4.2.3 对数函数的性质与图象教学设计—2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦对数函数的概念、性质与图象，通过碳14衰减实例，从“已知死亡时间求残留量”的指数问题逆向引出“已知残留量反推死亡年份”的需求，搭建指数与对数函数的双向关联作为学习支架。 特色在于以现实情境激发探究（数学眼光），通过y=log₂x与y=log₁/₂x的图象对称变换渗透数形结合思想（数学思维），结合logₐ1=0得出恒过定点实现性质与运算互证（数学语言），例题涵盖比较大小、定义域等应用，帮助学生形成概念体系，为教师提供逻辑清晰的教学流程。

4.2.3 对数函数的性质与图象 【课程基本信息】 年级 高一 课题 对数函数的性质与图象 课时 1课时 授课教师 【教学目标】 1.理解对数函数的概念. 2.了解对数函数图象及变换. 3.理解对数函数的单调性. 【教学重点】 了解对数函数图象及变换. 【教学难点】 理解对数函数的单调性. 【教学过程】 我们已经知道，假设有机体生存时碳14的含量为1，那么有机体死亡x年后体内碳14的含量y满足，也就是说，y是x的函数．在得到古生物的样品时，考古学家能够测量出其中的碳14含量y，你认为考古学家们能利用这个值推断出古生物的死亡时间x吗？给定一个y值，有多少个x值与之对应？这里的x能看成y的函数吗？为什么？ 设计意图：引用碳14衰减指数模型，从“已知死亡时间求残留量”正向指数问题，逆向抛出“已知残留量反推死亡年份”的实际需求，自然引出指数函数的逆对应关系，理解对数函数诞生的现实意义，搭建指数与对数函数双向关联. 在表达式中，因为，所以这个函数可以看成一个指数函数，根据指数函数的性质可知，这个函数是一个减函数. 这也就意味着，给定一个y值，只有唯一的x值与它对应，也就是说，如果把y看成自变量，x看成因变量，那么这里的x可以看成y的函数.事实上，利用指数运算和对数运算的关系，可以把上述关系式改写为，如果仍用x表示自变量，y表示因变量，那么这一函数关系可以表示为，其中自变量在真数的位置上，我们称这样的函数为对数函数. 对数函数的定义：一般地，函数y=logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1． 事实上，根据对数运算的定义和性质，可以得到对数函数y=log2x的性质： 1.定义域是(0，+∞)； 2.值域是R； 3.奇偶性是非奇非偶函数； 4.单调性是增函数. 教师提问：根据上述对数函数y=log2x的性质，总结一下对数函数y=log2x的图象. 根据以上信息可知，函数y=log2x的图象都在y轴右侧，而且从左往右图象是逐渐上升的. 通过描点，可以作出函数y=log2x的图象，如图所示. 教师提问：根据对数函数y=log2x的性质，尝试理解对数函数的性质与图象. 注意到，因此不难看出和之间的联系：当这两个函数的自变量相等时，对应的函数值互为相反数.也就是说，如果点在的图象上，那么这个点关于x轴的对称点一定在的图象上；反之，的图象上任意一点，其关于x轴的对称点也一定在的图象上.反之，的图象上任意一点，其关于x轴的对称点也一定在的图象上. 设计意图：通过两函数图象关于x轴对称的结论，渗透函数图象对称变换思想. 尝试与发现：(1)你能指出对数函数和的图象的公共点吗？这两个函数图象的关系如何？ (2)你能得出指数函数y=logax一定过哪个定点吗？ 函数和的图象的公共点为(1，0). 因为loga1=0，所以y=logax的图象一定过点(1，0). 设计意图：结合loga1=0的对数基础结论，得出所有对数函数恒过定点(1,0)，实现图象特征与对数运算性质互证。 教师提问：根据前面的知识，尝试总结对数函数的性质. 对数函数y=logax的性质：1.定义域是(0，+∞)，因此函数图象一定在y轴的右边. 2.值域是实数集R. 3.函数图象一定过点(1，0). 4.当a>1时，y=logax是增函数；当0<a<1时，y=logax是减函数. 【课堂例题】 例1：比较下列各题中两个值的大小： (1)log0.33与log0.35； (2)ln 3与ln 3.001； (3)log70.5与0. 例2：已知log7(2m)<log7(m-1)，求m的取值范围. 例3：求下列函数的定义域： (1)y=lg(4-x)； (2)y=ln x2. 【课堂巩固】 1.函数的值域为( ) A. B. C. D. 2.给出下列函数：①；②；③；④.其中是对数函数的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4 3.已知函数在上单调递增，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 【小结作业】 27页的课后习题 【板书设计】 4.2.3 对数函数的性质与图象 1.对数函数的概念 2.对数函数的性质 【教学反思】 课后 反思 优点： 不足： 改进措施： 课堂 评价 答案 【课堂例题】 例1：解：(1)因为0<0.3<1，所以y=log0.3x是减函数，又因为3<5，所以log0.33>log0.35. (2)因为e>1，所以y=ln x是增函数，又因为3.001>3，所以ln 3<ln 3.001. (3)因为7>1，所以y=log7x是增函数，又因为log71=0，而且0.5<1，所以log70.5<log71=0. 例2：解：因为y=log7x的定义域为(0，+∞)，而且是减函数，所以由已知有2m>m-1>0，即解得m>1. 例3：解：(1)因为y=lg(4-x)有意义的充要条件是4-x>0，即x<4，所以所求定义域为(-∞，4). (2)因为y=ln x2有意义的充要条件是x2>0，即x≠0，所以所求定义域为(-∞，0)∪(0，+∞). 【课堂巩固】 1. C 2. A 3.D 学科网（北京）股份有限公司 $