位，缺少层次。 2. 评价任务对题率低于60%。 不达标 教 学 活 动 设 计 环节1：任务一：熟悉几种常见的函数模型 设计意图与反思 教师 活动 几类常见函数模型 名称 解析式 条件 一次函数模型 y＝kx＋b k≠0 反比例函数模型 y＝＋b k≠0 二次函数模型 一般式：y＝ax2＋bx＋c 顶点式：y＝a2＋ a≠0 例题．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元． 解析：设涨价x元，销售的利润为y元， 则y＝（50＋x－45）（50－2x）＝－2x2＋40x＋250 ＝－2（x－10）2＋450， 所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值 答案：60 根据前面几类不同的函数模型，这为建立函数模型解决实际问题提供了支持。能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题（即建立数学模型），并运用函数的相关性质解决问题。 学生 活动 1.认真听课作好笔记，思考课中老师提出问题，不明白的问题通过小组合作进行探讨； 2.完成评价任务1，并进行自我评价. 评价任务1. 1．一个矩形的周长是40，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ） A．y＝20－x，0<x<10 B．y＝20－2x，0<x<20 C．y＝40－x，0<x<10 D．y＝40－2x，0<x<20 2．甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点．丁车最后到达终点．若甲、乙两车的图像如图所示，则对于丙、丁两车的图像所在区域，判断正确的是（ ） A． 丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域 B．丙在Ⅰ区城，丁在Ⅲ区域 C．丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域 D．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域 评价结果 优秀 达标 不达标 学以致用，学用然后知不足！ 环节2：任务二：通过探究能够根据实际情况建立几类数学模型 设计意图与反思 教师 活动 数学建模示例： 1． 发现问题，提出问题． 2．分析问题，建立模型． 3．确定参数，计算求解． 4．验证结果，改进模型． 建立函数模型解决实际问题的基本思路 例题．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ ） A．45.606万元 B．45.6万元 C．45.56万元 D．45.51万元 解析：依题意可设甲销售x辆，则乙销售（15－x）辆，总利润S＝L1＋L2，则总利润S＝5.06x－0.15x2＋2（15－x）＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15（x－10.2）2＋0.15×10.22＋30（0≤x≤15且x∈N），所以当x＝10时，Smax＝45.6（万元）．答案：B 例题．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为： y＝ 其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为________． 解析：令y＝60， 若4x＝60，则x＝15>10，不合题意； 若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意； 若1．5x＝60，则x＝40<100，不合题意．故拟录用人数为25人． 答案：25 分段函数是刻画现实问题的重要模型，由自变量变化所遵循规律的不同决定的，函数的分段表示是建模的关键． 若求分段函数值域或最值时，应对分段函数中的每段函数分别求出值域或最值，然后再由各段函数的值域或最值确定本函数的值域或最值．分类讨论思想是本类问题的主要思想方法． 学生 活动 1.认真听课作好笔记，思考课中老师提出问题，不明白的问题通过小组合作进行探讨； 2.完成评价任务2，并进行自我评价. 评价任务2. 1.为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，上海市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示。 评价结果 优秀 达标 不达标 学以致用，学用然后知不足！ 环节3：任务三：师生共研，走素养之路 设计意图与反思 教师 活动 类型一 一次、二次函数模型 例1．某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值． 类型二 分段函数 例2．为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，上海市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示． 分档 户年用水量/m3 综合用水单价/（元/m3） 第一阶梯 0～220（含） 3.45 第二阶梯 220～300（含） 4.83 第三阶梯 300以上 5.83 记户年用水量为x m3时应缴纳的水费为f（x）元． （1）写出f（x）的解析式； （2）假设居住在上海的张明一家2015年共用水260 m3，则张明一家2015年应缴纳水费多少元？ 方法归纳： 1．利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点： （1）待定系数法是求一次函数解析式的常用方法． （2）当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数． 2．二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点．解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题． 通过典型例题和类型分类培养学生的逻辑推理、数学抽象和数学运算等素养。 学生 活动 1.认真听课作好笔记，思考课中老师提出问题，不明白的问题通过小组合作进行探讨； 2.完成评价任务3，并进行自我评价. 评价任务3. 1.某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km．火车出发10 min开出13 km，之后以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式，并求离开北京2 h时火车行驶的路程． 2.为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（日净收入＝一日出租自行车的总收入－管理费用）． （1）求函数y＝f（x）的解析式及其定义域． （2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使日净收入最多？ 评价结果 优秀 达标 不达标 学以致用，学用然后知不足！ 环节4：板书设计与课堂小结 设计意图与反思 1.学生根据教师的板书内容自主归纳总结本节课学习的主要内容，可以利用口头描述，也可以用思维导图或知识架构图来归纳，并展示； 2.教师适时补充完善板书内容和学生的知识总结，帮助学生构建知识体系和知识网络。 培养学生的语言表达概括能力； 同时加深对知识的构建和理解。 环节5：训练巩固评价提升 设计意图与反思 1．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f（t）的图像如图所示，则杯子的形状是（ ） 2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是（ ） A．y＝0．3x＋800（0≤x≤2 000，x∈N*） B．y＝0．3x＋1600（0≤x≤2 000，x∈N*） C．y＝－0．3x＋800（0≤x≤2 000，x∈N*） D．y＝－0.3x＋1600（0≤x≤2000，x∈N*） 3．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离x关于时间t（时）的函数解析式是（ ） A．x＝60t B．x＝60t＋50t C．x＝ D．x＝ 4．某电脑公司2017年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%．该公司预计2019年经营总收入要达到1690万元，且计划从2017年到2019年，每年经营总收入的年增长率相同，2018年预计经营总收入为________万元． 5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝x2＋2x＋20（万元）．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件． 针对本节学习目标，通过检测便于教师及时了解学生的目标达成情况，也便于查缺补漏，评价量化。 环节6：回扣目标 设计意图与反思 1.请大家回看本节学习目标，通过这节课的学习，你达到目标了吗？ 2.学生对照学习目标，在自我评价表中自评 3.根据课堂检测情况，教师对学生进行最后综合评价。 结合前面量规和过程性评价给学生进行量化。 环节7：迁移应用及作业设计 设计意图与反思 1．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为 f（x）＝（A，c为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是____________． 2．某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图像解决下列问题： （1）求y与x的函数解析式； （2）要使该游乐场每天的盈利额超过1000元，每天至少卖出多少张门票？ 3．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数： R（x）＝ 其中x是仪器的月产量． （1）将利润表示为月产量的函数f（x）； （2）当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？（总收益＝总成本＋利润） 4．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车辆每月需要维护费50元． （1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ （2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 因材施教，分层练习，让每名学生各有所学，体验学习的快乐。 . . 学科网（北京）股份有限公司 $