4.1.2 指数函数的性质与图象教学设计—2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦指数函数的概念、性质及图象，通过碳14测年的生物历史交叉场景导入，从有机体碳14含量随时间变化的实际问题抽象出指数模型，搭建生活与数学的桥梁，为性质探究提供学习支架。 特色在于以“尝试与发现”引导学生自主计算函数值、归纳性质，结合y=2^x与y=(1/2)^x的图象对比，直观揭示单调性及对称性，落实数形结合思想。通过现实问题建模培养数学眼光，自主探究发展数学思维，图象规律表达强化数学语言，助力学生抽象能力提升，为教师提供直观高效的教学方案。

4.1.2 指数函数的性质与图象 【课程基本信息】 年级 高一 课题 指数函数的性质与图象 课时 1课时 授课教师 【教学目标】 1.理解指数函数的概念及意义. 2.掌握指数函数图象及变换. 3.理解指数函数的单调性和特殊性. 【教学重点】 掌握指数函数图象及变换. 【教学难点】 理解指数函数的单调性和特殊性. 【教学过程】 考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间. 当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平 ； 但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14， 其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730 年后会变为原来的一半 ． 你能用函数表示有机体内的碳14含量与其死亡时间之间的关系吗？ 一种死亡已经一万年的有机体 ，其体内的碳14含量是其生存时的百分之多少？ 假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y代表该有机体死亡x年后体内碳14的含量，则当x＝5730时，；x＝11 460时，．由此可知，y与x的关系可以表示为. 设计意图：借助考古碳14测年的生物、历史交叉场景，构建衰减型指数变化模型，让学生直观感知生活中存在底数在(0,1)的指数变化规律，建立“指数函数刻画增减变化”的具象认知，激发学习兴趣. 指数函数的定义：一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1． 尝试与发现：分别求出指数函数y=2x在自变量取-2，-1，，0，，1，2时所对应的函数值（填写下表），并由此猜测指数函数y=2x的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由． x -2 -1 0 1 2 y=2x 1 2 4 结论：根据指数运算的定义，可以得到指数函数y=2x的性质： 1.定义域是R； 2.值域是(0，+∞)； 3.奇偶性是非奇非偶函数； 4.单调性是增函数. 教师提问：根据上述指数函数y=2x的性质，总结一下指数函数y=2x的图象. 根据以上性质可知，函数y=2x的图象都在x轴上方，而且从左往右图象是逐渐上升的. 通过描点，可以作出y=2x的图象，如下图所示. 尝试与发现：给出研究指数函数的性质与图象的方法，并用该方法得出这个函数的性质： 1.定义域是R； 2.值域是(0，+∞)； 3.奇偶性是非奇非偶函数； 4.单调性是减函数. 然后在图中作出的图象. 设计意图：结合两个函数图象，让学生直观观察：图象全在x轴上方、过(0,1)、从左至右持续上升，把抽象的单调性、值域转化为可视图形，落实数形结合思想. 思考一下：指数函数y=2x与指数函数有什么联系？ 注意到，因此不难看出和是有联系的：当这两个函数的自变量取互为相反数的两个值时，对应的函数值相等.也就是说，如果点在的图象上，那么这个点关于y轴的对称点一定在的图象上；反之，的图象上任意一点，其关于y轴的对称点也一定在的图象上. 结论：指数函数和的图象关于y轴对称，如图所示. 尝试与发现：你能指出指数函数y=2x和的图象的公共点吗？ 函数y=2x和的图象的公共点为(0，1)．因为a0=1(a≠0)，所以y=ax的图象一定过点(0,1)． 尝试与发现：你能得出指数函数y=ax一定过哪个定点？ y=ax的图象一定过点(0，1)． 指数函数y=ax(a>0且a≠ 1)的性质： 1.定义域是实数集R． 2.值域是(0，+∞)，因此，对任何实数x，都有ax>0，也就是说函数图象一定在x轴的上方． 3.函数图象一定过点(0，1)． 4.当a>1时，y=ax是增函数；当0<a<1时，y=ax是减函数． 想一想：指数函数的定义中，为什么规定a＞0且a≠1？ 1.若a=0，则当x>0时，ax=0；当x≤0 时，ax无意义. 2.若a<0，则对于x的某些数值，可使ax无意义. 3.若a=1，则对任意的x∈R，ax=1是一个常量，没有研究的必要性. 为了避免上述各种情况的发生，规定a>0，且a≠1.有此规定后，对任意的x∈R，ax都有意义，且ax>0. 【课堂例题】 例1：利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： (1)0.8-0.1与0.8-0.2； (2)2.5a与2.5a+1. 例2：已知实数a，b满足，试判断与的大小. 【课堂巩固】 1.“”是“为指数函数”的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知函数的定义域为.记的定义域为集合A，的定义域为集合B.则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若函数是指数函数，则的值为( ) A.2 B.3 C. D.4 【小结作业】 13页的课后习题 【板书设计】 4.1.2 指数函数的性质与图象 1.指数函数的定义 2.指数函数y=ax(a>0且a ≠ 1)的性质 【教学反思】 课后 反思 优点： 不足： 改进措施： 课堂 评价 答案 【课堂例题】 例1：分析：每一组的两个值都有共同特征，因此可以选取合适的函数，用函数的单调性来解决问题. 解：(1)因为0.8-0.1与0.8-0.2都是以0.8为底的幂值，所以考察函数y=0.8x，由于这个函数在实数集R上是减函数，又因为-0.1>-0.2，所以0.8-0.1<0.8-0.2. (2)因为2.5a与2.5a+1都是以2.5为底的幂值，所以考察函数y=2.5x，由于这个函数在实数集R上是增函数，又因为a<a+1，所以2.5a<2.5a+1. 例2：解：因为函数在实数集R上是减函数，所以由可知.又因为在实数集R上是增函数，所以. 【课堂巩固】 1.C 2.B 3.A 学科网（北京）股份有限公司 $