第5讲一元二次方程、不等式专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦一元二次方程与不等式，以题载法构建“方程-函数-不等式”逻辑链，强化参数讨论与实际应用，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础解法|1-5题|穿根法、韦达定理、图像法|从方程根到不等式解集，构建二次函数图像与符号关系| |参数问题|6-9题|分类讨论、恒成立条件转化|含参不等式解集与参数范围的双向推导| |综合应用|10-16题|函数建模、零点分布、复合不等式|结合实际情境与函数性质，提升数学应用意识|

第5讲　一元二次方程、不等式 (时间:45分钟) 1.不等式(2-x)(2x-3)>0的解集是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.R C. D.⌀ 2.已知关于x的不等式ax2+bx+1>0的解集为,则a,b的值分别是 (　 ) A.-3,-6 B.-6,-1 C.6,3 D.3,6 3.若0<t<1,则关于x的不等式(t-x)>0的解集为 (　 ) A. B. C. D. 4.不等式(x2-2x-3)(x2+4x+4)<0的解集是 (　 ) A.{x|x<-1或x>3} B.{x|-1<x<2或2<x<3} C.{x|-1<x<3} D.{x|-2<x<3} 5.(多选题)若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为{x|-2<x<3},则 (　 ) A.a>0 B.bc>0 C.a+b=0 D.a-b+c>0 6.若关于x的不等式(m2-1)x2+(m-1)x+1>0的解集为R,则实数m的取值范围为　　　　.  7.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏,若每盏台灯的售价每提高1元,日销售量将减少2盏,现决定提价销售,为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入,则每盏台灯的售价x(单位:元)的取值范围是　　　　.  8.关于x的方程x2-2ax+1=0的两根分别在(0,1)与(1,3)内,则实数a的取值范围为 (　 ) A.1<a< B.a<1或a> C.-1<a< D.-<a<-1 9.若关于x的不等式x2-ax+2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是 (　 ) A.(2,+∞) B.(-∞,2) C.(-∞,3) D. 10.[2024·河南新乡二模] 函数f(x)=[x]被称为取整函数,也被称为高斯函数,其中[x]表示不大于实数x的最大整数.若对任意m∈(0,+∞),[x]2+[x]≤恒成立,则x的取值范围是 (　 ) A.[-1,2] B.(-1,2) C.[-2,2) D.(-2,2] 11.(多选题)已知关于x的不等式a(x-1)(x+3)-2>0的解集是(x1,x2),其中x1<x2,则下列结论中正确的是 (　 ) A.x1+x2+2=0 B.-3<x1<x2<1 C.|x1-x2|>4 D.x1x2+3<0 12.若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-2,4),则关于x的不等式≤0的解集为　　　　.  13.设0<b<1+a,若关于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集中的整数恰有3个,则a的取值范围是　　　　.  14.已知函数f(x)=ax2+(b-2)x+3(a≠0). (1)当a=1,b=6时,求函数f(x)的零点; (2)若不等式f(x)>0的解集为{x|-1<x<1},求实数a,b的值. 15.已知函数f(x)=4x+a·2x. (1)若a=-5,求不等式f(x)≤-4的解集; (2)当x∈[-2,2]时,f(x)的最小值为-1,求a的值. 16.已知函数f(x)=x2-bx+c(b>0,c>0)的两个零点分别为x1,x2,若x1,x2,-2三个数适当调整顺序后可构成等差数列,也可构成等比数列,则不等式≤0的解集为 (　 ) A.(-∞,4]∪(5,+∞) B.[4,5] C.(-∞,4)∪[5,+∞) D.(4,5] 参考答案 第5讲　一元二次方程、不等式 1.C　[解析] 由(2-x)(2x-3)>0得(x-2)(2x-3)<0,解得<x<2,所以原不等式的解集为.故选C. 2.B　[解析] 由题得a<0且x1=-和x2=是关于x的方程ax2+bx+1=0的两个根,所以x1+x2=-,x1x2=,即-=-,=-,解得a=-6,b=-1.故选B. 3.C　[解析] 因为0<t<1,所以>t,故关于x的不等式(t-x)>0的解集为.故选C. 4.C　[解析] 由(x2-2x-3)(x2+4x+4)<0,得(x-3)(x+1)(x+2)2<0,当x=-2时,不等式显然不成立,当x≠-2时,(x+2)2>0,所以原不等式即为(x-3)(x+1)<0,解得-1<x<3,故原不等式的解集为{x|-1<x<3}.故选C. 5.BCD　[解析] 由题知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则a<0,故A错误;由题知一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为-2和3,由根与系数的关系得故b=-a>0,c=-6a>0,即bc>0,故B正确;a+b=a-a=0,故C正确;a-b+c=a-(-a)+(-6a)=-4a>0,故D正确.故选BCD. 6.∪[1,+∞)　[解析] 当m2-1=0时,解得m=1或m=-1.若m=1,则不等式恒成立,满足题意;若m=-1,则不等式化为-2x+1>0,其解集不是R,不满足题意.当m≠±1时,由题得解得m<-或m>1.综上,实数m的取值范围为∪[1,+∞). 7.(15,20)　[解析] 由题意得[30-2(x-15)]·x>400,即x2-30x+200<0,解得10<x<20,又因为x>15,所以15<x<20,即每盏台灯的售价x的取值范围是(15,20). 8.A　[解析] 令f(x)=x2-2ax+1,∵关于x的方程x2-2ax+1=0的两根分别在(0,1)与(1,3)内,∴即解得1<a<.故选A. 9.D　[解析] 关于x的不等式x2-ax+2>0在区间[1,5]上有解,即ax<2+x2对x∈[1,5]有解,即a<+x对x∈[1,5]有解,所以当x∈[1,5]时,a<.设函数f(x)=+x,x∈[1,5],因为函数f(x)在区间[1,)上单调递减,在区间[,5]上单调递增,且f(1)=3,f(5)=,所以当x=5时,函数f(x)取得最大值,最大值为,所以a的取值范围是.故选D. 10.C　[解析] 当m∈(0,+∞)时,=m+≥2,当且仅当m=1时取等号,所以[x]2+[x]≤2,即([x]+2)([x]-1)≤0,解得-2≤[x]≤1,所以-2≤x<2,故选C. 11.AB　[解析] 由题意可得a<0,a(x-1)(x+3)-2=a(x-x1)(x-x2),即ax2+2ax-3a-2=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2,所以 则x1+x2+2=0,x1x2+3=->0,故A正确,D错误;令a(x-1)(x+3)=0,则其根为x3=-3,x4=1,结合二次函数的性质可得-3<x1<x2<1,x2-x1<1-(-3)=4,即|x1-x2|<4,故B正确,C错误.故选AB. 12.(-∞,4)∪[8,+∞)　[解析] 因为关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-2,4),所以a<0,且关于x的方程ax2+bx+c=0的两根为-2和4,所以-=-2+4=2,=-2×4=-8,即b=-2a,c=-8a,则关于x的不等式≤0可化为≤0,即≤0,即≤0,解得x<4或x≥8,故关于x的不等式≤0的解集为(-∞,4)∪[8,+∞). 13.(1,3)　[解析] 由(x-b)2>(ax)2,得(a2-1)x2+2bx-b2<0,即[(a+1)x-b]·[(a-1)x+b]<0,∵不等式的解集中的整数恰有3个,∴a>1,∴不等式的解为<x<,又0<<1,∴解集中的整数是-2,-1,0,∴-3≤-<-2,∴2<≤3,∴2a-2<b≤3a-3,又b<1+a,∴2a-2<1+a,∴a<3.综上,a的取值范围是(1,3). 14.解:(1)当a=1,b=6时,f(x)=x2+4x+3,令f(x)=0,得x2+4x+3=0,解得x1=-1,x2=-3,所以函数f(x)的零点是-1和-3. (2)因为不等式ax2+(b-2)x+3>0的解集为{x|-1<x<1},所以-1,1是关于x的方程ax2+(b-2)x+3=0的两个实根,且a<0, 则解得 15.解:(1)当a=-5时,不等式f(x)≤-4即为4x-5·2x+4≤0, 所以(2x-1)(2x-4)≤0,则有1≤2x≤4,则0≤x≤2,故不等式f(x)≤-4的解集为{x|0≤x≤2}. (2)令t=2x,x∈[-2,2],则t∈,g(t)=t2+at,其图象开口向上,对称轴方程为t=-. ①当-<,即a>-时,g(t)在上的最小值为g=+=-1,解得a=-,不符合题意; ②当≤-≤4,即-8≤a≤-时,g(t)在上的最小值为g=-=-1,可得a=-2; ③当->4,即a<-8时,g(t)在上的最小值为g(4)=16+4a=-1,解得a=-,不符合题意. 综上所述,a的值为-2. 16.D　[解析] 因为函数f(x)=x2-bx+c(b>0,c>0)的两个零点分别为x1,x2,所以x1,x2是方程x2-bx+c=0的两个不相等的实数根,则x1+x2=b>0,x1x2=c>0,所以x1>0,x2>0,不妨设x1<x2.因为x1,x2,-2三个数适当调整顺序后可构成等差数列,也可构成等比数列,所以-2,x1,x2或x2,x1,-2构成等差数列,x1,-2,x2或x2,-2,x1构成等比数列,所以可得所以b=1+4=5,c=1×4=4,不等式≤0即为≤0,等价于 解得4<x≤5,因此,不等式的解集为(4,5].故选D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $