2.2.1基本不等式同步练--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用梯度设计，通过选择、填空、证明等题型强化运算能力与推理意识，适配开学初同步教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级基础练习|基本不等式概念理解、简单最值计算|含高考真题（如北京卷）、直接应用公式求最值（如x+y最小值）及基础证明题| |B级拔高提升|综合条件最值、多选项辨析|设置多选题（如ab=1的不等式判断）、复杂条件最值（如x+3y+xy=9求最小值），培养数学思维|

2.2.1　基本不等式 A级 基础练习 1.(2025北京卷,6)已知a>0,b>0,则(　　) A.a2+b2>2ab B. C.a+b> D. 2.(2026山东临沂联考)若xy>0,则的最小值为(　　) A.13 B.26 C.2 D. 3.(2026陕西咸阳月考)已知m2+4n2=9(m>0,n>0),则mn的最大值为(　　) A. B. C. D. 4.已知x>0,y>0,且xy=4,则x+y的最小值为　　　　　.  5.已知0<x<2,则y=2x取最大值时x的值为　　　　　.  6.已知a,b,c为正数,求证:≥3. 7.求代数式(x+y)()的最小值,其中x>0,y>0. B级 拔高提升 8.(2026黑龙江哈尔滨期中)已知正数a,b满足a2+b2=2,则a+b的最大值为(　　) A.1 B.2 C. D.2 9.(多选题)若实数a>0,b>0,ab=1,则下列选项的不等式中,正确的是(　　) A.a+b≥2 B.≥2 C.a2+b2≥2 D.≤2 10.(多选题)若正实数a,b满足a+b=1,则下列说法错误的是(　　) A.ab有最小值 B.有最小值 C.有最小值1 D.a2+b2有最小值 11.已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为　　　　　.  参考答案 1.C　当a=b时,a2+b2=2ab,故A错误;取a=b=,则=6,=9,所以,故B错误;∵a>0,b>0,∴a+b≥2,故C正确;∵a>0,b>0,∴>0,>0,∴≥2,故D错误.故选C. 2.D　由xy>0,得>0,>0,则≥2,当且仅当,即时,等号成立, 所以的最小值为.故选D. 3.D　m2+4n2=9≥2×2mn=4mn,则mn≤,当且仅当m=2n,即m=,n=时,等号成立.故选D. 4.4　因为x>0,y>0,则x+y≥2=2=4,当且仅当x=y=2时等号成立,所以x+y的最小值为4. 5.　因为0<x<2,所以y=2x=2≤2=4,当且仅当x2=4-x2,0<x<2,即x=时,等号成立. 6.证明左边=-1+-1+-1=()+()+()-3. ∵a,b,c为正数,∴≥2(当且仅当a=b时,等号成立);≥2(当且仅当a=c时,等号成立);≥2(当且仅当b=c时,等号成立). 从而()+()+()≥6(当且仅当a=b=c时,等号成立). ∴()+()+()-3≥3, 即≥3. 7.解∵(x+y)()=1+4+, 又x>0,y>0,∴≥2=4, ∴1+4+≥9,当且仅当y=2x时,等号成立. ∴代数式 (x+y)()的最小值为9. 8.B　因为正数a,b满足a2+b2=2,所以(a+b)2=a2+b2+2ab≤a2+b2+a2+b2=2+2=4,所以a+b≤2,当且仅当a=b=1时,等号成立,则a+b的最大值为2.故选B. 9.ABC　因为实数a>0,b>0,ab=1,所以a+b≥2=2成立,当且仅当a=b时等号成立,故A正确;≥2=2成立,当且仅当a=b时等号成立,故B正确;a2+b2≥2ab=2成立,当且仅当a=b时等号成立,故C正确;≥2=2成立,当且仅当a=b时等号成立,故D不正确.故选ABC. 10.ABD　∵a>0,b>0,且a+b=1,∴1=a+b≥2,∴ab≤,当且仅当a=b=时,等号成立.∴ab有最大值,∴A错误;()2=a+b+2=1+2≤1+2=2,∴,当且仅当a=b=时,等号成立.∴有最大值,∴B错误;=1,当且仅当a=b=时,等号成立.∴有最小值1,∴C正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×,当且仅当a=b=时,等号成立.∴a2+b2的最小值是,不是,∴D错误. 11.6　(方法一)由已知得9-(x+3y)=xy=·x·3y≤·()2,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时,等号成立.即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0, 令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0, 得t≥6,即x+3y的最小值为6. (方法二)由x+3y+xy=9,得x=, 所以x+3y=+3y==3(1+y)+-6≥2-6=12-6=6, 当且仅当3(1+y)=,即y=1,x=3时,等号成立,即x+3y的最小值为6. 学科网（北京）股份有限公司 $