26.2 二次函数的图像和性质 讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦二次函数的图像和性质，系统梳理从定义（y=ax²+bx+c，a≠0）到y=ax²图像性质，再到y=a(x-h)²+k的平移联系、一般式与顶点式转化、顶点坐标及对称轴求解，最终到待定系数法求解析式的完整知识支架。 资料通过概念辨析例题（如判断二次函数）、图像性质探究（如描点法画y=ax²）培养抽象能力和几何直观，不同解析式转化与待定系数法步骤强化推理意识，课中辅助教师教学，课后试题专炼助力学生查漏补缺，提升应用意识。

26.2 二次函数的图像和性质 课节学习目标 1. 理解掌握二次函数的概念和一般形式.会利用二次函数的概念解决问题. 2. 会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，概括出图象的特点. 掌握形如y=ax2的二次函数图象的性质，并会应用. 3. 会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应用. 4. 理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2(a ≠0)之间的联系. 5. 会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k. 6. 会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴. 7. 会用待定系数法求二次函数的表达式.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题. 课节知识点解读 知识点1. 二次函数的定义 1. 形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项. （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 2. 二次函数定义的应用 （1）考查二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题. （2）二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义. 3. 求二次函数的值 此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值. 知识点2. 二次函数y=ax2的图象与性质 二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线. 重点提示：二次函数y=ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解． 知识点3. 二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质 方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式． 注意：二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系 可以看作互相平移得到的.平移规律如图所示： 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同. 知识点4. 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1.二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标与对称轴 2.二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质 3.二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系 知识点5. 求解二次函数解析式 1. 一般式法求二次函数表达式的方法 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 2. 顶点法求二次函数表达式的方法 这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 3. 交点法求二次函数表达式的方法 这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1, x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程； ③将方程的解代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 课节知识点例题讲析 【例题1】下列函数中，属于二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【例题2】抛物线的共同性质是（ ） A．开口向上 B．都有最大值 C．对称轴都是x轴 D．顶点都是原点 【例题3】抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　） A． （﹣1，2） B． （﹣1，﹣2） C． （1，﹣2） D． （1，2） 【例题4】二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【例题5】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a＜0；②ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝4；③9a+c＞0；④b：c＝1：4，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题6】过原点的抛物线的解析式是（ 　 ） A．y=3x2-1 B．y=3x2+1 C．y=3（x+1）2 D．y=3x2+x 深化对课节知识点理解的试题专炼 1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A． y=3x﹣1 B． y=ax2+bx+c C． s=2t2﹣2t+1 D． y=x2+ 2．二次函数y=2x2-6x-9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．6，2，9 B．2，-6，9 C．2，6，9 D．2，-6，-9 3．若二次函数的开口向下，则m的值是（ ） A．2 B．-1 C．2或-1 D．以上答案都不对 4．已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（　　） A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0 5．抛物线的顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 6.二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为（　　） A． x=4 B．x=﹣4 C． x=2 D． x=﹣2 7．二次函数y=x2-3x+2的顶点坐标是（　　） A．（，-） B．（-，） C．（，） D．（-，-） 8．关于抛物线y＝（x+1）2﹣2，下列结论中正确的是（　　） A．对称轴为直线x＝1 B．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 C．与x轴没有交点 D．与y轴交于点（0，﹣2） 9.若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（　　） A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4 10. 点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 12．对于二次函数，下列说法正确的是(　　　) A．当，随的增大而增大 B．当时，有最大值 C．图象的顶点坐标为 D．图象与轴有一个交点 13．已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（　　） A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4 C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4 14. 如图，抛物线与x轴交于点，则下列结论中正确的 是（ ） A. B. C. D. 15．若是关于的二次函数，则的值为__________． 16．已知长方形的周长为 16cm，其中一边长为 xcm，面积为 y，则这个长方形的面积 y 与 x 之间的关系可表示为 ______ 17．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为　 　． 18．如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　 　． 19．抛物线的顶点坐标是______． 20．已知抛物线的对称轴为x=1，则m=______． 21.已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是　 。 22．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为____________． 23．当m为何值时，函数是二次函数． 24．画函数的图象． 25．已知，直线与抛物线相交于、两点，且的坐标是 （1）求，的值； （2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标． 26．已知抛物线y=ax2+bx+c经过(﹣1，0)，(0，﹣3)，(2，3)三点． （1）求这条抛物线的表达式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 26.2 二次函数的图像和性质 课节学习目标 1. 理解掌握二次函数的概念和一般形式.会利用二次函数的概念解决问题. 2. 会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，概括出图象的特点. 掌握形如y=ax2的二次函数图象的性质，并会应用. 3. 会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应用. 4. 理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2(a ≠0)之间的联系. 5. 会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k. 6. 会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴. 7. 会用待定系数法求二次函数的表达式.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题. 课节知识点解读 知识点1. 二次函数的定义 1. 形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项. （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 2. 二次函数定义的应用 （1）考查二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题. （2）二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义. 3. 求二次函数的值 此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值. 知识点2. 二次函数y=ax2的图象与性质 二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线. 重点提示：二次函数y=ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解． 知识点3. 二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质 方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式． 注意：二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系 可以看作互相平移得到的.平移规律如图所示： 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同. 知识点4. 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1.二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标与对称轴 2.二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质 3.二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系 知识点5. 求解二次函数解析式 1. 一般式法求二次函数表达式的方法 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 2. 顶点法求二次函数表达式的方法 这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 3. 交点法求二次函数表达式的方法 这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1, x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程； ③将方程的解代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 课节知识点例题讲析 【例题1】下列函数中，属于二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】本题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件： 二次函数 的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2． 根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案． A.是一次函数，故本题选项错误； B.，是一次函数，故本题选项错误； C. ，是二次函数，故本题选项正确； D.是反比例函数，故本题选项错误． 【例题2】抛物线的共同性质是（ ） A．开口向上 B．都有最大值 C．对称轴都是x轴 D．顶点都是原点 【答案】D 【解析】抛物线的开口向上，有最小值，对称轴为y轴，顶点为原点； 抛物线的开口向下，有最大值，对称轴为y轴，顶点为原点； 抛物线的开口向上，有最小值，对称轴为y轴，顶点为原点； 故可知，抛物线的共同性质是顶点是原点． 【例题3】抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　） A． （﹣1，2） B． （﹣1，﹣2） C． （1，﹣2） D． （1，2） 【答案】D． 【解析】考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键． 直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标． ∵顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）． 【例题4】二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答． 由图象开口向下可知， 由对称轴，得． ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大． 【例题5】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a＜0；②ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝4；③9a+c＞0；④b：c＝1：4，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D． 【解析】①∵抛物线开口向上， ∴a＞0，结论①正确； ②∵抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点， ∴ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝4，结论②正确； ③∵抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点， ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1， ∴﹣＝1，∴b＝﹣2a， ∵当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，∴8a+c＝0， ∵a＞0，∴9a+c＞0，结论③正确； ④∵b＝﹣2a，∴a＝﹣b， ∵当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0， ∴﹣2b﹣2b+c＝0，∴4b＝c， ∴b：c＝1：4，结论④正确． 综上所述，正确的结论有：①②③④． 【点拨】①由抛物线开口向上，可得出a＞0，结论①正确；②由抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，可得ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝4，结论②正确；③当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，由抛物线与x轴的交点求得对称轴，得到b＝﹣2a，代入得8a+c＝0，由a＞0，可得9a+c＞0，结论③正确；④把a＝﹣代入y＝4a﹣2b+c＝0，整理得到4b＝c，可得b：c＝1：4，结论④正确．综上即可得出结论． 【例题6】过原点的抛物线的解析式是（ 　 ） A．y=3x2-1 B．y=3x2+1 C．y=3（x+1）2 D．y=3x2+x 【答案】D 【解析】经过原点（0，0）的抛物线，当时，y=0代入计算即可判断． A．当时，，不符合题意； B．当时，，不符合题意； C．当时，，不符合题意； D．当时，，符合题意。 深化对课节知识点理解的试题专炼 1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A． y=3x﹣1 B． y=ax2+bx+c C． s=2t2﹣2t+1 D． y=x2+ 【答案】C． 【解析】本题考查了二次函数的定义，y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，注意二次函数都是整式． 根据二次函数的定义，可得答案． A．y=3x﹣1是一次函数，故A错误； B．y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B错误； C．s=2t2﹣2t+1是二次函数，故C正确； D．y=x2+不是二次函数，故D错误。 2．二次函数y=2x2-6x-9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．6，2，9 B．2，-6，9 C．2，6，9 D．2，-6，-9 【答案】D 【解析】本题考查了二次函数的一般形式，属于基础题，熟知二次函数的一般形式是解题的关键． 根据二次函数的标准形式即可得到答案． 二次函数y=2x2-6x-9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，-6，-9． 3．若二次函数的开口向下，则m的值是（ ） A．2 B．-1 C．2或-1 D．以上答案都不对 【答案】B 【解析】由二次函数可得，由开口向下可得m-1＜0，问题可解． ∵是二次函数 ∴ 得m=-1或m=2； 又∵的开口向下 ∴m-1＜0 ∴m=-1 4．已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（　　） A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0 【答案】C 【解析】依据抛物线的对称性可知：（2，y1）在抛物线上，然后依据二次函数的性质解答即可． ∵抛物线y＝ax2（a＞0）， ∴A（﹣2，y1）关于y轴对称点的坐标为（2，y1）． 又∵a＞0，0＜1＜2， ∴y2＜y1． 5．抛物线的顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据抛物线的顶点式即可得到答案． 二次函数y＝x2的图象的顶点坐标为（0，0）． 6.二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为（　　） A． x=4 B．x=﹣4 C． x=2 D． x=﹣2 【答案】D． 【解析】直接利用抛物线的对称轴公式代入求出即可． 二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为：x=﹣=﹣=﹣2． 7．二次函数y=x2-3x+2的顶点坐标是（　　） A．（，-） B．（-，） C．（，） D．（-，-） 【答案】A 【解析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可得出答案． ∵二次函数解析式为， ∴二次函数顶点式为， 故顶点坐标为：（）。 8．关于抛物线y＝（x+1）2﹣2，下列结论中正确的是（　　） A．对称轴为直线x＝1 B．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 C．与x轴没有交点 D．与y轴交于点（0，﹣2） 【答案】B 【解析】直接利用二次函数的性质分别分析得出答案． 抛物线y＝（x+1）2﹣2，对称轴为直线x＝﹣1，故此选项A错误； 当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B正确； ∵抛物线y＝（x+1）2﹣2，开口向上，顶点坐标为：（﹣1，﹣2）， ∴与x轴有2个交点，故选项C错误； 当x＝0时，y＝﹣1，故图象与y轴交于点（0，﹣1），故选项D错误． 9.若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（　　） A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4 【答案】C． 【解析】思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的规律即可解决问题． 将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3个单位， ∵y=（x﹣1）2+2， ∴原抛物线图象的解析式应变为y=（x﹣1+1）2+2﹣3=x2﹣1 10. 点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案． ∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上， ∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n， y2=（m-1）2+n， ∵y1＜y2， ∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n， ∴（m-2）2-（m-1）2＜0， 即-2m+3＜0， ∴m＞， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式． 11. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解． 抛物线中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意； 由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意； 由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意； 因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 12．对于二次函数，下列说法正确的是(　　　) A．当，随的增大而增大 B．当时，有最大值 C．图象的顶点坐标为 D．图象与轴有一个交点 【答案】B 【解析】将二次函数化为顶点式，即可得出二次函数图象的开口方向以及二次函数图象的对称轴、顶点坐标，利用根的判别式可判断出二次函数图象于x轴的交点的个数． ∵ ∴图象的顶点坐标为，选项C错误； ∵ ∴二次函数图象开口向下，当时，有最大值，选项B正确； ∵当，随的增大而减小，当，随的增大而增大，选项A错误； ∵关于x的方程，，有两个不相等的实数根， ∴二次函数，图象与轴有两个交点，选项D错误。 13．已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（　　） A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4 C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4 【答案】D 【解析】设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c， 把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入， 得：解得 所求的函数的解析式为y=2x2+3x-4． 14. 如图，抛物线与x轴交于点，则下列结论中正确的 是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】根据图象的开口方向可判断选项A；根据图象与y轴的交点位置，可判断选项B；根据抛物线和x轴的交点个数可判断选项C；时函数值的情况，可判断选项D． A、由函数图象得，抛物线开口向下，故，故A错误； B、图象与y轴的交点在原点上方，故，故B正确； C、因为抛物线和x轴有两个交点，故，故C错误． D、当时，，故D正确； 故选：BD． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点． 15．若是关于的二次函数，则的值为__________． 【答案】2 【解析】根据二次函数的定义解答． 是关于的二次函数， ∴， 解得： 16．已知长方形的周长为 16cm，其中一边长为 xcm，面积为 y，则这个长方形的面积 y 与 x 之间的关系可表示为 ______ 【答案】 【解析】∵矩形周长为 ∴两邻边之和为 ∴若一边长为，则另一边长为；面积为 ∴即． 17．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为　 　． 【答案】（1，8）． 【解析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）． ∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式， ∴顶点坐标是（1，8）． 18．如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　 　． 【答案】y＝x2+3． 【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解． 【解析】抛物线y＝x2向上平移3个单位得到y＝x2+3． 19．抛物线的顶点坐标是______． 【答案】(1,2)． 【解析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标． ∵， ∴抛物线的顶点坐标是（1,2）， 故答案为：（1,2）． 【点睛】此题考查了二次函数的性质．二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式． 20．已知抛物线的对称轴为x=1，则m=______． 【答案】-2 【解析】利用抛物线的对称轴方程得到，解方程即得到m的值. 抛物线的对称轴为直线， ∴m＝-2.故答案为：-2 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴是直线x=是解答此题的关键. 21.已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是　 。 【答案】（1，4）． 【解析】把A、B的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式，化成顶点式即可． ∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点， ∴代入得：， 解得：b=2，c=3， ∴y=﹣x2+2x+3 =﹣（x﹣1）2+4， 顶点坐标为（1，4） 22．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为____________． 【答案】y＝2x2＋4x－1 【解析】把两组对应值代入y＝ax2＋4x＋c得到关于a、c的方程组，然后解方程组即可． 根据题意得：， 解得， 所以抛物线解析式为y＝2x2＋4x－1， 故填：y＝2x2＋4x－1． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 23．当m为何值时，函数是二次函数． 【答案】m=3 【解析】∵函数是二次函数 ∴ 解得：m=3 即当m=3时，函数是二次函数． 24．画函数的图象． 【答案】答案见详解． 【解析】本题考查了图象的作法，比较简单，属于基础题，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法是解题的关键．利用列表、描点、连线的方法作出函数的图象即可． 列表： 描点、连线如下图所示： 25．已知，直线与抛物线相交于、两点，且的坐标是 （1）求，的值； （2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）m=9,a=1；（2）抛物线的表达式为y=x2，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）． 【分析】（1）先A（-3，m）代入y=-2x+3可求出m，从而确定A点坐标，再把A点坐标代入线y=ax2可计算出m； （2）由（1）易得抛物线的表达式为y=x2，然后根据二次函数的性质确定对称轴和顶点坐标． 【详解】解：（1）把A的坐标（-3，m）代入y=-2x+3得m=-2×（-3）+3=9， 所以A点坐标为（-3，9）， 把A（-3，9）代入线y=ax2得9a=9，解得a=1． 综上所述，m=9,a=1． （2）抛物线的表达式为y=x2，根据抛物线特点可得：对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，以及二次函数的图形的特点，熟练掌握待定系数法和函数特点是解答此题的关键． 26．已知抛物线y=ax2+bx+c经过(﹣1，0)，(0，﹣3)，(2，3)三点． （1）求这条抛物线的表达式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）y=2x2﹣x﹣3；（2）抛物线的开口向上，对称轴为x=，顶点坐标为（，﹣）． 【分析】（1）将三点代入y=ax2+bx+c，得到三元一次方程组，解方程组即可得到a，b，c的值，从而得到抛物线的解析式． （2）把解析式化成顶点式，根据抛物线的性质即可得出结论． 【详解】解：（1）把(-1,0)，(0,-3)，(2,3)代入y=ax2+bx+c， 得，解得． 所以，这个抛物线的表达式为y=2x2﹣x﹣3． （2）y=2x2﹣x﹣3=2(x﹣)2﹣， 所以，抛物线的开口向上，对称轴为x=，顶点坐标为（，﹣） 【点睛】考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质．熟练掌握待定系数法是解题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $