2.2.1基本不等式（算术平均数与几何平均数）第1课时导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦基本不等式（算术平均数与几何平均数）第1课时，通过“温故”回顾不等式基本性质，“知新”引入基本不等式定义、几何意义及适用条件，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生逐步理解核心概念。 以生活情境（矩形花园篱笆问题）和几何模型（半弦与半径关系）驱动探究，帮助学生用数学眼光观察现实世界，合作探究中总结“和定积最大，积定和最小”口诀培养数学思维，典例与达标练习强化配凑法等解题技能，预习反思环节促进自主学习，提升数学语言表达与应用能力。

人教a版（2019）高中数学必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2.1基本不等式——算术平均数与几何平均数（第1课时） 精品导学案（含解析） 💫数学人教A版（2019）必修一💫 课 题 算术平均数与几何平均数 课 时 第1 课时 班 级 ________________ 姓 名 ________________ 　 🎯 【课标要求】 ⭐ 【重点难点】 1. 理解基本不等式 的推导过程与几何意义； 2. 结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。 【学习重点】基本不等式的结构特征与等号成立条件。 【学习难点】配凑法构造定值，灵活运用基本不等式求最值。 　 📖 【预习导学】 请认真阅读教材，完成以下预习内容（✍️ 请用红笔标注存疑之处，课上重点解决）： ◆ 一、温故（不等式基本性质回顾） 1．不等式性质1（对称性）：若 a>b，则 b____a；反之也成立。 2．不等式性质2（传递性）：若 a>b，b>c，则 a____c。 3．不等式性质3（可加性）：若 a>b，则 a+c____b+c；由此可推出移项法则：不等式中任意一项改变______后，可以移到不等号另一侧。 4．不等式性质4（可乘性）：若 a>b，c>0，则 ac____bc；若 a>b，c<0，则 ac____bc。 5．不等式性质5（同向可加性）：若 a>b，c>d，则 a+c____b+d。 6．不等式性质6（同向正数可乘性）：若 a>b>0，c>d>0，则 ac____bd。 7．不等式性质7（正数乘方性）：若 a>b>0，则 aⁿ____bⁿ（n∈N，n≥2）。 ──────────────────────────────────────────────────────────── ◆ 二、知新（基本不等式核心要点） 1．对任意实数 a，b，重要不等式：a²+b²____2ab，当且仅当 a____b 时等号成立。 2．基本不等式适用条件：a____0，b____0；公式为 ，当且仅当 a____b 时等号成立。 3．对正数 a，b， 叫做 a，b 的________平均数， 叫做 a，b 的________平均数；基本不等式的文字表述为：两个正数的算术平均数________它们的几何平均数。 4．基本不等式几何意义：AB 为圆的直径，AC=a，CB=b，过点 C 作垂直于 AB 的弦交圆于 D，则 CD=______，圆的半径为______；弦长的一半 CD 不大于半径，对应不等式__________________，当且仅当点 C 与________重合时等号成立。 ──────────────────────────────────────────────────────────── ◆ 三、预习疑惑 ─────────────────────────────────────────────────────── ─────────────────────────────────────────────────────── ─────────────────────────────────────────────────────── 🔍 【合作探究】 【探究一 · 生活情境：矩形花园】 学校要在食堂旁用总长为 20 m 的篱笆围出一块矩形花圃，设矩形的相邻两边长分别为 x m，y m。 ❓ 问题 1：根据题意，x+y 的值是多少？花圃面积 S=xy 能取到多大？请写出你的猜想过程。 　 　 ❓ 问题 2：若要使花圃面积为 25 m²（xy=25），篱笆总长 2(x+y) 至少要多长？此时 x，y 分别是多少？ 　 　 💡 问题 3：以上两个问题分别用到了基本不等式的哪一类“定值”特征？请总结口诀：“和定____最____，积定____最____”。 　 　 ──────────────────────────────────────────────────────────── 【探究二 · 几何模型：半弦与半径】 如图，AB 是圆 O 的直径，C 为 AB 上一点，AC=a，CB=b（a,b>0），过 C 作 CD⊥AB 交半圆于 D，连接 OD、AD、BD。 ❓ 问题 1：用 a，b 表示 OD=____，CD=____，由“直角三角形斜边上的高____斜边的一半”可得 CD≤OD。 　 ❓ 问题 2：当点 C 与点 O 重合时，a 与 b 的关系是______，此时 CD=OD，即等号成立。由此你能说出基本不等式等号成立的几何条件吗？ 　 ❓ 问题 3：判断下列说法是否正确（对打√，错打×），并说明理由： （1）对任意实数 x，y，都有；（ ） （2）若 x>0，y>0，则的等号当且仅当 x=y=1 时成立；（ ） （3）函数 y=x+（x>0）的最小值是 2；（ ） 　 💡 【典例精析】 【例 1】（和定积最大） （1）若 x>0，y>0，且 2x+y=8，求 xy 的最大值； （2）已知直角三角形两条直角边之和为 10，求该三角形面积的最大值及此时两条直角边的长。 【解析】 　 　 　 　 　 ──────────────────────────────────────────────────────────── 【例 2】（配凑法求最值） （1）若 x>2，求函数 y=x+的最小值； （2）若 x>0，求函数 y=的最小值。 【解析】 　 　 　 　 ✏️ 【当堂达标】 （建议用时：10 分钟） 1. 若 x>0，y>0，且 x+y=8，则 xy 的最大值为（ ） A. 8 B. 16 C. 12 D. 2. 设 x>0，y>0，且 xy=25，则 x+y 的最小值为（ ） A. 25 B. 5 C. 10 D. 20 3. 已知 x>0，则 x+ 的最小值为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 10 　 📝 【课堂小结 & 课后作业】 🧠 知识框架 📚 课后作业 • 重要不等式：a²+b²≥2ab (a,b∈R) • 基本不等式： (a,b>0) 口诀：一正、二定、三相等 • 应用：和定积最大；积定和最小；配凑构造定值。 【必做】教材练习 1, 2, 3 题 【实践】回家观察一个"等周问题"：用给定长度的绳子围成什么形状的矩形，面积最大？做一做实验，下节课分享。 🌟 【学习反思】 今日收获： ────────────────────────────────────────────────────────── ────────────────────────────────────────────────────────── 存在困惑： ────────────────────────────────────────────────────────── ────────────────────────────────────────────────────────── 数学是思维的体操，思考是进步的阶梯 ——华罗庚 🎁《基本不等式》学案 精美答案参考 　 📘 一、温故知新 · 基础填空答案 温故（不等式性质） 知新（基本不等式） 1．<； 2．>； 3．>；符号； 4．>；<； 5．>； 6．>； 7．>。 1．≥；=； 2．>；>；≤；=； 3．算术；几何；不小于（或 ≥）； 4．； ；；圆心 O。 　 🔍 二、合作探究 · 关键结论 【探究一 · 矩形花园】 问题 1：由周长 2(x+y)=20，得 x+y=10（定值）。由基本不等式=5，得 xy ≤ 25。当且仅当 x=y=5 时，面积 S=xy 取最大值 25 m²（即花圃为正方形时面积最大）。 问题 2：由 xy=25（定值），得 x+y ≥ 2=10，所以 2(x+y)≥20。篱笆总长至少 20 m，此时 x=y=5 m。 问题 3：口诀：“和定积最大，积定和最小”。用基本不等式求最值需同时满足三条件：①一正（各项为正）；②二定（和或积为定值）；③三相等（等号能取到）。 【探究二 · 几何模型】 问题 1：OD=，CD=，“直角三角形斜边上的高不大于斜边中线（即半径）”。 问题 2：当 C 与 O 重合时，a=b（即 AC=CB），此时直径被 C 平分，弦 CD 也达到最长，等于半径，对应基本不等式等号成立。 问题 3：（1）×，前提是 x>0，y>0，且 x，y 同号； （2）×，等号成立当且仅当 x=y，与“=1”无关； （3）√，x>0 时 x=1/x 即 x=1 取等号，最小值为 2； 　 💡 三、典例精析 · 详解 【例 1】（和定积最大） （1）∵ 2x>0，y>0，且 2x+y=8（定值），由基本不等式： 2x·y ≤ ()² = 16 ⇒ xy ≤ 8，当且仅当 2x=y 且 2x+y=8，即 x=2，y=4 时取等号。故 xy 的最大值为 8。 （2）设两直角边为 a，b（a>0,b>0），则 a+b=10，面积 S=ab/2。由基本不等式 ab ≤ ((a+b)/2)²=25，∴ S≤25/2。当 a=b=5 时，S_max=25/2，此时三角形为等腰直角三角形，两直角边均为 5。 【例 2】（配凑法求最值） （1）∵ x>2，∴ x−2>0。将 y 配凑为：y = (x−2) + + 2 ≥+ 2 = 6+2=8。当且仅当 x−2 = ，即 (x−2)²=9，x−2=3，x=5 时取等号。故 y 的最小值为 8。 （2）∵ x>0，∴ 2x+ ≥ 2 = 2=8，∴ y= ≥ 8+5=13。当且仅当 2x=，即 x²=4，x=2 时取等号。故 y 的最小值为 13。 　 ✏️ 四、当堂达标 · 完整解析（5 题） 1. 答案：B. 16 解析：x>0,y>0 且 x+y=8（定值）。由基本不等式 xy ≤ ()² = 16，当且仅当 x=y=4 时等号成立。故选 B。 2. 答案：C. 10 解析：x>0,y>0 且 xy=25（定值），则 x+y ≥ 2=2×5=10，当且仅当 x=y=5 时等号成立。故选 C。 3. 答案：B. 8 解析：x>0，由基本不等式 x+ ≥ 2 =8，当且仅当 x= ，即 x=4 时取等号。故选 B。 —— 愿你在每一次"配凑"中，都找到等号成立的那个最优点 —— 第 学科网（北京）股份有限公司 $人教a版（2019）高中数学必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2.1基本不等式——算术平均数与几何平均数（第1课时） 精品导学案 💫数学人教A版（2019）必修一💫 课 题 算术平均数与几何平均数 课 时 第1 课时 班 级 ________________ 姓 名 ________________ 　 🎯 【课标要求】 ⭐ 【重点难点】 1. 理解基本不等式 的推导过程与几何意义； 2. 结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。 【学习重点】基本不等式的结构特征与等号成立条件。 【学习难点】配凑法构造定值，灵活运用基本不等式求最值。 　 📖 【预习导学】 请认真阅读教材，完成以下预习内容（✍️ 请用红笔标注存疑之处，课上重点解决）： ◆ 一、温故（不等式基本性质回顾） 1．不等式性质1（对称性）：若 a>b，则 b____a；反之也成立。 2．不等式性质2（传递性）：若 a>b，b>c，则 a____c。 3．不等式性质3（可加性）：若 a>b，则 a+c____b+c；由此可推出移项法则：不等式中任意一项改变______后，可以移到不等号另一侧。 4．不等式性质4（可乘性）：若 a>b，c>0，则 ac____bc；若 a>b，c<0，则 ac____bc。 5．不等式性质5（同向可加性）：若 a>b，c>d，则 a+c____b+d。 6．不等式性质6（同向正数可乘性）：若 a>b>0，c>d>0，则 ac____bd。 7．不等式性质7（正数乘方性）：若 a>b>0，则 aⁿ____bⁿ（n∈N，n≥2）。 ──────────────────────────────────────────────────────────── ◆ 二、知新（基本不等式核心要点） 1．对任意实数 a，b，重要不等式：a²+b²____2ab，当且仅当 a____b 时等号成立。 2．基本不等式适用条件：a____0，b____0；公式为 ，当且仅当 a____b 时等号成立。 3．对正数 a，b， 叫做 a，b 的________平均数， 叫做 a，b 的________平均数；基本不等式的文字表述为：两个正数的算术平均数________它们的几何平均数。 4．基本不等式几何意义：AB 为圆的直径，AC=a，CB=b，过点 C 作垂直于 AB 的弦交圆于 D，则 CD=______，圆的半径为______；弦长的一半 CD 不大于半径，对应不等式__________________，当且仅当点 C 与________重合时等号成立。 ──────────────────────────────────────────────────────────── ◆ 三、预习疑惑 ─────────────────────────────────────────────────────── ─────────────────────────────────────────────────────── ─────────────────────────────────────────────────────── 🔍 【合作探究】 【探究一 · 生活情境：矩形花园】 学校要在食堂旁用总长为 20 m 的篱笆围出一块矩形花圃，设矩形的相邻两边长分别为 x m，y m。 ❓ 问题 1：根据题意，x+y 的值是多少？花圃面积 S=xy 能取到多大？请写出你的猜想过程。 　 　 ❓ 问题 2：若要使花圃面积为 25 m²（xy=25），篱笆总长 2(x+y) 至少要多长？此时 x，y 分别是多少？ 　 　 💡 问题 3：以上两个问题分别用到了基本不等式的哪一类“定值”特征？请总结口诀：“和定____最____，积定____最____”。 　 　 ──────────────────────────────────────────────────────────── 【探究二 · 几何模型：半弦与半径】 如图，AB 是圆 O 的直径，C 为 AB 上一点，AC=a，CB=b（a,b>0），过 C 作 CD⊥AB 交半圆于 D，连接 OD、AD、BD。 ❓ 问题 1：用 a，b 表示 OD=____，CD=____，由“直角三角形斜边上的高____斜边的一半”可得 CD≤OD。 　 ❓ 问题 2：当点 C 与点 O 重合时，a 与 b 的关系是______，此时 CD=OD，即等号成立。由此你能说出基本不等式等号成立的几何条件吗？ 　 ❓ 问题 3：判断下列说法是否正确（对打√，错打×），并说明理由： （1）对任意实数 x，y，都有；（ ） （2）若 x>0，y>0，则的等号当且仅当 x=y=1 时成立；（ ） （3）函数 y=x+（x>0）的最小值是 2；（ ） 　 💡 【典例精析】 【例 1】（和定积最大） （1）若 x>0，y>0，且 2x+y=8，求 xy 的最大值； （2）已知直角三角形两条直角边之和为 10，求该三角形面积的最大值及此时两条直角边的长。 【解析】 　 　 　 　 　 ──────────────────────────────────────────────────────────── 【例 2】（配凑法求最值） （1）若 x>2，求函数 y=x+的最小值； （2）若 x>0，求函数 y=的最小值。 【解析】 　 　 　 　 ✏️ 【当堂达标】 （建议用时：10 分钟） 1. 若 x>0，y>0，且 x+y=8，则 xy 的最大值为（ ） A. 8 B. 16 C. 12 D. 2. 设 x>0，y>0，且 xy=25，则 x+y 的最小值为（ ） A. 25 B. 5 C. 10 D. 20 3. 已知 x>0，则 x+ 的最小值为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 10 　 📝 【课堂小结 & 课后作业】 🧠 知识框架 📚 课后作业 • 重要不等式：a²+b²≥2ab (a,b∈R) • 基本不等式： (a,b>0) 口诀：一正、二定、三相等 • 应用：和定积最大；积定和最小；配凑构造定值。 【必做】教材练习 1, 2, 3 题 【实践】回家观察一个"等周问题"：用给定长度的绳子围成什么形状的矩形，面积最大？做一做实验，下节课分享。 🌟 【学习反思】 今日收获： ────────────────────────────────────────────────────────── ────────────────────────────────────────────────────────── 存在困惑： ────────────────────────────────────────────────────────── ────────────────────────────────────────────────────────── 数学是思维的体操，思考是进步的阶梯 ——华罗庚 第 学科网（北京）股份有限公司 $