§1.3 集合的基本运算（同步课后作业题型集训）- 2026-2027学年高一数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦集合的基本运算核心知识点，通过基础知识表格系统梳理并集、交集、补集的符号表示、图形表示、数学语言及运算性质，搭建从概念理解到题型应用的学习支架，衔接后续题型集训。 资料特色在于题型分层设计，涵盖基本运算、参数求解、韦恩图应用、新定义及容斥原理五大题型，融入思维导图辅助知识结构化，结合多地阶段检测题，培养学生数学眼光（抽象集合关系）、数学思维（逻辑推理求参数）和数学语言（符号与图形表达），课中助力教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

人教A版必修第一册同步课后作业 216个知识点 · 312道经典例题 ·216个题型集训 第一章 集合与常用逻辑用语 同步课后作业 §1.3 集合的基本运算 题型集训 PART 01 基础知识 基本运算 并集 交集 补集 符号表示 ______ 若全集为，则集合的补集为 图形表示 数学语言 ______ ______ ______ 运算性质 ______； ______； ______； ______； ______； ______； ______ 【答案】 PART 02 题型集训 题型01 集合的基本运算 角度1：集合的并集运算 1．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·云南大理·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·云南红河·阶段检测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 角度2：集合的交集运算 6．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·江苏盐城·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·天津蓟州·阶段检测）设集合，，则（   ） A．{-1，1，2} B．{1} C．{2} D．{1，2} 10．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 角度3：集合的补集运算 11．（25-26高二下·河南驻马店·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 13．（2026·湖南·模拟预测）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·山东济宁·阶段检测）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 15．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 角度4：集合的交、并、补的混合运算 16．（25-26高二下·天津静海·阶段检测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高一下·四川南充·阶段检测）已知全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 19．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 20．（2026·安徽·模拟预测）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型02 集合的基本运算结果求参数 角度1：根据集合并集运算结果求参数 21．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 22．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知集合，.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·上海浦东新·期末）设集合，，若，则实数的取值范围是______. 24．（25-26高一上·江西鹰潭·阶段检测）已知集合.若，求实数m的取值范围. 25．（24-25高三上·广东广州·阶段检测）已知集合，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 角度2：根据集合交集运算结果求参数 26．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）已知集合，，且满足，则实数的取值范围为（   ）. A．或 B． C．或 D． 27．（24-25高一下·四川广元·阶段检测）（多选）设集合 ，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 28．（23-24高一上·天津滨海新区·阶段检测）设集合，则下列选项中，满足的实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 29．（24-25高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合，其中，若，则实数的取值范围是___________． 30．（2025·河南焦作·三模）已知集合，非空集合，若，则的取值范围是______． 角度3：根据集合混合运算结果求参数 31．（24-25高一上·广东江门·阶段检测）设全集，已知集合，，且，则实数的取值范围是________. 32．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 33．（24-25高一上·四川绵阳·阶段检测）已知或，，若，则m的取值范围是______. 34．（24-25高一上·广西桂林·阶段检测）设全集，集合，且，则实数的取值范围是__________． 35．（25-26高一上·辽宁锦州·阶段检测）已知集合，，且，则实数的取值范围是__________. 题型03 韦恩图的应用 36．（2025高一·上海·专题练习）设全集，集合，则下图中的阴影部分表示的集合是______________．    37．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高一上·上海杨浦·开学考试）已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A．或 B． C． D． 39．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 40．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 题型04 集合新定义题 41．（2025·上海闵行·一模）已知，若，且，则（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 43．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）整数集合中，被4所除余数为的所有整数组成一个“类”，记作，以下判断正确的是（   ） A． B． C． D．，，则 44．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）定义且，若，，则______. 45．（25-26高三上·江西赣州·阶段检测）我们定义一种新运算“”：对于两个集合A和B，规定，其中和分别表示集合A和B在全集下的补集，已知全集，集合，集合，则等于（ ） A． B． C． D． 题型05 容斥原理的应用 46．（25-26高一上·广东深圳·期末）深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 47．（25-26高一上·江西·期中）现统计到某校高一（8）班45名同学参加机器人编程兴趣小组、非遗文化兴趣小组的情况，其中有25名同学参加了机器人编程兴趣小组，有22名同学参加了非遗文化兴趣小组，已知这两个兴趣小组都参加的有12名同学，则该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为（    ） A．10 B．8 C．9 D．14 48．（25-26高一上·贵州黔西南·阶段检测）集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，如：，则.若对于任意两个有限集合，有.我校某班主任为了了解学生喜欢篮球运动和足球运动人数进行了统计，其中喜欢篮球运动的人数有18人，喜欢足球运动的人数有14人，既喜欢篮球运动又喜欢足球运动有7人，问只喜欢篮球运动的人数是（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 49．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、AI技术培训3类拓展课程．高一某班学生共有32人报名参加拓展课程，其中有10人报名参加劳动实践，有18人报名参加研学参观，有14人报名参加AI技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有4人，同时报名参加研学参观和AI技术培训的有5人，只参加AI技术培训的人数为________． 50．（25-26高一上·上海·阶段检测）某中学高一（1）班共50名学生，在一次数学和语文的学科兴趣调查中，喜欢数学的学生人数占全班总人数的，喜欢语文的学生人数比数学的多5人，另外，两门学科都不喜欢的人数比都既喜欢数学又喜欢语文的学生数的多5人，问两门学科都喜欢的学生有___________人. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版必修第一册同步课后作业 216个知识点 · 312道经典例题 ·216个题型集训 第一章 集合与常用逻辑用语 同步课后作业 §1.3 集合的基本运算 题型集训 PART 01 基础知识 基本运算 并集 交集 补集 符号表示 ______ 若全集为，则集合的补集为 图形表示 数学语言 ______ ______ ______ 运算性质 ______； ______； ______； ______； ______； ______； ______ 【答案】 PART 02 题型集训 题型01 集合的基本运算 角度1：集合的并集运算 1．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合A，再根据并集的定义计算即可得到结果. 【详解】首先化简集合：已知，其中指正整数集，不等式两边平方得， 结合，可得的取值为1,2,3，即. 已知，根据并集的定义可得. 【点睛】 2．（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合并集的运算，合并两个集合的元素取值范围即可得答案. 【详解】集合，， 所以. 3．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据并集的定义，. 4．（25-26高一下·云南大理·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由集合，， 得. 5．（25-26高一下·云南红河·阶段检测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设及并集定义可得答案． 【详解】由并集定义可得：． 角度2：集合的交集运算 6．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题. 7．（25-26高一下·江苏盐城·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，即， 又， 所以. 8．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以. 9．（25-26高二下·天津蓟州·阶段检测）设集合，，则（   ） A．{-1，1，2} B．{1} C．{2} D．{1，2} 【答案】D 【详解】集合，，所以. 10．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 角度3：集合的补集运算 11．（25-26高二下·河南驻马店·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题首先可根据题意确定集合和集合中包含的元素，然后根据补集的相关性质即可得出结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则. 12．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由补集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 13．（2026·湖南·模拟预测）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】全集，集合是所有大于的自然数，即. 补集是全集中不属于的元素构成的集合，因此. 14．（25-26高二下·山东济宁·阶段检测）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合补集的定义与运算，准确运算，即可求解. 【详解】由集合，， 根据集合补集的定义与运算，可得或. 15．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，， 所以. 角度4：集合的交、并、补的混合运算 16．（25-26高二下·天津静海·阶段检测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知全集，集合，则， 又，因此. 17．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得或， 因为，所以. 18．（24-25高一下·四川南充·阶段检测）已知全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为,,所以, 因为,所以. 19．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则. 20．（2026·安徽·模拟预测）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知得，所以. 题型02 集合的基本运算结果求参数 角度1：根据集合并集运算结果求参数 21．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】已知集合，若， 所以，解得. 22．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知集合，.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合间的基本关系可得答案. 【详解】由条件 ，可知 ：， 又由 ， ， 得：. 故选：D 23．（24-25高一上·上海浦东新·期末）设集合，，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由得集合是集合的真子集，根据集合的包含关系求解即可. 【详解】因为， 所以集合是集合的真子集， 所以， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 24．（25-26高一上·江西鹰潭·阶段检测）已知集合.若，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】根据，分和两种情况，列不等式求解. 【详解】因为，所以， 当时，，解得； 当时，则，方程组无解. 综上所述，实数的取值范围为. 25．（24-25高三上·广东广州·阶段检测）已知集合，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合B的补集，再利用并集的结果求出的范围. 【详解】由，得或，而，， 则，所以的取值范围是. 故选：A 角度2：根据集合交集运算结果求参数 26．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）已知集合，，且满足，则实数的取值范围为（   ）. A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】先由得到，再分类讨论，利用根与系数的关系进行求解. 【详解】，， 当时，，即； 当时，利用韦达定理得到，解得； 当时，利用韦达定理得到，无解； 当时， 根据韦达定理得到 ，解得 ； 综上，实数a的取值范围是. 故选：A. 27．（24-25高一下·四川广元·阶段检测）（多选）设集合 ，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由，得到或，求出实数a的取值范围，即可判断． 【详解】因集合，， 满足，则得或， 解得或． 结合选项，实数a的取值范围可以是或． 故选：CD． 28．（23-24高一上·天津滨海新区·阶段检测）设集合，则下列选项中，满足的实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】D 【分析】结合数轴及交集运算可得. 【详解】要使，则或， 解得，或. 所以满足的实数的取值范围是，或. 故选：D 29．（24-25高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合，其中，若，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先解一元二次不等式可求得集合，再分类讨论和两种情况，求得时的范围，从而取补集即可得到结果. 【详解】由得：，即； 因为， 当时，，解得：； 当时，或，解得：； 所以当且仅当时，， 而实际上，所以. 故答案为：. 30．（2025·河南焦作·三模）已知集合，非空集合，若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】结合题意确定集合非空，再转化为集合包含问题，建立不等式组求解参数范围即可. 【详解】由题意得，又因为， 所以，解得． 故答案为：. 角度3：根据集合混合运算结果求参数 31．（24-25高一上·广东江门·阶段检测）设全集，已知集合，，且，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】求出集合，根据可得出实数的取值范围. 【详解】因为全集，集合，则， 因为集合，，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 32．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 33．（24-25高一上·四川绵阳·阶段检测）已知或，，若，则m的取值范围是______. 【答案】 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 34．（24-25高一上·广西桂林·阶段检测）设全集，集合，且，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据集合的运算结果，结合数轴进行计算即可得解. 【详解】， 又， ， ． 故答案为：. 35．（25-26高一上·辽宁锦州·阶段检测）已知集合，，且，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先求出，利用，即可确定实数的取值范围. 【详解】因为 所以 又因为， ∴. 故答案为： 题型03 韦恩图的应用 36．（2025高一·上海·专题练习）设全集，集合，则下图中的阴影部分表示的集合是______________．    【答案】 【分析】先分析出图中的阴影部分表示的集合，再求出集合，从而求出图中阴影部分的集合． 【详解】图中的阴影部分表示的集合为且， 又，， 图中的阴影部分表示的集合且． 故答案为：． 37．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由Venn图可知图中阴影部分表示的集合为，再根据集合间的运算求解. 【详解】因为全集，集合，则或，且集合， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：B. 38．（25-26高一上·上海杨浦·开学考试）已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【详解】分析可知阴影部分区域所表示的集合为，利用补集和交集的定义可求得结果. 【分析】因为全集，集合或，， 在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素，则，， 因此阴影部分区域所表示的集合为 . 故选：C. 39．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据韦恩图及集合的交集、补集运算求解. 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为， 又，，， 所以或， 所以， 故选：C. 40．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，求出集合B，根据韦恩图，结合交集的概念与性质即可求解. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：B. 题型04 集合新定义题 41．（2025·上海闵行·一模）已知，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中的定义求解即可. 【详解】且，因为， 对于，所以；对于，所以； 则， 故选：C. 42．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算，再计算，然后根据的定义求解. 【详解】， ， 根据，所以. 43．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）整数集合中，被4所除余数为的所有整数组成一个“类”，记作，以下判断正确的是（   ） A． B． C． D．，，则 【答案】D 【分析】由新概念“类”的定义逐一检验即可求解 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：，则，，，， ，，， 因为，，所以，所以，故D正确； 故选：D 44．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）定义且，若，，则______. 【答案】 【分析】由定义求解和，再由并集的定义求解. 【详解】，， ， 所以. 故答案为： 45．（25-26高三上·江西赣州·阶段检测）我们定义一种新运算“”：对于两个集合A和B，规定，其中和分别表示集合A和B在全集下的补集，已知全集，集合，集合，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出和，再求相关集合的交集和并集，利用定义新运算求解即可. 【详解】由已知可得， 所以， 则. 故选：A. 题型05 容斥原理的应用 46．（25-26高一上·广东深圳·期末）深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 【答案】18 【分析】假设只参加集体项目比赛的有人，根据题设及容斥原理列方程求值即可. 【详解】由题意，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目， 因此参加比赛项目的总人数为, 因为有3人同时参加了这三项比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人， 设只参加集体项目比赛一项的有人， 则，解得，即只参加集体项目比赛一项的有18人. 故答案为：18. 47．（25-26高一上·江西·期中）现统计到某校高一（8）班45名同学参加机器人编程兴趣小组、非遗文化兴趣小组的情况，其中有25名同学参加了机器人编程兴趣小组，有22名同学参加了非遗文化兴趣小组，已知这两个兴趣小组都参加的有12名同学，则该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为（    ） A．10 B．8 C．9 D．14 【答案】A 【分析】利用容斥原理即可得到答案. 【详解】该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为． 故选：A 48．（25-26高一上·贵州黔西南·阶段检测）集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，如：，则.若对于任意两个有限集合，有.我校某班主任为了了解学生喜欢篮球运动和足球运动人数进行了统计，其中喜欢篮球运动的人数有18人，喜欢足球运动的人数有14人，既喜欢篮球运动又喜欢足球运动有7人，问只喜欢篮球运动的人数是（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】应用交集及补集定义及计算求解. 【详解】设喜欢篮球运动的人组成集合，设喜欢足球运动的人组成集合， 喜欢篮球运动的人数有18人，所以. 既喜欢篮球运动又喜欢足球运动有7人，. 只喜欢篮球运动的人数是. 故选：B. 49．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、AI技术培训3类拓展课程．高一某班学生共有32人报名参加拓展课程，其中有10人报名参加劳动实践，有18人报名参加研学参观，有14人报名参加AI技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有4人，同时报名参加研学参观和AI技术培训的有5人，只参加AI技术培训的人数为________． 【答案】8 【分析】利用韦恩图来求解即可. 【详解】设3类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和AI技术培训的有人， 列出韦恩图如下，则， 可得，则只参加AI技术培训的人数为人. 故答案为：8.    50．（25-26高一上·上海·阶段检测）某中学高一（1）班共50名学生，在一次数学和语文的学科兴趣调查中，喜欢数学的学生人数占全班总人数的，喜欢语文的学生人数比数学的多5人，另外，两门学科都不喜欢的人数比都既喜欢数学又喜欢语文的学生数的多5人，问两门学科都喜欢的学生有___________人. 【答案】 【分析】根据容斥原理列式计算即可. 【详解】由题意可知，喜欢数学的学生为人，喜欢语文的学生为人， 设两门学科都喜欢的人数为，则两门都不喜欢的人数为， 故有， 解得. 故答案为：. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $