26.2《二次函数图像和性质》同步讲义与针对性训练2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数图像与性质核心知识点，从y=ax²的图像画法及性质入手，逐步过渡到y=a(x-h)²+k的平移规律与性质，最终延伸至一般式y=ax²+bx+c的转化及综合应用，构建从基础到进阶的递进式学习支架。 资料通过表格对比不同形式二次函数的性质，结合示例演示画图步骤与平移规律，搭配分层练习题，培养学生几何直观与推理能力。课中助力教师清晰授课，课后学生可通过实例与练习强化理解，查漏补缺，提升应用意识。

26.2《二次函数图像和性质》 二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k的图像与性质 课程标准 1、掌握二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k的图形与性质； 2、掌握二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k实际应用； 知识点01 二次函数y=ax2的图象和性质 1、二次函数y=ax2的图象的画法 画图步骤 解释 列表 让x取一此代表性的值(正数、负数或0),求出对应的y值,列出表格 描点 在平面直角坐标系内,以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标,描出相应的点 连线 在平面直角坐标系内,以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标,描出相应的点 【示例】在同一平面直角坐标系中作出和的图象. 解：列表如下 x …… -3 -2 -1 0 1 2 3 …… …… 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …… …… -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 …… 描点:如图所示,以表中各组对应值为点的坐标,在平面直角坐标系内描出相应的点. 连线:用光滑的曲线顺次连接各点. 【方法总结】 画二次函数y=ax2的图象的三点注意 (1)列表时,自变量应以О为中心,左右两边要对应取值; (2)画图象时,图象应越过端点,表示为向下或向上无限延伸﹔ (3)图象在两个象限内画出的曲线是对称的,顶点处不能画成尖形,应该保持平滑. 2、二次函数y=ax2的图象和性质 函数 a 图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 向上 （0,0） y轴 当x＞0时， y随x的增大而增大； 当x＜0时， y随x的增大而减小； 当x=0时， y最小值=0 向下 （0,0） 当x＞0时， y随x的增大而减小； 当x＜0时， y随x的增大而增大； 当x=0时， y最大值=0 【注意】 （1）二次函数y =ax2的增减性一定要说明是在y轴的左侧或右侧.不能笼统地说当a>0时,y随x的增大而减小(增大). （2）|a|决定抛物线y=ax2开口大小，|a|越大,抛物线开口越小. 知识点02 二次函数y=a(x—h)2十k的图象和性质 1、二次函数 的图象的画法 （1）描点法 （2）平移法 【注意】 （1）抛物线y=ax2＋k 是由抛物线y=ax2上下平移得到的.当k>0时,上移;当k<0时,下移,简记为“上加下减”. （2）抛物线y=a(a－h)2是由抛物线y=ax2左右平移得到的.当h>0时,右移;当h<0时,左移,简记为“左加右减”. （3）对于二次项系数a相同的两个二次函数,它们对应的抛物线的开口方向和大小是一样的,此时可以只通过观察顶点的位置来判断抛物线的平移情况,也可以利用“左加右减,上加下减”的规律来判断. 【示例】 在同一平面直角坐标系中,画出 的图象,并指出后三个图象与的图象之间的关系. 解:(1)列表如下: x …… －2 －1 0 1 2 …… …… 4 1 0 1 4 …… …… 5 2 1 2 5 …… …… 9 4 1 0 1 …… …… 10 5 2 1 2 …… （2）描点 （3）连线,如图所示. 函数的图象是由函数的图象向上平移1个单位长度得到的; 函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位长度长度得到的; 函数的图象是由函数的图像向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到的. 2、二次函数 的图象和性质 二次函数 a 图像 开口方向 顶点 坐标 对称轴 增减性 最值 a＞0 向上 （0，k） y轴 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大 当x=0时 y最小值=k a＜0 向下 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小 当x=0时 y最大值=k a＞0 向上 （h，0） 直线 x=h 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大 当x=h时 y最小值=0 a＜0 向下 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小 当x=h时 y最大值=0 a＞0 向上 （h，k） 直线 x=h 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小 当x=h时 y最小值=k a＜0 向下 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小 当x=h时 y最大值=k 【注意】 （1）因为从二次函数中可以直接看出其对应的抛物线的顶点为(h，k )，所以通常把 (a≠0)叫做二次函数的顶点式. （2）抛物线(a=0)与x轴可能有交点，也可能没有交点,但与y轴一定有一个交点. 二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c图像性质 趁热打铁 1.下列关于二次函数的说法正确的是( ) A．它的图象经过点 B．当时，随的增大而减小 C．当时，有最大值为 D．它的图象的对称轴是直线 【答案】B 【分析】 根据二次函数作出示意图，然后根据示意图逐一判断即可． 【详解】 由题意得： 当x=-1时，y=2，故A选项错误； 当时，随的增大而减小，故B选项正确； 当时，有小值为，故C选项错误； 图象的对称轴是直线，故D选项错误； 故选B． 【点睛】 本题考查了二次函数的图像和性质，正确的作出示意图是本题的关键． 2．抛物线顶点在() A．第一象限 B．第二象限 C．轴上 D．轴上 【答案】D 【分析】 求出顶点坐标，再根据平面直角坐标系各象限的坐标特征判断即可. 【详解】 ∵抛物线y=2x2-3的顶点坐标为(0，-3)， ∴抛物线y=2x2-3的顶点在y轴上． 故选D． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是能正确求出顶点坐标．也考查了坐标平面内点的坐标特征. 3.如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题． 【详解】 解：当抛物线经过(1，3)时，a=3， 当抛物线经过(3，1)时，a=， 观察图象可知≤a≤3， 故选：A． 【点睛】 本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．已知抛物线y=-x2+1，下列结论： ①抛物线开口向上； ②抛物线与x轴交于点(-1，0)和点(1，0)； ③抛物线的对称轴是y轴； ④抛物线的顶点坐标是(0，1)； ⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的． 其中正确的个数有( ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】 根据a确定抛物线的开口方向；令y=0解方程得到与x轴的交点坐标；根据抛物线的对称轴、顶点坐标以及平移的性质，对各小题分析判断后即可得解． 【详解】 ①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误； ②令y=0，则-x2+1=0，解得x1=1，x2=-1，所以，抛物线与x轴交于点(-1，0)和点(1，0)，故本小题正确； ③抛物线的对称轴=0，是y轴，故本小题正确； ④抛物线的顶点坐标是(0，1)，故本小题正确； ⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确； 综上所述，正确的有②③④⑤共4个． 故选B． 5．函数y＝ax－2 (a≠0)．与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 A．B．C． D． 【答案】A 【分析】 由题意分情况进行分析：①当a＞0时，抛物线开口向上，直线与y轴的负半轴相交，经过第一、三、四象限，②当a＜0时，抛物线开口向下，直线与y轴的负半轴相交，经过第二、三、四象限，因此选择A． 【详解】 解：∵在y=ax-2， ∴b=-2， ∴一次函数图象与y轴的负半轴相交， ∵①当a＞0时， ∴二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限， ∵②当a＜0时， ∴二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限， 故选A． 【点睛】 考核知识点：二次函数图象. 6．抛物线y＝﹣x2+6的顶点坐标是_____． 【答案】(0，6)． 【解析】 【分析】 已知的解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标． 【详解】 解：因为y＝﹣x2+6是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(0，6)． 故答案为(0，6)． 【点睛】 此题考查了二次函数顶点式的性质：抛物线y＝a(x﹣h)2+k的顶点坐标为(h，k)． 7．y=x²过A(1，a)，B(2，b)，则 a_______b (填＞，＜或=) 【答案】＜ 【分析】 分别把A,B的值代入解析式即可解答. 【详解】 解：， 对称轴为轴， 点，在轴的右侧，随的增大而增大， ， ， 故答案为． 【点睛】 此题考查二次函数的性质，解题关键在于利用待定系数法求解. 8．抛物线y＝x2﹣2在y轴右侧的部分是_____．(填“上升”或“下降”) 【答案】上升． 【解析】 【分析】 根据抛物线解析式可求得其对称轴，结合抛物线的增减性可得到答案． 【详解】 ∵y＝x2﹣2， ∴其对称轴为y轴，且开口向上， ∴在y轴右侧，y随x增大而增大， ∴其图象在y轴右侧部分是上升， 故答案为上升． 【点睛】 本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数图象在对称轴右侧y随x的增大而增大是解题的关键． 9．抛物线y＝x2的开口方向_____，对称轴是_____，顶点是_____，当x＜0时，y随x的增大而_____；当x＞0时，y随x的增大而_____；当x＝0时，y有最_____值是_____． 【答案】上， y轴， (0，0)， 减小， 增大， 最小， 0． 【分析】 根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】 解：y＝x2的开口方向 上，对称轴是 y轴，顶点是 (0，0)，当x＜0时，y随x的增大而 减小；当x＞0时，y随x的增大而 增大；当x＝0时，y有最 最小值是 0， 故答案为上，y轴，(0，0)，减小，增大，最小，0． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题关键． 10.在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题． (1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线； (2)抛物线，开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________； (3)抛物线，当x________时，随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________． 【答案】 (1)下； l ； (2)向下； y轴； (0，1)； (3)＞0； ＝0； 大； 大 ； 1. 【解析】在同一平面直角坐标系内画出两条抛物线，利用图象回答问题． (1)抛物线向 下 平移 1__个单位得到抛物线； (2)抛物线，开口方向是 向下 ，对称轴为___ y轴_____，顶点坐标为_ (0，1)__； (3)抛物线，当x ＞0时，y随x的增大而减小； 当x ＝0__时，函数y有最 大 值，其最 大__值是 1 ． 【总结升华】本例题把函数与函数的图象放在同一直角坐标系中进行对比，易得出二次函数与的图象形状相同，只是位置上下平移的结论．可以看作是把的图象向上或向下平移个单位得到的． 二次函数y=a(x-h)2＋k(a≠0)的图象与性质 趁热打铁 1．抛物线y=-(x-1)2-2的顶点坐标是(　 　) A．(-1，2) B．(-1，-2) C．(1，-2) D．(1，2) 【答案】C 【分析】 由抛物线解析式即可得出答案. 【详解】 ∵抛物线解析式为：y=-(x-1)2-2 ∴顶点坐标为(1，-2) 故答案选择C. 【点睛】 本题考查的是学生对二次函数中顶点式的掌握，难度系数较低. 2．对于函数y=-2(x-3)2，下列说法不正确的是(　　) A．开口向下 B．对称轴是 C．最大值为0 D．与y轴不相交 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次函数的性质即可一一判断． 【详解】 对于函数y=-2(x-3)2的图象， ∵a=-2＜0， ∴开口向下，对称轴x=3，顶点坐标为(3，0)，函数有最大值0， 故选项A、B、C正确， 选项D错误， 故选D． 【点睛】 本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，属于基础题，中考常考题型． 3．对于抛物线y＝﹣(x+2)2﹣1，下列说法错误的是(　　) A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣2 C．x＞﹣2时，y随x的增大而增大 D．x＝﹣2，函数有最大值y＝﹣1 【答案】C 【分析】 根据二次函数的性质依次判断各个选项后即可解答． 【详解】 ∵y＝﹣(x+2)2﹣1， ∴该抛物线的开口向下，顶点坐标是(﹣2，﹣1)，对称轴为直线x＝﹣2， 当x＝﹣2时，函数有最大值y＝﹣1，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，故选项C的说法错误. 故选C． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，熟练运用二次函数的性质是解决问题的关键. 4．在平面直角坐标系中，作抛物线关于轴对称的抛物线，再将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线的函数解析式是，则抛物线所对应的的函数解析式是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 易得抛物线C的顶点，进而可得抛物线B的顶点坐标，根据顶点式及平移前后二次项系数不变可得抛物线B的解析式，而根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得抛物线A所对应的的函数表达式 【详解】 易得抛物线C的顶点(-1，-1)， ∵是向左平移2个单位，向上平移1个单位得到抛物线C， ∴抛物线B的顶点坐标(1，-2)， 可设抛物线B的解析式为y=2+k，代入得y=2-2， 易得抛物线A的二次项系数为-2，顶点坐标为(1,2)， ∴抛物线A的解析式为y=-2+2， 故正确答案为D. 【点睛】 此题主要考查二次函数图像的平移问题，只需看顶点坐标的如何平移得到即可；关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标相反，二次项系数互为相反数 5．二次函数的最小值是( )． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由顶点式可知当x=1时，y取得最小值-3． 【详解】 解：∵， ∴顶点坐标为， ∴当x=1时，y取得最小值-3． 故选． 【点睛】 本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．二次函数y＝2＋3的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是( ) A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线x＝1 C．抛物线的顶点是(1，3) D．当x＞1时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】 利用二次函数的性质一一判断即可． 【详解】 二次函数y=2(x﹣1)2+3． ∵a=2＞0，∴抛物线开口向上，顶点坐标为(1，3)，对称轴是直线x=1，故A，B，C正确． 故选D． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7．已知二次函数y＝(x﹣2)2+3，当x＜2时，y随x的增大而_____．(填“增大”或“减小”) 【答案】减小 【分析】 对于二次函数顶点式y=a(x-h)2+k，当a＞0时，x＞h：y随x的增大而减增大，x＜h：y随x的增大而减小；当a＜0时，x＞h：y随x的增大而减小，x＜h：y随x的增大而增大． 【详解】 ∵a＝1＞0，对称轴x＝2， ∴当x＜2时，y随着x的增大而减小． 故答案为减小． 【点睛】 本题考查二次函数顶点式y=a(x-h)2+k增减性．解决本类题目的关键是分清a的符号和h的符号． 8．已知A(-4，y1)，B(-1，y2)，C(2，y3)三点都在二次函数y=a(x+2)2+c(a>0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__________． 【答案】y2˂ y1˂y3(y3>y1>y2 也可) 【分析】 先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小． 【详解】 二次函数y=a(x+2)2+c(a>0)的图像开口方向向上，对称轴是x=-2， A(-4，y1) 距对称轴的距离是2，B(-1，y2)距对称轴的距离是1， C(2，y3) 距对称轴的距离是4 所以y2˂ y1˂y3 故答案为：y2˂ y1˂y3 【点睛】 此题考查的是二次函数的图像与性质，求出抛物线的对称轴和开口方向是解题关键． 9．如图，抛物线y=2(x-2)2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC; 【答案】 【分析】 过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，由抛物线y=得C(2，0)， 于是得到对称轴为直线x=2，设B(m，n)，根据△ABC是等边三角形，得到BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，求出PB=PC=(m-2)，由于PB=n=，于是得到(m-2)=，解方程得到m的值，然后根据三角形的面积公式即可得到结果． 【详解】 解：过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC， 由抛物线y=得C(2，0)， ∴对称轴为直线x=2， 设B(m，n)， ∴CP=m-2， ∵AB∥x轴， ∴AB=2m-4， ∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°， ∴PB=PC=(m-2)， ∵PB=n=， ∴(m-2)=， 解得m=，m=2(不合题意，舍去)， ∴AB=，BP=， ∴S△ABC=． 【点睛】 本题考查二次函数的性质. 10．填表． 解析式 开口方向 顶点坐标 对称轴 y＝(x－2)2－3 y＝－(x＋3)2＋2 y＝3(x－2)2 y＝－3x2＋2 【答案】 解析式 开口方向 顶点坐标 对称轴 y＝(x－2)2－3 向上 (2，－3) 直线x＝2 y＝－(x＋3)2＋2 向下 (－3，2) 直线x＝－3 向下 (－5，－5) 直线x＝－5 向上 (，1) 直线x＝ y＝3(x－2)2 向上 (2，0) 直线x＝2 y＝－3x2＋2 向下 (0，2) 直线x＝0 【解析】 【分析】 各个函数都是顶点坐标式，根据顶点式可求抛物线的开口方向，顶点坐标及对称轴． 【详解】 解析式 开口方向 顶点坐标 对称轴 y＝(x－2)2－3 向上 (2，－3) 直线x＝2 y＝－(x＋3)2＋2 向下 (－3，2) 直线x＝－3 向下 (－5，－5) 直线x＝－5 向上 (，1) 直线x＝ y＝3(x－2)2 向上 (2，0) 直线x＝2 y＝－3x2＋2 向下 (0，2) 直线x＝0 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 目标导航 课程标准 （1） 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式； （2） 通过图象能熟练地掌握二次函数的性质； （3）经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 知识精讲 知识点01 二次函数与之间的相互关系 1．顶点式化成一般式 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2．一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 【注意】 1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用． 2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 知识点02 二次函数的图象的画法 1．一般方法 列表、描点、连线 2．简易画法：五点定形法 步骤： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 【注意】 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 知识点03 二次函数的图象与性质 1．二次函数图象与性质 函数 二次函数(a、b、c为常数，a≠0) 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2．二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 知识点04 求二次函数的最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大(或最小)值，即当时，． 【注意】 如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况． 趁热打铁 1．将二次函数化为的形式，结果为( ) A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】 试题分析：y=x2﹣4x﹣1=x2﹣4x+4﹣5=(x﹣2)2﹣5． 故选D． 考点：二次函数的顶点式． 2．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是(　　) A．开口向上 B．对称轴是直线x＝1 C．与x轴没有交点 D．与y轴的交点坐标是(0，1) 【答案】C 【分析】 根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质依次判断各项即可解答． 【详解】 ∵抛物线y＝x2﹣2x+1＝(x﹣1)2， ∴该函数图象开口向上，选项A正确， 对称轴是直线x＝1，选项B正确， 当x＝1时，y＝0，即抛物线与x轴的交点是(1,0)选项C错误 当x＝0时，y＝1，选项D正确， 故选C． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3．抛物线的图象先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，所得图象的解析式是，则 A．13 B．11 C．10 D．12 【答案】B 【分析】 因为抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到图象的解析式是y=x2﹣3x+5，所以y=x2﹣3x+5向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，先由y=x2﹣3x+5的平移求出y=ax2+bx+c的解析式，再求a+b+c的值． 【详解】 ∵y=x2﹣3x+5=(x﹣)2+，当y=x2﹣3x+5向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，∴y=(x﹣+3)2++2=x2+3x+7； ∴a+b+c=11． 故选B． 【点睛】 本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 4．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A(3，0)，对称轴是直线x＝1，则a+b+c的值为( ) A． B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】 根据二次函数对称性可求出点(－3，0)关于对称轴x＝－1的对称点为(1，0)，然后把(1，0)代入y＝ax2＋bx＋c即可求出答案． 【详解】 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝－1， ∴根据二次函数的对称性得：点A(－3，0)的对称点为(1，0)， ∴当x＝1时，y＝a＋b＋c＝0， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出点A关于对称轴的对称点，难度不大． 5．二次函数，当________时，的最小值是_______. 【答案】-1， -4 【分析】 根据完全平方式和顶点式的意义，可直接得出二次函数的最小值． 【详解】 由于(x+1)2≥0， 所以当x=-1时，(x+1)2取得最小值， 则二次函数y=2(x+1)2-4最小值为-4． 故答案为：-1,-4． 【点睛】 此题考查二次函数的性质，解题关键在于要熟悉非负数的性质，找到完全平方式的最小值即为函数的最小值． 6．已知抛物线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 【答案】(1)y=x2-3x；(2)开口向上，直线x=，(，) 【分析】 (1)把点A、B的坐标代入函数解析式，根据待定系数法列式求解即可． (2)配成顶点式，再根据二次函数的性质求解． 【详解】 解：(1)∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式是：y=x2-3x； (2)， ∵a=1＞0， ∴抛物线开口向上， 对称轴为直线x=，顶点坐标为(，)． 【点睛】 本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二函数的性质，是基础题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是(　　) A．对称轴是直线x＝1 B．当x＜0时，函数y随x增大而增大 C．图象的顶点坐标是(1，4) D．图象与x轴的另一个交点是(4，0) 【答案】D 【分析】 利用二次函数的图像与性质，判断选项的正误即可. 【详解】 由函数图像可知，对称轴是直线x＝1故选项A正确； 当x＜0时，函数y随x增大而增大，故选项B正确； 图象的顶点坐标是(1，4)，故选项C正确； 图象与x轴的另一个交点是(3，0)，故选项D错误. 故选D 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握性质是解题的关键. 8．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3． (1)写出这个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值； (2)求出这个抛物线与坐标轴的交点坐标． 【答案】(1)见解析;(2) 与x轴的交点坐标是(﹣1，0)，(3，0)，与y轴的交点坐标是(0，3)． 【解析】 【分析】 (1)根据二次项系数确定开口方向，根据顶点坐标公式确定顶点坐标和对称轴． (2)当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解方程可求得与x轴的交点为(﹣1，0)，(3，0)；当x＝0时，y＝3，即求得与y轴的交点坐标为(0，3)． 【详解】 解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4 ∴开口方向向下，对称轴x＝1，顶点坐标是(1，4) 当x＝1时，y有最大值是4； (2)∵当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3 当x＝0时，y＝3 ∴抛物线与x轴的交点坐标是(﹣1，0)，(3，0)，与y轴的交点坐标是(0，3)． 故答案为(1)见解析;(2) 与x轴的交点坐标是(﹣1，0)，(3，0)，与y轴的交点坐标是(0，3)． 【点睛】 本题考查二次函数的性质，解题的关键是利用解析式求坐标轴的交点以及顶点坐标公式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $