4.1.2 第1课时 指数函数的概念、性质与图象-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

4.1.2　指数函数的性质与图象 第1课时　指数函数的概念、性质与图象 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解指数函数的概念，会判断一个函数是不是指数函数，掌握指数函数的图象与性质. 2.能利用指数函数的图象与性质解决一些简单的应用问题. 1.指数函数的定义 一般地，函数y=ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1. |微|点|助|解| 指数函数解析式的特点 ①底数是大于0且不等于1的常数. ②指数函数的自变量必须位于指数的位置上. ③ax的系数必须为1. ④指数函数等号右边不能是多项式，如y=2x+1不是指数函数. 2.指数函数的性质与图象 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 R 值域 值域为(0，+∞)，即对任何实数x，都有ax>0 过定点 过定点(0，1)，即x=0时，y=1 函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y=ax与y=的图象关于y轴对称 |微|点|助|解| (1)函数图象只出现在x轴上方. (2)当x=0时，有a0=1，故指数函数过定点(0，1). (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴. (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴. (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. 基础落实训练 1.若函数y=(a-2)ax是指数函数，则 (　　) A.a=1或a=3 B.a=1 C.a=3 D.a>0且a≠1 解析：选C　若函数y=(a-2)ax是指数函数，则a-2=1，a>0，且a≠1，解得a=3，故选C. 2.函数y=3-x的图象是 (　　) 答案：B 3.函数y=ax+1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点　　　　.  解析：令x+1=0，得x=-1，此时y=1+2=3，即函数y=ax+1+2的图象过定点(-1，3). 答案：(-1，3) 4.函数f(x)=3x+1的值域为　　　　.  解析：∵3x>0，∴3x+1>1，即函数的值域是(1，+∞). 答案：(1，+∞) 题型(一)　指数函数的概念及其应用 [例1]　(1)若函数y=a2(2-a)x是指数函数，则 (　　) A.a=1或-1 B.a=1 C.a=-1 D.a>0且a≠1 (2)已知函数f(x)是指数函数，且f=，则f(3)=　　　　.  解析：(1)因为函数y=a2(2-a)x是指数函数， 所以即a=-1. (2)设f(x)=ax(a>0且a≠1)，由f=，得===，所以a=5，即f(x)=5x.所以f(3)=53=125. 答案：(1)C　(2)125 |思|维|建|模| 判断指数函数的方法 (1)底数的值是否符合要求. (2)ax前的系数是否为1. (3)指数是否符合要求. [针对训练] 1.给出下列函数：①y=2·3x；②y=3x+1；③y=3x；④y=x3；⑤y=(-2)x；⑥y=.其中指数函数的个数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.4 解析：选C　①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y=3x+1的指数是x+1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y=x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；⑤中，底数-2<0，不是指数函数；⑥中y==()x是指数函数. 2.若点(a，27)在函数y=()x的图象上，则的值为 (　　) A. B.1 C.2 D.0 解析：选A　点(a，27)在函数y=()x的图象上，所以27=()a，即33=，所以=3，解得a=6，所以=.故选A. 题型(二)　指数函数的图象及其应用 [例2]　(1)下列几个函数的图象如图所示，①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx.则a，b，c，d与0和1的关系是 (　　) A.0<a<b<1<c<d B.0<b<a<1<d<c C.0<b<a<1<c<d D.1<a<b<c<d (2)函数y=|2x-2|的图象是 (　　) 解析：(1)由指数函数图象知当底数大于1时为增函数，并且底数越大增加的越快，所以c>d>1.当底数大于0小于1时为减函数，并且底数越小减小的越快，所以1>a>b>0. 所以0<b<a<1<d<c. (2)y== 当x<1时，0<2x<2，y=2-2x∈(0，2)， 画出函数y=的图象，如图所示，故选B. 答案：(1)B　(2)B [变式拓展] 1.本例(2)变为函数y=|2x-2|的图象与直线y=m有1个交点，则实数m的取值范围是　　　　.  解析：由(2)得函数y=|2x-2|的图象，结合图象知，函数与直线y=m有1个交点，实数m的取值范围为{0}∪[2，+∞). 答案：{0}∪[2，+∞) 2.本例(2)变为直线y=2a与函数y=|2x-2|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围. 解：画出函数y=|2x-2|的图象如图所示.要使直线y=2a与该图象有两个公共点，则有0<2a<2，即0<a<1，故实数a的取值范围为(0，1). |思|维|建|模| 处理函数图象问题的策略 (1)指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点. (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性. 　　[针对训练] 3.(多选)若函数y=ax-(b+1)(a>0且a≠1)的图象在第一、三、四象限，则必有 (　　) A.0<a<1 B.b<0 C.a>1 D.b>0 解析：选CD　由指数函数y=ax图象的性质知函数y=ax的图象过第一、二象限，且恒过点(0，1).而函数y=ax-(b+1)的图象是由y=ax的图象向上或向下平移|b+1|个单位长度得到的. 如图，若函数y=ax-(b+1)的图象在第一、三、四象限，则a>1，且b+1>1，所以a>1，b>0.故选CD. 题型(三)　比较大小 [例3]　比较下列各组数的大小： (1)0.8-0.1，1.250.2； (2)(1-a)1-a，(1-a)a； (3)1.70.3，0.93.1； (4)0.30.2，30.3，(-0.3，0.20.3，20.5，(-0.3. 解：(1)∵1.250.2=0.，0<0.8<1， 指数函数y=0.8x在(-∞，+∞)上为减函数， ∴0.8-0.1<0.8-0.2=1.250.2. (2)∵<a<1， ∴0<1-a<a<1. 又y=(1-a)x在(-∞，+∞)上为减函数， ∴(1-a)a<(1-a)1-a. (3)∵1.70.3>1.70=1，0.93.1<0.90=1， ∴0.93.1<1.70.3. (4)①首先与0比较，找出负数(-0.3，(-0.3. ∵0.>0.，∴(-0.3<(-0.3. ②再与1比较，找出大于1的数30.3，20.5. ∵30.3÷20.5=÷=2÷3=<1， ∴30.3<20.5. ③再比较大于0且小于1的数0.30.2，0.20.3，找一个中间数0.30.3.∵0.30.2>0.30.3，=>1， ∴0.30.3>0.20.3. ∴0.30.2>0.20.3. 综上，得(-0.3<(-0.3<0.20.3<0.30.2<30.3<20.5. |思|维|建|模| 比较两个幂值大小的常用方法 (1)对于底数相同，指数不同的两个幂，可以利用指数函数的单调性来比较. (2)对于底数不同，指数相同的两个幂，可以利用指数函数图象的变化规律来比较. (3)对于底数不同且指数也不同的两个幂，可以通过中间值0或1来比较. (4)对于三个(或三个以上的)数，则应先根据值的大小(特别是与0，1的大小作比较)进行分组，再比较各组数的大小. [针对训练] 4.下列大小关系正确的是 (　　) A.0.43<30.4<π0 B.0.43<π0<30.4 C.30.4<0.43<π0 D.π0<30.4<0.43 解析：选B　0.43<0.40=1=π0=30<30.4. 5.设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是 (　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 解析：选C　∵1.50.6>1.50=1，0.60.6<0.60=1， ∴1.50.6>0.60.6. 又函数y=0.6x在(-∞，+∞)上是减函数， 且1.5>0.6， ∴0.61.5<0.60.6. 故0.61.5<0.60.6<1.50.6. 学科网（北京）股份有限公司 $